2025高考數(shù)學一輪復習-第37講-第2課時-面面夾角【課件】

第37講

空間角與距離的計算第2課時

面面夾角第七章

立體幾何如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點．(1)求證：AM⊥平面PCD；幾何法求二面角舉題說法1因為在正方形ABCD中，CD⊥AD，側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD＝AD，CD?底面ABCD，所以CD⊥平面PAD.因為AM?平面PAD，所以CD⊥AM.因為△PAD是正三角形，M是PD的中點，所以AM⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AM⊥平面PCD.【解答】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點．(2)求側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值．1如圖，取AD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF，則EF＝CD，EF∥CD.【解答】因為AD⊥CD，所以EF⊥AD.又在正三角形PAD中，PE⊥AD，EF∩PE＝E，EF，PE?平面PEF，所以AD⊥平面PEF.因為AD∥BC，所以BC⊥平面PEF，所以∠PFE是側面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝4.平面PAB⊥平面ABCD，O為AB的中點，∠DAO＝∠AOP＝60°，OA＝OP，E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點．(1)求證：平面PCD⊥平面AFGB；向量法求二面角2如圖，取AO的中點H，連接HD，HP.【解答】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∠DAO＝60°，因為O為AB的中點，則有四邊形BCDO是平行四邊形，所以OD∥BC，∠DOA＝∠CBO＝∠DAO＝60°，所以△OAD為正三角形，所以AD＝2，HD⊥AO.在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝60°，所以△AOP為邊長為2的正三角形，所以AP＝2，PH⊥AO.因為AP＝AD，F(xiàn)為PD的中點，所以AF⊥PD.因為HD⊥AO，PH⊥AO，HD∩PH＝H，HD，PH?平面PHD，所以AO⊥平面PHD，即AB⊥平面PHD.因為PD?平面PHD，所以AB⊥PD.而G為PC的中點，則FG∥CD∥AB，所以PD⊥FG.又因為AF∩AB＝A，AF，AB?平面AFGB，所以PD⊥平面AFGB.因為PD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面AFGB.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝4.平面PAB⊥平面ABCD，O為AB的中點，∠DAO＝∠AOP＝60°，OA＝OP，E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點．(2)求平面PDE與平面ABCD夾角的正切值．2因為PH⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PH?平面PAB，所以PH⊥平面ABCD，所以由(1)知，PH，HD，AB兩兩垂直．【解答】變式如圖，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．(1)求證：BC⊥DA；連接AE，DE.因為E為BC的中點，DB＝DC，所以DE⊥BC.【解答】因為DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD與△ABD為全等的等邊三角形，所以AC＝AB，從而AE⊥BC.又AE∩DE＝E，AE，DE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而AD?平面ADE，所以BC⊥DA.【解答】變式如圖，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．二面角中探究性問題3【解答】(1)因為△ABD為邊長為2的正三角形，點O為AB的中點，所以DO⊥AB.連接OC交BD于點G.(1)求證：BD⊥PC；因為PO，OC?平面POC，PO∩OC＝O，所以BD⊥平面POC.因為PC?平面POC，所以BD⊥PC.3【解答】配套精練【解析】C2．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．在如圖所示的“塹堵”中，AC＝CB＝CC1，則二面角C1-AB-C的正切值為

(

)D【解析】由AC＝CB知，AC⊥CB，如圖，取AB的中點M，連接C1M，CM.由條件知∠C1MC即為二面角C1-AB-C的平面角．3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點，PA＝AD＝2.若AB＝1，則二面角B-AC-M的余弦值為

(

)【解析】因為BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，所以PA⊥BC.又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，BC，AB?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.【答案】A【解析】【答案】ABD【解析】60°6．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點，則二面角E-BC1-F的余弦值為______．【解析】【答案】三、

解答題7．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，四邊形BDEF為矩形．【解答】如圖，取EF中點G，連接AG，CG，AC.因為DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE⊥AD.又四邊形BDEF為矩形，則BF∥DE，BF＝DE，所以BF⊥平面ABCD，而AB?平面ABCD，所以BF⊥AB.又底面ABCD是邊長為2的正方形，則Rt△ADE≌Rt△ABF，所以AE＝AF.又AG?平面AEF，所以平面CEF⊥平面AEF.7．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，四邊形BDEF為矩形．(2)若三棱錐F-EBC的體積為2，求平面EBC與平面AEF夾角的余弦值．【解答】8．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，M，N分別為AC，AB的中點，PM⊥AB.(1)求證：AB⊥PN；【解答】因為M，N分別為AC，AB的中點，所以NM∥BC.因為AB⊥BC，所以AB⊥MN.因為AB⊥PM，PM∩MN＝M，PM，MN?平面PMN，所以AB⊥平面PMN.又因為PN?平面PMN，所以AB⊥PN.8．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，M，N分別為AC，AB的中點，PM⊥AB.(2)若AB＝BC＝2，BP＝PM＝3，求二面角N-PM-B的余弦值．【解答】因為AB＝BC＝2，BP＝PM＝3，則NM＝NB＝1，所以△PNB≌△PNM.因為AB⊥PN，所以PN⊥NM.9．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)求證：B2C2∥A2D2；【解答】以C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，9．如圖，在