2024長(zhǎng)沙中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：幾何證明與計(jì)算 (含答案)

2024長(zhǎng)沙中考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)題型二幾何證明與計(jì)算

類(lèi)型一與全等有關(guān)的證明與計(jì)算

典例精講

例如圖，在菱形ABC。中，/A=60。，AO=2,點(diǎn)E是A。邊上一點(diǎn)(點(diǎn)￡不與點(diǎn)A、D

重合)，點(diǎn)廠在A8的延長(zhǎng)線上，MBF=DE,連接EP交8。于點(diǎn)G.

(1)求證：4BDE咨4CBF；

【思維教練】在含60。角的菱形中常利用等邊三角形性質(zhì)，找到等邊和等角，利用SAS證明

全等.

(2)當(dāng)BE_LA￡)時(shí)，求C尸的長(zhǎng)；

【思維教練】出現(xiàn)垂直和60。角時(shí)，考慮用三角函數(shù)求線段長(zhǎng).

(3)求證：EG=FG；

【思維教練】過(guò)點(diǎn)E作8尸的平行線，構(gòu)造8字型全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明邊相等.

(4)設(shè)。E=x,DG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍.

///

//

4aif

例題圖

【思維教練】表示出線段BG的長(zhǎng)度，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)及(3)中結(jié)論，得到等式，轉(zhuǎn)化求

解.

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖①，AB^AC,NBAC=90。，點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，連接CD過(guò)點(diǎn)2作BF_LC。，與

CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AE,過(guò)點(diǎn)A作AG±AE交CD于點(diǎn)

G.

(1)求證：CD=BF；

(2)如圖②，若。是4B的中點(diǎn).求證：DG=DE+BE.

2.如圖，在正方形A8CD中，E是8C邊上一點(diǎn)(不與8、C重合)，將正方形A8CO沿AE

折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，延長(zhǎng)EF交C。于點(diǎn)G,連接AG.

(1)求證：△ADG四△APG；

(2)若AB=2.

①求△CEG的周長(zhǎng)；

②若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EM是NCEG的平分線，求GM的長(zhǎng).

第2題圖

類(lèi)型二與相似有關(guān)的證明與計(jì)算

典例精講

例如圖，在矩形ABCD中，AB=12,尸是邊AB上一點(diǎn)，把△P8C沿直線PC折疊，點(diǎn)、B

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)8作8EJ_CG,垂足為E,且E在上，BE交PC于點(diǎn)、F.

⑴求證：BP=BF；

【思維教練】由折疊的性質(zhì)及等角對(duì)等邊求證.

⑵若40=25,且AEVOE.

①求AE的長(zhǎng)；

②求tan/PCB的值；

【思維教練】①利用等角的余角相等及相似三角形的性質(zhì)求解;

②利用折疊和相似的性質(zhì)求解.

⑶當(dāng)BP=9時(shí)，直接寫(xiě)出BEEF的值.

例題圖

【思維教練】要求8￡?￡凡則可作輔助線構(gòu)造包含BE、EF線段的三角形相似求解.

針對(duì)訓(xùn)練

1.(2023長(zhǎng)沙黑白卷)如圖，在正方形A3C。中，42=4,連接點(diǎn)X是BD上一點(diǎn)，連

接AH并延長(zhǎng)交8c邊于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)。作DELAG于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8作BfUAG于點(diǎn)孔

(1)求證：AABF名ADAE；

lBF

(2)若EF=2小一2,求瓦；

(3)設(shè)和四邊形CDHG的面積分別為N和S2,若已去求BG的長(zhǎng).

第1題圖

2.(2023長(zhǎng)沙開(kāi)福區(qū)一模)如圖，在矩形ABC。中，AC為矩形A2C￡＞的對(duì)角線，DG1AC

點(diǎn)G,OG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,已知4。=6,8=8.

⑴求AE的長(zhǎng);

(2)ZACD的平分線CF交AD于點(diǎn)F,求tanZDCF的值;

⑶若。1、。2分別是△ADG、△OCG的內(nèi)心，求5、。2兩點(diǎn)間的距離.

第2題圖

參考答案

類(lèi)型一與全等有關(guān)的證明與計(jì)算

例（1）證明：???四邊形A3CD是菱形，

：.AD=AB^BC=DC.

???NA=60。，

AAAB￡>,4BCD都是等邊三角形.

:?DB=BC,ZCBF=ZBDE=60°,

在△5DE和△C3尸中，

DB=BC

<ZBDE=ZCBFf

DE=BF

：.ABDEW△CBF(SAS)；

(2)1?：由(1)知△3OE也△C8R

:?CF=BE,當(dāng)時(shí)，VAZ)=2,ZA=60°,四邊形A5CD為菱形.

：.BD=AD=2,ZEDB=60°,

：.BE=BDsin60°=小

;.CF=6

(3)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)石作即〃A5,交BD于點(diǎn)H.

例題解圖

???ZDEH=ZA=60°,

又???ZADB=60°,

是等邊三角形,

：.EH=DH=DE,

?：BF=DE,

；?EH=BF.

*：EH//AB.

：?NHEG=NBFG,/EHG=/FBG,

???△E"G之△bBG(ASA),

：.EG=FG；

(4)解：如解圖，??,△AOB是等邊三角形.

：?DB=AD=2,

9：DG=y,

：.GB=2-y,

?:DH=DE=x,

：.HG=DG—DH=y—x.

由(3)得△E"G絲△b3G,

：?HG=BG.

?\y-x=2—y,

??.y=g+l,x的取值范圍為0<xV2.

1.證明：(l)VZBAC=90°,

???ZBAF=ZBAC=9Q°,

：.ZF+ZABF=90°,

VBFXCD,

AZF+ZACD=90°,

：.NABF=ZACD,

VAB=AC,

JAABF^AACD,

:?CD=BF：

(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M,

VZBAC=90°,AG±AE,

JZBAE+ZDAG=NOAG+NCAG=90。,

J/BAE=NCAG,

*：AB=ACf

且由(1)知ZABF=ZACD,

：.AABE^AACG,

：.AE=AGf

AA￡G是等腰直角三角形，

'：AM.LCD,

：.AM=EM=GM,

VBFXCD,AMLCD,

ZBED=ZAMD=90°,

；BD=AD,NBDE=NADM,

:.ABDEHADM,

:.DE=DM,BE=AM,

：.BE=MG,

?：DG=DM+MG,

：.DG=DE+BE.

第1題解圖

2.⑴證明：：四邊形ABC。是正方形，

NB=ND=90°,AB^AD,

由折疊的性質(zhì)得/AFE=/B=90。,

J.AD^AF,ZD=ZAFE^ZAFG^9Q0,

又：AG=AG,

AADG^AAFG；

(2)解：①由(1)可知

:.DG=FG,

由折疊的性質(zhì)得BE=EE,

.?.△CEG的周長(zhǎng)=CE+CG+EG=CE+EF+CG+FG=CE+BE+CG+OG=2AB=4；

②是8c的中點(diǎn)，且A8=BC=2,

:.BE=EC=L

在RtZXECG中，GC=2~DG,EG=l+DG,

VEG2=￡C2+CG2,

.?.(1+Z)G)2=12+(2-￡>G)2,

2

解得￡>G=w.

4

???CG=y

如解圖，過(guò)點(diǎn)“作MNJ_EG于點(diǎn)N,

VZC=90°,EM是NCEG的平分線,

:?CM=MN,EN=CE=\,

???點(diǎn)N與點(diǎn)歹重合,

:?NG=DG=^.

在RtZXMNG中，GM2=MN2+NG2,

即(41—CM)2=CM2+q2)2,

解得CM=^,

GM=T.

6

第2題解圖

類(lèi)型二與相似有關(guān)的證明與計(jì)算

例(1)證明：在矩形ABC。中，ZABC=90°,

ABPC沿PC折疊得到△GPC,

ZPGC=ZPBC=90°,ZBPC=ZGPC,

VBEXCG,

：.BE//PG,

：.ZGPF=ZPFB,

:?NBPF=NBFP,

：.BP=BF；

(2)解：①當(dāng)A￡>=25時(shí),

VZBEC=90°,

???ZAEB+ZCED=90°f

'：ZAEB+ZABE=90°,

：.ZCED=ZEBAf

9：ZBAD=ZEDC=90°,

：.AABE^ADEC,

?ABDE

??AE=5C,

設(shè)AE=相，

.*.DE=25—m,

.1225~m

工石=12，

解得加i=9,恤=16,

9：AE<DE,

：.AE=9；

②由①可得DE=16,

???在RtZXDCE中，CE=ylDC2+ED2=20,在中，BE=yjAB2+AE?=15,

由折疊性質(zhì)得3P=PG,

：.BP=BF=PG,

■:BE//PG,

：.AECFs^GCP,

?EFCE

^~GP=~CGf

設(shè)BP=BF=PG=n,

.15—n20

**n=25J

：.BP=y,

：2C=A￡>=25,

25

.PB31

tanZPCB=^=25=3；

(3)解：如解圖，連接FG,

例題解圖

'：ZGEF^ZPGC^9Q0,

：.BF//PG,

由(2)知BF=PG=BP,

，四邊形8PGE是菱形，

C.BP//GF,BP=GF=9,

：.ZGFE=ZABE,

:AGEFs叢EAB,

.EF_AB

??而一國(guó)

：.BE-EF=AB-GF=12X9=108.

1.(1)證明：：四邊形A8C￡)是正方形,

：.AD=BA,ZBAD=9Q°,

：.ZDAE+ZBAF=9Q°,

■:DELAG,BFLAG,

：.ZAED=ZBFA=90°,

：.ZDAE+ZADE=90°,

：.NBAF=ZADE,

：.AABF^△ZME(AAS)；

(2)解：AABF^ADAE,

：.BF=AE,AF=DE,

在中，BF2+AF2^AB-,

：.AE2+(AE+EF)2=AB1,

即AE2+(AE+2^3-2)2=42,

；.AE=2或AE=—2小(舍去)，

：.BF=2,DE=AF=AE+EF=2y[3,

.BF__2__V3

?3E—2H3；

(3)解：如解圖，連接CH,設(shè)8G=x,

第1題解圖

??,瓦)是正方形ABCD的對(duì)角線，

S\=S4ADH=S△CHD，

:?Sz=S四邊形CZ)HG=SACHD+S^CHG=SI~\~SACHG，

..S"HGBGx

*S/^CHGCG4-xf

.(4—x)SABHG

??、4CHG-~，

(4—.X)S/XBHG

??白2=31十",

???四邊形ABC。是正方形，

：.AD//BC,

：.AADHsAGBH,

.SABHGz5G2-X2

??&9=(而)=169

?^2S^AHDA251

??o/\BHG-]6-]6，

?4—xj^S\16+4J;—x2

??.S2=s+丁?記=—Lm,

.S1_16_4

**Si16+4x—x25'

=

解得x2f

:?BG=2.

2.解：(I)...四邊形ABC。是矩形，

ZEAD=ZAZ)C=90°.

,CDGLAC,

：.ZACD+/GDC=ZEDA+ZGDC=90°.

：.ZEDA=ZACD.

：.AEDA^AACD.

.CDAD?8__6

??萬(wàn)汗=瓦，n即乙=靠；

.__9

??2；

(2)如解圖①，設(shè)。右交CT于點(diǎn)H,

???ZADG+ZGAD=ZADG+ZCDH=90°9

:./GAD=/CDH,

???。/平分NACD,

???/ACF=/DCH,

：.ACAF^ACDH,

：.ZCHD=ZAFCf

：.ZFHD=ZDFH,

：.HD=FD,

由題易得AC=yjAD2+CD2=10,

?ACAFAF5

99DC=DH=DF=4f

設(shè)則當(dāng)，

6~x43

DF=^,

.