2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷五（解析版）【藝體生專(zhuān)供】(新高考)

高考全真模擬卷五（新高考卷）

數(shù)學(xué)

考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿(mǎn)分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.已知集合4=卜履+1）（無(wú)一2）<0},1=卜b=，則（）

A.[-1,2）B.[-1,2]C.（-oo,2）D.（-?,2]

【答案】D

【分析】解一元二次方程求集合A,由具體函數(shù)的定義域求集合8,再利用集合的并運(yùn)算求AU3即可.

【詳解】依題意，得4={小1<%<2},B={x\x<2},

AoB-（~oo,2].故選：D.

2

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+；（其中i為虛數(shù)單位），貝（]|z|=（）

A.y/5B.3C.5D.V3

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法與復(fù)數(shù)的模計(jì)算即可.

【詳解】z=l+1=l-2i,.山|=#+（_2）2=石，故選：A

LLUULLL1UUUU

3.在△ABC中，。為重心，。為BC邊上近C點(diǎn)四等分點(diǎn)，DO=mAB+nAC，則："+”=（）

A.-B.—C.-D.—

3333

【答案】B

【分析】連接A。延長(zhǎng)交2C于E點(diǎn)，則E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，連接AD、OD，利用向量平面基本定理表示。。

可得答案.

【詳解】連接A。延長(zhǎng)交8c于E點(diǎn)，則￡點(diǎn)為2c的中點(diǎn)，連接AD、OD,

umiuunuumuunuir21ali3uurum71/Umuum

f^DO=DA+AO=DB+BA+-AE=-CB-AB+-x-^AB+AC

3/Uimuum、uun1(uunuum、1uun5uum

=-[AB-AC\-AB+-\AB+AC\=—AB——AC,

4V/3V/1212

所以m='，〃=__,m+n=-......-=:B.

1212112123

2n2n2n2n2

AA-QB.c.D.

("+1)22〃—12n-l

【答案】A

再利用累乘法即可得見(jiàn)=2（：-W）,進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法

【分析】根據(jù)S”與%的關(guān)系可得^1二小

求和即可.

【詳解】當(dāng)此2時(shí)，S,=￡%

則S“+l=0+1)2%+1,

且$2=2%，即1+。2=4a2,所以a〔=q.

22

兩式作差得S角-S“=5+T)an+l-nan,

即％+1=(〃+1)%,+1-"%,即(〃+2”“+1=以，

〃0n-1/八

所以才=Q，即廣=而(葭2).

5襄?tIJ?<?I1

ian-Xan-2%-1〃-2〃-32_

則an------------------…-a2-------------------T~---=2(-———)e

an_xan_2an_3a2n+\nn-\4+nn+l*

所以S=2(1-----1---------1-----1------------)=2(1--------)=----?故選：A.

0223nn+Yn+1n+l

X

5.從數(shù)字2,3,4,6中隨機(jī)取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為x和y,則一為整數(shù)的概率是（）

【答案】B

【解析】先計(jì)算出從數(shù)字2,3,4,6中隨機(jī)取兩個(gè)不同的數(shù)，共有12種情況，再求出滿(mǎn)足為整數(shù)的情況，即

X

可求出I為整數(shù)的概率.

【詳解】解：從數(shù)字2,3,4,6中隨機(jī)取兩個(gè)不同的數(shù)，

則x有4種選法，，有3種選法，共有4x3=12種情況；

X

則滿(mǎn)足（為整數(shù)的情況如下：

當(dāng)y=2時(shí)，尤=4或久=6有2種情況；當(dāng)k3時(shí)，x=6有1種情況；

當(dāng)丫=4或y=6時(shí)，則土不可能為整數(shù)，故共有2+1=3種情況，故土為整數(shù)的概率是：（=：?故選：B.

yy1，4

6.已知函數(shù)/。）=5M28-2石328+1（0>0）在區(qū)間（1,2萬(wàn)）內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

A.（―,—]B,（0,—]U[—,-）

122412242

C.（0,=）D.（0,2]￡，當(dāng)

2241224

【答案】D

【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的極值點(diǎn)，由此求得3的取值范圍.

【詳解】；函數(shù)〃x)=sin2cox-2^3cos2cox+1(G>0)

=sinIcox-2A/3?1+8s2”*+1=sin2cox-石cos2cox+1-6

2

=2sin(2s-3+1-G在區(qū)間(萬(wàn),2萬(wàn))內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，

/.2k7V--<Icoji--<4CDTT--<2k7i+—

2332

gc7兀/ATC.

或LK71H——<20)71----<4(071-2+丘

23-f-^T'z-

ik5或人*,k11

解得左一勺+±,o)<--\-----,

12224224'

令％=0,可得輸511

故選：D.

_12?24_

7,已知。，瓦?！?0,1),且3+lnQ=a+ln3,e+lnZ?=l+Z?,2+lnc=c+ln2，貝?。?)

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】變形給定的各個(gè)等式，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性比較大小作答.

【詳解】依題意，3+lna=Q+ln3olna—a=ln3—3,InZ?=lne—e,Inc—c=ln2—2,

令〃x）=lnx-x,x>0,求導(dǎo)得：/（無(wú)）=’一1,當(dāng)0<彳<1時(shí)，r（x）>0，當(dāng)x>l時(shí)，［（無(wú)）<0,

因此，函數(shù)/（X）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，內(nèi)）上單調(diào)遞減，

顯然，3>e>2>l,則〃3）<〃e）<"2），又/（“）=”3）"S）=/（e）"（c）=/（2）,

于是得,又“也ce（O,l）,所以"b<c.故選：D

8,《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著.其中卷五記載：“今有芻蕊,下廣三丈，表四丈，

上袤二丈，無(wú)廣，高一丈.問(wèn)積幾何？”問(wèn)題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚wPQ-AS。。,下底面ABCZ）

是矩形，假設(shè)屋脊沒(méi)有歪斜，即出中點(diǎn)R在底面ABC。上的投影為矩形A8C。的中心。，PQ/AB,AB=4,

AD=3,PQ=2,OR=1（長(zhǎng)度單位：丈）.則楔體P0-ABCD的體積為（體積單位：立方丈）（）

A.10B.8C.6D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，把楔體尸。-MCD分成一個(gè)三棱柱和兩個(gè)四棱錐，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，分別過(guò)點(diǎn)尸，。作平面A5CD的垂直平面，則可以把楔體PQ-ABCD分成一個(gè)三棱柱

和兩個(gè)四棱椎.

三棱柱的體積K=gx3xlx2=3（立方丈），

11x4

四棱椎的體積匕=］X^^x2=l(立方丈)，

故楔體PQ~ABCD的體積V=匕+2%=5(立方丈).故選：D.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。)

9.有下列幾個(gè)命題，其中正確的是()

A.函數(shù)y=2無(wú)2+x+1在(0,+⑹上是增函數(shù)

B.函數(shù)V=-^―在(-℃,-1)U(-1,+⑹上是減函數(shù)

X+1

C.函數(shù)y=C+4X-%2的單調(diào)區(qū)間是［-2,+00)

f2x-3,x>0

D.已知函數(shù)gCr)=〈乙、門(mén)是奇函數(shù)，則於)=2x+3

［/(尤),尤<0

【答案】AD

【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，即可容易判斷和

選擇.

171

【詳解】由丫=2*2+*+1=2(》+彳)2+$在［-了,+00)上遞增知，

4o4

函數(shù)y=2x2+x+1在(0,+8)上是增函數(shù)，故A正確；

y=在(-°°,-1),(-1,+℃)上均是減函數(shù)，

X+1

但在(-°o,-1)U(-1,+co)上不是減函數(shù),

如-2<0,但白〈。故B錯(cuò)誤；

y=j5+4x-d在［-2,-1),(5,+8)上無(wú)意義，

從而在［-2,+8)上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

設(shè)x<o，貝!I-x>0,g(-x)=-2x-3,

因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，所以f(x)=g(x)=-g(-x)=2x+3,故D正確.故選：AD.

10.已知點(diǎn)"34面。）（，€用，直線(xiàn)/：X+7妝-4=。，下列結(jié)論正確的是（）

A./恒過(guò)定點(diǎn)（4,0）

B.\OP\=1（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

C.P到直線(xiàn)/的距離有最小值，最小值為3

D.P到直線(xiàn)/的距離有最大值，最大值為5

【答案】ABD

【分析】直接代點(diǎn)可判斷A；利用兩點(diǎn)之間距離公式可判斷B；由點(diǎn)P的軌跡與直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，畫(huà)出圖形后可

判斷C、D.即可得解.

【詳解】直線(xiàn)/：尤+⑺一4=0,當(dāng)y=0時(shí)，尤=4,故A正確；

\OP\=TcoT^+sin7?=1,故B正確；

點(diǎn)尸的軌跡是以（。，0）為圓心，半徑為1的圓，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（4,0），位置如圖：

由圖可知，點(diǎn)尸到直線(xiàn)/的距離最小值為0,

當(dāng)直線(xiàn)與x軸垂直時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離最大，最大值為4,所以尸到直線(xiàn)/的距離有最大值，最大值為5.

故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.

11.我們知道，函數(shù)y=/（x）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)y=/（x）為奇函數(shù)，

有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)＞=/（"的圖像關(guān)于點(diǎn)網(wǎng)。0成中心對(duì)稱(chēng)的充要條件是函數(shù)為

y=/（x+。）-6奇函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若〃x）=2x-3,則加為y=的對(duì)稱(chēng)中心

B.若『（x）=d-3x,貝4y=/[x+|]為偶函數(shù)

c.函數(shù)/'(彳)=三+3/圖像的對(duì)稱(chēng)中心為(-1,2)

D.函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于x="成軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是函數(shù)y=〃x+a)為偶函數(shù)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題目中的定義和函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱(chēng)性特點(diǎn)即可求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:

〃x)=2x-3，&1)為y=/(x)的對(duì)稱(chēng)中心，貝!=為奇函數(shù)，

而y=，x+：)T=2(x+g)-3-l=2x-3，令g(x)=2x-3,

易證g(x)=2x-3不為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

f(x)=x2-3x,y=f^x+^=(x+|)2-3(x+|)=x2,

令g(x)=/-：,易證g(無(wú))=f一；為偶函數(shù)，所以y=/［尤+g］為偶函數(shù).故選項(xiàng)B正確；

函數(shù)若〃同=丁+3/圖像的對(duì)稱(chēng)中心為(一1,2),y="x-l)-2為奇函數(shù)，

令/z(x)=1)-2=(%-1)3+3(%-1)2-2=d—3x?+3、—1+3%2—6x+3-2=d—3%,

FJrlUh(-x)=(-X)3-3(--^)=-X3+3%=-h(x),故選項(xiàng)C正確；

函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于r=a成軸對(duì)稱(chēng)y=〃x+a)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)'尤+。)為偶函數(shù)，

反之亦成立，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.

12.正方體ABC。-48GA的棱長(zhǎng)為2,瓦尸,G分別為BC,CG，84的中點(diǎn).則()

A.直線(xiàn)。Q與直線(xiàn)AF垂直

B.直線(xiàn)AG與平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為5

D.點(diǎn)4和點(diǎn)。到平面AEF的距離相等

【答案】BCD

【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義判斷A,由面面平行的性質(zhì)定理判斷B，作出完整的截面，判斷CD.

【詳解】因?yàn)椤！?/?,而G。與"顯然不垂直，因此。，與AF不垂直，A錯(cuò)；

取4G中點(diǎn)H,連接AHGH,BC-由G,E,尸分別是8穌8C,CG中點(diǎn)，

得HG//BQ〃EF,1^---------*

又HEUBB、11AAi，族=網(wǎng)=M，型必是平行四邊形，所以A〃〃AE,，'例/

AEcEF=E,AE,E「u平面A跖，所以物〃平面AE尸,HG〃平面AEF,/>--'/力（

而A"=H,A",//Gu平面AHG,所以平面A"G〃平面皿，|/（

又AGu平面A"G,所以AG//平面AER.B正確；

由正方體性質(zhì)，連接,則截面的即為四邊形的皿，它是等腰梯形，

AD、=2垃,EF=&.,D,F=AE=加，等腰梯形的高為h=（后一］拽二2］=述，

V12）2

截面面積為S=gx（a+20）x乎=g,C正確，

222

設(shè)ADCA2=。，易知。是4。的中點(diǎn)，所以?xún)牲c(diǎn)到平面AE皿的距離相等.D正確.故選：BCD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分）

13.［龍一］的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x項(xiàng)的系數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）

【答案】-560

【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令X的指數(shù)等于1,求出，的值，即可求得展開(kāi)式中X項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】［6-5；的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為

s_53r

r

Tr+l=q(6廠(chǎng)(*y=G(-i),

:￥=1nr=1,展開(kāi)式i項(xiàng)的系數(shù)為CX-1)'=-5.故答案為：5

8r-1

14.已知函數(shù)/(%)=ln(x-1)——-,則函數(shù)/⑺的圖象在x=2處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.

x+1

【答案】k-5

1Q

【分析】函數(shù)求導(dǎo)，/'(刈二二一江口了，計(jì)算人=廣⑵，點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線(xiàn)方程.

19

【詳解】尸⑴=口一串鏟，左=1⑵=°，點(diǎn)⑵一9

點(diǎn)斜式方程V-%=八％)(尤無(wú)。)寫(xiě)出切線(xiàn)方程：V+5=0?(x2)

y=-5故答案為：y=-5

15.過(guò)定點(diǎn)A的直線(xiàn)/：ox+y-2a+4=0與圓G：x?+y2=4交于B,C兩點(diǎn)，點(diǎn)2恰好為AC的中點(diǎn)，寫(xiě)出

滿(mǎn)足條件的一條直線(xiàn)的方程______.

【答案】x+y+2=0或7x+y-10=0

【分析】根據(jù)直線(xiàn)方程，求得其定點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，表示出兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)方程求得坐標(biāo)，

結(jié)合直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，可得答案.

【詳解】由直線(xiàn)/：依+>-2a+4=0，整理可得(x-2)a+y+4=0當(dāng)x=2時(shí)尸Y敵直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)A(2,f,

設(shè)c(%,%)，則《合

由氏。在圓C：Y+y2=4，則+4丫=.，整理可得%-2%+2=0,

22

_6

聯(lián)立可得F+n，消去吃可得：5乂_8翊=0,解得。5

區(qū)-2%+2=0[%=。=8

5

當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),由兩點(diǎn)式方程，可得胃=耳耳，整理可得x+〉+2=0,

Z+2-4—U

68

(68、龍—y—

當(dāng)點(diǎn)c的坐標(biāo)為WW,由兩點(diǎn)式方程，可得—,整理可得7x+y-10=0,

55

故答案為：x+y+2=0或7x+y-10=0

16.已知拋物線(xiàn)E：y2=4尤的焦點(diǎn)為RM為￡上一點(diǎn)，以線(xiàn)段M尸為直徑的圓C與E交于另外一點(diǎn)MC為

圓心，。為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)MV//OC時(shí)，ON的長(zhǎng)為點(diǎn)c到y(tǒng)軸的距離為,

【答案】?1

【分析】易知焦點(diǎn)產(chǎn)(1，。)，根據(jù)M，N在拋物線(xiàn)上設(shè)出坐標(biāo)，易知圓心C為的中點(diǎn)即可求出C』=之?

由MV//OC利用斜率相等可得“%=4,再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90可得產(chǎn)，即OCJ_N尸，利用

向量數(shù)量積為0可得才-短+16=0，聯(lián)立及可解得短=8+4若，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得。叫=1,點(diǎn)C

到＞軸的距離為其橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于社@.

2

【詳解】由題意知M，N在拋物線(xiàn)上，設(shè)岑,y],N[岑,,如下圖所示：

拋物線(xiàn)焦點(diǎn)勺,。)，圓心c為M尸的中點(diǎn)，所以4《上三

A

由MN//OC可得上MN=koc,即”22=，

x%y+一

448

44y.

整理可得二I="'即'=4；

又因?yàn)镸F為直徑，且點(diǎn)N在圓C上，所以MN工NF,

又因?yàn)镸7V//OC,所以O(shè)C_LNF,可得。C.WV=O,

城+4

又。c=A,FN=y^Iy

8'24'%

gp2V±lx）Vzf+2i2i=0,整理得出2一%2+16=0,

842

聯(lián)立％%=4可得短-16靖-16=0，解得寸=8+4號(hào)或臂=8-4君<0（舍）

所以五一2一，

所以4靖8+4君2+61

+=3-4?+4（召-2）=1；

v2+4S+4、/?+43+x/s

點(diǎn)c到y(tǒng)軸的距離為c點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，即=—2—=—

ooZ

故答案為：1,三笠

2

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中第17題10分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)

17.數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和記為S“，％=9,。用=25“+9,〃eN*,4=1,bn+l-bn=log3an.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

-111c

(2)求證：對(duì)〃eN，總有L丁+7++7-<2.

U\U2Un

【答案】(1)(=3""eN,(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)通過(guò)“用=2S"+9可知，可采用作差法求解｛%｝,但需驗(yàn)證〃=1時(shí)是否成立，再求出通項(xiàng)即可

+1

(2)通過(guò)(1)中求出的%=3向,"eN*,可得%-d=log33"=n+l,符合累加法基本類(lèi)型，用累加法

111c1

求解％因?yàn)橐C明Lt,-+++7<2效求得的索應(yīng)能夠進(jìn)行通項(xiàng)求和或是滿(mǎn)足裂項(xiàng)求和基本形式，

U\rU2Unun

再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可

【詳解】解：(1)由%=25“+9(?..1).可得??=2sl+9(n..2),

兩式相減得an+l~an~，?=an+\=3%,

又出=2sl+9=27,a2=3%.

故｛叫是首項(xiàng)為9,公比為3的等比數(shù)列，.?.%=3向,〃eN*

(2)么=1嗚3向=〃+1

當(dāng)w..2時(shí)，6“=(6”一6,T)+(6,T-4_2)++(包-4)+4=〃++(2-1)+]=Q+：)"

_<Mr?人■7(1+〃)〃_*

又〃=1符合上式，2=--一,neNT.

???一二------，幾wN*

bnn(n+1)

111“11111、c”1、

Hill----1----FH----2(1------1------FH---------)—2(1--------)

J

bxb2bn223nn+1n+1

.nd一W)<2,2Q一=l

1?-+—++—<2

瓦b2b.

18.在ABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.從①②③中選取兩個(gè)作為條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題

中，并解答.①cosA=；;②.ABC的面積是華1;③c=3.

問(wèn)題：已知角A為鈍角，6=5,

⑴求ABC外接圓的面積；

(2)4。為角A的平分線(xiàn)，。在2C上，求的長(zhǎng).

【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，f(2)AD=|

o42

【分析】⑴選①②：由cosA=-［求得如4=叁，再結(jié)合三角形面積公式可求得。=3,利用余弦定理

求得。，再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而可解；

選①③：利用余弦定理求得。，再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而可解；

選②③：利用三角形面積公式可求得sinA=羋I,再求得cosA=-與，利用余弦定理求得a,再利用正弦

定理求得外接圓的半徑，從而可解.

⑵設(shè)A=2。，則有sit?”匕丁，求得sine=",再利用等面積法可求.

乙3

【詳解】（1）選①②，

cosA=,...sinA=J1-cos?A=,

ABC--Z>csinA,即69=庖x5xc，得。=3,

又QS^

17272

由余弦定理,^?2=&2+c2-2Z?ccosA=25+9+2x5x3x—=—,

由正弦定理，得（22總二曹，

所以，ABC外接圓的面積為耳答.

o4

17

選①③，因?yàn)閏osA=-石，c=3.

17272

所以由余弦定理，得Q2=〃+/-2/7ccosA=25+9+2x5x3x-=—^―,

由正弦定理，得（2小總=等，心鬻,

所以，ABC外接圓的面積為二等.

選②③，

67211,4721.斗，f0.17

S=-x5x3oxsinA3,sinA=,A為鈍角，伯cosA=-；^,

3//DZD

17972

由余弦定理,=^+c2-2Z?ccosA=25+9+2x5x3x—=—,

由正弦定理,得（2R）=S=等，心翳，所以，MC外接圓的面積為答.

（2）由AD為角A的平分線(xiàn)，設(shè)A=2a,?efo,|

1-cosA21

則有sin2a=—,sinot=----

2255

由ABC的面積器_=—xbxADxsina+—xcxADxsino,

522

即噌=1x5xAOx曰+(x3xAOx與，解得.故AD的長(zhǎng)為:.

19.為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)）,收集數(shù)據(jù)如下：

天數(shù)X123456

繁殖個(gè)數(shù)y612254995190

⑴在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)了變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷＞=以+&（為常數(shù)）與尸金產(chǎn)

（AC為常數(shù)，且A＞。心*。）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)，關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷

即可，不必說(shuō)明理由）

（2）對(duì)于非線(xiàn)性回歸方程9=（ac為常數(shù),且6＞0,。2*0），令z=lny,可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z

關(guān)于天數(shù)x具有線(xiàn)性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

6

￡(x,-可2

Xyz^(x,.-x)(z,.-F)

1=1?=1Z=1

3.5062.833.5317.50596.5712.09

（i）證明：“對(duì)于非線(xiàn)性回歸方程/,令z=lny,可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線(xiàn)性

關(guān)系（即0=歷+蜃反&為常數(shù)）”；

（五）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（如匕），（%，％），，（",,加"）,其回歸直線(xiàn)方程。=加+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

f（"L區(qū)）（匕一少）

為8-------------,a=v-pu.

f（%一才

Z=1

【答案】⑴選擇F=。眈為回歸方程較宜出（i）證明見(jiàn)解析；（ii）Re…2

【分析】⑴根據(jù)散點(diǎn)圖趨勢(shì)選擇；⑵將非線(xiàn)性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸方程模型，結(jié)合所給數(shù)據(jù)求解.

【詳解】（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示.

X

由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線(xiàn)y=。聲”的周?chē)?/p>

故選擇$=￥&、為回歸方程較宜.

C1X

(2)(i)證明：由已知：令Z=lny,則z=lny=ln(qe。")=Inq+Ine=Inq+c2x,

貝（j6Z=lnG,ft=c2,gpz=（3x+a.所以繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)二關(guān)于天數(shù)l具有線(xiàn)性關(guān)系.

（ii）由（i）知繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)，關(guān)于天數(shù)x可以用線(xiàn)性回歸方程來(lái)擬合.由表中數(shù)據(jù)可得，

6

P=----------------=—^?0.69

Zaf17.5

i=l

a=z-^=3.53-0.69x3.5~1.12,

得到z關(guān)于I的線(xiàn)性回歸方程為z=0.69%+1.12,又z=lny,

因此細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)）關(guān)于天數(shù)X的非線(xiàn)性回歸方程為夕=e,O.69x+1.12

20.如圖，A8是半球的直徑，。為球心，AB=2,C為半大圓弧的中點(diǎn)，尸為同一半大圓弧上的任意一點(diǎn)

（異于A,3,C）,P在水平大圓面AOB內(nèi)的射影為。，過(guò)。作QR，AB于R,連接PR,OP.

⑴若c,尸為不同的兩點(diǎn)，求證：OC//PR;

jr

⑵若半大圓面ACB與水平大圓面夾角大小為§,求三棱錐尸-。。氏體積的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（。，］

I36」

【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直可證AB上PR,從而可得。。/依.

（2）由（1）可得4RQ為半大圓面ACB與水平大圓面夾角的平面角，設(shè)/B0P=6,根據(jù)體積公式

V=^-（cos^-cos30）,利用換元法和導(dǎo)數(shù)可求其取值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)镻Q垂直于水平大圓面AOB,而ABu平面A03，所以尸QSA5,

因?yàn)镼R_LAB,PQQR=Q,PQ,QRu平面PQR,所以平面PQR,

而尸Ru平面PQR，所以3PR,

因?yàn)镃為半大圓弧的中點(diǎn)，所以ABLOC,

因?yàn)镃,P為不同的兩點(diǎn)，且AB,OC,PR在同一個(gè)平面內(nèi)，

所以O(shè)C//PR.

(2)^AB±PR,AB_LRQ得，

IT

/依。為半大圓面ACB與水平大圓面夾角的平面角，所以/PRQ=§,

設(shè)NBOP=e,由于對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè),

因?yàn)锳B=2,所以8=1,

所以PR=sin6,OR=cos6,RQ=PRcos^=*,PQ=PRsin-=^Sm3,

3232

所以三棱錐尸-。QR體積為：

V=1~O/?J?2.Pe=^sin26?cos<9=^(cos6?-cos36?),

設(shè)r=cosee(0,l),所以v=*(j3),

令V'=W(1-3/)=。，得f=￥，

當(dāng)o<r<3時(shí)，，■▽>()?；當(dāng)￡r<i時(shí)，r<o,

33

所以V=3)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),

故當(dāng)7=3時(shí)，V取得最大值為￡,而叭0)=^1)=。，

所以三棱錐P-O0R體積的取值范圍為Io，A-

I36」

21.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過(guò)點(diǎn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線(xiàn)"質(zhì)+〃?與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求4A03面積的最大值.

【答案】(1)=+丁=1；(2)g.

22

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)點(diǎn)在曲線(xiàn)上，將點(diǎn)代入曲線(xiàn)可得到方程；(2)聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓得到二次方程,

根據(jù)弦