中考數(shù)學一輪復習第二講圖形的對稱與折疊（解析版）

模塊七圖形與變換

第二講圖形的對稱與折疊

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1:軸對稱與軸對稱圖形

1.軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱圖形軸對稱

如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠

旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖

定義做__________________,這條直線就是它形_____________________________，這條直

的____________o這時，我們也說這個圖形線叫做___________,折疊后重合的點是對應

關(guān)于這條直線對稱。點，叫做__________o

A__A'

Ac

圖示-A

B[DC

B

(1)AB=_________(1)AB=____________

BD=___________AC=____________

對應線

(2)如果對應線段或其延長線相交，那么交BC二________

段相等

點在對稱軸上。(2)如果兩個圖形的對應線段或其延長線相

交，那么交點在對稱軸上。

NB=____________ZA=______________

對應角

ZBAD=______________NB=______________

相等

性ZADB=______________ZC=______________

質(zhì)對應圖△ABD0______________△ABC絲________

形全等

(1)點A與點_____(1)點A與點_____

點B與點_____點B與點_____

對應點點D與點_____點C與點_____

(2)非重合對應點的連線被對稱軸垂直平(2)非重合對應點的連線被對稱軸垂直平分。

分。

(1)軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖(1)軸對稱是指兩個全等圖形之間的位置關(guān)

區(qū)別形.系.

(2)對稱軸不一定只有一條(2)對稱軸只有一條.

把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形.把一個軸對稱圖形沿對稱軸

聯(lián)系分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱.

2.常見的軸對稱圖形及其對稱軸

圖形對稱軸數(shù)量對稱軸

角______條角平分線所在的直線

等腰三角形______條頂角平分線所在的直線（或底邊上

的高所在的直線或底邊上的中線

所在的直線）

等邊三角形______條三個內(nèi)角平分線所在的直線（或任

一條邊上的高或中線所在的直線）

矩形______條相鄰兩邊的垂直平分線

正方形______條相鄰兩邊的垂直平分線和對角線

所在的直線

正n邊形（n為正整數(shù)）______條奇數(shù)邊：一個頂點和該頂點所對的

邊的中點所在的直線即為對稱軸；

偶數(shù)邊：一條邊的中點與圖形中心

所在的直線或一個頂點與圖形中

心所在的直線是對稱軸.

圓______條任何一條直徑所在的直線

3.作軸對稱圖形的一般步驟

⑴找:在原圖形上找關(guān)鍵點（如線段的端點、線與線的交點等）；

⑵作：作各個關(guān)鍵點關(guān)于已知直線（對稱軸）的對稱點；

⑶連:按原圖形依次連接各關(guān)鍵點的對稱點.

知識點2:折疊的性質(zhì)

（1）位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕成軸對稱；

（2）折疊前后的兩部分圖形全等，對應邊、對應角、對應線段、周長、面積等均相等;

（3）折疊前后，非重合對應點的連線均被折痕所在直線垂直平分。

直擊中考勝券在握

1.（2023?陜西中考）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）

A.

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形的概念可直接進行排除選項.

【詳解】

解：A、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

B、是軸對稱圖形，故符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

故選B.

【點睛】

本題主要考查軸對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?宿遷中考）對稱美是美的一種重要形式，它能給與人們一種圓滿、協(xié)調(diào)和平的美感，下列圖形屬

于中心對稱圖形的是（）

人標g0

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)中心對稱圖形的定義即可作出判斷

【詳解】

解：A、是中心對稱圖形，故選項正確;

2、不是中心對稱圖形，故選項錯誤；

C、不是中心對稱圖形，故選項錯誤；

。、不是中心對稱圖形，故選項錯誤.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

3.（2023?廣西梧州中考）下列圖形中,.既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形以及中心對稱圖形的定義即可作出判斷.

【詳解】

解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項錯誤；

2、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項錯誤；

是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故選項正確.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?湖南省益陽中考）以下有關(guān)勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是（

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)中心對稱圖形的定義即可得.

【詳解】

A、不是中心對稱圖形，此項符合題意;

B、是中心對稱圖形，此項不符題意；

C、是中心對稱圖形，此項不符題意；

D、是中心對稱圖形，此項不符題意；

故選：A.

【點睛】

本題考查了中心對稱圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵.

5.（2023-自貢中考）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是（)

A?BC?JD0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用軸對稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】

解：A是軸對稱圖形，對稱軸有1條；

B不是軸對稱圖形；

C不是軸對稱圖形；

D是軸對稱圖形，對稱軸有2條；

故選：D.

【點睛】

本題考查識別軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?山西中考）為推動世界冰雪運動的發(fā)展，我國將于2022年舉辦北京冬奧會.在此之前進行了冬

奧會會標的征集活動，以下是部分參選作品，其文字上方的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念可直接進行排除選項.

【詳解】

解：A、文字上方的圖案既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故不符合題意;

B、文字上方的圖案既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故符合題意；

C、文字上方的圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故不符合題意；

D、文字上方的圖案既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；

故選B.

【點睛】

本題主要考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)

鍵.

7.（2023?涼山州中考）如圖，ABC中，NAC3=90。,AC=8,8C=6,將，ADE1沿OE翻折，使點A與點

8重合，則CE的長為（）

【答案】D

【解析】

【分析】

先在RZABC中利用勾股定理計算出AB=10,再利用折疊的性質(zhì)得到AD=BD=5,設則

CE=AC-AE=8-x,BE=x,在R/MCE中根據(jù)勾股定理可得到N=62+（8-x）2,解得x,可得CE.

【詳解】

解：E0ACB=9O°,AC=8,BC=6,

<3AB^y/AC2+BC2=10,

SHADE沿DE翻折，使點A與點8重合，

SAE=BE,AD=BD=^AB=5,

設AE=x,則CE=AC-AE=8-x,BE=x,

在Rl^BCE中

0BE2=BC2+CE2,

25

[?lx2=62+(8-x)2,解得——,

4

團山-”上

44

故選：D.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對應角相等，對應邊相等.也考查了勾股定理.

8.（2023?嘉興中考）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部

分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（

A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

此題是有關(guān)剪紙的問題，此類問題應親自動手折一折，剪一剪.

【詳解】

解：由題可知，平分44C,折疊后△AEO與Y4ro重合，故全等，所以EO=OQ

又作了AO的垂直平分線，即EO垂直平分A。，所以40=00,且EO0AD；

由平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以為平行四邊形;

又AQ0E凡所以平行四邊形A皮甲為菱形.

故選：D.

【點睛】

本題主要考察學生對于立體圖形與平面展開圖形之間的轉(zhuǎn)換能力，與課程標準中"能以實物的形狀想象出幾

何圖形，有幾何圖形想象出實物的圖形"的要求相一致，充分體現(xiàn)了實踐操作性原則.

9.（2023?廣西北部灣經(jīng)濟開發(fā)區(qū)中考）如圖，矩形紙片ABCD,AD:AB=y/2A,點E,尸分別在AD,

3c上，把紙片如圖沿跖折疊，點A,B的對應點分別為H,B',連接A4'并延長交線段。于點G,則與

AG

的值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊性質(zhì)則可得出EF是A4'的垂直平分線，則由直角三角形性質(zhì)及矩形性質(zhì)可得BFHE

=SD=90。，根據(jù)相似三角形判定推出SE加回G4D,再利用矩形判定及性質(zhì)證得切=AB,即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：如圖，過點尸作尸網(wǎng)。于點H,

EIE4=E4',FB=FB，

團所是AA'的垂直平分線.

回財0氏90°.

團四邊形ABCD是矩形，

釀入4。=回3=回。=90°.

釀OAE+0AEO=團。AE+MGO,

^1AEO=^AGD.

^FH^\AD,

回航7遷；=回。=90°.

^\EFHWGAD.

「EFFH

團--=---.

AGAD

^1AHF=^BAD=團5=90°,

回四邊形ABFW是矩形.

SFH=AB.

cEFFHAB172

團===—7==；

AGADAD.J22

故選：A.

【點睛】

本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)、矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?通遼中考）如圖，已知AW/3C,AB1BC,鉆=3,點E為射線2C上一個動點，連接AE,

將△/WE沿AE折疊，點B落在點8'處，過點8,作A。的垂線，分別交AD,3C于M,N兩點，當B'為線

段MN的三等分點時，BE的長為（）

A.—B.—y/2C.—或一D.—A/^或—

222225

【答案】D

【解析】

【分析】

因為點B為線段MN的三等分點，沒有指明線段的占比情況，所以需要分兩種情況討論：①

12

B'M=-MN；②B'M=-MN.然后由一線三垂直模型可證AMB,HE,再根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)求得EN的值，最后由BE=BN-EN即可求得跳;的長.

【詳解】

當點Q為線段的三等分點時，需要分兩種情況討論：

①如圖1,當時,

0ADHBC,AB1BC,MN1BC,

回四邊形為矩形，

HB'M=-MN=^AB=l,B'N=-MN=-AB=2,BN=AM.

3333

由折疊的性質(zhì)可得A'3=AB=3,ZAB'E^ZABC=90°.

在mAB'M中，AM=y/AB2-3B'M2=732-l2=2^2-

0ZAB'M+ZAi4fi'=9O°,ZAB'M+NEB'N=90。,

BZEB'N=ZMAB',

0B'NE?4AMB',

ENB,NEN_2即/日及

團----=----,即an—-=—7=，解得EN=—，

B'MAM12V22

^BE=BN-EN=2y/2--=^~.

22

2

②如圖2,當時，

回AD回BC,AB±BCfMN1BC,

團四邊形ABNM為矩形，

^\B'M=—MN=—AB=2,B'N=—MN=—AB=1,BN=AM.

3333

由折疊的性質(zhì)可得AB'=AB=3,ZAB'E=ZABC=9Q°.

在W.AB'M中，AM=dAB，2—B，M27學-于=6.

團NAB'A/+NM45'=90。，/AB，M+/EB'N=9伊,

⑦NEB'N=NMAB',

團B'NE^^AMB',

ENB,NEN1解得硒=孚

團-----=-----，BnPn=~/=

B'MAM2y]5

BBE=BN-EN=y/5-^-=^~.

55

綜上所述，班的長為述或35.

25

故選：D.

【點睛】

本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，由9為線段MN的三等分點，分兩種情況

討論線段3M的占比情況，以及利用K型相似進行相關(guān)計算是解決此題的關(guān)鍵.

11.如圖，等邊一ABC的邊長為4,AD是BC邊上的高，點￡是45邊的中點，點廠是AD上的動點，則線

段EF+Cb的最小值為

【答案】2上

【解析】

【分析】

連接CE,與4。交于點F,當點P與尸重合時，EF+CF=EF'+CF'=CE,此時a+CF最小，最小值

為CE的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正弦的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

如圖，連接CE,與AD交于點尸，當點P與F重合時，EF+CF=EF'+CF'=CE,此時EF+CF最小，

最小值為CE的長.

ABC為等邊三角形，邊長為4,點E是A3邊的中點，

:.CE±AB,

.?.4=60°,

.?.CE=BC-sin60°=2V3,

即EF+CF的最小值為2白.

故答案為：26.

【點睛】

本題考查了三角形的動點問題，掌握等邊三角形的性質(zhì)和正弦的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2023?海南中考)如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,將此矩形折疊，使點C與點A重合，點。

落在點￡>’處，折痕為￡F,則AD'的長為,DD'的長為.

14

【答案】6y

【解析】

【分析】

725

由折疊得，AD'=CD=6,DF=DF，設。F=x,則AF=8-x,D'F=x,由勾股定理得。尸=一，AF=—,

44

過作過。作。MUAD于根據(jù)面積法可得。歸=!|,OM=||,再由勾股定理求出

AM=1號92，根據(jù)線段的和差求出DM=4右?，最后由勾股定理求出14

25255

【詳解】

解：回四邊形是矩形，

團CD=AB=6,

由折疊得，AD'=CD=6,DF=DF

設。F=x,則AF=8-x,D'F=x

又ZAD'F=ZADC

在放AD'戶中，AF2=AD'2+D'F--HP(8-x)2=62+x2

77

解得，x=—,gpDF=-

44

7?5

團Ab=8=—

44

過Z)必乍?！?，詼，過。作。A?AD于

0S.An,F=-AFD'H=-AD'D'F

AADF22

2574?

團一xD'"=6x—,解得，D'H=—

4425

團5MB0,=1AD.D^=1AD'.DM

08x—=6DM,解得，DM=—

2525

0AM=4AD2-DM2=卜4-(||)2=1

19242

回。=A0'=--------6=—

2525

DDf=^DrM2+DM2=J(—)2+(—)=—;

V25255

,14

故答案為：6；—.

【點睛】

此題主要考查了矩形的折疊問題，勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形運用勾股定理是解答

此題的關(guān)鍵.

13.如圖，在菱形ABCDA8co中，AB=6AB=6,HABC=60°ZABC=60°,ACAC與BD8。交于點。，點N在

2

AC上且AN=2,點”在2C上且8M=13C,尸為對角線3D上一點，則PM-PN的最大值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

作以3。為對稱軸作N的對稱點N',連接PN',MN',依據(jù)PM—PN=PM-PN；,MN，,可得當尸，M,

N'三點共線時，取再根據(jù)加加為等邊三角形，即可得到CN=W=2.

【詳解】

解：如圖所示，作以8。為對稱軸作N的對稱點N',連接PN',MN',

根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN=PN,

?PM—PN=PM—PN；MN',

當尸，M,N'三點共線時，取"="，

團在菱形ABC?中，AB=6,ZABC=60°,

團AC=6,

團。為AC中點，

團AO=OC=3,

團4V=2,

團QN=1,

團ON'=1,CN'=2,

團W=4,

22

?BMBM=-BC=—x6=4,

33

^\CM=AB-BM=6-4=2,

!?|CM——,CN—'—,_1

BM~AN'~1'

SPM//AB//CD,NCMN'="。,

SZN'CM=60°,

回△N'CM為等邊三角形，

0cM=MN'=2,

即尸M-PN的最大值為2,

故答案為：2.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及線段差的最值問題，凡是涉及線段差（和）的最值問題，一般要考慮三角

形的三邊關(guān)系，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.

14.（2023?河南中考）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在RtA4BC中，NACB=90。，=30。,

AC=1.第一步，在A2邊上找一點。，將紙片沿折疊，點A落在A，處，如圖2,第二步，將紙片沿Q4'

折疊，點。落在以處，如圖3.當點以恰好在原直角三角形紙片的邊上時，線段AD的長為

【解析】

【分析】

因為點以恰好在原直角三角形紙片的邊上，所以分為當然落在邊上和3c邊上兩種情況分析，勾股定理

求解即可.

【詳解】

解:當M落在邊上時，如圖（1）：

設。。交AB于點E,

由折疊知：NE4'r>=NA=60。，

AD=AD=ND,DD±AE,AC=AC

ZACB=90°,ZB=30°,AC=1

AB=2,BC=C

設AD=x,則在用A￡D中，A'E^-x

2

在RfECB中，EC=-BC=—

22

AC=AC

1

—x+=1

22

即％=2-5

B

當小落在BC邊上時，如圖（2）

因為折疊，ZACD=ZACD=ZA'CD'=30°,

A'D'=|A'C=1A'B,A!C=A!AC=\

:.AD=A'D'=~.

2

陽（2）

故答案為：；或2-指

【點睛】

本題考查了軸對稱變換，勾股定理，直角三角形中30。的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

15.（2023?湖南省常德中考）如圖1,已知四邊形A8CO是正方形，將△/ME,DCF分別沿DE,。尸向

內(nèi)折疊得到圖2,此時與。C重合（A、C都落在G點），若GP=4,EG=6,則。G的長為.

【答案】12

【解析】

【分析】

設正方形ABCD的邊長為X,由翻折及已知線段的長,可用含x的式子分別表示出BE、BF及EF的長;在咫△BEF

中，由勾股定理得關(guān)于x的方程，解得x的值，即為DG的長.

【詳解】

設正方形ABCD的邊長為x,則AB=8C=OC=ZM=x,ZB=90°

由翻折的性質(zhì)得：DG=DA=DC=x,AE=EG,CF=GF

SGF=4,EG=6

0AE=6,CF=4,EF=GF+EG=10

SBE^AB-AE=x-6,BF=BC-CF=x—4

如圖，在RtABEF中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2

BP（x-6）2+（%-4）2=102

整理得：f一lOx—24=0,即（無一12）（尤+2）=。

解得x=12或x=-2（不符題意，舍去）

則DG=12

故答案為：12.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.（2023?成都中考）如圖，在矩形A3CD中，AB=4,AD=8,點E,尸分別在邊上，且AE=3,

按以下步驟操作：第一步，沿直線所翻折，點A的對應點4恰好落在對角線AC上，點B的對應點為方，

則線段8尸的長為；第二步，分別在ERA前'上取點N,沿直線肱V繼續(xù)翻折，使點尸與點E重

合，則線段的長為.

ED

B'

【答案】175

【解析】

【分析】

第一步：設所與44'交于點。，連接A凡易證明她OESADC,利用對應邊成比例可得到。4=2OE,由勾

aR

股定理可求出0E=4,從而求得0A及0C；由AASBC,易得SAOElfflCOG由對應邊成比例可得AE、

5

FC的關(guān)系式，設BF=x,則BC=8-x,由關(guān)系式可求得尤的值；

第二步：連接NE,NF,根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE,設B，N=m,分別在RZ0NB'尸和R/0EA'N中，利用

勾股定理及N4NE建立方程，可求得優(yōu),最后得出結(jié)果.

【詳解】

如圖所示，連接AR

A￡D

設所與44支于點0,由折疊的性質(zhì)得到44回ERA'E=AE=3

團四邊形ABC。是矩形

團財。090°,CD=AB=4,AD^BC

團團AOE二團AOC,團OAE二團D4C

mAOE團ADC,

OECD1

團=——,

OAAD2

團0A=20E,

在直角0AOE中，由勾股定理得：OE2+4OE2=9,

回。氐垣，

5

團0A二述，

5

在用胡。。中，由勾股定理得到：AC=742+82=4A/5，

回0C=4石-述二電L

55

令BF=x,貝lj尸。=8-x,

[MD0BC,

團財?！?團COR

OAAE3

回---=---=一,

OCFC7

即7AE=3FC

[33(8-x)=7x3

解得：x=l,

回郎的長為1.

連接NE,NF,如圖，

根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B'F=1,MW3￡F,NF=NE,

設B'N=ni,

貝|JN/2=F+信=底=32+(4-附2,

解得：m=3,則NF=質(zhì)，

0EF=722+42=2^/5，

0MF=5

^\MN=y[5，

故答案為：1,y/5.

【點睛】

本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，熟練運用這些知

識是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運用.

17.(2023?長春中考)實踐與探究

操作一：如圖①，已知正方形紙片ABC。，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABC。

的內(nèi)部，點8的對應點為點折痕為AE,再將紙片沿過點A的直線折疊，使AO與AM重合，折痕為AF,

則ZEAF=度.

操作二：如圖②，將正方形紙片沿歷繼續(xù)折疊，點C的對應點為點N.我們發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，

點N的位置也不同.當點E在邊的某一位置時，點N恰好落在折痕AE上，則度.

在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

(1)設AM與的交點為點P求證AANPHENE：.

(2)若