2024高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：均值不等式及不等式綜合（含答案）

2024高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)均值不等式及不等式綜合含答

案

構(gòu)值系等式及系等蟻稼合

題型一:公式直接用

題型二:公式成立條件

題型三:對(duì)勾型湊配

題型四：“1”的代換:基礎(chǔ)代換型

題型五:“1”的代換:有和有積無常數(shù)型

題型六:“1”的代換:有和有積有常數(shù)型

題型七:分母構(gòu)造型：分母和定無條件型

題型八:分母構(gòu)造型:分離型型

題型九:分母構(gòu)造型:一個(gè)分母構(gòu)造型

題型十：分母構(gòu)造型:兩個(gè)分母構(gòu)造型

題型十一:分離常數(shù)構(gòu)造型

題型十二:換元構(gòu)造型

題型十三:分母拆解湊配型

題型十四：萬能“K”型

題型十五:均值不等式應(yīng)用比大小

題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型

題型十七:因式分解型

題型十八:三元型不等式

題型一:公式直接用

二（22—23高三?北京?階段練習(xí)）若a>6>0,且a+b=l,則在下列四個(gè)選項(xiàng)中，最大的是（）

B.a^+b2D.2ab

2（22—23高三?全國?課后作業(yè)）若a>0,6>0,則下列不等式中不成立的是（）

A.a2+fe2^2abB.a+b>2Va6C.a2+b?>—(a+b)2D.---F—<C------—(aWb)

3（22—23高一下?黑龍江佳木斯?開學(xué)考試）設(shè)力>0,g>0,且g/=9,則c+g的最小值為（）

A.18B.9C.6D.3???

題目4(23—24高一下.河南.開學(xué)考試)設(shè)a>l,b<0,則()

A.>2B.a+b>abC.ab<-1D.bVab

ab

題目E（2024?重慶?模擬預(yù)測）設(shè)為,g>0且力+2g=1,則log2J：+log22?/的最大值為

題型二:公式成立條件

題目（23-24高三.遼寧本溪?開學(xué)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是

X_x_

A.y^x+—B.g=62+e2

X

X2+3

C.y=sini+—r—fo<x<D.n=

smx'f)Va；2+2

a+b

題目（23-24高三?安徽六安?開學(xué)考試）設(shè)a>0,b>0,則>6”是“<^>6”的

r2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題目I（23-24高三.西藏林芝?期中）下列命題中正確的是（

A.若a>0,b>0,且a+b=16,則ab464

B.若aW0,則a+>2yla?二4

C.若a,beR,則ab>

D.對(duì)任意a,bGR,ciA-b1^2a+b>2Vab均成立.

題目（多選）（23—24高三?四川眉山?期中）下列結(jié)論正確的是)

A.若力V0,則力+--4—2B.若力GR,則《+2》2

x川+1

C.若力eR且力W0,則卜D.若Q>1,則(1+廿(1+!)>6

題目E（多選）（23-24高三.重慶南岸?期中）下列說法正確的是（)

A.函數(shù)9=c+2（,<0）的最大值是一4B.函數(shù)9=畢絲的最小值是2

x川+9

C.函數(shù)夕——（a:>-2）的最小值是6D.若;c+v=4,則/+才的最小值是8

x+2

題目（多選）（23-24高三.貴州貴陽?階段練習(xí)）下列命題中正確的是（)

A.當(dāng)時(shí)，帥《紅手

B.若：r>0,則函數(shù)/（,）=x2+—的最小值等于4府

X

C.若2，+2,=1,則立+沙的取值范圍是（一00,—2]

D.V（3-a）（a+6）（-6<a<3）的最大值是今

題型三:對(duì)勾型湊配

題目（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（乃=3—2—2,則當(dāng)，<0時(shí)，于⑸有

X

A.最大值3+22B.最小值3+22C.最大值3—2其D.最小值3—22

題目2（23—24高三?陜西西安?階段練習(xí)）函數(shù)沙=/+-—（">5）的最小值為（）

x—5

A.2B.5C.6D.7

題目3（21-22高二上?陜西咸陽?期中）已知函數(shù)/㈤=4c—2+的定義域?yàn)椋ㄒ粊y言），則/⑸的

4/-5'47

最大值為（）

A.5B.-5C.1D.-1

2

題目4（23-24高三?吉林?階段練習(xí)）已知3,則沙+2力的最小值是)

力一3

A.6B.8C.10D.12

1

題目g（23—24高三?廣東佛山?模擬）函數(shù)〃力）=力+,X>1的最小值為（）

x—1

A.1B.2C.3D.5

題型四：“1”的代換:基礎(chǔ)代換型

題目1（2022高三上.全國.專題練習(xí)）若a,6CR,帥>0且a+b=2,則工+g的最小值為（）

ab

A.2B.3C.4D.5

題目2（23—24高三.貴州黔南?階段練習(xí)）己知心V>0且，+旬=1,則工+工的最小值為（）

xy

A.4V2B.8C.9D.10

題目3（23—24高三.河南南陽.階段練習(xí)）若a>0,b>0,a+3b=l,則的工+與最小值是（）

a3b

A.2B.4C.3D.8???

題目4（22—23高一下?湖南邵陽?階段練習(xí)）設(shè)a>0,b>0,若2a+6=2,則？+”的最小值為（）

ab

LQ

A.3V2B.4C.9D.y

題目5（22-23高三?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）已知2,V為正實(shí)數(shù)，且2+2=2,則c+2沙的最小值是

Xy

）

A.2B.4C.8D.16

題型五:“1”的代換:有和有積無常數(shù)型

題目（23一24高三上?江蘇連云港?階段練習(xí)）若白>0,6>0,且&+6=帥,則2&+6的最小值為（

A.3+2V2B.2+2A/2C.6D.3-2V2

題目2（23—24高二上?陜西西安?期中）已知a>0,6>0且2ab=a+2b,則a+8b的最小值為（）

A.4V2B.10C.9D.今

題目3（2022?四川樂山?一模）已知①>0,夕>0,且4a;+2?！猤/=0,則2。+v的最小值為（）

A.16B.8+4V2C.12D.6+472

題目4⑵—22高三.山西太原.階段練習(xí)）已知a>0,b>0,3a+b=2ab,則a+b的最小值為（）

A.2B.3C.2+V2D.2+V3

題目E（23—24高一下?廣西?開學(xué)考試）已知Q>0,6>0,且a+b=ab,則2ab—a+7b的最小值是

A.6B.9C.16D.19

題型六:“1”的代換:有和有積有常數(shù)型

題目（23-24高三.廣西.模擬）已知a2+fe2=ab+4,則a+6的最大值為

A.2B.4C.8D.2V2

題目2（23—24高三?甘肅?模擬）若正數(shù)a,6滿足ab=a+6+3,則ab的取值范圍是（）

A.（—8,6]B.[6,9]C.[9,+oo）D.[9,12]

題目2（23—24高三.江蘇.模擬）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足曲+&+6=8,則&+6的最小值是（）

MS

A.8B.6C.4D.2

題目E（23-24高三?安徽阜陽?模擬）已知正實(shí)數(shù)劣，。滿足2力+g+6=嗎,記ay的最小值為a；若m,n>

。且滿足m+n=l,記上+旦的最小值為b.則a+b的值為（）

mn

A.30B.32C.34D.36

題目（23—24高三?福建莆田?模擬）已知力>2,y>l,g/=/+2g+2,則力的最小值是)

A.1B.4C.7D.3+V17

題型七:分母構(gòu)造型:分母和定無條件型

（2020高三.全國?專題練習(xí)）的最小值為（）

sinacosa

A.2B.16C.8D.12

⑵—22高三.福建莆田.期末）當(dāng)0<，<l時(shí)，工+彳工的最小值為（）

X1—X

A.0B.9C.6D.10

（2024?山西臨汾?三模）若0Vc<l,則工+彳工一的最小值是（）

X1—X

A.1B.4C.2+2V2D.3+2V2

［題目*（22-23高三.江蘇南通.模擬）函數(shù)/⑸=+胃*（T<a：<4）的最小值是（

力+15-227

A.4-B.4C.2

,6,7.8,5

（23—24高三?四川成都?期中）若0<。<春,則9+的最小值為（）

32x1—6x

A.12B.6+4V3C.9+V6D.孕

題型八:分母構(gòu)造型：分離型型

題目1（21-22高三?遼寧沈陽?模擬）若不等式24+中>a在區(qū)間［0,1］上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

2%+1

是（）

A.a<CA/2^—B.aVlC.aD.a2^/2^—?~??

題目2（23-24高三?海南?？?階段練習(xí)）若函數(shù)/Q）=在zC[0,+8）是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的

力+1

取值范圍是（）

A.（-oo,2]B.[0,1]C.（-oo,l]D.[1,2]

3（2020高三?河北石家莊平介段練習(xí)）已知，<3,則夕="—3.4的最大值是（）

題目

X—6

A.—1B.—2C.2D.7

題目4（20-21高三?遼寧大連?模擬）％>4”是“關(guān)于，的不等式三WaQ>l）有解”的（）

X—1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

a?2—2c+2

題目（20—21高三?浙江紹興?期中）若—IV,VI,則9)

E2x—2

A.最大值—1B.最小值—1C.最大值1D.最小值1

題型九:分母構(gòu)造型：一個(gè)分母構(gòu)造型

題目1（23—24高三?浙江溫州?模擬）已知非負(fù)實(shí)數(shù)⑨沙滿足，+g=L則工+丁'的最小值為（）

x1+g

7Q4

A.jB.2C.3D.去

353

題目2(23-24高一下?福建南平?期中)已知a>0,b>0,2a+b—3=0,則—^―+5的最小值為

2a+1b

)

A.2B.1C.-f-D.4

24

］的最小值

題目（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)a>1,b>0,滿足a+b=3,則-2~j-+

Ea—1b

為（）

3+2V2口3+2A/2c3+n3+42

A.B?，—

4-2~~4

題目（23-24高三浙江.模擬）已知a>l,9。,且a+/2,則吉+6的最小值為

A.4B.6C.8D.9

題目（23—24高三.廣東肇慶.模擬）已知aAO'bALa+J—測小+b的最小值為)

?M

A.15B.16C.17D.18

題型十:分母構(gòu)造型:兩個(gè)分母構(gòu)造型

題目（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)正實(shí)數(shù)a,6滿足a+6=2,則的最小值為（)

a+1b+2

題目2（23—24高三?浙江?期中）已知a>Lb>5,且2a+b=3,則'^+小一的最小值為（）

2a—12b—1

Q1

A.1B.yC.9D.y

題目3（23-24高三?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)Q,b滿足-4r+TTT=1，不等式m<a+2b恒成

a+oo+l

立,則實(shí)數(shù)M的取值范圍是（）

A.771W6B.5C.9D.m48

題目魚（23—24高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知非負(fù)實(shí)數(shù),"滿足*+—=L則”+夕的最小

值為（）

題目E（23-24高三?湖北?階段練習(xí)）若2>0,沙>0,且上+-=1,則3.+夕的最小值為（

A.3B.2V5C.y+V5D.4+275

題型十一:分離常數(shù)構(gòu)造型

題目（23-24高三廣東佛山.階段練習(xí)）已知正數(shù)“滿足…=2,則以+標(biāo)的最小值是

R13D考

11R16

A1616

a2+l2&2+1

題目（23-24高三上?廣東東莞?期中）已知a,b為正實(shí)數(shù)，且a+2b=1,則的最小值為

rab

A.1+2V2B.2+2V2C.3+2V2D.4+2V2

?M

（高三?全國?期末）已知〉。，“〉。,且，+沙=則且也+宜坦的最小值為（）

題目323—24re4,

/y

A.4B.二C.孕D.5

44

（高三?湖北武漢?模擬）已知且夕=則-^―+-^―的最小值為（）

題目423-24c>0,9>0c+1,

T+1y+2

A-|B-fClD-J

題目5（22-23高一下?云南?階段練習(xí)）已知a>-2,b>O,a+2b=3,則2a+”4+A的最小值為

a+2b

）

A.4B.6C.8D.10

題型十二:換元構(gòu)造型

題目1（23-24高三上?四川巴中?開學(xué)考試）已知必>沙>0且4/+3y=1,則——+，的最小值

2x—y力+2g

為（）

A.10B.9C.8D.7

題目2（23—24高三上?山東?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)2，夕滿足力>夕>0,且3c—沙=2,則一一+的最

x+yx-y

小值為（）

A.3B.4C.5D.6

題目3⑵-22高三,河南洛陽,階段練習(xí)）已知正數(shù)如V滿足，3+8——=2,則7V的最小值

（x+2y）y（36+2功力

是（）

R5

A—C?！?D

8-1

題目4（22-23高三上?江西南昌?階段練習(xí)）己知正數(shù)力”滿足--+——=1,則xy的最小

（力+2切V（3力+2g）力

值是（）

21

題目,（2022.安徽合肥.模擬預(yù)測）已知正數(shù)力，"滿足力+3g+3x+y=1,則力+g的最小值

A3+2四T33+A/2c3+2A/^3+2

C，8~~

48

題型十三:分母拆解湊配型

題目1（22-23高三上?河北保定?階段練習(xí)）不等式/2—4力+m＜0的解集為{/5W力46},其中0＜砧＜

11

4測+的最小值為（）

10Q+2b4b—4a

AX

，c.JD

A26-f

49

題目I（22—23高三?河北承德?期末）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+仁?，則十的最小值為

Oa+2b2(z+6

A.6B.5C.12D.10

2

題目3（19-20高三上?陜西榆林?階段練習(xí)）己知y=log2（z-2a；+17）的值域?yàn)椋踡,+oo）,當(dāng)正數(shù)a,6滿足

扁+f二利時(shí)，則7a+4b的最小值為（）

Qc5+22

A.4B.1。D.2

44

小=1'則a+b的最小值為

題目E（2024.四川成都.模擬預(yù)測）若a,6是正實(shí)數(shù)，且3a+b+)

42

A.凸B.4C.1D.2

53

題目5（23-24高三下.河北.開學(xué)考試）已知a,b均為正實(shí)數(shù),且滿足工+號(hào)=2,則-^―+—^―的最

ab2a—12b—3

小值為（）

A.2B.2V2C.2V3D.2V6

題型十四：萬能“K”型

題目|1（22—23高三上?江蘇南京?模擬）已知正實(shí)數(shù)以少滿足c+工+旬+^=^^則立+包的最大值為

xy

（）

A.4B.1C.2D.9

9

題目2（2022.全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知a,b為正實(shí)數(shù)，且a+b=6+工+?,則a+b的最小值為（）

a0

A.6B.8C.9D.12

???

題目3（2022秋.四川成都.高一成都外國語學(xué)校校考期中）已知正數(shù)a,b滿足a+b+工+\=16,則a+b

ab

的最大值是.

題目4（21-22高三上?湖北襄陽?期中）若正數(shù)①"滿足2c+29+里+旦=9,則，+沙的最小值是

xy

（）

A.yB.JC.yD.2

題型十五:均值不等式應(yīng)用比大小

題目(23—24高三下.全國?階段練習(xí))已知a=；,b=ln~1",c=(log67—l)ln5,貝！J(

oo

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

題目2（2023?河南洛陽?一模）下列結(jié)論正確的是（)

姐

A.log20212022<log20222023<Iog2o222023<CIog2o2i2022V2022

C.|^||<log20222023<log20212022D.|^||<log20212022<log20222023

題目(22—23高三?江蘇常州.模擬)若a>￡>7>1且ayV￡2,設(shè)。=>g,,b=log.,c=log#，則

A.aVbVcB.bVaVcC.b<c<aD.cVaVb

題目（2022?全國?模擬預(yù)測）已知20。=22,226=23,a0=b,則a,b,c的大小關(guān)系為)

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

題目（23—24高三?浙江溫州?模擬）已知宏產(chǎn)log32,力2=log56,^3—ylog25，則)

A.Xi<x2<gB.61＜力3〈劣2C.力3＜力1〈62D.63V力2<劣1

題型十六:利用均值不等式求恒成立參數(shù)型

題目1（22-23高三?福建廈門?階段練習(xí)）己知不等式［+加＞1+冷—/對(duì)滿足4a+6（l-a）=0的所

有正實(shí)數(shù)a,b都成立，則正數(shù)c的最小值為（）

13

A.yB.1C.yD.2???

（高三?甘肅蘭州?期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)x>l,y>不等式恒成

題目2I23—24—+,旬？、>1

2。2（2g一1）1）

立,則實(shí)數(shù)。的最大值（）

A.2B.4C.D.2V2

題目2（23-24高三上.河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）不等式力（、@+次）W"+2沙對(duì)所有的正實(shí)數(shù)心夕恒成立,

則力的最大值為（）

V2

A.2B.V2D.1

題目4（22-23高三上?河南鄭州?模擬）已知正數(shù)a,b滿足a+6=3,若a5+b5>Aab恒成立，則實(shí)數(shù)4的取

值范圍為（）

A.（-8*]B.（-8,用C.（-8,用D.（-8,用

題型十七:因式分解型

題目（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)Q,b滿足質(zhì)+2a+b=7,則ab+3a+2b的最小值是

題目2（22—23IWJ二上?江西吉安,模擬）已知實(shí)數(shù)x9g滿足力>0,g>0,且/+義~+,+2=5,則2x+y

2xy

的最大值為（）

A.10B.8C.4D.2

題目3（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知（0,+<?）,且口+6+L+）=5,則a+b的取值范圍是

ab

（）

A.[1,4]B.[2,+<?）C.（1,4）D.（4,+a））

題目Jl（2023?全國?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b-2c=2（6-a）（c-a）-2,則|3a—b-2cl的最

小值為（）

A.0B.1C.2D.3

題目5（22-23高三上?吉林?開學(xué)考試）已知4，+9/靖+2/=4,則5/+3才的最小值是（）

A.2B.y-C.D.4

題型十八:三元型不等式?M

題目1（20-21高三上?北京?強(qiáng)基計(jì)劃）已知，，y,z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且c+：y+z=2,則^y^y^+^+xyz

的最大值為（）

A.1B.2C.4D.以上答案都不對(duì)

4

題目F(21—22高三?浙江溫州?模擬)已知a,b,cE(0,+oo)且a>b>c,a+b+c12,ab+be+ca=45,

則。的最小值為

A.5B.10C.15D.20

題目E（2023?安徽滁州?二模）若a,b,c均為正數(shù),且滿足a'+Bab+3ac+9bc=18,則2a+3b+3c的最小

值是（）

A.6B.4A/6C.6A/2D.6V3

題目E（22-23高三?江蘇常州?階段練習(xí)）實(shí)數(shù)a,b,c旃足a+b>0,b>0,Q?—oh+2fe2—c=0,則

c的最小值為（

ab+b2

A.—2B.1「3D-l

題目5（22-23高三上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2+62+c2=1,則2ab+3c的最大值為

（）

A.3B.單C.2D.5

?M

衲值茶易虱&茶$式除含

目錄

題型一:公式直接用

題型二:公式成立條件

題型三:對(duì)勾型湊配

題型四：“1”的代換:基礎(chǔ)代換型

題型五:“1”的代換:有和有積無常數(shù)型

題型六:“1”的代換:有和有積有常數(shù)型

題型七:分母構(gòu)造型:分母和定無條件型

題型八:分母構(gòu)造型:分離型型

題型九:分母構(gòu)造型:一個(gè)分母構(gòu)造型

題型十:分母構(gòu)造型:兩個(gè)分母構(gòu)造型

題型十一:分離常數(shù)構(gòu)造型

題型十二:換元構(gòu)造型

題型十三:分母拆解湊配型

題型十四：萬能“K”型

題型十五:均值不等式應(yīng)用比大小

題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型

題型十七:因式分解型

題型十八:三元型不等式

題型一:公式直接用

題目（22-23高三?北京?階段練習(xí)）若a>b>0,且a+6=1,則在下列四個(gè)選項(xiàng)中，最大的是

A.B.C.aD.2ab

【答案】。

【分析】⑴先判斷a>1~>b>0,可得2b<1,所以2abVa,排除4。，再用作差法比較8、C的大小，可

得答案.

（2）也可以令a,b取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證排除.

【詳解】方法一Ta〉?)>。且a+b=l,工。,方>b>0,可排除4;又2bV1n2abVa,排除D\

**a2+b2—a—(Q+b)?—2Gb—a=1—2ab—a=a+b—2ab—a=b—2ab=6(1—2a)V0,

即/+62<?排除R

故選：a

方法二：因?yàn)閍>b>0且a+b=l,可取a=b—

oo

則：a2+fe2=1,2ab=左因?yàn)閉>焉>]>今

yyoyzy

故選：c.

題目2（22-23高三?全國?課后作業(yè)）若a>0,b>0,則下列不等式中不成立的是（）

A.a'+b?)2abB.a+b>2〃abC./十/〉《(a+&)2D.--—I—gV--((iWb)

2aba—b

【答案】。

【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡判斷即可.

【詳解】因?yàn)?a—b)2>0,顯然有/+62>2而,故A正確；

而a>0,b>0,所以a+b>2Vab，故8正確；

又a2+62―^-(a+b)--^-a2-h-^-b2—ab=-^-(a—b)>0,所以a2+fe2^-^-(a+b)2,故C正確；

不妨令a=2,b=l,則—+4~——、-=l(aWb),故。錯(cuò)誤.

ab2a-b

故選：D

題目E（22-23高一下?黑龍江佳木斯?開學(xué)考試）設(shè)c>0,?/>0,且砂=9,則土+沙的最小值為（

A.18B.9C.6D.3

【答案】。

【分析】根據(jù)基本不等式，即可求解.

【詳解】：a;>0,y>0

x+y^2y/xy=6,（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3,取''="）

故選：C.

題目4（23—24高一下.河南.開學(xué)考試）設(shè)&>1]<0,則（）

A.a>qB.a+b>abC.ab<—1D.b<ab

ab

【答案】B

【分析】由已知條件和不等式的性質(zhì)，分別判斷各選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確.

【詳解】因?yàn)閍>l,bV0,所以abVO,則"匕<0,則力選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ab

因?yàn)閍>l,所以1—QVO,又bVO,則（1—a）b>0,即b—ab>0,所以a+b—ab>0,即a+b>ab,則_8

選項(xiàng)正確；

當(dāng)a—2,b——；時(shí)，ab=—1,則。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)閍>l,b