2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：集合、邏輯與復(fù)數(shù)（分層練）解析版

專題驗(yàn)收評(píng)價(jià)

專題1-1集合、退輯與復(fù)數(shù)

內(nèi)容概覽

A??？碱}不丟分

元素與集合關(guān)系的判斷（共1小題）

二.并集及其運(yùn)算（共1小題）

三.交集及其運(yùn)算（共5小題）

四.充分條件與必要條件（共7小題）

五.命題的真假判斷與應(yīng)用（共3小題）

六.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共2小題）

七.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共2小題）

A.復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共6小題）

九.共物復(fù)數(shù)（共1小題）

一十.復(fù)數(shù)的模（共3小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）（共16題）

C?挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分（17題）

A??？碱}不丟分

元素與集合關(guān)系的判斷（共1小題）

1.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知集合A=［s,s+y］J［t,t+1］，其中IWA且s,〈t，記f（x）上^

且對(duì)任意都有/（x）eA,貝L+r的值是一旦或旦

—2—2―

【分析】根據(jù)兩端區(qū)間和X=1的關(guān)系分三種情況討論：x=l在［s,什1］左邊，在回s+1］和

66

［3汁1］之間，在［s,s+_l］U［r,什1］右邊三種情況，根據(jù)單調(diào)性可得/（X）的值域，從而確定定義域與

6

值域的關(guān)系，列不等式求解即可.

【解答】解：①當(dāng)s>l時(shí)，f(x)=1+_2_在區(qū)間xe［s,s+工］U［t,什1］上單調(diào)遞減,

x-16

：.f(x)G[1+2,1+_2_]U[1+-^—,l+^_],

tt-i_As-i

Cs6

.?..A_+A=2_+1,即/_=主!J2,-f-12=0,

t-16tt-16t

vt>1,.??E=4,s=—

2

2

②當(dāng)s+_L<l<r,即S<$時(shí)，此時(shí)區(qū)間[s,s+工]在尤=1左側(cè)，[3什1]在x=l右側(cè),

666

V/(X)=211在區(qū)間［S,s+工］上為減函數(shù),

x-16

7

s年

當(dāng)x€[s,5+A],f(X)e[----,s+l],

6__5s-1

6

7

S+T-

*.*—―<Lt>l,[----,s+l正[s,5+A],

s+1u至s-16

s6

7

這>

5>s

s+1》S2_5__1

6s6

625

ss

6

s2^s4<o

2117

s=>。

S二6

??.J_11-±=0,即(2s+l)(3s-7)=0,

66

：s<立,??s---1,

62

此時(shí)區(qū)間［f,f+1］在X=1右側(cè),

xE[t,/+1]時(shí),

f(x)G[.t+2:t+l]

tt-1

隹，

>b[t+i],

ttt-1

t+1

<t+l

vT》解得：

,止匕時(shí)t2f=2,

t+2

>t(t-2)(t+l)<0

t'

s+t=—

2

③當(dāng)即f<0時(shí)，尤=1在[s,5+A]U[r,f+1]右邊.

6

此時(shí)/（無）=1+.Z在區(qū)間［s,s+」］U［Kf+1］上單調(diào)遞減,

X-16

:.f(x)e[i+2，1+-

tt-1_2.S-1

6

4

1fAs0

不

且s

l+-^r<s42

t-161+《t+1

s-l

S-lb

12/且，s3

2

4t

s6S-1

2

s-l

25_2,即，-=.t+12,-12=0,

t-1t-16t

*.*t<1,.*.t=-3,s=2，不滿足s+』<7.

36

綜上，s+r的值為且或3.

22

故答案為：旦或旦.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根據(jù)單調(diào)性求解值域的問題，需要根據(jù)題意，結(jié)合分式函數(shù)的圖象，依據(jù)端點(diǎn)

與特殊值之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，同時(shí)需要根據(jù)值域的包含關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍.求解過程中需

要統(tǒng)一分析，注意不等式之間相似的關(guān)系整體進(jìn)行求解.屬于難題.

并集及其運(yùn)算（共1小題）

2.（2023?徐匯區(qū)三模）已知集合4={2,3,5},2={1,5},則{1,2,3,5}.

【分析】利用并集定義直接求解.

【解答】解：集合A={2,3,5},B={1,5},

則AUB={1,2,3,5）.

故答案為：{1,2,3,5）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

三.交集及其運(yùn)算（共5小題）

3.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知集合4={1,2,3,4,5},2={2,4,6,8},則422=⑵4}

【分析】找出A與8的公共元素，即可確定出交集.

【解答】解：：A={1,2,3,4,5},B=[2,4,6,8),

：.Ar\B={2,4}.

故答案為：{2,4}

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

4.（2023?普陀區(qū)校級(jí)三模）已知集合4=（-1,2）,2=[1,+°°）,則集合AC2=11,2）

【分析】直接利用交集運(yùn)算的概念得答案.

【解答】解：（-1,2）,B=[l,+8）,

：.AHB=(-1,2)n[l,+8)=[i,2).

故答案為：口，2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

5.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)集合A={x||x|<2,x￡R},8={尤仔-4x+320,x€R},則ACB=（-2,

IL.

【分析】求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【解答]解：A={x\\x\<2,xGR}=U|-2<x<2},

B={x|x2-4尤+320,xGR）—[x\x^3或尤Wl},

則-2cxWl},

故答案為:（-2,1].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算實(shí)是解決本題的關(guān)

鍵.

6.（2023?黃浦區(qū)模擬）若集合A={x|xW2},B={x|x》a}滿足AAB={2},則實(shí)數(shù)a=2.

【分析】由題意AnB={2},得集合B中必定含有元素2,且A,8只有一個(gè)公共元素2,可求得。即

可.

【解答】解：由AC8={2},

則A,B只有一個(gè)公共元素2；

可得a=2.

故填2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的確定性、交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知集合4={x|x<l},B={-1,0,2},則{2}.

【分析】利用補(bǔ)集和交集的運(yùn)算求解.

【解答】解：???集合A={Rx<l},

A={xIx?l}

又：2={-1,0,2},

/.AHB=⑵，

故答案為：{2}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、補(bǔ)集的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

四.充分條件與必要條件（共7小題）

8.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）是“工<]”的（）

A.充要條件

B.充分非必要條件

C.必要非充分條件

D.既非充分又非必要條件

【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

【解答】解：當(dāng)x>l時(shí)，工<1成立，

X

當(dāng)X=-1時(shí)，滿足上<］成立，但X>1不成立.

X

故ax>r是］”成立的充分不必要條件.

X

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用定義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

9.（2023?奉賢區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)XCR,則“僅-2|<1”是“f+無-2>0”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由“|x-2|<l"得1<尤<3,

由W+x-2>0得x>l或尤<-2,

即尤是“/+『2>0”的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎(chǔ).

10.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）“a=0”是關(guān)于尤的不等式辦->21的解集為口的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【分析】求出不等式ax-b^l的解集為R時(shí)的充要條件，即可得出結(jié)論.

【解答】解：關(guān)于x的不等式以-621的解集為R時(shí)，應(yīng)滿足,即.

l-b>llb<-l

所以“。=0”是關(guān)于x的不等式"-621的解集為R的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分與必要條件的判斷問題，是基礎(chǔ)題.

11.(2023?寶山區(qū)校級(jí)三模)設(shè)入GR,則“人=1”是"直線3x+(A-1)j=l與直線Ax+(1-X)y=2平

行”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)直線一般式中平行滿足的關(guān)系即可求解.

【解答】解：若直線3x+(X-1)j=l與直線;U+(1-X)y=2平行，

則3(1-A)-X(X-1)=0,解得入=1或入=-3,

經(jīng)檢驗(yàn)入=1或入=-3時(shí)兩直線平行，

故“人=1”能得到“直線3x+(X-1)y=l與直線Xr+(1-A)y=2平行”，

但是“直線3x+(X-1)y=l與直線右+(1-A)y=2平行”不能得到“入=1”.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2023?浦東新區(qū)三模)設(shè)等比數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為設(shè)甲：ai<a2<a3,乙：｛%｝是嚴(yán)格增數(shù)列，

則甲是乙的()

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

【分析】舉例說明充分性和必要性都不成立即可.

【解答】解：等比數(shù)列｛<?〃｝中，前幾項(xiàng)和為S”當(dāng)m<0時(shí)，若4=工，則數(shù)列｛S｝嚴(yán)

2

格單調(diào)遞減，充分性不成立；

若數(shù)列｛%｝嚴(yán)格遞增，則數(shù)列｛金｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，只需滿足所>0,g>0即可，若0<4<1,則小>

。2>。3,必要性不成立；

所以甲是乙的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的定義與前"項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了充分與必要條件的判斷問題,

是基礎(chǔ)題.

13.（2023?嘉定區(qū)模擬）已知復(fù)數(shù)zWO,則“|z|=l”是“zdCR”的（）條件.

Z

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

22

【分析】當(dāng)||=722+b2=］時(shí),gpa+b=lf■二2a￡R，充分性；取z=2,則工二金^^\z\

zz2

=2,不必要，得到答案.

【解答】解：設(shè)Z=Q+〃，a,Z?eR,

當(dāng)IzIHa2+b2=1時(shí)，即a2+b2=l,所以?2?=a+bi+:.=a+bi+,人=2a€R，充分性成立，

za+bia'+d

取z=2,貝1J24|ER，|z|=2,必要性不成立，

綜上所述：“團(tuán)=1”是“zd^R”的充分不必要條件.

z

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2023?閔行區(qū)校級(jí)二模）設(shè)a,0是兩個(gè)不同的平面，直線小ua,則“對(duì)0內(nèi)的任意直線/,都有機(jī)

L”是“a，B”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)線面垂直與面面垂直定義可解.

【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)閍,0是兩個(gè)不同的平面，直線機(jī)ua,當(dāng)對(duì)0內(nèi)的任意直線/,都有機(jī)，

I,則卬,則充分性成立，

當(dāng)時(shí)，則對(duì)0內(nèi)的任意直線/,有相與/相交或相〃/,則必要性不成立，

故”對(duì)0內(nèi)的任意直線/,都有機(jī)，/”是“a_LB”的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直與面面垂直定義，屬于基礎(chǔ)題.

五.命題的真假判斷與應(yīng)用（共3小題）

15.（2023?徐匯區(qū)二模）已知“若x>a,則左1>0"為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是門，+8）.

【分析】由命題“若x>a,則是真命題，轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成x>a,能推出（x-l）x>0成立，即

X

x>〃，能推出x>l成立，可得實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解答】解：命題“若x>。，則三1>0”是真命題，

X

則x>a,能推出左1>0”成立，

x

轉(zhuǎn)換成x>a,能推出（x-1）x>0成立，

即x>a,能推出｛x|x<0或x>l｝成立，

即x>cz,能推出尤>1成立，

由不等式端點(diǎn)和簡(jiǎn)易邏輯關(guān)系可得，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是：

故答案為：［1,+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題不等式的計(jì)算、簡(jiǎn)易邏輯，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）己知命題：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題.給出下列四

個(gè)命題：

①M(fèi)的元素不都是P的元素；

②M的元素都不是P的元素；

③M中有P的元素；

④存在尤6M,使得娓尸.

其中真命題的序號(hào)是①④.（將正確命題的序號(hào)都填上）

【分析】直接利用命題的否定和元素和集合之間的關(guān)系的應(yīng)用判定①②③④的結(jié)論.

【解答】解：命題：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題.

則：命題：“非空集合M的元素不都是集合尸的元素”是真命題.

故①M(fèi)的元素不都是尸的元素，①正確

②M的元素都不是尸的元素，②錯(cuò)誤

③M中有P的元素，③錯(cuò)誤

④存在xUW,使得xCP,④正確

故答案為：①④

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：命題的否定，集合間的關(guān)系，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

（多選）17.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A1B1C1D1中，已知E為線段B1C的

中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿足D/=1D[C]DM叩D田其中入，昨[0，口，則下列說法正確的是

（）

A.當(dāng)人=1時(shí)，三棱錐P-￡陽的體積為定值

2

B.當(dāng)口八時(shí)，四棱錐P-ABC。的外接球的表面積是"

“24

C.PE+PF的最小值為至近

6

D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（入，H）,使得EPL平面PDF

【分析】當(dāng)入=工時(shí)，所以產(chǎn)是。1C1的中點(diǎn)，EF〃瓦）1,點(diǎn)尸到面EED的距離為定值，可判斷A；,

2

當(dāng)pi卷時(shí)，點(diǎn)P為題）1的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為廠,則/=（「蔣）2+（冬）2,

所以r=旦，可判斷3；

4

把問題轉(zhuǎn)化為在平面ABC1D1求點(diǎn)P使得PE+PF的最小值問題，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于BD1的對(duì)稱點(diǎn)

E',過點(diǎn)E'作CLDI,AB的垂線，垂足分別為凡H,則PE+PF=PE，+PF^E'F,計(jì)算可得結(jié)論；

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷D.

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)入=工時(shí)，所以尸是DQ的中點(diǎn)，連接BC1,因?yàn)樗倪呅蜝CCLBI是平行四

2

邊形，所以E為3cl的中點(diǎn)，

所以EF〃瓦力，...BDi〃面EED,又點(diǎn)P在瓦）1上，所以點(diǎn)尸到面EFD的距離為定值，所以三棱錐尸

-EFD的體積為定值，

故A正確；

對(duì)于2,當(dāng)|1弓時(shí)，點(diǎn)P為BD1的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐尸-A2CD的外接球的半徑為廣，

則有（L1）2+（冬產(chǎn)，所以廠=_|,所以外接球的表面積為年兀，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,把問題轉(zhuǎn)化為在平面A2C1O1求點(diǎn)P使得PE+PF的最小值問題，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于8。的

對(duì)稱點(diǎn)E',過點(diǎn)E'作C1D,AB的垂線，垂足分別為RH,

貝|JPE+PF=PE'+PF^E'F,

sinZABE'=sinCZABDi-ZCiBDi）x-X—=^.

33333

：.E'H=BE'sinZABE'=^-X—

236

???E，H=HF-HE，里2,...PE+PE的最小值為顯巨.故C錯(cuò)誤，

66

對(duì)于。，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則F（0,入，1）,D（0,0,0）,尸（2n，E（-L,1,-1）

22

則DF=（0,入，1）,DP=（中山1-p）,

設(shè)平面尸。尸的一個(gè)法向量為而=（11K,|i-1,A,p,）,

（W-1）入5-W=0

解得呼笠反，入=等,

￡P(guān)J_平面尸￡）尸，＜

乩（N卷）+乩（w-i）+g-w）（1-乩）=0

...所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（入，P）,使得EPL平面PDR故。正確，

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查體積的定值問題，平面內(nèi)一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離的最小值問題，以及外接球的表面積的求法,

以及空間向量的計(jì)算，難度大.

六.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共2小題）

18.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1-i的虛部是-1.

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念求解.

【解答】解：由復(fù)數(shù)的概念，知：

復(fù)數(shù)1-i的虛部是-L

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要熟練掌握復(fù)數(shù)的概念.

19.（2023?寶山區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)（m2-3w-1）+（m2-5m-6）i=3（其中i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)加=

-1.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

【解答】解：復(fù)數(shù)（m2-3m-1）+（m2-5m-6）i=3,

則《c，解得相=-L

,m2-5m-6=0

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

七.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共2小題）

20.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)復(fù)平面上表示2r?和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)3,則表示向量標(biāo)的復(fù)數(shù)在復(fù)

平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)條件可寫出表示向量屈的復(fù)數(shù)，然后即可得出該復(fù)數(shù)所位于的象限.

【解答】解：根據(jù)題意知，表示向量標(biāo)的復(fù)數(shù)為l+5i,

在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,5）位于第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)和向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

21.（2023?奉賢區(qū)校級(jí)三模）復(fù)數(shù)（a-1）+（2a-1）i（a€R）在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是一（y,!）_.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解：(〃-1)+(2〃-1)i(〃ER)在復(fù)平面的第二象限內(nèi),

'a-l<0

則，解得六a＜】,

2a-l>0

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是4，1).

故答案為：(A,1).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

八.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(共6小題)

22.(2023?黃浦區(qū)二模)設(shè)復(fù)數(shù)zi、Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，zi=2+iM為虛數(shù)單位)，則zi

?Z2=-5.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與共軌復(fù)數(shù)的定義、幾何意義即可得出.

【解答】解：???復(fù)數(shù)Zi、Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，zi=2+i,

.??Z2=-2+z.

:?zi?z2=-(2+i)(2-Z)=-5.

故答案為：-5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與共軌復(fù)數(shù)的定義、幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

23.(2023?閔行區(qū)校級(jí)二模)在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A(-2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,貝U|z+l|=_'、歷

【分析】求出復(fù)數(shù)z+1,然后求解復(fù)數(shù)的模.

【解答】解：在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A(-2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,則|z+l|=|-2+i+l|=|-l+i|=J(-1)2+J=

加?

故答案為：V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.

24.(2023?浦東新區(qū)校級(jí)一模)若復(fù)數(shù)z滿足i?z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為2.

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答】解：由"z=l+2i,

得？=l+2i

1-i

???z的實(shí)部為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

25.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足上2=i,則|z|=1.

1+z

【分析】設(shè)出z=a+bi,得到l-a-bi=-（〃+1）z,根據(jù)系數(shù)相等得到關(guān)于處b的方程組，解出

b的值，求出z,從而求出z的模.

【解答】解：設(shè)2=〃+瓦，則上2_=l-a-bi=工

1+z1+a+bi

1-a-bi=-Z?+（〃+l）

解得｛=0,

I_b=a+l[b=T

故z=-i,|z|=l,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題，考查解方程組問題以及對(duì)應(yīng)思想，是一道基礎(chǔ)題.

26.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知復(fù)數(shù)i?z=l+i,則復(fù)數(shù)z=1-i.

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答】解：由尸z=l+i,得（1+i）尸）=]_[.

i-i2

故答案為：1-i.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

27.（2023?黃浦區(qū)模擬）已知復(fù)數(shù)z1=1+^「|Z2|=2,ziz2是正實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)Z2=1-北i.

【分析】設(shè)Z2=a+6i（a,bGR）,由已知列關(guān)于a,b的方程組，求解a,6的值得答案.

【解答】解：設(shè)z2=a+bi（a,bGR）.

由閡=2,Z1Z2是正實(shí)數(shù)，

得卜小2=4,解得卜7或「=1

lV3a+b=0Ib=V3Ib=-V3

:.z2=-1+V3i或1-V3i.

當(dāng)Z2=-I+V3i時(shí)，Z1Z2=-4,舍去，

?；2=1-y1.

故答案為：1-Fi.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

九.共甄復(fù)數(shù)（共1小題）

28.（2023?松江區(qū)校級(jí)模擬）復(fù)數(shù)z」一（i為虛數(shù)單位），貝I|；|=近

【分析】由已知直接利用I；I=IzI及商的模等于模的商求解.

【解答】解：：z」一，

1+i

IzI=Iz1=1—^-1=.I2.1,^-^=V2-

1+iI1+iIV2

故答案為：V2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題.

一十.復(fù)數(shù)的模（共3小題）

29.（2023?徐匯區(qū)三模）設(shè)z?是虛數(shù)單位，則|盧+7+盧=1.

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

【解答】解：????=-1,

.?.|戶+7+溝="2+'+1|=|-1-i+i|=1|=i,

故答案為：L

【點(diǎn)評(píng)】本題考查虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

30.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足二_=2-i，則復(fù)數(shù)z的模為叵.

【分析】利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解答】解：由題意可得空上」_,即1+上=工，

z2-iz2-i

|1|=|_1_-n=izliL|,即羋m，

z2-i2-iIzI12-iI

解得izi=Y*.

故答案為：叵.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，解題的關(guān)鍵是掌握模的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

31.（2023?嘉定區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)z=3+4i4為虛數(shù)單位），則|zl=5.

【分析】直接利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得答案.

【解答】解：Vz=3+4z,

?'?lzl=V32+42=V25=5-

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

B?拓展培優(yōu)拿高分、

選擇題(共5小題)

1.(2022?上海自主招生)等勢(shì)集合指兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)，下列為等勢(shì)集合的是()

A.[0,1]與{E|OWEW1}B.[0,1]與{a,b,c,d}

C.(0,1)與[0,1]D.{1,2,3}與{a,b,c,d]

【分析】根據(jù)等勢(shì)集合的定義，即可解出.

【解答】解：根據(jù)等勢(shì)集合的定義可判斷選項(xiàng)A正確，

選項(xiàng)8、C、D錯(cuò)誤,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等勢(shì)集合的定義，學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2020?上海自主招生)GiventwosetsA—[1,2,3,4,5}aadB={3,4,5,6,7},thentheintersection

setofAandBis()

A.{1,2}B.{3,4,5}

C.[1,2,3,4,5,6,7}D.{6,7}

【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算求Ang.

【解答]解：A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7),

則AHB={3,4,5).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).

3.(2022?上海自主招生)已知集合A={(x,y)|?+/^2,xeZ,yeZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.4B.5C.8D.9

【分析】集合A的元素代表圓周及其內(nèi)部的點(diǎn)，分坐標(biāo)軸和象限進(jìn)行討論，即可得到結(jié)論

【解答】解：根據(jù)題意：A={(x,y)|，+/W2,x,yCZ}={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,

-1),(0,0)(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)}共9個(gè)元素，是平面直角坐標(biāo)系中9個(gè)點(diǎn).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的表示以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題時(shí)需注意集合A的元素為兩坐標(biāo)均為整數(shù)的

點(diǎn)，本題屬于基礎(chǔ)題.

4.(2022?上海自主招生)集合A={1,2,/},B={a2|oGA},C=AUB,C中元素和為6,則元素積為()

A.1B.-1C.8D.-8

【分析】根據(jù)集合C中的元素的和為6可得B中的元素，進(jìn)而可以求C中的元素，由此即可求解，注

意分類討論.

【解答】解：因?yàn)锳=｛1,2,t],8=｛層|4&4｝,所以168,4GB,p€B,

所以以lec,4ec,rec,

若i2—1,則t—1(舍去)或-1,此時(shí)C=｛1,2,4,-1),符合題意，

所以C中的元素的積為1X2X4X(-1)=-8,

若P=2,則/=迎或此時(shí)C=｛1,2,4,&｝或｛1,2,4,-&｝,

與已知C中的元素和為6不符，

若P=3貝Uf=0或1(舍去)，此時(shí)C=｛1,2,4,0｝,

也與已知C中的元素和為6不符，

若？2#1,2,t,則C=｛1,2,4,t,t2｝,則l+2+4+/+P=6,即尸+r+l=0,方程無解，

綜上，C中元素的積為-8,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合元素的性質(zhì)以及并集的應(yīng)用，涉及到分類討論思想的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算

轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

5.(2023?閔行區(qū)校級(jí)一模)已知｛斯｝是等差數(shù)列，b〃=sin(a?),且存在正整數(shù)3使得對(duì)任意的正整數(shù)”

都有為+?=仇.若集合S=｛x|x=6〃，w6N*｝中只含有4個(gè)元素，貝心的取值不可能是()

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)｛斯｝為等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)，根據(jù)題意列出瓦，z之間的關(guān)系，進(jìn)而找到兩個(gè)數(shù)列基本量

之間的關(guān)系，分別就t=4,t=5,t=6,t=1四種情況討論，選出符合題意的值，進(jìn)而判斷選項(xiàng)即可.

【解答】解:設(shè)等差數(shù)列｛如｝首項(xiàng)為Q1,公差為d,則cto=ai+(71-1)d,&n=sin(aQ,

由題知，存在正整數(shù)3使得為weN*,

若集合｛x|x=bn，n€N*｝有4個(gè)不同元素，則/4,

當(dāng)t=4時(shí)，bn+4—bn,即sin(即+4)=sin(cz?),即sin(a〃+4d)=sinQan+2kn),keZ,

所以an+4d=an+2ku,或an+4d+an+2kTi=n,k&Z,

因?yàn)椋梗堑炔顢?shù)列，各項(xiàng)均唯一所以。"+44+(7"+2加=11,keZ舍去，

故解得d2(,k€Z，取左=1時(shí)，d吟，

此時(shí)在單位圓上的4等分點(diǎn)可取到4個(gè)不同的正弦值,

即集合S={xIx=bn，ntN*}可取4個(gè)元素，

當(dāng)/=5時(shí)，bn+5=b〃,即sin（即+5）=sin（?！ǎ磗in（即+5d）=sin（〃〃+2內(nèi)1）,依Z,

所以劭+5"=即+2加，或許+5d+4〃+2Zn=Ti,左EZ,（舍），

故解得k€z，此時(shí)在單位圓上的5等分點(diǎn)，

5

取到的空，絲，更，12L,122L,不可能取到4個(gè)不同的正弦值，故不成立，

55555

同理可得當(dāng)f=6,f=7時(shí)，集合S={x|x=bn，n^N*}可取4個(gè)元素.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合間的基本關(guān)系，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題，

多選題（共1小題）

（多選）6.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在棱長(zhǎng)為1的正方體48C。-ALBICLDI中，己知E為線段81C的中

點(diǎn)，點(diǎn)/和點(diǎn)P分別滿足DJ=入D［C］口曾=片D］由其中入，咋［0,1］,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)人小時(shí)，三棱錐P-￡陽的體積為定值

2

B.當(dāng)口=1時(shí)，四棱錐尸-ABC。的外接球的表面積是"

“24

C.PE+P尸的最小值為顯旦

6

D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（入，p）,使得平面尸。尸

【分析】當(dāng)入=工時(shí)，所以廠是D1C1的中點(diǎn)，E尸〃班）1,點(diǎn)尸到面理明的距離為定值，可判斷A；,

2

當(dāng)4時(shí),點(diǎn)P為BD1的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為r,則=？=（r?）？+（冬），

所以r=3,可判斷&

4

把問題轉(zhuǎn)化為在平面ABC1D1求點(diǎn)P使得PE+PF的最小值問題，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于BD1的對(duì)稱點(diǎn)

E',過點(diǎn)E'作CLDI,AB的垂線，垂足分別為RH,則PE+PF=PE，+PF^E'F,計(jì)算可得結(jié)論；

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷D.

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)人=工時(shí)，所以歹是DiCi的中點(diǎn)，連接BCi,因?yàn)樗倪呅蜝CCLBI是平行四

2

邊形，所以E為BC1的中點(diǎn)，

所以所〃2。1,〃面瓦D,又點(diǎn)P在BD1上，所以點(diǎn)尸到面的距離為定值，所以三棱錐尸

-EFD的體積為定值，

故A正確;

對(duì)于8,當(dāng)口小時(shí)，點(diǎn)尸為8。1的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐P-A8CD的外接球的半徑為廣，

以2

則有「2=任?）2+（冬）2,所以r=_|,所以外接球的表面積為q兀，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,把問題轉(zhuǎn)化為在平面ABCiDi求點(diǎn)P使得PE+PF的最小值問題，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于BD1的

對(duì)稱點(diǎn)E',過點(diǎn)E'作CiOi,AB的垂線，垂足分別為兄H,

貝U+PF^E'F,

sinZABE'=sin（/ABDi-NC1BD1）=￡乂近祗-X近」

33333

：.E'H=BE'sinZABE'=^-X—=^-，

236

H=HF-HEy①'PE+PF的最小值為包巨?故C錯(cuò)誤，

66

對(duì)于。，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則F（0,入，1）,D（0,0,0）,P（n，n，1-n）,E（-1,1,-1）

則DF=（0,入，1）,DP=（中山1-四）,

設(shè)平面尸。E的一個(gè)法向量為邪=（4，|1-1,

（W-1）人巧-W=0

解得呼邛，*

EP_L平面尸。尸，；.<

四（W卷）+乩（W-l）+g-W）（1-乩）=0

.,.所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（入，U）,使得平面尸。尸，故。正確,

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查體積的定值問題，平面內(nèi)一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離的最小值問題，以及外接球的表面積的求法，

以及空間向量的計(jì)算，難度大.

三.填空題(共5小題)

7.(2020?上海自主招生)凸四邊形A8CD,則/8AC=NBZJC是/D4C=的充要條件.

【分析】根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，對(duì)NBAC=/B￡>C,Nn4C=/O2C進(jìn)行邏輯判斷即可.

【解答】解：在凸四邊形ABC。中，若NBAC=NBDC,則ABC。四點(diǎn)共圓，則必有ND4c=NDBC；

在凸四邊形ABC。中，若NDAC=NDBC,則ABC￡>四點(diǎn)共圓，則必有NBAC=/BDC；

所以：/BAC=NB￡)C是NZMC=/Z)BC的充要條件.

故答案為：充要.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四點(diǎn)共圓問題，充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2020?上海自主招生)定義啟(x)=<'*,M(g)N={xR(x)/XKx)=-1},已知A={x|x〈二2-x},

-1,xCM

B={x\x(x+3)(尤-3)>0},則(-8,-3]50,1)U(3,+8)..

【分析】求出集合A,B,利用新定義求出A便)8即可.

【解答】解：A=(-8,1),B={4r(尤-3)(尤+3)>0}=(-3,0)U(3,+°0)；

CRA=[1,+8),CRB=(…，-3]U[0,3].

因?yàn)閒A(無)=-1,

所以當(dāng)病(無)=-I,fB(x)=1,A名)8=8。CRA={X|X>3},

當(dāng)口(x)—l,fB(x)=-1,A<8>B=ACCRB={4rW-3或OWx<l},

故A(g)B=(-8,-3]U[0,1)U(3,+8).

故答案為：(-8,-3]U[0,1)U(3,+8).

【點(diǎn)評(píng)】考查集合的交并集的計(jì)算，集合概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2020?上海自主招生)直線/1,/2交于。點(diǎn)，M為平面上任意一點(diǎn)，若p,g分別為M點(diǎn)到直線A,h

的距離，則稱(p,q)為點(diǎn)M的距離坐標(biāo).已知非負(fù)常數(shù)p,q,下列三個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是(1)(2)

(3).

(1)若p=q=Q,則距離坐標(biāo)為(0,0)的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；

(2)若pq=0,且p+qWO,則距離坐標(biāo)為(p,q)的點(diǎn)有且僅有2個(gè)：

(3)若pqWO,則距離坐標(biāo)為(p,q)的點(diǎn)有且僅有4個(gè).

【分析】由題意點(diǎn)到直線/1,/2的距離分別為p,必由點(diǎn)/的距離坐標(biāo)的定義逐一判斷即可.

【解答】解：(1)p=q=O,則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)有且只有1個(gè)，此點(diǎn)為點(diǎn)O.故(1)正確；

(2)若pq=O,且p+qWO,則p,4中有且僅有一個(gè)為0,

當(dāng)p=0,4/0時(shí)，距離坐標(biāo)點(diǎn)在/1上，分別為關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，

當(dāng)g=0,pWO時(shí)，在/2上也有兩點(diǎn)，但是這兩種情況不能同時(shí)存在，

.?.若pq=O,且p+g=O,則距離坐標(biāo)為(p,q)的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，故(2)正確；

(3)若網(wǎng)/0,則距離坐標(biāo)為(p,q)的點(diǎn)有且只有4個(gè)，

而四個(gè)交點(diǎn)為與直線Z1相距為p的兩條平行線和與直線/2相距為q的兩條平行線的交點(diǎn).

故答案為：(1)(2)(3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義“距離坐標(biāo)”，考查了理解能力與推理能力，屬于中檔題.

10.(2020?上海自主招生)若集合M中任意兩個(gè)元素的和差積商的運(yùn)算結(jié)果都在/中，則稱M是封閉集

合.下列集合：

(1)R(2)Q(3)CR0(4){小=相+'及"，祖，aCZ}中.封閉集合的個(gè)數(shù)為2.

【分析】由題意結(jié)合封閉集合的定義逐一考查所給的集合是否滿足題中的定義即可確定封閉集合的個(gè)

數(shù).

【解答】解：兩個(gè)實(shí)數(shù)的和差積商仍然是實(shí)數(shù)，故R是一個(gè)封閉集合；

兩個(gè)有理數(shù)的和差積商仍然是有理數(shù)，故。是一個(gè)封閉集合；

注意到a€CRQ,2V3GCRQ，而篝~=2生CRQ，故CR。不是封閉集合;

令乂={x|x=m+&n,m,n€Z],

注意到4-^2€M,而任M，