2023七年級數(shù)學(xué)下冊 第八章 二元一次方程組8.3 實際問題與二元一次方程組第1課時 實際問題與二元一次方程組（1）教案 （新版）新人教版

2023七年級數(shù)學(xué)下冊第八章二元一次方程組8.3實際問題與二元一次方程組第1課時實際問題與二元一次方程組（1）教案（新版）新人教版主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是人教版七年級數(shù)學(xué)下冊第八章8.3節(jié)“實際問題與二元一次方程組”第一課時。教學(xué)內(nèi)容將圍繞如何從現(xiàn)實問題中抽象出二元一次方程組，以及如何應(yīng)用方程組解決實際問題。具體內(nèi)容包括：理解實際問題的情境，掌握用二元一次方程組表述問題的方法，學(xué)會解此類方程組并應(yīng)用于解決生活中的問題。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了線性方程式的解法和應(yīng)用，理解了一元一次方程及其在實際問題中的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將幫助學(xué)生把這種知識擴展到二元一次方程組，強調(diào)從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，并利用已有一元一次方程的解法，遷移到二元一次方程組的求解上，使學(xué)生在實際問題中更深刻地體會數(shù)學(xué)模型的作用。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標旨在培養(yǎng)學(xué)生的模型思想、邏輯推理能力及問題解決能力。通過引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實情境中抽象出二元一次方程組，激發(fā)學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的意識，增強模型思想的核心素養(yǎng)。同時，在分析問題、建立方程組及求解過程中，鍛煉學(xué)生邏輯推理能力，使其能夠合理解釋方程組各步驟的意義，理解數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。此外，通過解決實際問題，提升學(xué)生的問題解決能力，使其在面對復(fù)雜情境時，能夠運用所學(xué)知識進行有效分析、解決問題，形成適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

本節(jié)課的教學(xué)重點是使學(xué)生掌握從實際問題中抽象出二元一次方程組的能力，并能夠運用方程組解決具體問題。具體包括：

-理解實際情境中的數(shù)量關(guān)系，能夠正確列出二元一次方程組；

-掌握解二元一次方程組的基本方法，如代入法和消元法；

-能夠?qū)⒎匠探M的解應(yīng)用到實際問題中，驗證解答的正確性。

2.教學(xué)難點

本節(jié)課的教學(xué)難點在于：

-抽象思維的運用，即如何將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，特別是對于情境復(fù)雜的問題；

-對二元一次方程組的理解，特別是如何確定兩個未知數(shù)之間的關(guān)系，以及如何選擇合適的解法；

-在解決問題時，對于方程組的解是否滿足原問題所有條件的判斷，例如在實際問題中，解是否在合理的取值范圍內(nèi)；

-例如，當解決關(guān)于速度和時間的問題時，學(xué)生可能會忽略速度和時間必須為正數(shù)的條件，導(dǎo)致得出不合實際的解。學(xué)具準備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)方法與策略本節(jié)課將采用以下教學(xué)方法與策略：

1.講授與討論相結(jié)合：教師通過講解二元一次方程組的基本概念和解法，引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握核心知識。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生進行小組討論，共同分析實際問題，探討如何建立方程組，促進學(xué)生的思考與交流。

2.案例研究：選取與學(xué)生生活密切相關(guān)的實際問題作為案例，讓學(xué)生通過分析案例，獨立或合作完成方程組的建立與求解，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想和問題解決能力。

3.教學(xué)媒體使用：利用多媒體課件展示案例、解題步驟及答案，輔助學(xué)生理解與記憶。同時，設(shè)計互動式數(shù)學(xué)游戲，如“方程組接力賽”，增強課堂趣味性，提高學(xué)生的參與度和互動性。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

-教師活動：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校在線平臺發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括預(yù)習(xí)PPT和問題列表，明確預(yù)習(xí)目標和要求。

設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞“實際問題與二元一次方程組”主題，設(shè)計具有探究性的問題，如“如何從現(xiàn)實問題中抽象出方程組？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進度：通過平臺數(shù)據(jù)跟蹤學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，及時給予指導(dǎo)。

-學(xué)生活動：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照要求，自行預(yù)習(xí)PPT，了解二元一次方程組的基礎(chǔ)知識。

思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問題，記錄疑問。

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)筆記和問題通過平臺提交，為課堂討論做準備。

-教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和自主學(xué)習(xí)的能力。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺，提高預(yù)習(xí)資源的可達性和預(yù)習(xí)進度的透明性。

-作用與目的：

讓學(xué)生提前接觸新課內(nèi)容，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和提出問題的能力。

2.課中強化技能

-教師活動：

導(dǎo)入新課：通過現(xiàn)實生活中的案例導(dǎo)入，如“小明和小華同時出發(fā)去公園，他們?nèi)绾蜗嘤?？?/p>

講解知識點：詳細講解如何從案例中建立二元一次方程組，并解之。

組織課堂活動：設(shè)計小組合作活動，讓學(xué)生解決類似實際問題。

解答疑問：及時解答學(xué)生在探索過程中的疑問。

-學(xué)生活動：

聽講并思考：認真聽講，思考方程組的建立和解法。

參與課堂活動：在小組內(nèi)討論，共同解決實際問題。

提問與討論：對不懂的問題提出疑問，參與小組討論。

-教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過案例分析，幫助學(xué)生理解方程組的實際應(yīng)用。

實踐活動法：通過小組合作，提高學(xué)生解決問題的能力。

合作學(xué)習(xí)法：加強學(xué)生之間的溝通與協(xié)作。

-作用與目的：

加深學(xué)生對二元一次方程組的理解和應(yīng)用。

通過實際操作，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和團隊合作能力。

3.課后拓展應(yīng)用

-教師活動：

布置作業(yè)：根據(jù)課堂內(nèi)容，布置相關(guān)作業(yè)，如解決一個新的實際問題。

提供拓展資源：推薦相關(guān)書籍和網(wǎng)絡(luò)資源，供學(xué)生深入了解。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋。

-學(xué)生活動：

完成作業(yè)：獨立完成作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)成果。

拓展學(xué)習(xí)：利用拓展資源，提高對知識點的認識。

反思總結(jié)：總結(jié)學(xué)習(xí)過程，提出改進措施。

-教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主完成作業(yè)，進行深入學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：通過反思，促進學(xué)生自我評價和自我提升。

-作用與目的：

鞏固學(xué)生對二元一次方程組的掌握。

拓寬學(xué)生知識視野，提高自我認知和自我完善的能力。知識點梳理1.二元一次方程組的定義與表示

-二元一次方程組的概念：由兩個二元一次方程組成的方程組。

-二元一次方程組的表示：一般形式為\(\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}\)，其中\(zhòng)(a,b,c,d,e,f\)是常數(shù)，\(x,y\)是未知數(shù)。

2.二元一次方程組的解法

-代入法：從其中一個方程解出一個變量，然后代入另一個方程。

-消元法：通過加減乘除運算，消去一個變量，得到一個一元一次方程，再解出另一個變量。

-注意解法的選擇：根據(jù)方程組的特點選擇最合適的解法。

3.實際問題與二元一次方程組的聯(lián)系

-抽象思維：從現(xiàn)實問題中抽象出二元一次方程組。

-模型建立：根據(jù)問題情境，找出兩個變量之間的關(guān)系，列出方程組。

-解的應(yīng)用：將解代入實際問題，驗證解答的正確性。

4.常見類型的實際問題

-速度與時間問題：相遇、追及等問題。

-面積與邊長問題：幾何圖形的面積和邊長關(guān)系。

-成本與數(shù)量問題：總成本、單價、數(shù)量之間的關(guān)系。

5.解題步驟

-閱讀題目，理解問題情境。

-抽象出二元一次方程組。

-選擇合適的解法求解。

-將解代入實際問題，驗證答案。

-注意檢驗解是否滿足實際問題的所有條件。

6.解題策略

-識別關(guān)鍵信息：在問題中找出與未知數(shù)相關(guān)的關(guān)鍵信息。

-確定變量關(guān)系：分析變量之間的線性關(guān)系，列出方程。

-轉(zhuǎn)化與簡化：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，簡化問題。

-檢驗解的合理性：確保解在實際情況中是合理的。

7.課后練習(xí)與拓展

-基礎(chǔ)練習(xí)：圍繞教材課后習(xí)題，鞏固二元一次方程組的解法。

-拓展練習(xí)：選擇一些實際問題，讓學(xué)生獨立建立方程組并求解。

-研究性學(xué)習(xí)：鼓勵學(xué)生探索不同類型的實際問題，總結(jié)解題策略。典型例題講解例題1：速度與時間問題

小明和小華同時從同一地點出發(fā)，小明以每小時5公里的速度向北走，小華以每小時4公里的速度向南走。問1.5小時后，他們相距多遠？

解：

設(shè)小明走的距離為\(x\)公里，小華走的距離為\(y\)公里。

根據(jù)題意，可以列出以下方程組：

\(\begin{cases}x=5\times1.5\\y=4\times1.5\end{cases}\)

解得：

\(x=7.5,y=6\)

他們相距的距離為\(x+y=7.5+6=13.5\)公里。

例題2：面積與邊長問題

一個長方形的面積是24平方厘米，長比寬多4厘米。求長方形的長和寬。

解：

設(shè)長方形的長為\(x\)厘米，寬為\(y\)厘米。

根據(jù)題意，可以列出以下方程組：

\(\begin{cases}x\timesy=24\\x=y+4\end{cases}\)

代入法解得：

\(y^2+4y-24=0\)

解得：

\(y=4\)（負值舍去）

\(x=y+4=8\)

長方形的長為8厘米，寬為4厘米。

例題3：成本與數(shù)量問題

某商品的單價是每件150元，如果購買5件以上，每件可以打9折。小明購買這種商品，付了675元，問他購買了幾件商品？

解：

設(shè)小明購買的商品件數(shù)為\(x\)件。

根據(jù)題意，可以列出以下方程：

如果\(x\leq5\)，則\(150x=675\)；

如果\(x>5\)，則\(150\times0.9x=675\)。

解得：

\(x=4.5\)（不合理，因為不能購買半件商品）

\(x=5\)（不合理，因為5件的總價為750元）

\(x=7\)

小明購買了7件商品。

例題4：年齡問題

爸爸比小明大28歲，3年后，爸爸的年齡將是小明年齡的2倍。求小明現(xiàn)在的年齡。

解：

設(shè)小明現(xiàn)在的年齡為\(x\)歲，爸爸的年齡為\(y\)歲。

根據(jù)題意，可以列出以下方程組：

\(\begin{cases}y=x+28\\y+3=2(x+3)\end{cases}\)

解得：

\(x=13,y=41\)

小明現(xiàn)在13歲。

例題5：距離與速度問題

甲、乙兩地相距120公里，從甲地到乙地，自行車和摩托車的速度分別是15公里/小時和30公里/小時。問同時出發(fā)后，幾小時后摩托車追上自行車？

解：

設(shè)摩托車追上自行車的時間為\(x\)小時。

根據(jù)題意，可以列出以下方程：

\(30x=15x+120\)

解得：

\(x=4\)

摩托車在4小時后追上自行車。課堂小結(jié)，當堂檢測1.課堂小結(jié)

本節(jié)課，我們主要學(xué)習(xí)了如何從實際問題中抽象出二元一次方程組，并利用方程組解決實際問題。我們了解了二元一次方程組的定義、表示方法，以及代入法和消元法兩種解法。通過具體例題的分析，我們掌握了如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以及如何檢驗解的合理性。我們還學(xué)習(xí)了常見類型的實際問題，如速度與時間問題、面積與邊長問題、成本與數(shù)量問題等。最后，我們通過課后練習(xí)和拓展，進一步鞏固了所學(xué)知識。

2.當堂檢測

為了檢測學(xué)生對本節(jié)課知識的掌握情況，我將設(shè)計以下當堂檢測題目：

題目1：一輛汽車從甲地出發(fā)，以60公里/小時的速度向東行駛，一輛自行車從乙地出發(fā)，以20公里/小時的速度向西行駛。已知兩地相距120公里，問幾小時后兩車相遇？

題目2：一個長方形的周長是36厘米，長比寬多4厘米。求長方形的長和寬。

題目3：某商品的單價是每件100元，購買5件以上可以打8折。小明購買這種商品，付了480元，問他購買了幾件商品？

題目4：媽媽比小明大26歲，4年后，媽媽的年齡將是小明年齡的3倍。求小明現(xiàn)在的年齡。

題目5：甲、乙兩地相距100公里，從甲地到乙地，汽車和火車的速度分別是50公里/小時和80公里/小時。問同時出發(fā)后，幾小時后火車追上汽車？板書設(shè)計1.重點知識點：

①二元一次方程組的定義與表示

②二元一次方程組的解法：代入法、消元法

③實際問題與二元一次方程組的聯(lián)系

④常見類型的實際問題：速度與時間問題、面積與邊長問題、成本與數(shù)量問題

⑤解題步驟：閱讀題目、抽象出方程組、選擇解法、驗證答案

⑥解題策略：識