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文檔簡介
第十章
概率10.2事件的相互獨立性概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1
對任意的事件A,都有P(A)≥0;性質(zhì)2
必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即
P(Ω)=1,P(?)=0;性質(zhì)3
如果事件A和事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);性質(zhì)4
事件A與事件B互為對立事件,那么P(A)=1-P(B),P(B)=1-P(A);性質(zhì)5
如果A?B,那么P(A)≤P(B);對于任意事件A,0≤P(A)≤1;性質(zhì)6
設(shè)A,B是一個試驗中的兩個事件,我們有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).溫故而知新考點學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)相互獨立事件的概念理解相互獨立事件的概念及意義數(shù)學(xué)抽象相互獨立事件同時發(fā)生的概率能記住相互獨立事件概率的乘法公式;能綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解題數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)目標我們知道,積事件AB就是事件A與事件B同時發(fā)生.因此,積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A,B發(fā)生的概率有關(guān).那么,這種關(guān)系會是怎樣的呢?試驗1:分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,A=“第一枚硬幣正面朝上”,B=“第二枚硬幣反面朝上”;分別計算P(A),P(),P(AB),你有什么發(fā)現(xiàn)?用1表示硬幣“正面朝上”,用0表示硬幣“反面朝上”,則樣本空間為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4個等可能的樣本點,A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率計算公式,P(A)=P(B)=,P(AB)=,于是P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)等于P(A),P(B)的乘積.新課引入
設(shè)A,B兩個事件,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱獨立.
對于兩個事件A,B,如果其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響,就把它們叫做相互獨立事件.
P(AB)=P(A)P(B)
事件A與B相互獨立.根據(jù)相互獨立事件的定義,必然事件一定發(fā)生,不受任何事件是否發(fā)生的影響;同樣,不可能事件一定不會發(fā)生,不受任何事件是否發(fā)生的影響,當(dāng)然,他們也不影響其他事件的發(fā)生.
P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω),P(A?)=P(?)=P(A)P(?)成立.因此,必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立.探索新知
若事件A與B相互獨立,那么它們的對立事件是否也相互獨立?分別驗證
是否獨立?AB探索新知解析:因為
,且AB與
互斥
所以所以由事件的獨立性定義,
類似地,可以證明事件
與B、
與
相互獨立
由事件地獨立性定義,A與
相互獨立例1.一個袋子中裝有標號分別是1,2,3,4的4個球,除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”,那么事件A與B是否獨立?樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},m≠n},包含12個等可能樣本點,A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},所以AB={(1,2),(2,1)}.所以P(A)=P(B)==,P(AB)==,此時P(AB)≠P(A)P(B),因此事件A與B不獨立.例題例2.
甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽,甲的中靶概率為0.8,乙的中靶概率為0.9,求下列事件的概率:(1)兩人都中靶;
(2)恰好有一人中靶;
(3)兩人都脫靶;
(4)至少有一人中靶.解:設(shè)A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,
=
“
甲脫靶
,
=
“乙脫靶”,由于
甲、乙射擊互不影響,∴A與B相互獨立,∴與B,A與
,
與
也相互獨立,由已知得P(A)=0.8,P(B)=0.9,P()=0.2,P()=0.1.(1)AB=“兩人都中靶”,由事件獨立性的定義,得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.例題(2)“恰好有一人中靶”=A
∪B,且A
與
B互斥,根據(jù)概率的加法公式和事件獨立性定義,得P(A
∪B)=P(A
)+P(B)=P(A)P(
)+P(
)P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.(3)事件“兩人都脫靶”=
,所以
P(
)=P(
)P(
)=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02.(4)方法1:由于事件“至少有一人中靶”的對立事件是“兩人都脫靶",根據(jù)對立事件的性質(zhì)得,事件“至少有一人中靶”的概率為1-P(
)=1-0.02
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