高中二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法（2）》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二.下學(xué)期春季課題數(shù)學(xué)歸納法(2)教科書書名：普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)教材出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)1.理解和掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟和本質(zhì)特征.2.會(huì)證明一些簡(jiǎn)單的關(guān)于正整數(shù)n的數(shù)學(xué)命題.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程課題：數(shù)學(xué)歸納法（2）教學(xué)目的１、知識(shí)與技能：了解數(shù)學(xué)歸納法原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的概念；２、過(guò)程與方法：掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．３、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重點(diǎn):重點(diǎn)了解數(shù)學(xué)歸納法原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．難點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.教學(xué)過(guò)程：學(xué)生探究過(guò)程：我們已經(jīng)用歸納法得到許多結(jié)論，例如，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，自然數(shù)平方和公式．這些命題都與自然數(shù)有關(guān)，自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)，我們無(wú)法對(duì)所有的自然數(shù)逐一驗(yàn)證．怎樣證明一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題呢？討論以下兩個(gè)問(wèn)題的解決方案：（1）在本章引言的例子中，因?yàn)榇永锏臇|西是有限的，遲早可以把它摸完，這樣總可以得到一個(gè)肯定的結(jié)論．因此，要弄清袋子里究竟裝了什么東西是一件很容易的事．但是，當(dāng)袋子里的東西是無(wú)限多個(gè)的時(shí)候，那怎么辦呢？（2）我們有時(shí)會(huì)做一種游戲，在一個(gè)平面上擺一排磚（每塊磚都豎起），假定這排磚有無(wú)數(shù)塊，我們要使所有的磚都倒下，只要做兩件事就行了．第一，使第一塊磚倒下；第二，保證前一塊磚倒下后一定能擊倒下一塊磚．一、復(fù)習(xí)引入：?jiǎn)栴}1：這里有一袋球共十二個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問(wèn)怎么辦？方法一：把它倒出來(lái)看一看就可以了．特點(diǎn)：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．方法二：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)．比如結(jié)果為：第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，……，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白球．特點(diǎn)：有順序，有過(guò)程．問(wèn)題2：在數(shù)列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推測(cè)通項(xiàng)an的公式．過(guò)程：，，，由此得到：，解決以上兩個(gè)問(wèn)題用的都是歸納法.再請(qǐng)看數(shù)學(xué)史上的兩個(gè)資料：資料1:費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)．但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n=0，1，2，3，4時(shí)的值分別為3,5,17,257,65537作了驗(yàn)證后得到的．18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了當(dāng)n=5時(shí)，=4294967297=6700417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)．有人說(shuō)，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無(wú)法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上！資料2：f（n）=n2+n+41，當(dāng)n∈N時(shí)，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，…

f（39）=1601．但是f（40）=1681=412是合數(shù)算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說(shuō)世界級(jí)大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說(shuō)歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來(lái)．對(duì)于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)．對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明課件展示：多媒體課件(游戲：多米諾骨牌),多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠?jī)蓷l：（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒．用這種思想設(shè)計(jì)出來(lái)的，用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列中，為首項(xiàng)，為公差，則通項(xiàng)公式為．①證：（1）當(dāng)時(shí)，等式左邊，等式右邊，等式①成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式①成立，即，那么，當(dāng)時(shí)，有．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任何，等式①都成立．注意：（1）這兩個(gè)步驟是缺一不可的．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟（1）是命題論證的基礎(chǔ)，步驟（2）是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證；（2）在數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，在第二步，即時(shí)為什么成立？時(shí)成立是利用假設(shè)時(shí)成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出時(shí)成立，而不是直接代入，否則時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒(méi)有得到證明；（3）用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析．?dāng)?shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過(guò)程分二個(gè)階段，第一階段從對(duì)歸納法的認(rèn)識(shí)開(kāi)始，到對(duì)不完全歸納法的認(rèn)識(shí)，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí)，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對(duì)策醞釀，從介紹遞推思想開(kāi)始，到認(rèn)識(shí)遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中