高中二年級下學期數(shù)學《數(shù)學歸納法（2）》教學設(shè)計

教學設(shè)計

課程基本信息學科數(shù)學年級高二.下學期春季課題數(shù)學歸納法(2)教科書書名：普通高中數(shù)學選擇性必修第二冊教材出版社：人民教育出版社教學目標1.理解和掌握數(shù)學歸納法的基本步驟和本質(zhì)特征.2.會證明一些簡單的關(guān)于正整數(shù)n的數(shù)學命題.教學內(nèi)容教學重點：數(shù)學歸納法的原理教學難點：數(shù)學歸納法的應用教學過程課題：數(shù)學歸納法（2）教學目的１、知識與技能：了解數(shù)學歸納法原理，理解數(shù)學歸納法的概念；２、過程與方法：掌握數(shù)學歸納法的證明步驟，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題．３、情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。教學重點:重點了解數(shù)學歸納法原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題．難點用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.教學過程：學生探究過程：我們已經(jīng)用歸納法得到許多結(jié)論，例如，等差數(shù)列的通項公式，自然數(shù)平方和公式．這些命題都與自然數(shù)有關(guān)，自然數(shù)有無限多個，我們無法對所有的自然數(shù)逐一驗證．怎樣證明一個與自然數(shù)有關(guān)的命題呢？討論以下兩個問題的解決方案：（1）在本章引言的例子中，因為袋子里的東西是有限的，遲早可以把它摸完，這樣總可以得到一個肯定的結(jié)論．因此，要弄清袋子里究竟裝了什么東西是一件很容易的事．但是，當袋子里的東西是無限多個的時候，那怎么辦呢？（2）我們有時會做一種游戲，在一個平面上擺一排磚（每塊磚都豎起），假定這排磚有無數(shù)塊，我們要使所有的磚都倒下，只要做兩件事就行了．第一，使第一塊磚倒下；第二，保證前一塊磚倒下后一定能擊倒下一塊磚．一、復習引入：問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦？方法一：把它倒出來看一看就可以了．特點：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．方法二：一個一個拿，拿一個看一個．比如結(jié)果為：第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球．特點：有順序，有過程．問題2：在數(shù)列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式．過程：，，，由此得到：，解決以上兩個問題用的都是歸納法.再請看數(shù)學史上的兩個資料：資料1:費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數(shù)學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻．但是，費馬曾認為，當n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0，1，2，3，4時的值分別為3,5,17,257,65537作了驗證后得到的．18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了當n=5時，=4294967297=6700417×641，從而否定了費馬的推測．有人說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個上！資料2：f（n）=n2+n+41，當n∈N時，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，…

f（39）=1601．但是f（40）=1681=412是合數(shù)算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來．對于生活、生產(chǎn)中的實際問題，得出的結(jié)論的正確性，應接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標準．對于數(shù)學問題，應尋求數(shù)學證明課件展示：多媒體課件(游戲：多米諾骨牌),多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒．用這種思想設(shè)計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學歸納法．數(shù)學運用例1．用數(shù)學歸納法證明：等差數(shù)列中，為首項，為公差，則通項公式為．①證：（1）當時，等式左邊，等式右邊，等式①成立．（2）假設(shè)當時等式①成立，即，那么，當時，有．這就是說，當時等式也成立．根據(jù)（1）和（2），可知對任何，等式①都成立．注意：（1）這兩個步驟是缺一不可的．數(shù)學歸納法的步驟（1）是命題論證的基礎(chǔ)，步驟（2）是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證；（2）在數(shù)學歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵，在第二步，即時為什么成立？時成立是利用假設(shè)時成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學結(jié)論推證出時成立，而不是直接代入，否則時也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明；（3）用數(shù)學歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學歸納法證明，學習時要具體問題具體分析．數(shù)學歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結(jié)束．理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，還要注意其中