人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)-空間向量的數(shù)量積運(yùn)算-課時(shí)作業(yè)【含解析】

課時(shí)作業(yè)2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【原卷版】時(shí)間：45分鐘一、選擇題1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，則eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD1,\s\up16(→))等于()A．0 B．1C.eq\f(1,2) D．－12．已知m，n是異面直線，且m⊥n，e1，e2分別為取自直線m，n上的單位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為()A．－6 B．6C．3 D．－33．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|等于()A.eq\r(97) B．97C.eq\r(61) D．614．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，有下列命題：①(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up16(→))2；②eq\o(A1C,\s\up16(→))·(eq\o(A1B1,\s\up16(→))－eq\o(A1A,\s\up16(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up16(→))與eq\o(A1B,\s\up16(→))的夾角為60°.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．05．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，則a＋b與a－b之間的關(guān)系是()A．垂直 B．共線C．不垂直 D．以上都可能6.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC，E為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))等于()A．0 B．1C．2 D．37．已知向量a，b滿足條件：|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a與2b－a互相垂直，則〈a，b〉等于()A．30° B．45°C．60° D．90°8．(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是()A．四邊形ABC1D1的面積為|eq\o(AB,\s\up16(→))||eq\o(BC1,\s\up16(→))|B.eq\o(AD1,\s\up16(→))與eq\o(A1B,\s\up16(→))的夾角為60°C．(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up16(→))2D.eq\o(A1C,\s\up16(→))·(eq\o(A1B1,\s\up16(→))－eq\o(A1D1,\s\up16(→)))＝0二、填空題9．已知a，b為兩個(gè)非零空間向量，若|a|＝2eq\r(2)，|b|＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝－eq\r(2)，則〈a，b〉＝如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AF,\s\up16(→))＝7，則eq\o(EF,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))的夾角的余弦值等于11．已知空間向量a，b，|a|＝3eq\r(2)，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，則λ的值為三、解答題12.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c.(1)試用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up16(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長(zhǎng)．13．在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))所成角的余弦值．14．(多選題)下列命題中不正確的是()A．|a|－|b|<|a＋b|是向量a，b不共線的充要條件B．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0C．在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)D．設(shè)A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面15．等邊三角形ABC中，P在線段AB上，且eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，若eq\o(CP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為16.如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.(1)求證：CC1⊥BD.(2)試求當(dāng)eq\f(CD,CC1)的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD?課時(shí)作業(yè)2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【解析版】時(shí)間：45分鐘一、選擇題1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，則eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD1,\s\up16(→))等于(B)A．0 B．1C.eq\f(1,2) D．－1解析：eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD1,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))·(eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))2＋eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AA1,\s\up16(→))＝0＋0＋1＋0＝1.故選B.2．已知m，n是異面直線，且m⊥n，e1，e2分別為取自直線m，n上的單位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為(B)A．－6 B．6C．3 D．－3解析：∵m⊥n，∴e1⊥e2，即e1·e2＝0，由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故選B.3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|等于(C)A.eq\r(97) B．97C.eq\r(61) D．61解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝eq\r(61).故選C.4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，有下列命題：①(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up16(→))2；②eq\o(A1C,\s\up16(→))·(eq\o(A1B1,\s\up16(→))－eq\o(A1A,\s\up16(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up16(→))與eq\o(A1B,\s\up16(→))的夾角為60°.其中真命題的個(gè)數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．0解析：①②正確；∵eq\o(AD1,\s\up16(→))與eq\o(A1B,\s\up16(→))的夾角為120°，∴③不正確．故選B.5．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，則a＋b與a－b之間的關(guān)系是(A)A．垂直 B．共線C．不垂直 D．以上都可能解析：由題意知|a|＝|b|，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．故選A.6.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC，E為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))等于(A)A．0 B．1C．2 D．3解析：∵eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))·(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→)))·(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up16(→))－2eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))·(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up16(→))2－eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up16(→))2－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))，又易知eq\o(DB,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝0，eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝0，eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))＝0，|eq\o(DB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|，∴eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.故選A.7．已知向量a，b滿足條件：|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a與2b－a互相垂直，則〈a，b〉等于(B)A．30° B．45°C．60° D．90°解析：根據(jù)a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2，又cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,2×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝45°.故選B.8．(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是(ACD)A．四邊形ABC1D1的面積為|eq\o(AB,\s\up16(→))||eq\o(BC1,\s\up16(→))|B.eq\o(AD1,\s\up16(→))與eq\o(A1B,\s\up16(→))的夾角為60°C．(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up16(→))2D.eq\o(A1C,\s\up16(→))·(eq\o(A1B1,\s\up16(→))－eq\o(A1D1,\s\up16(→)))＝0解析：如圖．由AB⊥平面BB1C1C得AB⊥BC1，所以四邊形ABC1D1的面積為|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(BC1,\s\up16(→))|，故A正確；∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1B∥D1C，∴異面直線AD1與A1B所成的夾角為60°，但是向量eq\o(AD1,\s\up16(→))與eq\o(A1B,\s\up16(→))的夾角為120°，故B錯(cuò)誤；由向量加法的運(yùn)算法則可以得eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→))，∵eq\o(AC1,\s\up16(→))2＝3eq\o(A1B1,\s\up16(→))2，∴(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up16(→))2，故C正確；由向量運(yùn)算可得eq\o(A1B1,\s\up16(→))－eq\o(A1D1,\s\up16(→))＝eq\o(D1B1,\s\up16(→))，∵在正方體ABCD-A1B1C1D中，D1B1⊥平面AA1C1C，∴D1B1⊥A1C，∴eq\o(A1C,\s\up16(→))·eq\o(D1B1,\s\up16(→))＝0，故D正確．故選ACD.二、填空題9．已知a，b為兩個(gè)非零空間向量，若|a|＝2eq\r(2)，|b|＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝－eq\r(2)，則〈a，b〉＝eq\f(3π,4).解析：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(\r(2),2)，∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f(3π,4).10.如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AF,\s\up16(→))＝7，則eq\o(EF,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))的夾角的余弦值等于eq\f(1,6).解析：由題意可得eq\o(BC,\s\up16(→))2＝9＝(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))2＝eq\o(AC,\s\up16(→))2＋eq\o(AB,\s\up16(→))2－2eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝9＋4－2eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))，∴eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝2.由eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AF,\s\up16(→))＝7，可得eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→)))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))2＋eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BF,\s\up16(→))＝4＋eq\o(AB,\s\up16(→))·(－eq\o(BF,\s\up16(→)))＋2＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BF,\s\up16(→))＝6＋eq\o(BF,\s\up16(→))·(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝6＋eq\f(1,2)eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝7.∴eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝2，即4×3×cos〈eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝2，∴cos〈eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝eq\f(1,6).11．已知空間向量a，b，|a|＝3eq\r(2)，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，則λ的值為－eq\f(3,10).解析：由題意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3eq\r(2)×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－15，由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－eq\f(3,10).三、解答題12.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c.(1)試用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up16(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長(zhǎng)．解：(1)eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→))＋eq\o(B1N,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA1,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)(c－a)＋a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×eq\f(1,2)＋2×1×1×eq\f(1,2)＝5，∴|a＋b＋c|＝eq\r(5)，∴|eq\o(MN,\s\up16(→))|＝eq\f(1,3)|a＋b＋c|＝eq\f(\r(5),3)，即MN＝eq\f(\r(5),3).13．在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))所成角的余弦值．解：∵eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))，∴eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|·|eq\o(AC,\s\up16(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉－|eq\o(OA,\s\up16(→))|·|eq\o(AB,\s\up16(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(AB,\s\up16(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2)，∴cos〈eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(OA,\s\up16(→))|·|\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).14．(多選題)下列命題中不正確的是(ACD)A．|a|－|b|<|a＋b|是向量a，b不共線的充要條件B．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0C．在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)D．設(shè)A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面解析：由|a|－|b|<|a＋b|，知向量a，b可能共線，比如共線向量a，b的模分別是2,3，故A錯(cuò)誤；在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))·eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))·(eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→)))＋eq\o(CB,\s\up16(→))·(eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→)))＝eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＝0，故B正確；eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝|eq\o(AB,\s\up16(→))||eq\o(BC,\s\up16(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，故C錯(cuò)誤；由eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＋1＝2≠1可知P，A，B，C四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤．故選ACD.15．等邊三角形ABC中，P在線段AB上，且eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，若eq\o(CP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為1－eq\f(\r(2),2).解析：如圖，eq\o(CP,\s\up16(→))＝－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AP,\s\up16(→))＝－eq\o(AC,\s\up16(→))＋λeq\o(AB,\s\up16(→))，故eq\o(CP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(λeq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))·