第二章 滾動(dòng)訓(xùn)練三

第頁滾動(dòng)訓(xùn)練三(§1～§3)一、選擇題1．若拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線方程答案B解析由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為eq\f(1,8)，代入拋物線方程得y＝±eq\f(\r(2),4)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))，故選B.2．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線的距離是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D.eq\r(3)考點(diǎn)拋物線的簡單性質(zhì)題點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題答案B解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線方程是y＝±eq\r(3)x，即eq\r(3)x±y＝0，所以所求距離為eq\f(|\r(3)±0|,\r(\r(3)2＋±12))＝eq\f(\r(3),2)，故選B.3．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(1＋\r(3),2) D.eq\f(1＋\r(5),2)答案D解析不妨設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則可令F(c,0)，B(0，b)，直線FB：bx＋cy－bc＝0與漸近線y＝eq\f(b,a)x垂直，所以－eq\f(b,c)·eq\f(b,a)＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．4．一條直線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，且與拋物線y2＝x交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝4，則弦AB的中點(diǎn)到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離等于()A.eq\f(7,4) B．2C.eq\f(9,4) D．4考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問題題點(diǎn)與焦點(diǎn)弦有關(guān)的其他問題答案C解析∵拋物線方程為y2＝x，∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,4)，∴直線AB過拋物線焦點(diǎn)，∴由拋物線的定義知，弦AB的中點(diǎn)到直線x＝－eq\f(1,4)的距離為2，∴弦AB的中點(diǎn)到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離等于2＋eq\f(1,4)＝eq\f(9,4).5．已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為()A．y2＝4x B．y2＝－4xC．x2＝4y D．y2＝8x考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線相交弦中點(diǎn)問題答案A解析依題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(y2－y1,x2－x1)＝1，∵P(2,2)為AB的中點(diǎn)，∴y1＋y2＝4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，,y\o\al(2,2)＝2px2，))得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，∴2p＝(y2＋y1)eq\f(y2－y1,x2－x1)＝4，∴拋物線C的方程為y2＝4x.6．若雙曲線與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為y＝－x，則雙曲線的方程為()A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題答案D解析設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)為(0，±4eq\r(3))，所以λ<0，且－2λ＝(4eq\r(3))2，得λ＝－24.故選D.7．橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1與雙曲線eq\f(y2,15)－x2＝1有公共點(diǎn)P，則P與雙曲線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形的面積為()A．4 B．5eq\r(5)C．5 D．3考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題答案D解析由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點(diǎn)F1(0,4)和F2(0，－4)，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，由橢圓與雙曲線的定義可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝10，,|PF1|－|PF2|＝2\r(15)，))所以|PF1|＝5＋eq\r(15)，|PF2|＝5－eq\r(15).在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(5＋\r(15)2＋5－\r(15)2－82,2×5＋\r(15)×5－\r(15))＝eq\f(4,5)，且∠F1PF2是三角形的內(nèi)角，于是sin∠F1PF2＝eq\f(3,5).因此△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×(5＋eq\r(15))×(5－eq\r(15))×eq\f(3,5)＝3.8．一動(dòng)圓與直線x＝－1相切且始終過點(diǎn)(1,0)，動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線C，那么曲線C上的一點(diǎn)到直線x＝－1的距離與到直線x＋y＋4＝0的距離和的最小值為()A.eq\r(2) B.eq\f(5\r(2),2)C.eq\f(4\r(2),3) D.eq\f(7\r(2),2)考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求最值答案B解析由題意知?jiǎng)訄A的圓心軌跡為以F(1,0)為焦點(diǎn)，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝4x，設(shè)拋物線上的一點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線x＝－1的距離為d1，到直線x＋y＋4＝0的距離為d2，由拋物線的定義知，d1＝|PF|，所以d1＋d2＝|PF|＋d2，|PF|＋d2的最小值為點(diǎn)F到直線x＋y＋4＝0的距離eq\f(|1＋4|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).故選B.二、填空題9．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為________．考點(diǎn)拋物線的簡單性質(zhì)題點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題答案eq\f(3,16)解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則雙曲線的焦距為2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝1，,\f(1,m)＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(3,4)，))∴mn＝eq\f(3,16).10．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，則p＝________.考點(diǎn)拋物線的簡單性質(zhì)題點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題答案2解析雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,x＝－\f(p,2)，))得y＝eq\f(bp,2a)，所以S△OAB＝eq\f(p,2)×eq\f(bp,2a)＝eq\r(3)，將eq\f(b,a)＝eq\r(3)代入解得p＝2.11．已知拋物線y2＝8x，過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)，且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若|AB|≤8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線相交時(shí)的其他問題答案(－2，－1]解析將l的方程y＝x－a代入y2＝8x，得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，則Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，∴a＞－2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，∴|AB|＝eq\r(2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(64a＋2)≤8，即eq\r(a＋2)≤1.又a＞－2，∴－2＜a≤－1.三、解答題12．已知雙曲線的一條漸近線為x＋eq\r(3)y＝0，且與橢圓x2＋4y2＝64有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解橢圓方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1，可知橢圓的焦距為8eq\r(3).①當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(b,a)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝12.))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1.②當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(a,b)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝36.))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.由①②可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.13．斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若線段|AB|的長為8.(1)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求直線的斜率k.考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問題題點(diǎn)與焦點(diǎn)弦有關(guān)的其他問題解(1)化y＝eq\f(1,4)x2為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝4y，由此，可知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義知|AF|＝y(tǒng)1＋1，|BF|＝y(tǒng)2＋1，于是|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋2，又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，由(1)得，拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，所以直線l的方程為y＝kx＋1，所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，由直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立得kx＋1＝eq\f(x2,4)，即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.四、探究與拓展14．若拋物線y2＝x上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋b對稱，且y1y2＝－1，則實(shí)數(shù)b的值為()A．－3 B．3C．2 D．－2考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線相交時(shí)的其他問題答案D解析由題意知，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－1，∴eq\f(y1－y2,y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2))＝－1，則y1＋y2＝－1，∵y1y2＝－1，∴x1＋x2＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，∴兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，代入y＝x＋b，可得b＝－2.15.如圖，已知△AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y2＝2x的頂點(diǎn)O，A，B兩點(diǎn)都在拋物線上，且∠AOB＝90°，(1)證明：直線AB必過一定點(diǎn)；(2)求△AOB面積的最小值．考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線相交時(shí)的其他問題(1)證明設(shè)OA所在直線的方程為y＝kx(k≠0)，則直線OB的方程為y＝－eq\f(1,k)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,k2)，,y＝\f(2,k)，))即A