高考數(shù)學一輪復習-平面向量、復數(shù)之復數(shù)講義

高考數(shù)學一輪復習講義平面向量、復數(shù)之復數(shù)一、知識點講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)1.復數(shù)的有關(guān)概念名稱含義復數(shù)的定義形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復數(shù)，其中實部為①a，虛部為②b，i為虛數(shù)單位且i2＝③－1.復數(shù)分類a＋bi為實數(shù)?b＝0；a＋bi為虛數(shù)?b≠0；a＋bi為純虛數(shù)?④a＝0且b≠0（a，b∈R）.復數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.注意實數(shù)能比較大小，虛數(shù)不能比較大小.共軛復數(shù)a＋bi與c＋di互為共軛復數(shù)?⑤a＝c且b＝－d（a，b，c，d∈R）.復平面建立平面直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做⑥實軸，y軸叫做⑦虛軸.說明實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示虛數(shù).復數(shù)的模設(shè)OZ對應的復數(shù)為z＝a＋bi，則向量OZ的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模或絕對值，記作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝⑧a2＋2.復數(shù)的幾何意義思維拓展（1）r1≤｜z｜≤r2表示以原點O為圓心，以r1和r2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；（2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）為圓心，r為半徑的圓.3.復數(shù)的四則運算（1）復數(shù)的運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.運算法則運算形式加法z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝⑨（a＋c）＋（b＋d）i.減法z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝⑩（a－c）＋（b－d）i.乘法z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝?（ac－bd）＋（ad＋bc）i.除法z1z2＝a＋bic＋di＝（2）復數(shù)的運算律對任意的z1，z2，z3∈C：加法運算律交換律：z1＋z2＝?z2＋z1.結(jié)合律：（z1＋z2）＋z3＝?z1＋（z2＋z3）.乘法運算律交換律：z1z2＝z2z1.結(jié)合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）.分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.（3）復數(shù)加、減運算的幾何意義：復數(shù)的加、減法可以按照向量的加、減法來進行若復數(shù)z1，z2對應的向量OZ1，OZ2不共線，則復數(shù)z1＋z2是以O(shè)Z1，OZ2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線OZ所對應的復數(shù)；復數(shù)z1－z2是OZ1二、基礎(chǔ)題練習1.下列說法正確的是（D）A.復數(shù)z＝a－bi（a，b∈R）中，虛部為bB.復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小C.已知z＝a＋bi（a，b∈R），當a＝0時，復數(shù)z為純虛數(shù)D.復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模2.[2023南京市六校聯(lián)考]復數(shù)z＝1+i1+2i（i為虛數(shù)單位），則｜zA.25 B.23 C.103 解析解法一z＝1+i1+2i＝（1+i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝3解法二｜z｜＝｜1+i1+2i｜＝｜1+i｜｜1+2i｜＝12＋13.[2021新高考卷Ⅰ]已知z＝2－i，則z（z＋i）＝（C）A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i解析因為z＝2－i，所以z（z＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝6＋2i，故選C.4.[2023合肥市二檢]設(shè)i是虛數(shù)單位，復數(shù)z＝2i1－A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因為z＝2i1－i＝2i三、知識點例題講解及方法技巧總結(jié)命題點1復數(shù)的概念例1（1）[全國卷Ⅲ]復數(shù)11A.－310 B.－110 C.110 解析11－3i＝1+3i（1+3i)(1－3i（2）[2023全國卷甲]設(shè)a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，則a＝（C）A.－2 B.－1C.1 D.2解析∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故選C.（3）[2022全國卷甲]若z＝1＋i，則｜iz＋3z｜＝（D）A.45 B.42C.25 D.22解析因為z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22＋（－方法技巧1.求解與復數(shù)有關(guān)概念問題的技巧：將復數(shù)化為z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，然后根據(jù)復數(shù)的有關(guān)概念求解即可.2.若兩個復數(shù)相等，則它們的實部與實部相等，虛部與虛部相等.3.復數(shù)的概念中的常用性質(zhì)（1）z1±z2＝z1±z2；z1·z2＝z（2）｜z｜＝｜z｜，｜z2｜＝｜z｜2＝z·z，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜z1z2訓練1（1）[2023全國卷乙]設(shè)z＝2+i1+i2A.1－2i B.1＋2iC.2－i D.2＋i解析z＝2+i1+i2＋i5＝（2）[2022全國卷乙]已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b為實數(shù)，則（A）A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2解析由題意知z－＝1＋2i，所以z＋az－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a＋（3）[2023武漢市5月模擬]設(shè)復數(shù)z滿足z－1zA.1 B.2 C.3 D.2解析因為z－1z+1為純虛數(shù)，所以可設(shè)z－1z+1＝解法一因為z＝（1+bi）2（1－bi)(1+bi解法二｜z｜＝｜1+bi1－b命題點2復數(shù)的運算例2（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知z＝1－i2+2i，則zA.－i B.iC.0 D.1解析因為z＝1－i2+2i＝（所以z＝12i，所以z－z＝－12i－故選A.（2）[2022全國卷甲]若z＝－1＋3i，則zzA.－1＋3i B.－1－3iC.－13＋33i D.－13解析zzz－1＝－1+3i方法技巧1.復數(shù)運算的解題策略（1）復數(shù)的加法、減法、乘法運算類比多項式的運算.（2）復數(shù)的除法運算是分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，即分母實數(shù)化.2.復數(shù)運算中的常用結(jié)論（1）（1±i）2＝±2i，1+i1－i＝i，1（2）a＋bii＝（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.訓練2（1）[2022新高考卷Ⅰ]若i（1－z）＝1，則z＋z＝（D）A.－2 B.－1C.1 D.2解析因為i（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z（2）[2023重慶二調(diào)]已知復數(shù)z滿足z＋3＝4z＋5i，i是虛數(shù)單位，則z2＝（B）A.－2i B.2iC.1＋i D.1－i解析令z＝a＋bi（a，b∈R），則a＋bi＋3＝4a－4bi＋5i，即3a－3＋（5－5b）i＝0，∴3a－3＝0，5－5b＝0，解得a＝1，b＝1，∴z＝1＋i，∴z2＝2i.故選B.命題點3復數(shù)的幾何意義例3（1）[2023新高考卷Ⅱ]在復平面內(nèi)，（1＋3i）·（3－i）對應的點位于（A）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因為（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為（6，8），位于第一象限，故選A.（2）[全國卷Ⅱ]設(shè)復數(shù)z1，z2滿足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，則｜z1－z2｜＝23.解析如圖所示，設(shè)復平面內(nèi)復數(shù)z1，z2所對應的點分別為Z1，Z2，O為原點，則OP＝OZ1＋由題知｜OP｜＝3+1＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四邊形OZ1PZ2為菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠OZ2Z1＝30°，｜Z1Z2｜＝2｜OZ2｜·cos30°＝23，所以｜z1－z2｜＝｜Z1Z2｜＝23.方法技巧1.根據(jù)復數(shù)、點、向量之間的一一對應關(guān)系，把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時運用數(shù)形結(jié)合的方法，可以更加直觀地解決問題.2.思維拓展｜z－z0｜表示在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點與復數(shù)z0對應的點之間的距離；｜z－z0｜＝r（r＞0）表示在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點在以復數(shù)z0對應的點為圓心、r為半徑的圓上；｜z－z1｜＝｜z－z2｜表示在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點在復數(shù)z1，z2對應點所連線段的垂直平分線上.訓練3（1）[2023湖北十一校聯(lián)考]復數(shù)z滿足｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，則｜z｜＝（C）A.10 B.13C.32 D.5解析解法一由｜z－5｜＝｜z－1｜，得復數(shù)z對應的點到點（5，0）和到點（1，0）的距離相等，所以復數(shù)z對應的點在直線x＝3上；由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得復數(shù)z對應的點到點（1，0）和到點（0，－1）的距離相等，所以復數(shù)z對應的點在直線y＝－x上.因為直線x＝3和直線y＝－x的交點為（3，－3），所以z＝3－3i，所以｜z｜＝32＋（－3解法二設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，得｜a－5＋bi｜＝｜a－1＋bi｜＝｜a＋（b＋1）i｜，得（a－5）2＋b2＝（2）[多選/2023石家莊市三檢]已知復數(shù)z1＝1＋2i，復數(shù)z滿足｜z－z1｜＝2，則下列說法正確的有（AD）A.z1·z1B.5－2＜｜z｜＜5＋2C.復數(shù)z1D.若復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點為Z（x，y），則（x－1）2＋（y－2）2＝4解析因為復數(shù)z1＝1＋2i，所以z1＝1－2i，其在復平面內(nèi)所對應的點為（1，－2），所以選項C錯誤；z1·z1＝（1＋2i）（1－2i）＝5，所以選項A正確；若復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點為Z（x，y），則可設(shè)復數(shù)z＝x＋yi，由｜z－z1｜＝2得，｜（x－1）＋（y－2）i｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以選項D正確；由D選項的分析知，若設(shè)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z（x，y），則｜z｜＝x2＋y2，其幾何意義為圓（x－1）2＋（y－2）2＝4上任意一點到原點的距離，圓心（1，2）到原點的距離為5，半徑為2，所以四、命題點習題講解1.[命題點1/浙江高考]已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i為虛數(shù)單位）是實數(shù)，則a＝（C）A.1 B.－1 C.2 D.－2解析因為a－1＋（a－2）i是實數(shù)，所以a－2＝0，所以a＝2.故選C.2.[命題點1/2021全國卷乙]設(shè)2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，則z＝（C）A.1－2i B.1＋2i C.1＋I D.1－i解析設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則z＝a－bi，代入2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故選C.3.[命題點2]在復數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)方程x2－2x＋k＝0的根分別為α，β，且｜α－β｜＝22，則實數(shù)k的值為3或－1.解析當方程x2－2x＋k＝0的根為虛數(shù)時，設(shè)α＝a＋bi，β＝a－bi，a，b∈R，則α＋β＝2a＝2，∴a＝1，αβ＝a2＋b2＝k，∴k＝1＋b2，∵｜α－β｜＝｜2bi｜＝22，∴b2＝2，∴k＝3；當x2－2x＋k＝0的根為實數(shù)時，α＋β＝2，αβ＝k，則｜α－β｜＝（α＋β）2－4αβ＝4－4k4.[命題點3]設(shè)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z，原點為O，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（C）A.若｜z｜＝1，則z＝±1或z＝±iB.若｜z＋1｜＝1，則點Z的集合為以（1，0）為圓心，1為半徑的圓C.若1≤｜z｜≤2，則點Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為πD.若｜z－1｜＝｜z＋i｜，則點Z的集合中有且只有兩個元素解析若｜z｜＝1，則點Z的集合為以原點為圓心，1為半徑的圓，有無數(shù)個點與復數(shù)z對應，故A錯誤；若｜z＋1｜＝1，則點Z的集合為以（－1，0）為圓心，1為半徑的圓，故B錯誤；若1≤｜z｜≤2，則點Z的集合為以原點為圓心，分別以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，所以點Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π×（2）2－π×12＝π，故C正確；若｜z－1｜＝｜z＋i｜，則點Z的集合是以點（1，0），（0，－1）為端點的線段的垂直平分線，集合中有無數(shù)個元素，故D錯誤.5.[命題點1，2，3/2023沈陽市三檢]在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2對應的點分別是（2，－1），（1，－3），則z2A.i B.－i C.1 D.－1解析因為復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點分別是（2，－1），（1，－3），所以z1＝2－i，z2＝1－3i，所以z2z1＝1－3i2五、習題實戰(zhàn)演練1.[2024河南信陽開學考試]i＋i2＋i3＋…＋i2025＝（C）A.2025 B.1－i C.i D.－i解析因為i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i－1－i＋1＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2025＝i，故選C.2.[2024貴陽模擬]復數(shù)z滿足（1＋2i）z＝3－i，則｜z｜＝（A）A.2 B.3 C.2 D.5解析解法一因為（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i＝（3－i)(1－2i）（1+2i)(1－解法二因為（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i，所以｜z｜＝｜3－i1+2i｜＝｜33.[2023高三名校聯(lián)考]已知a+2ii＝b＋i（a，b∈R），其中i是虛數(shù)單位，則a＋A.3 B.1 C.－1 D.－3解析解法一因為a+2ii＝b＋i，所以（a+2i）ii2＝2－ai＝b＋i，所以－a=1解法二因為a+2ii＝b＋i，所以a＋2i＝（b＋i）i，即a＋2i＝bi－1，所以a＝－1，4.[2024安徽六校聯(lián)考]復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為（3，－1），則1－iA.15－35i B.35C.15－15i D.－15解析由復數(shù)的幾何意義可知，z＝3－i，所以｜z｜＝2，所以1－i｜z｜＋i＝1－i2+i＝5.[2024江西四校聯(lián)考]設(shè)a，b∈R且b≠0，若復數(shù)（a＋bi）3是實數(shù)，則（A）A.b2＝3a2 B.a2＝3b2C.b2＝9a2 D.a2＝9b2解析因為（a＋bi）3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝（a3－3ab2）＋（3a2b－b3）i為實數(shù)，（提示：完全立方和公式為（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3）所以3a2b－b3＝0.又因為b≠0，所以3a2＝b2，故選A.6.[角度創(chuàng)新]設(shè)復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱，z1＝1＋2i，i為虛數(shù)單位，則z1z2＝（B）A.1－2i B.－5C.5 D.5i解析因為z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱，z1＝1＋2i，所以z2＝－1＋2i，所以z1z2＝（1＋2i）（－1＋2i）＝－5，故選B.7.[2023長沙重點中學模擬]設(shè)復數(shù)z滿足z－z－＝2i，｜z｜＝2，復數(shù)z所對應的點位于第一象限，則1A.1+3i2 C.－1+3i2 解析設(shè)z＝a＋bi（a∈R，b∈R），則z－＝a－bi，所以z－z－＝2bi＝2i，則｜z｜＝a2＋b2＝a2+1＝2，解得a＝±3.又因為復數(shù)z所對應的點位于第一象限，所以a＝3，所以z＝3＋i，所以1z8.[角度創(chuàng)新]若3+4iz是純虛數(shù)，則復數(shù)zA.－3＋4i B.3－4iC.4＋3i D.4－3i解析解法一因為復數(shù)3+4iz是純虛數(shù)，所以設(shè)3+4iz＝mi（m∈R且m≠0），則z＝3+4imi＝（3+4i)(－i）mi（－i）＝解法二設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則3+4iz＝（3+4i)(a－bi）（a＋bi)(a9.[開放題]已知復數(shù)z＝4+ai1+i，且z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則a解析z＝4+ai1+i＝（4+ai)(1－i）（1+i)(1－i）＝（4+ai)(1－i）210.[2023廣西聯(lián)考]設(shè)復數(shù)z＝x＋yi，其中x，y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，若y1－i＝x＋i，則復數(shù)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因為y1－i＝x＋i，所以y＝（x＋i）（1－i）＝x－xi＋i＋1，所以y＝x+1，1－x=0，解得y=211.[2023廣東六校聯(lián)考]設(shè)復數(shù)z＝12＋32i，其中i是虛數(shù)單位，z是A.zz＝1B.z2＝zC.z是方程x2－x＋1＝0的一個根D.滿足zn∈R的最小正整數(shù)n為3解析對于A，z·z＝（12＋32i）（12－32i）＝1，故A正確；對于B，z2＝（12＋32i）2＝－12＋32i，z＝12－32i，∴z2＝－z，故B錯誤；對于C，（12＋32i）2－（12＋32i）＋1＝－12＋32i－12－32i＋1＝0，則z是方程x2－x＋1＝0的一個根，故C正確；對于D，z＝12＋32i，z2＝－12.[多選]18世紀末，韋塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù)，使復數(shù)及其運算具有了幾何意義.例如，｜z｜＝｜OZ｜，即復數(shù)z的模的幾何意義為z在復平面內(nèi)對應的點Z到原點O的距離.下列說法正確的是（BCD）A.若｜z｜＝1，則z＝±1或z＝±iB.若在復平面內(nèi)，復數(shù)6＋5i，－3＋4i分別對應向量OA與OB（O為坐標原點），則向量BA對應的復數(shù)為9＋iC.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點為Z（－1，1），則z對應的點位于第三象限D(zhuǎn).若復數(shù)z滿足1≤｜z｜≤2，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點所構(gòu)成的圖形的面積為π解析對于A，令z＝12＋32i，滿足｜z｜＝1，故A錯誤；對于B，由題知BA＝OA－OB，即在復平面內(nèi)，Z（－1，1），∴z在復平面內(nèi)對應點（－1，－1），位于第三象限，故C正確；對于D，設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，∵復數(shù)z滿足1≤｜z｜≤2，∴1≤a2＋b2≤2，∴復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點所構(gòu)成的圖形面積為π×（2）2－π×12＝π，故D正確.故選BCD.13.[2024四川成都二中開學考試]已知復數(shù)z滿足｜z－1｜＝｜z＋i｜（i為虛數(shù)單位），在復平面內(nèi)，記z0＝2＋i對