全國2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 解三角形 含解析

易錯點06解三角形

易錯分析

易錯點1：正、余弦定理相關(guān)公式混亂、記錯

在△45C中，若角4B,C所對的邊分別是a,b,c,A為外接圓半徑，則

定理余弦定理正弦定理

/=if+(?—2Z?3OS__力；

q='=q=2R

公式序=片+才一2czeos__&

sinAsinBsinC

(?=才+〃—2aZ?cos一C

(l)5=27?sin24,b=27?sin__B,c=

片+(?一序

cosA-；27?sin__C

2bc

一十才一/(2)sinA=sinB=sinC=~^~；

常見變形cosB-；2R2R2R

Zac

⑶a:b:c=sin―力：sin—B:sin—C

廠一+Z^—才

cosC-(4)asinB=戾inA戾inC=csinB,asmC

2abf

=csinA

易錯點2：三角形面積公式不知如何運用、混亂、記錯

(X)S=~a,ha(ha表K2邊上的高).

2

j11o

(2)S=-absinC=-acsinB=—AsinA=-.

22247?

(3)S=—Ka+b+cQ為內(nèi)切圓半徑).

錯題糾正

1.已知△45。的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且6。=5c+66cosC,貝！JcosB=

()

7532

A?飛B-?C-4D'?

【答案】B

1

【詳解】由6a=5c+6bcosC,邊化角得6sin4=5sinC+6sin3cosC,

又sin/=sin（5+C）,所以6sin（5+C）=5sinC+6sin8cosC,

展開得6sinBcosC+6cos3sinC=5sinC+6sinBcosC,

所以6cos5sinC=5sinC,

因為sinC>0,所以cosB=*.

6

故選：B.

2.在A/8C中，內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2逐，cos/=-；,sin8=2sinC,

貝ijc=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】sin5=2sinC.由正弦定理可得6=2c.

又q=2A/6,cosA=--f

22

/.由余弦定理〃?=c+b-2cbcosA,

可得24=c?+〃-2cb/-^=4C2+C2+1X2C2,

解得c=2或c=-2（舍去）.

故選：B.

3.已知三邊/b,c及對角Z,B,C,周長為5,且滿足（sin/+sinBp=sin^sin5+7sin2B,

若6=1,貝［△/BC的面積S=（）

AV15R7「岳nV15

A.-----IJ.-----U.-----

4828

【答案】A

【詳解】因為（sin4+sinBp=sin24sin5+7sin2B,由正弦定理得（a+bp=ab+7廿，所以

a=2b（a=—3b舍去），

三角形周長為5,6=1,貝！Ja=2,c=2,

由等腰三角形性質(zhì)知AC邊上的高為h=止耳=浮，

所以三角形面積為S=1xlxH=嫗.

224

故選：A.

4.在△49C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若d+b2=kab,則月C的面積

為C時，K的最大值是（）

2

2

A.2B.C.4D.275

【答案】B

1/

【詳解】由題意得S_3c=—absinC=—,所以02=QbsinC,

22

又因為c2=a2+b2-labcosC,所以/+〃=。2+246cosc=absinC+2abcosC,

所以攵="=sinC+2cosC=#）sin（C+。），其中tan。=2,且左>0,

ab

所以后的取值范圍為（0,囪］,

故選：B.

5.已知,BC的內(nèi)角4民。所對的邊分別為〃也c,且（〃-b）sin/=csinC-6sin5,若“BC

的面積為36，貝心的最小值為（）

A.2GB.4百C.2D.4

【答案】A

【詳解】?（Q—6）sin/=csinC—bsinB

Q2_ab=c2_62

a2+b2-c2-ab

,/S=-^sinC=3V3

2

ab=12

'.,c2=a2+b2—ab>2ab-ab=12（當(dāng)且僅當(dāng)c=2^3時取等號）,

/.c>2A/3

故選：A.

舉一反三/>

1.已知A/BC的內(nèi)角aB,C的對邊分別為a,b,c,面積為36，/=b+c=4y/3,

貝!J。=（）

A.2V3B.5C.8D,2V2

【答案】A

3

【詳解】由題意可知，S“BC=：6Csin/=3后,得be=12

,：b+c=4be=12

由余弦定理可得：a2=b2+c2-26ccos/=(Jb+c)2-2bc-2bccosA

整理得：a2=12，:.a=2追

故選：A

則cos(/_(

2.已知△/5C中,7sin2B+3sin2C=2sin27+2sin4sinBsinC,

VTo「#)D

A.叵B.u.—-w

10lo-5

【詳解】由正弦定理可得7/+3。2=2/+2bcsinZ,

22

2lb+3c-2bcsinA,

/.a=-----------------,乂a=b+c—2bccosA,

2

22

7Z)+3c-2bcsinA2c7,

--------------------------=b7z2z-2bccosA,

2+c

+c段.￡=2指

化簡得：2(sinA-2cosA)=--+L>2

becbcb

當(dāng)且僅當(dāng)4^b=c時取等號，即2石sin（4-8）22亞,

21

其中tan8=2,sin8=cos0=-j=,

即sin(4—8)21,又sin(4—8)wl,.tsin(4—8)=1,

jrTT

A-9=--\-2kn,keZ,即4=8+—+2左兀,左wZ,

22

/.sinI4+女)=sin|6+—714-齊2左兀|二個+管

1MI4

=￥(cos8-sin8)

10

力Vio

/.cosIA--=cossin(/+

I4.T5-

故選：B

3.在“5。中,內(nèi)角4民。的對邊分別為。也若(6+c)優(yōu)一c)=ac,C=工，貝()

6

【答案】B

【詳解】由（6+。）僅一。）=。。得〃=02+ac.

4

結(jié)合余弦定理b2=a1+c2-laccQsB,可得a-2ccos5=c,

再由正弦定理得sirk4-2sinCcos5=sinC,因為

sin4-2sinCcosS=sin(5+C)—2sinCcos5=sin(5—C),

所以sin(5-C)=sinC,所以6—C=C,得8=2C.

因為c=g,所以B=j.

63

故選：B

4.在中，角力，B,C的對邊分別是a,b,c,若c=3bsin/,則如土絲的取值范圍

ab

是()

A.[3,5]B.[4,6]C,[4,2+V13]D,[4,2+V15]

【答案】C

【詳解】伍+與=^^+2=2+3+2N2j2+3+2=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號)

ababab\ab

由。=3bsinZ,可得sin。=3sin5sinA

2

(a+b)2"+/c+2abcosC

------=-------1-2=--------------------------1-2

ababab

0c2「csin2C_

=2H-----F2COSC=2H—；-----；-----F2cosC

absinAsinB

=2+^'n+2cosC=2+2cosC+3sinC

-sinC

3

=2+VT3sin(C+^)<2+V13,其中cosp=-？3=,sin0=2,當(dāng)且僅當(dāng)。+,=工時取

''V13V132

得等號，

所以4Vl￡±^v2+而

ab

故選：C

5.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)A/BC

的三個內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,面積為S,則“三斜求積”公式為

S=/c2-1。+；——：,若力sinC=2sin/,+城=6+〃，則用“三斜求積"公

式求得A/BC的面積為()

A.—B.V3C.vD.1

22

5

【詳解】解：因為〃sinC=2sin/,(a+c)2=6+Z>2,

所以ac=2,a2+c2-b2=6-lac=2,

易錯題通關(guān)

一、單選題

1.已知A/BC的內(nèi)角48,C對應(yīng)的邊分別是a*,c,內(nèi)角A的角平分線交邊BC于。點，且

4D=4,若(26+c)cos/+acosC=0,貝[]A/BC面積的最小值是()

A.16B.1673C.64D.6473

【答案】B

【詳解】?/(2b+c)cosA+acosC=0,

/.2sinBcosA+sinCcos+sin^4cosC=0,

即2sinBcos/+sin(C+/)=2sinBcos/+sin5=0,

又B￡(0,叫,sin5>0,

二2cosZ+l=0,BPcosA=--,又Ze(0,〃)，

由題可知S"c=S△ABD+S“CD,4Q=4,

所以gbcsin與=1..n1.,.n

一x4csm—+—x4bsm一即be=49+c),

2323

又be=4伍+c)之?,4bc,即be之64,

當(dāng)且僅當(dāng)6=。取等號，

所以SARC=-^sin—>—x64x—=16V~3-

;2322

故選：B.

2.△48。的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinZcosC=sin5,4b2=a\則().

A.2c=aB.2c=C.2a=V3cD.2a=c

【答案】B

6

【詳解】sinAcosC=sin5,sin/wO,

由正弦定理得COSC=當(dāng)=-,

smAa

因為/=462,所以。=26,即cosC=；,

3

/=a~+b~-2abcosC=a2+b~—cib=一礦，即2c=.

4

故選：B.

3.在A4BC中，已知3c=6,/=30。，5=120°,貝U/3C的面積等于()

A.9B.18C.96D.18A/3

【答案】C

【詳解】根據(jù)正弦定理得：型;=4工，所以/C="三個=6百，

sinAsinBsinA

因為C=180°-8-/=30°,所以=(xC4xCBxsinC=96.

故選：C.

7

4.在A4BC中，cos^=—,A4BC的內(nèi)切圓的面積為16萬,則邊8c長度的最小值為()

A.16B.24C.25D.36

【答案】A

【詳解】因為A4BC的內(nèi)切圓的面積為16",所以A4BC的內(nèi)切圓半徑為4.設(shè)A/BC內(nèi)角A,

72424

B,C所對的邊分別為。，b,c.因為cos/=石，所以sin/=石，所以tan/二亍.因

1125

為SANBC=；；bcsin/==(°+Z)+c)x4,所以be=二(°+6+c).設(shè)內(nèi)切圓與邊NC切于點。,

226

2443416b+c-a

由tan/=/可求得tan￡=；=^,貝又因為43=；",所以

b+c=^+a.所以歷=胃仁+20)胃0又因為"通病，所以

]+北2檸(1+,,即+。)22岑整理得/一120-6420.因為0>0,

40

所以〃216,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=w時，。取得最小值.

故選：A.

5.記的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,6,j若a=b=4c,則.產(chǎn),=()

sin5+sinC

154.

A.—B.—C.—D,2

245

7

sin4a_4c_4

【詳解】由正弦定理得:

sin8+sinCb+c4。+c5

故選：C.

6.在中，內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且”=2灰，cos4=-；,sin8=2sinC,

貝好()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】因為sinB=2sinC,由正弦定理可知6=2j

在科C中，由余弦定理可得解得c―,

e.,0>0,.\c=2,故6=4

故選：D

二、多選題

7.如圖，的內(nèi)角4伐。所對的邊分別為a/,c,G(acosC+ccos/)=2加in5,且

NC48=g.若。是A/BC外一點，DC=1,AD=3,則下列說法中正確的是()

A.的內(nèi)角2=]

B.A48C的內(nèi)角C=]

C.四邊形/BCD面積的最小值為％8+3

2

D.四邊形/BCD面積無最大值

【答案】AB

【詳解】因為石(〃cosC+ccos/)=26sin8,

所以由正弦定理，得6(sinZcosC+sinCcosZ)=2sin2B,

所以6sin(/+C)=2sin2B,

8

又因為Z+8+C=/r,所以sin（/+C）=sinB,所以百sin8=Zsin?8

因為sin3w0,所以sin8=@,

2

又因為NC/3=W，所以8e（0,亨）所以5=g,

所以C="一/一8二g,因此A,B正確;

四邊形/BCD面積等于

hi

~3

S△A.CD=—4AC+2-ADDCsinZADC

-V43[AD2+DC2-2ADDC-cosZADC卜X-ADDC-sinAADC

V43

-(9+1-6-cosZT4DC)+}3sinZADC

5V23

-+3sin(〃DC-1),

所以當(dāng)N/OC=￡即sin(//DC-野=1時，邑處+工⑺取最大值孚+3,

所以四邊形/BCD面積的最大值為邁+3,

2

因此C,D錯誤

故選：AB

。.已知6sinZ=（3b-c）sin8,且cos/=；,

8.A4BC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,

則下列結(jié)論正確的是()

A.a+c=3bB.tanA=2^2

D.A/BC的面積為迪力

C.△/BC的周長為4c

9

【答案】ABD

【詳解】由正弦定理得3=(3分—也整理得。=3b-c,即a+c=3b,A正確;

由cos/=:可得sin/=Jl_(L)=謔，貝i]tan/=2吆=2后，B正確；

3丫⑶3cos/

71

由余弦定理得Q2=〃+C2—2ACOS4又a=3b-c,可得（3b-c）=b2+c2-2bc-,整理得

36=2。，

o

△力5c的周長為。+6+c=46=,C錯誤；