2024屆山東某中學(xué)高三5月高考模擬數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三5月高考模擬數(shù)學(xué)試題+答案

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2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（模擬）

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上處寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知集合M={#|-|y=>/x—1}，則MflN=

A.{x|l<x<2}B.（x|x<-l）

C.{z1《”<2}D.{n|%V1或1>2}

2.若復(fù)數(shù)z滿足（1—2i）z=10—5i，則z=

A.-4+3iB.4+3iC.-4—3iD.4—3i

工2

3.已知直線=入+1,橢圓C：了+/=1,則“％=0”是“Z與C相切曲

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了“圓柱容球”定理.圓柱形容器里放一個(gè)球，該球頂天立地，四

周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表

面積也是圓柱表面積的三分之二.在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為8代冗，則該模

型中圓柱的表面積為

A.127cB.16KC.247rD.367r

高三數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

6.某班元旦晚會中設(shè)置了抽球游戲，盒子中裝有完全相同的3個(gè)白球和3個(gè)紅球.游戲規(guī)則如

下:①每次不放回的抽取一個(gè)，直至其中一種顏色的球恰好全部取出時(shí)，游戲結(jié)束；②抽取3

次完成游戲?yàn)橐坏泉?jiǎng)，抽取4次完成游戲?yàn)槎泉?jiǎng),則甲同學(xué)獲得二等獎(jiǎng)的概率為

A?20B14cU310D-25

7已知cos(a—三)-cosa=—，則sin(2a+-)=

O00

A7R72424

A-25R-25Cp-25D--25

8.已知雙曲線E：與一[=1(Q>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為K，F(xiàn)z，過F2的直線與E的

ab

右支交于A,B兩點(diǎn)，且|BFz|=2|AF/,若而?施=0,則雙曲線E的離心率為

A.V3'/C.緝D.半

66J

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知向量a三(1,痣)，b=(-2,0)，則下列說法正確的是

A.a?b=2、'B.a與b的夾角為

'1

C.QJ_(a+2b)D.a+b在b上的投影向量為—b

10.已知函數(shù)/(x)=asin2x+cos2x的圖象關(guān)于直線1=y對稱,則下列結(jié)論正確的是

A.”竺）=0

b—nifj

B.為奇函數(shù)

C.若八1)在[一加9m]單調(diào)遞增，則0<m</

1Sir

D./(x)的圖象與直線？=春力一方有5個(gè)交點(diǎn)

u乙4

11.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,

8,13,21,….該數(shù)列的特點(diǎn)如下:前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面

兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，若用F(〃)(〃￡ND表

示斐波那契數(shù)列的第?項(xiàng)，則數(shù)列｛F(Q｝滿足：F(l)=F(2)=1,F(n+2)=F(〃+D

+F(〃).則下列說法正確的是

A.F(10)=34

B.3F(n)=F(n-2)+F(n+2)(n>3)

C.F(1)+F(2)H-----FF(2023)=F(2025)-l

D.LF(1)]2+[F(2)]2H-----|-[F(2023)]2=F(2023)-FC2O24)

高三數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知（ax-2）（1+7）4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為一2,則實(shí)數(shù)a的值為.

13.使得不等式Vlogw和6a<a6均成立的一組a,6的值分別為.

14.已知函數(shù)/（x）=lnx，若存在實(shí)數(shù)對（與，“）滿足0V孫Vw&40=1,2產(chǎn)?，九），且

￡f（W）（孫），則使得了i+以+…+V口”成立的正整數(shù)〃的最大值

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

某體育學(xué)校為儲備人才,準(zhǔn)備通過測試（按照測試成

績高分優(yōu)先錄取的原則）錄用學(xué)生300人,其中測試成績

前100名的學(xué)生為第一梯隊(duì)，剩余的200名學(xué)生為第二

梯隊(duì).實(shí)際報(bào)名學(xué)生為100。人，測試滿分為100分.測

試后，對學(xué)生的測試成績進(jìn)行了抽樣分析,得到如圖所示

的頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)此次測試的平均成績；

（2）試估計(jì)該學(xué)校本次測試的錄取分?jǐn)?shù)，并判斷測試成績?yōu)?8分的學(xué)生甲能否被錄??？

若能被錄取，能否進(jìn)入第一梯隊(duì)？

16.（15分）

2

從①生=”立薩2，②包骷耳=二，③2asin1=V36sinA這三個(gè)條件

bcosBsinB+sinCa2

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且.

（D求角B的大?。?/p>

（2）若A的角平分線交邊BC于點(diǎn)。，且AD=V^,c=2,求邊6.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

高三數(shù)學(xué)試題第3頁（共4頁）

17.(15分)

如圖,在菱形ABCD中，NBAD=60°,E是AD的中點(diǎn)，將AABE沿直線BE翻折使點(diǎn)

A到達(dá)點(diǎn)A1的位置，F(xiàn)為線段A】C的中點(diǎn).

(1)求證：DF//平面A.BE；)小

(2)若平面A.BE±平面BCDE，求直線A.E與平面A】EC所A

成角的大小.口石的當(dāng)。

18.(17分)

已知拋物線E：/=2p蚊p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(l,2).

(D求拋物線E的方程；

(2)設(shè)直線y=忘十6與E的交點(diǎn)為A,B，直線PA與PB傾斜角互補(bǔ).

(i)求生的值；(ii)若mV3,求△PAB面積的最大值.

1㈤完一目，—布.

19.(17分)

在信息理論中，X和Y是兩個(gè)取值相同的離散型隨機(jī)變量，分布列分別為：P(X=z.)=

■一

7nn

m,,P(Y=x.)=n,,m,>0,nt>0,￡=1,2,…，〃，X：=S?=1?定義隨機(jī)變量X的信

i-li?l

nn切

息量H(X)=一之./密叫，X和Y的“距離”KL(XII丫)=2帆/。gz

,^)iVFni

(1)若X?，求H(X)；

(2)已知發(fā)報(bào)臺發(fā)出信號為0和1,接收臺收到信號只有0和L現(xiàn)發(fā)報(bào)臺發(fā)出信號為0的

概率為p(0V/>VI),由于通信信號受到干擾，發(fā)出信號0接收臺收到信號為0的概率為q,發(fā)

出信號1接收臺收到信號為1的概率為q(0VqVD?,

(i)若接收臺收到信號為0,求發(fā)報(bào)臺發(fā)出信號為o的概率；(用P,q表示結(jié)果)

(H)記隨機(jī)變量X和Y分別為發(fā)出信號和收到信號，證明：KL(X|Y)>0.

高三數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(模擬)

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

題號12345678

答案ADCDCCBB

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

題號91011

答案CDBCDBCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.0；13.3,2,答案不唯一；14.4.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟二

15.【解析】

(1)此次測試的平均成績?yōu)椋?/p>

0.2x65+0.3x75+0.4x85+0.1x95=79；.......................5分

(2)由題意可知，錄取率為0.3,能進(jìn)入第一梯隊(duì)的概率為0.1；.......7分

設(shè)錄取分?jǐn)?shù)為x,因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)落在［90,100］的概率為0.1,

分?jǐn)?shù)落在［80,90)的概率為0.4,

所以XG［80,90),令0.1+(90—x)x0.04-0.3,解得x=85,......10分

所以錄取分?jǐn)?shù)大概為85分，進(jìn)入第一梯隊(duì)的分?jǐn)?shù)大概為90分，

所以學(xué)生甲能被錄取，但不能進(jìn)入第一梯隊(duì)....................13分

16.【解析】

若選擇①

(1)因?yàn)椤辍兰?8虱兀-0,

bcos8

由正弦定理得sinB8sC+8sBsinC+2sinAcos8=0,............2分

所以sin(B+Q+2sinAcos8=0,BPsinA(2cosB+1)=0，

-1-

從而cosB=?5分

2

因?yàn)?w（0,兀），所以8=與.7分

(2)在△A3O中,

sinBsinZADB

所以sin/A如喏邛，,

10分

所以乙4。8=二，所以N84D=ND4C=E

412

所以ZAC8=N8AC=E,13分

6

所以△A8C是等腰三角形，且。=。,

所以b=2acos￥=25/5.15分

6

若選擇②

/八FEIJU-.sinA+sinCb-c

U)因?yàn)檎闵潭?/p>

由正弦定理得從=/+。2+比，2分

又由余弦定理b2=a2+(T-2accosB,

從而cosB=—5分

2

8e（O,兀），所以笈=與7分

（2）同①中第二問.

若選擇③

(1)因?yàn)?4§/3=5/5戾m從，所以。(1一8s8)=Gbsin4,

由正弦定理得sinA(l-cos8)=\/5sin8sinA,2分

整理得gsinB+cos8=l,所以sin(8+%5分

2

因?yàn)??0,兀)，所以8+三￡但,=］，

6\66J

所以B+2=亞，所以3=生..................................7分

663

(2)同①中第二問.

17.【解析】

(1)取線段48的中點(diǎn)為H，連接E"，"/，

因?yàn)槭瑸榫€段AC的中點(diǎn)，所以FHBC，且FH=；BC；........2分

又E是AO的中點(diǎn)，所以即BC,且E￡)」8C；

2

所以FH,且ED=FH,故四邊形EOF”為平行四邊形；

所以O(shè)F,EH，................................................5分

平面ABER平面8CDE=8E，

所以平面8CDE.........................................8分

以E為原點(diǎn)，￡B,ED,E4.分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=2，則七(0,0,0)，A(°，°J)，8(6,0,0)，。(6,2,0)，

則％=(0,0,1)，8A=(-75,0,1)，8c=(0,2,0)，...........9分

設(shè)平面ABC的法向量為〃=（x，y，z）,則卜陰二°,即卜入+z=0,

wBC=O⑵，=o

取x=l，則〃=（1,0,相），.....................................11分

設(shè)直線AE與平面A6C所成角為6，

〃?日二

則sineTcosv%%>|=6.......................13分

|n||￡4,1-T

所以直線4七與平面ABC所成角為申15分

18.【解析】

（1）由題意可知，4=2p,所以"=2,............................2分

所以拋物線E的方程為y2=4x.................................4分

(2)(i)設(shè)人(西，乂)，35，)’2)，將直線A8的方程代入丁=41得：

Ar2%2+(2kni-4)x+m2=0,所以玉十%=土|處，玉％=g,.....6分

因?yàn)橹本€PA與P8傾斜角互補(bǔ)，

所以原八+原8=^^+^^="2+加2+5+&2=0,

/一1再一1七一1%一1

即21+伏+加一2)(—!—+—!—)=2攵+(&+切-2)*+々——=0,

JG-1%-1(電-1)(內(nèi)—1)

4-2km-21cl

所以24+(2+加一2)—土的*——=o,

(k+m-2)(%+m+2)

即2k+‘-2km-2k-=0,所以H=T；.........................10分

k+m+2

(ii)由(i)可知f一(2〃?+4)工+加2=0,所以％+w=4+2〃z,x/2=〃/，

則[48|=J1+1](X[+電了-4中3=4夜，1+?

因?yàn)椤?(2，〃+4)2-4帆2>0,所以/〃>一1,BP-1</n<3>

又點(diǎn)P到直線AB的距離為坦*,

x/2

所以S=」4&JTT正與型=2拓二^而訪，................13分

2<2

因?yàn)?3-m)2{m+1)=g(3-m)(3-m)(2m+2)?

1.3-m+3-m+2tn-232

-（------------------yx3=—，

2327

所以S.巫,當(dāng)且僅當(dāng)3-，〃=2,〃+2,即加=1時(shí)，等號成立，

93

所以面積最大值為迥................................17分

9

19.⑴解：因?yàn)閄~8（24）,

2

所以X的分布列為：

X012

\_

P

424

（3分）

所以H（X）=-（—log2—+—log2—+—log2—）=—.（4分）

■,14r/rl"1"4

（2）（i）解：記發(fā)出信號。和1分別為事件4收到信號。和1分別為事件1,

則P（4）=P1,尸（4）=1一〃，（5分）

p（綜14）=尸（414）=夕，尸（414）=?（為14