函數性質的綜合應用-2025年高考數學一輪復習（解析版）

第5課時函數性質的綜合應用

［典例精研?核心考點］重難解惑?直擊高考

考點一函數的奇偶性與單調性

［典例1］(1)(2024?浙江金華期中)已知/(x)是定義在R上的奇函數，且對任意

Xl,X2?R,當X1<X2時，都有/(X1)—/(X2)VX1—X2,則關于X的不等式/(好一1)

+/(-2x—2)<x2—2%—3的解集為()

A.(-3,1)

B.(-1,3)

C.(—8,-3)U(1,+8)

D.(―0°,—1)U(3,+°0)

(2)(多選)(2023?四省聯(lián)考)已知/(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上

的奇函數，且/(x)，g(x)在(一8,0］上均單調遞減，貝U()

A./(f(l))</(f(2))B./(g(l))</(g(2))

C.g(f(l))<g(f(2))D.g(g(l))<g(g(2))

(1)B(2)BD［(1)因為對任意X］,JQGR,當XI〈X2時，都有/(XI)-/(X2)〈XI—

X2,即/(Xl)—X1〈/(X2)—X2,

令g(x)=f(x)—x,則g(x)在R上單調遞增，

因為/(x)是定義在R上的奇函數，

所以f(—2x—2)=—f(2x+2),

由f(x2—1)+/(—2x—2)<x2—2x—3得

fix1—l)-(x2-l)<-/(-2x-2)-(2x+2)

=/(2x+2)-(2x+2),即g(x2-l)<g(2x+2),

所以由g(x)的單調性得f—lV2x+2,

即X2—2X—3V0,即(X—3)(X+1)V0,

所以一1VXV3,即—2x—2)Vx2—2x—3的解集為(-1,3).故選

B.

(2)因為/(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且兩函數在(一

8,0］上單調遞減，所以/(X)在［0,+8)上單調遞增，g(x)在［0,+8)上單調遞

減,g(x)在R上單調遞減，所以/(1)</(2),g(0)=0>g(l)>g(2),

所以/(g⑴)V/(gQ)),g(f(l))>g(f(2)),

g(g⑴)Vg32)),所以BD正確，C錯誤；

若，⑴|>，(2)[,則jW))>/(/'(2)),A錯誤.故選BD]

名師點評1.比較函數值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區(qū)間上

的兩個或多個自變量轉化到同一單調區(qū)間上，再利用函數的單調性比較大小.

2.對于抽象函數不等式的求解，先將不等式變形為/(Xl)>f(X2)的形式，再結合

單調性，脫去變成常規(guī)不等式，轉化為X1<X2(或X1>X2)求解.

[跟進訓練]

1.(1)(2020?新高考I卷)若定義在R的奇函數/(x)在(一8,0)上單調遞減，且

/(2)=0,則滿足MXx—1)>0的x的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-1,0]U[l,+8)D.[-1,0]U[l,3]

(2)(多選)定義在R上的奇函數/(x)為減函數，偶函數g(x)在區(qū)間[0,+8)上的圖

象與/(x)的圖象重合，設a>b>0,則下列不等式中成立的是()

A.f(b)~f(-a)<g(a)~g(~b)

B.f(b)~f(-a)>g(a)~g(~b)

C.f(a)+f(-b)<g(b)-g(-a)

D./(a)+/(-b)>g(b)-g(-a)

(1)D(2)AC[⑴因為函數/(x)為定義在R上的奇函數，則/(0)=0.

又/(x)在(一8,0)上單調遞減，且/(2)=0,

畫出函數/(x)的大致圖象如圖①所示，

則函數/(X—1)的大致圖象如圖②所示.

當xWO時，要滿足3(x—1)20,

則/(x—1)WO,得一IWXWO.

當x>0時，栗滿足1)三0,則/(x—1)三0,得1WXW3.

故滿足W(x-l)》0的x的取值范圍是Ll，O]U[1,3].故選D.

(2)函數/(x)為R上的奇函數，且為單調遞減函數，

偶函數g(x)在區(qū)間[0,+8)上的圖象與/(x)的圖象重合，

由a>6>0,^/(a)<f(6)<0,f(a)=g(a),f(b)=g(b).

對于A,a)<g(a)—g(—A)=rS)+/(a)—g(a)+gS)="S)<0(因為/(?)

=g(a)在a>0上成立)，所以A正確；

對于B,/3)-/(-a)>g(a)-g(—A)可S)+/(a)-g(a)+g(b)="S)>0,這與/

S)<0矛盾，所以B錯誤；

對于C,7(a)+/(-b)<g(b)-g{—d)^f(a)~f(b)-g(b)+g(a)=2[f(a)~f(&)]<0,

這與符合，所以c正確；

對于D,/(a)+/(-6)>g@)—g(—a)可(a)—/(b)—gS)+g(a)=2[aa)—/3)]>0,

這與/(a)</S)矛盾，所以D錯誤.]

□考點二函數的奇偶性與周期性

[典例2](1)(2021?新高考H卷)已知函數/(x)的定義域為R,且/(x+2)是偶函

數，/(2x+l)是奇函數，則()

A./(-|)=0B./(-1)=0

C./(2)=0D./(4)=0

(2)若定義在R上的偶函數/(x)滿足/(2—x)=—/(x),且當1WXW2時，/(x)=x

—1，則/?等于()

A.-B.-

22

C.-D.—工

22

⑴B(2)D[(l)：/(x+2)是偶函數，則/(—x+2)=/(x+2),

???/(2x+l)是奇函數，則/(—2x+l)=-/(2x+l),

且由尸(x)=/(2x+l)是奇函數，可得網0)=/(1)=0,

?'?/(—D=—/⑶=一/(1)=0,且易知函數/(x)的周期為4,其他幾個不一定為0,

故選B.

(2)7函數/(x)是偶函數，：.f{~x)=f(x),

又V/(2-x)=-/(x),-V(2-x)=-/(-x),

?V(x+2)=-/(x),

???/(x+4)=-/(x+2)=-[-/(x)]=f(x),

??.函數/(x)的周期為4,

名師點評周期性與奇偶性結合的問題多考查求函數值、比較大小等，常先利用

奇偶性推導出周期性，然后將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義

域內，或已知單調性的區(qū)間內求解.

［跟進訓練］

2.已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，且/(x+l)=/(—x+1),當0<xWl時,

/(x)=x2-2x+3,則/(㈢等于()

77

A.--B.-

44

99

C.--D.-

44

C［由題意，函數/(x)是定義在R上的奇函數，且/(x+D=/(—x+1),

可得/(x+D=—/(x—1),所以/(x)=/(x+4),

所以函數/(x)是周期為4的周期函數.

又由當0<xWl時，/(X)=X2-2X+3,

則/(加(一|)=一/(-X+)T

□考點三函數的奇偶性與對稱性

［典例3］(1)已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，函數g(x)=|%-2|/(x)的圖象

關于直線x=2對稱，若/(—1)=—1,則g(3)=()

A.5B.1

C.-1D.-5

(2)定義在R上的奇函數/(x),其圖象關于點(一2,0)對稱，且/(x)在［0,2)上單

調遞增，則()

A./(ll)<f(12)<f(21)

B./(21)<f(12)<f(ll)

C./(ll)V(21)<f(12)

D./(21)<f(ll)<f(12)

(1)B(2)A［(1)因為g(x)的圖象關于直線x=2對稱，則g(x+2)=g(2—x),

又g(2—x)=|-x[/(2-x)=\x[f(2—x),

且g(x+2)=|%|/(x+2),

所以|%|/'(2—%)=|%|/(2+丫)對任意的》611恒成立，所以/(2—x)=/(2+x),因為

/(—1)=—1且/(X)為奇函數，所以/(3)=/(2+l)=/(2—1)=/(1)=—/(—1)=1,

因此，g⑶=|3-2[/⑶=〃1)=1.故選B.

(2)二?函數/(x)的圖象關于點(一2,0)對稱，/./(x-4)=-/(-x),又/(x)為定義

在R上的奇函數，

所以一/(一x)=/(x)，所以/(x—4)=/(x),即函數/(x)是周期函數且周期是4,則

/(I1)=/(-1),/(12)=/(0),/(21)=/(1),

???/(X)為奇函數，且在[0,2)上單調遞增，

則/(x)在(一2,2)上單調遞增，.?./(—l)<f(0)<f(l),即/(ll)<f(12)<f(21)?故選

A.]

名師點評由函數的奇偶性與對稱性可求函數的周期，常用于化簡求值、比較大

小等.

[跟進訓練]

3.已知函數/(x)是R上的偶函數，且/㈤的圖象關于點(1,0)對稱，當x?[0,

1]時，/(x)=2—2、則/(0)+/(1)+/⑵+…+/(2024)的值為()

A.12B.-1

C.0D.1

D「.」(x)的圖象關于點(1,0)對稱,

.?./(—x)=~f(2+x),又/(x)為R上的偶函數，

?V(x)=/(-x),.V(x+2)=-/(-%)=-7(x),

?V(x+4)=-/(x+2)=-[-/(x)]=/(x),

.../(x)是周期為4的周期函數，

.*./(3)=/(-1)=/(1)=2-2=0,

又/(0)=1,42)=—/(0)=-1,

.*./(0)+/(1)+/(2)+-+/(2024)=506X[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]+/(2024)=

506X(l+0-l+0)+/(0)=l.]

□考點四函數的對稱性與周期性

[典例4](1)(2024?山東濟南期末)已知函數/(x)的定義域為R,/(x+2)為奇函

數，/(2x+l)為偶函數，則函數/(x)的周期是()

A.2B.3

C.4D.5

(2)(2023?廣東廣州一模)已知函數/(x)的定義域為R,且/(x+l)+/(x—1)=2,

/(x+2)為偶函數，若/(0)=2,則)

A.116B.115

C.114D.113

(1)C(2)C[(1)因為/(x+2)為奇函數，

所以/(—x+2)=—y(x+2),

因為/(2x+l)為偶函數，所以/(—2x+l)=/(2x+l),則/(—x+l)=/(x+l),則

/[-(x+l)+l]=/(x+2),即/(—x)=/(x+2),

所以/(—x+2)=—/(—x),即/(x+2)=-/(x),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以/(x)的周期是4.故選C.

(2)由/(x+l)+/(x—1)=2,得/(x+2)+/(x)=2,即/(x+2)=2—/(x),

所以/(x+4)=2-/(x+2)=2—[2—/(x)]=/(x),

所以函數/(x)的周期為4,

又/(x+2)為偶函數，則/(-x+2)=/(x+2),

所以y(x)=/(4—X)=f(-x),所以函數/(x)也為偶函數，又/(x+D+/(x—1)=2,

所以/(1)+/(3)=2,/(2)+/(4)=2,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

又/(D+/(—1)=2,即"(1)=2,所以

又/(0)+/(2)=2,/(0)=2,.\/(2)=0,

所以2老/㈤=[/.(1)+/⑵+/⑶+/(4)]X28+/(l)+〃2)+/⑶=4X28+2+0

=114.

故選C.]

名師點評函數的周期性與對稱性的關系

(1)如果/(x)的圖象關于點(a,0)對稱,且關于直線x=b(aWb)對稱,則函數/(%)

的周期T=4|a—耳(類比y=sinx的圖象)

(2)如果/(x)的圖象關于點(a,0)對稱,且關于點(6,0)(aW6)對稱,則函數/㈤

的周期T=2|a一句.(類比y=sinx的圖象)

(3)若函數/(x)的圖象關于直線x=a與直線x=b(aWb)對稱，那么函數的周期T

=2|a—臼.(類比j=sinx的圖象)

[跟進訓練]

4.(1)(2023?天津和平區(qū)一模)已知/(x)是定義在R上的函數，且對任意x?R

都有/(x+2)=/(2—乃十曠(2),若函數y=/(x+l)的圖象關于點(一1,0)對稱，

則/(2024)=()

A.6B.3

C.0D.-3

(2)(2021?全國甲卷)設函數/(x)的定義域為R,/(x+1)為奇函數，/(x+2)為偶函

數，當xG[l,2]時，/(乃="2+6.若/(o)+/(3)=6,貝IJ/停)=()

(1)C(2)D[(1)令x=0,得/(2)=/(2)+歹(2),即/(2)=0,/(x+2)=/(2—x),

因為函數y=/(x+l)的圖象關于點(一1,0)對稱，

所以函數y=/(x)的圖象關于點(0,0)對稱，

即/(—x)=-/(x),所以/(x+2)=/(2—x)=一/(x—2),

即/(x+4)=-/(x),/(x+8)=/(x),

故/(x)是周期為8的周期函數，所以/(2024)=/(253X8+0)=/(0)=0.故選C.

(2)由于/(x+1)為奇函數，所以函數/(x)的圖象關于點(1,0)對稱，即有/(x)+/(2

—x)=0,所以/(l)+/(2—1)=0,得/(1)=0,即a+b=0①.由于/(x+2)為偶

函數，所以函數/(x)的圖象關于直線x=2對稱，即有/(x)—/(4—x)=0,所以/(0)

+〃3)=-/\2)+/(1)=-4a—Z?+o+/?=-3a=6②.

根據①②可得a=—2,b=2,所以當x￡[l,2]時，/(x)=-2/+2.

根據函數/(x)的圖象關于直線x=2對稱，且關于點(1,0)對稱，可得函數/(x)

的周期為4,所以/。⑥=-/(l)=2X(|)2-2=|.]

課時分層作業(yè)(十)函數性質的綜合應用

[A組在基礎中考查學科功底]

一'單項選擇題

1.已知奇函數/(x)在R上是增函數，g(x)=xf(x).若q=g(—log25.1),Z)=g(20-8),

c=g(3),則a,b,c的大小關系為()

A.a〈b<cB.c<b<a

C.b<-a<-cD.b〈c<a

C[易知g(x)=M\x)在R上為偶函數，

：奇函數/(x)在R上是增函數，且/(0)=0.

.,.g(x)在(0,+8)上是增函數.

又3>log25.1>2>2°8,且fl=g(-log25.1)=g(log25.1),

08

.,.g(3)>g(log25,l)>g(2-),則c>a>>故選C.]

2.(2024?湖北武漢模擬)已知函數/(x—l)(x?R)是偶函數，且函數/(x)的圖象

關于點(1,0)對稱，當xG[T,1]時，/(x)=axT,則/(2024)=()

A.11B.12

C.0D.2

A[根據題意，函數/(x—l)(xGR)是偶函數，則函數/(x)的對稱軸為直線x=一

1,

則有/(x)=/(—2—x),又由函數/(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱，

則/(》)=一/(2—x),則有/(—2—x)=一/(2—x),則/(x+4)=一/(x),

則有/(x+8)=-/(x+4)=/(x),則函數/(x)是周期為8的周期函數，則/(2024)

=/(0+253X8)=/(0)=一1.故選A.]

3.(2023?河北邯鄲一模)已知函數/(x—1)為偶函數，且函數/(x)在[―1,+8)

上單調遞增，則關于x的不等式/(I—2云)</(—7)的解集為()

A.(—8,3)B.(3,+8)

C.(—8,2)D.(2,+8)

A[因為/(x—l)為偶函數，所以/(x)的圖象關于直線x=-1對稱.因為/(x)在

[-1,+8)上單調遞增，所以/(X)在(-8,—1]上單調遞減.因為/(I—2，)</(一

7)=/(5),所以一7<1—2，<5,解得x<3.故選A.]

4.若定義在R上的奇函數/(x)滿足/(2—x)=/(x),對Vxi,x2e(0,1),且xi#X2,

都有(方—X2),|/(X1)—/(X2)]>O,則下列說法正確的是()

A.函數/(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱

B.函數/(x)的圖象關于直線x=2成軸對稱

C.在區(qū)間(2,3)上,/(x)單調遞減

c[f(4-x)=/[2-(x-2)]=/(x-2)=-/(2-x)=-/(x),即/(4—x)+/(x)=O,

故/(x)的圖象關于點(2,0)成中心對稱，A錯誤；

,-,/(2-x)=/(x),.../(x)的圖象關于直線x=1成軸對稱，B錯誤；

根據題意可得，/(x)在(0,1)上單調遞增.

???/(X)的圖象關于直線x=l成軸對稱，點(2,0)或中心對稱，則/(x)在(2,3)內

單調遞減，C正確；

又??V(x)=/(2—x)=一/(x—2),

,V(x+2)=-/(x),

/./(x+4)=-/(x+2)=/(x),可知/(x)的周期為4,

則/(—￡)=/(；)</(§，D錯誤.故選C.]

5.(2024?重慶巴蜀中學模擬)已知定義在R上的偶函數/(x),VxER,有/(x+

6)=/(x)+/⑶成立，當0WxW3時，/(x)=2x—6,則/(2023)=()

A.0B.-2

C.-4D.2

C[依題意VxGR,有/(x+6)=/(x)+/(3)成立，

令x=—3,則/(3)=/(—3)+/(3)=2f(3),

所以/(3)=0,故/(x+6)=/(x),

所以/(x)是周期為6的周期函數，

故/(2023)=/(6X337+1)=/(1)=2X1-6=-4.故選C.]

6.(2024?江蘇蘇州期末)已知定義在R上的函數/(x)的圖象連續(xù)不間斷，有下

列四個命題：

甲：/(x)是奇函數；

乙：/(x)的圖象關于點(2,0)對稱；

丙：/(22)=0；

?。?(x+6)=/(x).

如果有且僅有一個假命題，則該命題是()

A.甲B.乙

C.丙D.丁

D[甲正確時，/(x)=-/(-%);乙正確時，/(x)=-/(4-x),

若甲、乙都正確，則/(》)=一/(—x)=/(4+x),則周期T=4,

則由/(2)=—/(—2),/(2)=/(—2),可得/(2)=0,

則/(22)=/(2)=0,故丙正確;

丁正確時，則/(x)的周期為6,這與上面得到的周期7=4互相矛盾.

由四個命題有且僅有一個假命題，則丁錯誤.故選D.]

7.(2023?廣西南寧一模)已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+/(2—x)

=4,g(x)=/(x-l)+l,若g(x+l)為偶函數，且/(2)=0,則g(2022)+g(2023)

=()

A.5B.4

C.3D.0

B[V/(x)+/(2-x)=4,

.?./(x)以點(1,2)為對稱中心,且/⑴=2.

???g(x+l)=g(—x+1),即/(x)+1=/(-%)+1,

.../(x)為偶函數，以y軸為對稱軸.

?V[-(2-x)]=/(2-x),即/(x—2)=/(2—x),

由/(》)+/(2一》)=4知，/(x+2)+/(x)=4,

?V(x+2)=/(2-x),/(x+2)=/(x-2),

從而/(x+2+2)=/(x+2—2),即/(x+4)=/(x),

?../(x)的周期為4,...ga)的周期為4,故g(2022)+g(2023)=g(2)+g(—l)=/(l)

+1+/(-2)+1=2+1+0+1=4.

故選B.]

8.已知函數/(x)的定義域為R,若/(2—x)=/(x),且/(x+2)+2為奇函數，則

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2023)=()

A.-5085B.-4046

C.985D.2046

B[令g(x)=/(x)+2,

因為/(2—x)=/(x),所以/(x)的圖象關于直線x=l對稱，所以g(x)的圖象關于

直線x=1對稱，

所以g(2—x)=g(x),

因為/(x+2)+2為奇函數，所以/(x)的圖象關于點(2,—2)對稱，且/(2)+2=0,

所以/(2)=-2,

所以函數g(x)的圖象關于點(2,0)對稱，即函數g(x+2)為奇函數，

所以g(—x+2)=—g(x+2),

所以g(x+2)=—g(x),

所以g(x+4)=—g(x+2)=g(x),

即/(x+4)+2=/(x)+2,所以/(x+4)=/(x),

所以函數/(x)是以4為周期的周期函數，

因為/(x)的圖象關于直線x=l對稱，所以/(0)=/(2)=-2,

因為/(x)的圖象關于點(2,—2)對稱，

所以/(1)+/(3)="'(2)=-4,

所以/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=-8,

所以/(1)+/(2)+/(3)+…+/(2023)=-8X^—/(0)=-4046,

故選B.]

二、多項選擇題

9.已知函數/(x)為R上的奇函數，g(x)=/(x+l)為偶函數，下列說法正確的有

()

A./(x)圖象關于直線x=-1對稱

B.g(2023)=1

C.g(x)的周期為4

D.對任意xGR,都有/(2—x)=/(x)

ACD[由/(x)的對稱中心為點(0,0),對稱軸為直線x=l,

得了(x)的圖象也關于直線X=-1對稱，且/(x)=/(2—x),A,D正確；由A分

析知，/(x)=/(2—x)=—/(—x),故/(2+x)=-/(x),所以/(4+x)=-/(2+x)

=-f(x),所以/(x)的周期為4,則g(x)的周期為4,g(2023)=/(2024)=/(0)=0,

B不正確，C正確.故選ACD.]

10.(2024?江蘇連云港期中)已知函數/(x)的定義域是R,函數/(x)是偶函數，/

(2x—1)+1是奇函數，則()

A./(0)=-1

B./⑴=T

C.4是函數/(x)的一個周期

D.函數/(x)的圖象關于直線x=9對稱

BC[因為/(2x-1)+1是R上的奇函數，所以/(—2x-1)+1=—[/'(2x—1)+1],

整理得，/(-2x-l)+/(2x-l)=-2,

令x=0得，)(一1)=—2,解得/(1)=—1,B正確，

將2x替換為x+1,得/(—x—1—l)+/'(x+l—1)=—2,即/(—x—2)+/(x)=—

2①，

又因為/(X)是偶函數，所以/(—x)=/(x),

將x替換為x+2,得/(—X—2)=/(x+2)②，

由①②得/(x+2)+/(》)=一2③，則/(x+4)+/(x+2)=-2@,

③一④得/(x+4)=/(x),

故4是函數/(x)的一個周期，C正確；

因為/(x+2)+/(x)=—2,

所以/(x+2)+/(—x)=-2,

故/(x)關于點(1,—1)中心對稱，

又因為4是函數/(x)的一個周期，

所以/(9)=/(2X4+l)=/(l)=—1,

故/(x)關于點(9,—1)中心對稱，D錯誤，

因為/(x)關于點(1,—1)中心對稱，故點(0,7(0))與點(2,/(2))關于點(1,-1)

中心對稱，無法得到/(0)=-1,A錯誤.故選BC.]

三、填空題

11.已知定義在R上的函數/(x)滿足/(—x)=-/(x),

/(3-x)=/(x),則“2025)=.

0[用一x替代x,得到/(x+3)=/(—x)=—/(x),所以7=6,所以/(2025)=/

(337X6+3)=/(3).因為/(3—x)=/(x),所以/⑶=/(0)=0.所以/(2025)=0.]

12.若函數/(x)稱為“準奇函數”，則必存在常數a,b,使得對定義域內的任

意x值，均有/(x)+/(2a—x)=2b,則。=2,6=2的一個“準奇函數”為

.(填寫解析式)

/(乃=3》#2)(答案不唯一)[由/(x)+/(2a—x)=2b,知''準奇函數”/(x)的

圖象關于點(a,a)對稱，若a=2,b=2,即/(x)圖象關于點(2,2)對稱，如

向右平移2個單位長度，向上平移2個單位長度，得到/(x)=2+2=皆，故

其圖象就關于點(2,2)對稱.]

[B組在綜合中考查關鍵能力]

13.(2022?全國乙卷)已