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文檔簡介
也-H-
第一"P平面向量的概念及其線性運算
1基礎(chǔ)卻艱委打牢強雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度
[知識能否憶起]
一、向量的有關(guān)概念
1.向量:既有大小又有方囪的量叫向量;向量的大小叫做向量的摟—
2.零向量:長度等于2的向量,其方向是任意的.
3,單位向量:長度等于1個單位的向量.
4.平行向量:方向相同或租區(qū)的非零向量,又叫共線向量,規(guī)定:0與任一向量共線.
5.相等向量:長度相等且方向相圓的向量.
6.相反向量:長度相等且方向11反的向量.
二、向量的線性運算
向量運算定義法則(或幾何意義)運算律
士卜
⑴交換律:a+b=b
a
+a,,
加法求兩個向量和的運算一三角形法則
(2)結(jié)合律:(a+6)+
ac-a+(Z?+c)
平行四邊形法則
求a與6的相反向量
減法的和的運算叫做
a
a與b的差三角形法則
三、向量的數(shù)乘運算及其幾何意義
1.定義:實數(shù)4與向量a的積是一個向量,這種運算叫向量的數(shù)乘,記作八紜它的長度與方向規(guī)
定如下:
①14al="||a|;
②當(dāng)4〉0時,4a的方向與a的方向想回;當(dāng)"0時,4a的方向與a的方向相反;當(dāng)兒=0時,
a=0.
2.運算律:設(shè)(N是兩個實數(shù),貝1
①兒(〃a)=(4〃)a;(2)(4+〃)a=才a+口a;③4(a+6)=a+b.
四、共線向量定理
向量a(aWO)與6共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)兒使得b=4a.
[小題能否全取]
1.下列命題正確的是()
A.不平行的向量一定不相等
B.平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個
C.a與力是共線向量,b與c是平行向量,則a與c是方向相同的向量
D.若a與6平行,則6與a方向相同或相反
解析:選A對于B,單位向量不是僅有一個,故B錯;對于C,a與c的方向也可能相反,故C錯;
對于D,若b=O,則6的方向是任意的,故D錯,綜上可知選A.
2.如右圖所示,向量a-6等于()
A.-4e-2eiB.-2a,-4a
C.a—3eD.3a-&
解析:選C由題圖可得a-6=BA=A-3金.
3.(教材習(xí)題改編)設(shè)a,6為不共線向量,=a+2b,-5a—3b,則下列
關(guān)系式中正確的是()
KAD=BCB.AD=2BC
C.AD=-BCD.AD=-2BC
解析:選BAD=AB+BC+CD=a+2b+(-4a-6)+(-5a-36)=-8a-26=2(-4a-6)=
2BC.
4.若菱形26切的邊長為2,貝口AB-CB+CD|.
解析"AB-CB+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.
答案:2
5.已知a與6是兩個不共線向量,且向量a+與-(6-3a)共線,貝IJ兒=.
解析:由題意知a+b=k[-(Z)-3a)],
解得<
1
A=—
3,
金口空木?---3
共線向量定理應(yīng)用時的注意點
(1)向量共線的充要條件中要注意“aWO”,否則A可能不存在,也可能有無數(shù)個.
(2)證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)
兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線;另外,利用向量平行證明向量所
在直線平行,必須說明這兩條直線不重合.
高頻考點要通關(guān)抓考點I學(xué)技法I得拔高分|掌握程度
GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN.一]]]
3向量的有關(guān)概念
典題導(dǎo)入
[例1]給出下列命題:
①兩個具有共同終點的向量,一定是共線向量;
②若4B,c。是不共線的四點,則A5=OC是四邊形亞?切為平行四邊形的充要條件;
③若a與b同向,且㈤>|同,則a〉6;
④心〃為實數(shù),若4a則a與6共線.
其中假命題的個數(shù)為()
A.1B.2
C.3D.4
[自主解答]①不正確.當(dāng)起點不在同一直線上時,雖然終點相同,但向量不共線.
②正確.;AB=DC,:.\AB\=\DC|且4月〃.
又B,乙,是不共線的四點,
四邊形/灰力是平行四邊形.
反之,若四邊形/反方是平行四邊形,則四觸%且4》與加方向相同,因此=
③不正確.兩向量不能比較大小.
④不正確.當(dāng)乂=4=0時,a與6可以為任意向量,滿足Xa="友但a與6不一定共線.
[答案]C
由題悟法
1?平面向量的概念辨析題的解題方法
準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問題的關(guān)鍵,特別是對相等向量、零向量等概念的理解要到位,
充分利用反例進行否定也是行之有效的.方法.
2.幾個重要結(jié)論
(D向量相等具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性;
(2)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量;
(3)向量平行與起點的位置無關(guān).
以題試法
1.設(shè)a為單位向量,①若a為平面內(nèi)的某個向量,則a=1a|a(>;②若a與戊平行,則a=|a|a);③
若a與a平行且|a|=1,則a=a.上述命題中,假命題的個數(shù)是()
A.0B.1
C.2D.3
解析:選D向量是既有大小又有方向的量,a與㈤&的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題;
若a與&>平行,則a與a的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時a二-1a|a),故②③也是假命
題.綜上所述,假命題的個數(shù)是3.
向量的線性運算
典題導(dǎo)入
[例2]⑴(?四川高考)如圖,正六邊形/aW中,BA+CD+D____EEF
O
)
A.0BBE
BA
CADD.CF
若AO=205,CD=^CA+ACB貝l]幾等于()
⑵在△/雨中,已知。是力8邊上一點,
O
[自主解答](1)如圖,.??在正六邊形/比郎中,=3F=CE,
DE
BA+CD+EF=1iA+AF+EF=BF+EF=CE+EF=CF一.
(2)---CD=CA+AD,CD=CB+BD,
.2CDCA+CB+AD+BD.
又AD=2DB,
.2CD=CA+CB+\AB
o
=CA+CB+-(CB-CA)
=|C4+|CB..
—.i-9—?2
,CD=gCA+§C5,即A=-.
[答案](1)D(2)A
?>一題多變
若(2)中的條件作如下改變?nèi)酎c,是43邊延長線上一點且IBD\=15A1,若CD=兒C5+〃C4,
則4-〃的值為.
解析:;CD=Ci+AO=以+2AB=CA+2(CB-C4)=2CB-CA=ACB+uCA.
,4=2,〃=-1.X-〃=3.
答案:3
由題悟法
在進行向量的線性運算時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,運用平行四邊形法則、三角形法則
求解,并注意利用平面幾何的性質(zhì),如三角形中位線、相似三角形等知識.
以題試法
2.(?漢陽調(diào)研)若4B,C,是平面內(nèi)任意四點,給出下列式子:
①35+CD=BC+DA,②A。+BD=BC+AD,
③ad-5。=DC+A5.其中正確的有()
A.0個B.1個
C.2個D.3個
解析:選C①式的等價式是A5-BCDA-CD,左邊=45+C5,右邊=DA+DC,不
一定相等;②式的等價式是A。-BC=AD-BD,Ad+C5=AO+=A5成立;③式的等價
式是AC-DC=AB+BD,AD=AD成立
共線向量
典題導(dǎo)入
[例3]設(shè)兩個非零向量H與。不共線.
⑴若45-a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-A).求證:A,B,〃三點共線;
⑵試確定實數(shù)攵使履+6和a+g共線.
[自主解答]⑴證明:?「4月二“BC=2a+8b,
CD=3(a-b),
BD=BC+CD=2a+86+3(a-b)
=2a+86+3a-36
=5(E+b)=5AB.
AB,5。共線,
又;它們有公共點及,4B,,三點共線.
⑵?;"a+力與a+處共線,BC
,存在實數(shù)/,使檢+6=A(a+kb),
EPka+b-Aa+入kb.
(k-A)a=(4k-1)b.
;a,6是不共線的兩個非零向量,
.'.k-兒=入k-1=0,即后-1=0.
k=+1.
由題悟法
1,當(dāng)兩向量共線時,只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,解決向量共線問題要注意待定系
數(shù)法和方程思想的運用.
2.證明三點共線問題,.可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.
以題試法
3.已知a,6不共線,=a,OB=b,OC=c,OD=d,OB=e,ixtER,如果3a=c,26=d,
e=t(a+B),是否存在實數(shù)大使CD,£三點在一條直線上?若存在,求出實數(shù)力的值,若不存在,請說
明理由.
解:由題設(shè)知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(.t-3)a+tb,C,D,£三點在一條直線上的充要
條件是存在實數(shù)k,使得CE=kCD,即(力-3)a+防=-3Aa+2kb,
整理得(力-3+3A)a=(2A-t)b.
I2-3+3A=0,
因為4分不共.線,所以有
"-2A=0n,
6
解之得t=-
故存在實數(shù)g使c,D,£三點在一條直線上.
盟|解冷,呼逑高飛CAOXIAO抓速度I抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度
A級全員必做題
1.下列等式:①0_a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-Z)).正確
的個數(shù)是()
A.2B.3
C.4D.5
解析:選Ca+(-a)=0,故③錯.
2.(?福州模擬)若a+6+c=0,貝(Ja,b,c()
A.都是非零向量時也可能無法構(gòu)成一個三角形
B.一定不可能構(gòu)成三角形
C.都是非零向量時能構(gòu)成三角形
D.一定可構(gòu)成三角形
解析:選A當(dāng)a,b,c為非零向量且不共線時可構(gòu)成三角形,而當(dāng)a,b,c為非零向量共線時不能
構(gòu)成三角形.
3.(-威海質(zhì)檢)已知平面上不共線的四點0,A,B,C.^OA+2OC=3OB,則的值為()
AB
11
A."
11
4-D.6-
就
解析:選A由。4+2。。=3。5,得04-。5=2。5-2OC,即5A=2C5,所以
\AB\
1
2-
4.(?海淀期末)如圖,正方形/附中,點少是%的中點,點、F是BC的一個三等分
點(靠近面,那么EF=()
1111
B
2-3-4-2-
AC.
1112
----
32D.23
解析:選D在△儂'中,有EF=Ed+C尸,因為點£為。C的中點,所以EC=gz>d.因為點尸
為8c的一個三等分點,所以C尸一所以EF=1DC+(CB^AB+|DA=|AB-(AD.
O乙力乙O4J
5.(?揭陽模擬)已知點。為△/比■外接圓的圓心,且04+05+。。=0,則△/8C的內(nèi)角A等于
()
A.30°B,60°
C.90°D.120°
解析:選A由OA+05+CO=0得。4+。5=OC,由。為△/叱外接圓的圓心,結(jié)合向量加
法的幾何意義知四邊形》"為菱形,且4Q0=60°,故/=30。.
6.已知△板的三個頂點4、B、C及平面內(nèi)一點P滿足24+PB+PC=AB則點尸與的
關(guān)系為()
A.戶在△板內(nèi)部
B.戶在△/6C外部
C.P在邊所在直線上
D.戶是AC邊的一個三等分點
解析:選D.PA+PB+PC=AB
..PA+PB+PC=PB-PA,PC=-2PA=2AP,
是AC邊的一個三等分點.
7.(-鄭州五校聯(lián)考)設(shè)點〃是線段區(qū)的中點,點/在直線6C外,50=16"AB+AC=1AB
-AC,則|AM|.
解析:由|+Zd|=|A5-恁|可知,AB1AC,則AM為斜邊比■上的中線,因此
\AM\=^\BC\=2.
答案:2
8.(?大慶模擬)已知。為四邊形/灰/所在平面內(nèi)一點,且向量。4,OB,OC,。。滿足等式。彳
+OC=OB+OD,則四邊形/及/的形.狀為,
解析:.0A+0C=OB+0D:.OA-OB=OD-OC,
54=CD.;.四邊形/頗為平行四邊形.
答案:平行四邊形
9.設(shè)向量九已不共線,A5=3(a+&),CB=6-a,。。=28+&,給出下列結(jié)論:①4B,C
共線;②4B,。共線;③8,C,。共線;④4C,。共線,其中所有正確結(jié)論的序號為一一
解析:由A。=A5-C5=4&+2a=2CD,且45與C5不共線,可得4C,〃共線,且8不在
此直線上.
答案:④
10.設(shè)Z/分別是平面直角坐標(biāo)系勿,在正方向上的單位向量,B.OA=-2i+mj,OB=ni+J,
OC=57-J,若點4B,C在同一條直線上,且勿=2",求實數(shù)見〃的值.
解:AB=OB-OA=(A+2)Z+(1-4/
BC=OC-OB=(5-/7)7-2J.
,??點4B,,在同一條直線上,
AB//BC,即A5=45C.
(z?+2)i+(1-m)j-八[(5-ri)i-2yl.
5-77,
rcf?=3,
1-m--24,解得?;?
[勿二2億[〃=3,n=~
去2—?
n.如圖所示,在△/回中,D廠分別是及;4。的中點,AE=/tv3ADAB
-a,AC=b.
(1)用a,6表示向量AD,7LE,AF,BE,BF;
(2)求證:B,E,廠三點共線
解:⑴延長獨到G,
A
—-]―-
使A。=-AG,
連接BG,CG,得到口ABGC\D\/
y、、*//
、、、、,
所以AG=a+b,G
ADAG=1(a+Z?),
2-1
AE=-AD=鼻(a+6),
J0
11
_1一
r6
_-
AF=,2
,...11
BE-AE-AB=~(a+ti)-a=~(b-2a),
—-—--11
BF=AF-ABZ?-a=~(b-2a).
——?2——?
⑵證明:由⑴可知二鼻5方,又因為
BE,5k有公共點8,
所以8,£,廠三點共線.
12.設(shè)ei,e是兩個不共線.向量,已知A5=2ei-8e,
CB=8+3%CD=2ei-比
(1)求證:4B,〃三點共線;
⑵若59=3&-獲,且瓦D,尸三點共線,求A的值.
解:⑴證明:由已知得BD=CD-CB=(2e-金)一(8+3氏)=&一40
AB=2&-86!>,..AB=2,BD,
又:48與初有公共點8,
???4B,。三點共線.
⑵由⑴可知BD=ei-4a,且BF=3&-kei,
■-B,D、廠三點共線,得=X5D,
即3ei-kei-4&-446,
f4=3,
得,一解得左=12,
[-4=-4A,
:.k=12.
B級重點選做題
1.如圖所示,已知點G是△Z8C的重心,過G作直線與4及兩邊分別交于M,N
x9V
兩點,且AN=yAC,則苗的值為()
C
1
A3艮-
3
1
-
C.2D.2
X*V1
解析:選B(特例法)利用等邊三角形,過重心作平行于底面BC的直線,易得==%
x十y。
2.(-吉林四平質(zhì)檢)若點〃是△力6c所在平面內(nèi)的一點,且滿足5而=AB+3AC,貝倒/與
△/比1的面積比為()
12
-B-
A.55
34
C,匚D-5
解析:選C設(shè)四的中點為〃
由5AM=AB+3AC,
得3AM-3AC=2AD-2AM,
即3Q底=2MD,如圖所示,
__?3_?
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