2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義- 復(fù)數(shù)（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

專題31復(fù)數(shù)（新高考專用）

仰目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】復(fù)數(shù)的概念........................................................4

【考點(diǎn)2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算....................................................5

【考點(diǎn)3】復(fù)數(shù)的幾何意義....................................................6

【考點(diǎn)4】復(fù)數(shù)與方程........................................................7

【分層檢測】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

1/10

考試要求：

1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.

2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.

3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.

5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.

?知識梳理

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)定義：我們把集合&=｛。+歷|0b?R｝中的數(shù)，即形如。十歷(0b?R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其

中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).

⑵分類：

滿足條件(。，6為實(shí)數(shù))

歷為實(shí)數(shù)Q6=0

復(fù)數(shù)的

a+bi為虛數(shù)obWO

分類

a+bi為純虛數(shù)u>a=0且6數(shù)0

(3)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di=a=c且b=d(a,b,c,dGR).

(4)共輾復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軻Qa=c,b=—d(a,b,c,dGR).

(5)模：向量能的模叫做復(fù)數(shù)2=a+歷的模，記作屋土堀或團(tuán)，即匕|=」+歷|='/。2+|2(4,6GR).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+歷與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,6)及平面向量b)(a,6?R)是---對應(yīng)關(guān)系.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

(1)運(yùn)算法則：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,dGR.

E/2]±出K(Q+6i)±(c+di)=(?！纁)+(b±d)i

-/Z/Z24(a+歷)(c+di)=(ac-ia)+(6c+ad)i

a+biac+bdbc-ad.,.,小

苞布7°)

Z2

(2)幾何意義:

復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

2/10-----------------

即a=應(yīng)1+應(yīng)2,ZiZ2=(9Z2-(9Zi.

常用結(jié)論

Li的乘方具有周期性

i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4"+l+i4〃+2+i4"+3=0,〃@N*

2.(l±i)2=±2i,V=i；E=一1

1—11+1

3.復(fù)數(shù)的模與共扼復(fù)數(shù)的關(guān)系

z-z=|z|2=|z|2.

M真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）設(shè)QER,(q+i)(l_qi)=2,,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

設(shè)2：i,貝匹=（）

2.（2023,全國?高考真題）

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

1-i_

3.（2023?全國?高考真題）已知Z—,貝Uz—z=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

4.（2023?全國?圖考真題）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.（2022?全國?高考真題）(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

6.（2022?全國?高考真題）右z--l+Gi,貝!J_1=()

zz—1

-1-V3iC.gn15

A.-1+V3iB.

3333

7.（2022?全國?高考真題）已知z=l-2"且Z+Q亍+6=0,其中Q,6為實(shí)數(shù)，則（

A.a=l,b=-2B.a=—1,b=2C.a=l,b=2D.q=—l,b=-2

8.（2022?全國?高考真題）若i(l-z)=l,則z+-=()

A.-2B.-1C.1D.2

3/10

2-i

9.（2。21?全國?高考真題）復(fù)數(shù)后在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.（2021,全國局考真題）設(shè)2（z+z）+3（z—z）=4+6i,貝（jz=）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

11.（2021?全國?高考真題）已知z=2—i,則z（z+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+21

12.（2021?全國?高考真題）已知（1—i）2z=3+2i,則2=（）

333

A.-1——iB.-l+-iC.——+i

222

LL考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】復(fù)數(shù)的概念

一、單選題

1.（2023?黑龍江佳木斯?三模）復(fù)數(shù)2=1+212+3『+鬃@202412°24的虛部是（）

A.1012B.1011C.-1011D.-1012

2.（2024?河南鄭州?三模）復(fù)數(shù)z=a+6i（。]€：?且。/0）,若（l+2i”為純虛數(shù)，貝！]（）

A.a=-2bB.a=2bC.2a=bD.2a=-b

二、多選題

3.（2024?福建莆田?三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z+z=0,則二=iB.若z-z=2忖，則忖=2

z

C.若2]=z,則Z]=zD.若|z+zJ=0,貝Z]+=0

4.（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知復(fù)數(shù)4，4，則下列說法中正確的是（）

A.|平2卜㈤憶|

B.k+z2|=k|+h|

（2."2仔2€區(qū)"是"4=^"的必要不充分條件

D."㈤=團(tuán)〃是“z；=z”的充分不必要條件

三、填空題

4/10

5.（2024?貴州黔南?二模）i為虛數(shù)單位，若z是以2+i的實(shí)部為虛部、以2i+l的虛部為實(shí)部的復(fù)數(shù)，貝心的

共朝復(fù)數(shù)的模長為.

6.（2024?湖北荊州■三模）棣莫弗定理：若"為正整數(shù)，則［r（cos0+is%0）］"=/'+,其中

i為虛數(shù)單位，己知復(fù)數(shù)Z=2。即麗（siq+icos3，則產(chǎn)/,產(chǎn)）的實(shí)部為.

反思提升：

1.復(fù)數(shù)2=。+歷（a,b?R）,其中a,6分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部6=0,與實(shí)

部a無關(guān)；若2為虛數(shù)，則虛部6W0,與實(shí)部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且6W0.

2.復(fù)數(shù)z=a+歷（a,6￡R）的模記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+6i|=-\/^PP.

3.復(fù)數(shù)2=a+歷（a,b?R）的共機(jī)復(fù)數(shù)為2=。一歷，貝Uz，z=02=?2,即匕|=|z|=Jz,2,若2WR,

則2=Z.

【考點(diǎn)2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

一、單選題

1.（2024?江西鷹潭?二模）已知Z=O+1），則I的虛部為（）

1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

2.（2023?云南?模擬預(yù)測）已知％,z?是方程一一2x+2=0的兩個復(fù)根，則忖一；卜（）

A.2B.4C.2iD.4i

二、多選題

3.（2024?河南?二模）已知復(fù)數(shù)2=工，［是z的共軟復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

1-i

A.z的實(shí)部為:

B.復(fù)數(shù)三在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

C?z>z

-1

D.Z'Z-—

2

4.（2023?重慶?二模）已知復(fù)數(shù)為，z2,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若Z/2GR,則Z2=4B.若2仔2=0,則Z]=0或Z2=0

C.右Z/2—Z/3且Z]W0,則Z?—Z、D.若z；=z；,則㈤=%|

三、填空題

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5.（22-23高三上?天津南開?期中）己知竺出（i為虛數(shù)單位，aeR）為純虛數(shù)，則。=.

1+i

6.（2024?福建廈門?三模）復(fù)數(shù)z滿足2+7=2,zz=4,貝!J|z—z|=.

反思提升：

（1）復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運(yùn)算；

（2）復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共相復(fù)數(shù).

【考點(diǎn)3】復(fù)數(shù)的幾何意義

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為應(yīng)，且|z-i|=5,則向量方在向量而上的投影向

2.（2。24?湖南長沙?一模）復(fù)數(shù)z=比在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、多選題

3.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知z是復(fù)數(shù)，且二為純虛數(shù)，則（）

z-1

A.口=1B.z-z-\

C.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上D.|二-2-2i|的最大值為百

4.（2024?江西?二模）已知復(fù)數(shù)2=0+1（aeR且a>0,i為虛數(shù)單位），若（z+DR+l）=10,則下列說法

正確的是（）

A.7在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

B.\z+z\=2\[5

D.若復(fù)數(shù)均滿足則在復(fù)平面內(nèi)馬對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為兀

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三、填空題

5.（21-22高三上?北京西城?期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,則.

6.（2024?安徽?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=（a+4）-（a+5）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是■

反思提升：

1.復(fù)數(shù)2=a+bi（a,b?R）一—一對應(yīng)一Z（q,b）一—一對應(yīng)玄=（口,b）.

2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)

數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.

【考點(diǎn)4】復(fù)數(shù)與方程

一、單選題

2

1.（2024?湖南長沙?二模）關(guān)于x的方程x+x+l=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個根4、z2,貝!!（）

11.z,

A.zt+z2=]B.乎2=-1C.—+一=1D.-=1

Z1Z2

2.（2024?河北邢臺?二模）已知復(fù)數(shù)句，z1,下列說法正確的有（）

A.若zj+z：=0,則4=z?=。

B.若z=1+2,是關(guān)于x的方程/+px+q=0（p,qeR）的一個根，貝！|〃+q=7

C.若Z[Z]=z?Z2,則㈤=%|

D.若|句一聞=團(tuán),貝”=0或Z2=2z

二、多選題

3.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）已知。,6eR,方程/-3/+6-方=0有一個虛根為1+i,i為虛數(shù)單位，另

一個虛根為Z,則（）

A.。=3B.該方程的實(shí)數(shù)根為1

20241012

C.z=2-iD.Z=2

4.（2024?浙江溫州?三模）已知4/2是關(guān)于x的方程尤2+pr+q=0（p,qeR）的兩個根，其中z1=l+i,則（）

=

A.=z2B.z；=z；C.p=-2D.q2

三、填空題

5.（2023?河南?三模）已知（l+i）z=2i（i為虛數(shù)單位），z為實(shí)系數(shù)方程/+0式+4=0的一個根，則

p.q=.

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6.（2024?廣東廣州?二模）若1+i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程/+履+2=0的一個虛根,

則實(shí)數(shù)后二.

反思提升：

（1）對實(shí)系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.

（2）對復(fù)系數(shù)（至少有一個系數(shù)為虛數(shù)）方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（23-24高一下?浙江?期中）若復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=|4+3i|,貝l]z的虛部為（）

4

A.-4B.——

5

4.

C.-4iD.—1

5

2.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù)Z?的等式中錯誤的是（）

A.B+Z2=W+"

B.zx+z2=z{+z2

C(Z]*Z1~2],Z]D.

若2=瞿之為純虛數(shù)，則加=（）

3.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測）

3i-2i

A.2B.4C.-2D.-4

4.（2024?遼寧大連?模擬預(yù)測）已知（l-i）2=2（i為虛數(shù)單位），貝心的虛部是（）

A.iB.-iC.1D.-1

二、多選題

5.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z=a-3i（a?0）,則下列說法正確的有（）

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)都位于第四象限

B.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=-3上

C.z-z=-6i

D.|z+i|的最小值為4

6.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）若匕-=則（）

A.|z+l|=|z+i|B.Iz-ll=|z+i|

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C.z+z=oD.z2是純虛數(shù)

7.（2024?福建福州?三模）已知復(fù)數(shù)4/2,下列結(jié)論正確的是（）

A.若2]=z?,則z；=z；B.Zj-z2=Zj-z2

C.若平2=0,則Z]=0或Z2=0D.若Z[W0且Z]=Z2，則平2=匕「

三、填空題

8.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=&，貝!|巧|的最小值為.

9.（2024?河北唐山?二模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1-3i）-z=|3+4i|,則復(fù)數(shù)z的虛部為.

10.（2024?北京?三模）若/1是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為_________.

1-ai

四、解答題

11.（22-23高一下?福建三明?階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)Zi=-2+bi/2=a+i.

⑴若4=z2,求a和6的值；

（2）a=-2,6=4,求」.

Z2

2+4i

12.（22-23高三?全國?對口高考）已知復(fù)數(shù)z=a+bi（q,Z?GR）,存在實(shí)數(shù),,使彳二------3函成立.

t

⑴求證：2a+6為定值；

（2）若|z-2區(qū)。，求Q的取值范圍.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）已知