利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立問(wèn)題 解析版-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專題05利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立問(wèn)題

(典型題型歸類訓(xùn)練)

一、必備秘籍

分離參數(shù)法

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，

另一端是變量表達(dá)式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時(shí)自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：若a〉/(x))對(duì)恒成立，則只需?！?(x)max；若。</(x)對(duì)xe。恒成立，則只需

a</("in.

③求最值.

二、典型題型

1.(2023?上海崇明?統(tǒng)考一模)若存在實(shí)數(shù)。力，對(duì)任意實(shí)數(shù)使得不等式、37"?外+/^^+加恒

成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

【答案】A

【詳解】不等式x3-m<ax+b<x}+m等價(jià)于-m<—x3+ax+b<mI--IP|—+ax+1^<m,

原命題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)。，b,對(duì)任意實(shí)數(shù)xe[0,l]不等式卜x?+辦+6卜”恒成立，

等價(jià)于存在實(shí)數(shù)。，b,不等式卜/+ax+司皿4加成立，

記/(x)=-x3+ax+b,貝!]/'(x)=-3x2+a,

(1)當(dāng)aV0時(shí)，對(duì)任意xe[0,l],/(x)W0恒成立，即/(x)在[0,1]上單調(diào)遞減a+6-14/(x)4b

①當(dāng)。+6-1+620,即此—時(shí)，|/(x)L=6，

②當(dāng)a+b-l+6<0,即■時(shí)，|/1)仁=-。-6+1,

則g(6)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

幺Lz/

所以g3)min1=—ga(T1)—a=UWI；

a

(2)當(dāng)Ov〃v3時(shí)，令/'(x)=0,解得x二

3

〃X)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在Ja*1上單調(diào)遞減,

3

、2aaa7,1

/(0)=b,f7~yJ—+4/⑴=a+6-1,

3

①當(dāng)0<aWl時(shí)a+6-lW6,止匕時(shí)a+6—1W/(x)wgJ1+b,

a)當(dāng)a+b-l+疊5+b<0艮…時(shí),|/(x)Lx=-a-b+l,

0當(dāng)JT+三仁+強(qiáng)。即武H/需時(shí)，|/(x)L=yJj+^

—2a—b+8^l)<———a——Aj—

從而當(dāng)0<a41時(shí)，g(b)='2a[a

TV?

在區(qū)間；一;。一名百什②］上單調(diào)遞增,

則g(6)在區(qū)間

令t=《,則0ct,g(6)min=]-]J+戶，記咐=；一產(chǎn)+/,

則〃(/)=3/2-3/)=3(-1),

當(dāng)[o,Q卜j,"'(”0恒成立，

即h(t)在區(qū)間[。,用上單調(diào)遞減，即W)mm=h閭=今

即gfMwn療；

②當(dāng)l<a<3時(shí)a+6-l>6,此時(shí)6V/(x)W+6,

a)當(dāng)6+等[+6<0即6V-'ft時(shí),|/a)Lx=-b,

0)當(dāng)b+.3+bNO即時(shí)，l〃x)L

從而當(dāng)1<a<3時(shí),

卜上單調(diào)遞增,

則g(6)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間

(3)當(dāng).23時(shí),對(duì)任意xe[O,l],/'(x”0恒成立，即，(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,

b<f{x)<a+b-\

①當(dāng)a+b-l+匹0,即強(qiáng)一時(shí)，|/(4mx=。+6-1,

②當(dāng)a+b-l+6<0,即6<一時(shí)，|/(x)L=-6，

2。+Z?—85

從而當(dāng)a23時(shí)，g(b)=

-b

則g(6)在(-鞏―)上單調(diào)遞減，在"上單調(diào)遞增,

幺Lz/

1—。a—1

所以g(6)1mli=g(U)=^Nl：

綜上所述，g(b)1mn=*，

所以加之.

9

故選：A

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:

一般地，已知函數(shù)了=/(x),xe[a,6],v=g(x),xe[c,t/]

(1)若依e[a,b],Vx?e[c,d],總有〃再)<8(々)成立,故〃網(wǎng)/<g(%)而";

(2)若VX]e[a,b],3x2&[c,d],有/(xj<g(/)成立，故》(再)1Mt<g?)111ax；

(3)若叫3x2&[c,d],有/(再)<g(9)成立,故「(須L<g(%L；

(4)若%e[a,0，3x2^[c,d],有〃』)=g(xj,則〃x)的值域是g(x)值域的子集.

2.(2023?海南省直轄縣級(jí)單位??？寄M預(yù)測(cè))若米>0/22陛(,尤(0>0且。片1)恒成立，則。的取值范圍

是()

(]_

A.l,e2eB.l,ee

I.

"i、

C.e2e,+ooD.ee,+oo

_7

【答案】c

【詳解】當(dāng)O<Q<1時(shí)，X-0,則logqXf+8,%2-o,不符合題意;

當(dāng)時(shí)，lna>0,

22

/(x)=x-logax=x一黑色20恒成立,

ma

即In。2——怛成上，

x

、幾/、Inx“、1-2Inx

設(shè)g(x)=p，g(*)=r-，

令g'(x)=。，得x=人,

當(dāng)xe(0,五)時(shí)，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(人,+co)時(shí)，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

故當(dāng)％=五時(shí)，g(x)取得最大值g(—)=2,

所以Ina2--,解得>至，

2ea-e

故選：C.

3.(2023?江西九江?統(tǒng)考一模)若對(duì)Wx￡1一廠,g],不等式("-4)lnx<21na-以1口2恒成立，則實(shí)數(shù)Q的

取值范圍是()

A.(0,4e]B.(4Ve,+oo)C.[4五,+oo)D.(4e,+oo)

【答案】C

【詳解】由已知得：a>0,由(辦一4)lnx<21na—“xln2,得axln(2x)<2(lna+21nx)

即竺嗎<磔62),可得的工<螞豆.

22xax2

令〃x)=￥，xe(O,+a)),則/(2x)</(亦2),

求導(dǎo)得/'(幻=匕坐，/'(x)>0,解得0<x<e；/V)<0,解得x>e,

/W在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+G0)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)0<x〈l時(shí)/(%)<。；當(dāng)x〉l時(shí)，/(x)>0,函數(shù)圖像如圖所示.

由/(2x)</("2)及/(#=乎的圖像可知，2%<辦2恒成立，即成立,

而2￡(4,4五)，.?.q24人，實(shí)數(shù)。的取值范圍是[4五,+8).

x

故選：C.

4.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(無(wú))=x[(a-l)ex-a]+e，，若對(duì)于任意的x<0,都有/(尤)21,則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

【答案】g,+j

【詳解】對(duì)于任意的x<0,都有〃x)21,即x[(a-l)e，-4]+e￡-120,

令g(x)=x[(Q-l)?x-a~^+ex-1,

則g'(x)=(qT)xe、+q(eX-1),且對(duì)于任意的xWO,都有g(shù)(%)20.

①當(dāng)時(shí)，((2-l)xex<0,所以g1x)VO,

所以g(x)在(-8,0]上單調(diào)遞減，所以g(x"g(O)=O,符合題意；

②當(dāng)Q<1,X?0時(shí)，令〃(1)=(。一1)%1+4卜》一1),貝lj/z'(x)=ex[(q_l)x+2q_l],令〃'(x)=0,得％=——

tz—1

當(dāng)。<：時(shí)，則匕當(dāng)<0,

2。一1

所以當(dāng)上包<x<0時(shí)，〃3<0,〃口)在[匕當(dāng),()]上單調(diào)遞減，

a-\(a-\J

所以當(dāng)上必<x<0時(shí)，〃(力>〃(0)=0,即g'(x)>0,

a-\

所以g(x)在［詈,0］上單調(diào)遞增，所以g(x)<g(o)=o,這與g(x)NO矛盾，不符合題意；

當(dāng)《(”<1時(shí)，則號(hào)20,

267-1

所以當(dāng)xWO時(shí)，h'(x)>Q,〃(x)在(F,0］上單調(diào)遞增,所以的(4《〃(0)=0,即g'(x)40,

所以g(x)在(-8,0］上單調(diào)遞減,g(x)>g(O)=O,符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為：

【點(diǎn)睛】恒成立問(wèn)題方法指導(dǎo)：

方法1：分離參數(shù)法求最值

⑴分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

(2)a>/(x)恒成立=a>/(x)max；

a47(x)恒成立=a</(x)min；

心/'(x)能成立oaZ/Wmm；

a</(x)能成立Oa</(x)max.

方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求

解.

5.(2023?湖南永州?統(tǒng)考一模)若函數(shù)〃x)=K二羋Tnx，當(dāng)xe(0,+s)時(shí)，恒有/(x)>0,則實(shí)數(shù)/

的取值范圍.

【答案】t>-

e

【詳解】因?yàn)閤e(0,+oo)時(shí)，恒有所以(e*+2)及>(x+2)lnx,

即(e)+2)Ine”>(x+2)In尤恒成立.

2

設(shè)g(x)=(x+2)lnx,則g(en)>g(x),且g'(x)=l+—+lnx,

X

h(x)=g'(x)=1+—+InX,貝U"(x)=--^+!=工^,

xxxx

所以當(dāng)％e(0,2)時(shí)，/(x)<0,〃(%)在(0,2)單調(diào)遞減；當(dāng)%￡(2,+8)時(shí)，h\x)>0,〃(x)在(2,+s)單調(diào)遞增；

所以為。)27/(2)=2+1112>0,

所以g'(x)〉0在(0,+8)恒成立，故g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以e">x恒成立，即及>lnx,所以1〉——恒成立，

x

人，、Inx，(、，/、1-lnx

令m(X)=,則，)冽(X)max，加(％)=；—，

XX

所以當(dāng)X￡(o,e)時(shí)，m(x)>0,加(%)在(0,e)單調(diào)遞增；當(dāng)X￡(e,+8)時(shí)，m，(x)<0,加0)在(e,+8)單調(diào)遞減;

所以加(X)max=加e)=，?

e

所以/>L

e

故答案為：/>—.

e

6.(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃x)=ae，+阮+c在x=ln2時(shí)有極小值.曲線y=/(x)在點(diǎn)(OJ(O))

處的切線方程為x+V=O.

(1)求。，4c的值；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)xJ(x)2(e-2)x+”恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

47—1

［答案］(1)6=—2

c=-l

(2)m<—\

【詳解】(［)由題意，xwR,

在/(%)=ae"+6%+c中，=aex+b,

在x=In2時(shí)有極小值.曲線歹=f(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程為x+y=0.

y(o)=0,+c=o1

即卜+

<r(o)=-l6=T-2

「(ln2)=0[2a+b=0-1

z./(x)=ex-2x-l,=ex-2,

當(dāng)x〉In2時(shí)，Ax)>0,/(x)在(ln2,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)x<In2時(shí)，/(x)<0,/(x)在(一oo』n2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)％=In2時(shí)，/'(X)=0,/(%)在x=In2時(shí)有極小值.

故。=l/=-2,c=-1符合題意，即為所求.

(2)由題意及(1)得，xeR,

在/(x)=ae'+bx+c中，f(x)>(e-2)x+m,即e"-ex-12機(jī)對(duì)任意實(shí)數(shù)％恒成立,

設(shè)g(x)=ex-ex-l(xGR),則g'(x)=ex-e.

當(dāng)x>l時(shí)，e-e>0,則g'(%)>0,故g(%)在(l,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x<l時(shí),e"-evO,則g'(x)<0,故g(x)在(-00/)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x=1時(shí)，e*-e=0，貝！Jg'(x)=0,

故x=1時(shí)g(x)有極小值，也就是g(x)的最小值g⑴=-1,

故即為所求.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)恒成立問(wèn)題，構(gòu)造

函數(shù)法，考查學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯思維能力，具有很強(qiáng)的綜合性.

7.(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)

⑴當(dāng)時(shí),求“X)的極值；

(2)若不等式〃x)Nx恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴極小值為無(wú)極大值

(2)?>2

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=^x2-lnx,則八x)=，="=(D(x+D,

2xxx

由八x)=0,得到x=l,又x>0,當(dāng)xe(OJ)時(shí)，f'(x)<0,XG(1,+OO)時(shí),f\x)>0,

所以/(x)=g/Tnx在x=l處取到極小值，極小值為無(wú)極大值.

(2)由/'儀)》*恒成立，得到,ox?-]nxN尤恒成立，即,a/恒成立，

22

▼八1、x+lnx1Inxl4一

又1>0,所以二—=—I—丁恒成乂，

2xxx

人/、1In1/八、e,/、1x-2xlnx11-2Inx-x+1-2Inx

令g(x)=-+F(x>0),則g'(x)=-二+———=-—+——=-----3——，

XXXXXXX

2

令〃(x)=—21nx—x+l(x〉0),則h\x)=----1<0恒成立，

即/z(x)=-21nx-X+1在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

又/z(l)=—21nl—l+l=0,所以當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，h(x)>0,XE(1,+OO)時(shí)，/z(x)<0,

即%￡(0,1)時(shí)，g\x)>0,X￡(l,+oo)時(shí)，g"(x)<0,

所以g(x)='+空(x>0)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+◎上單調(diào)遞減，

XX

故g(尤)Vg⑴=1,所以即/2,

所以，實(shí)數(shù)。的取值范圍為。上2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴，第(2)問(wèn)中的恒成立問(wèn)題，常用的方法，一是直接構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值；二是

通過(guò)參變分離，再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)最值來(lái)解決問(wèn)題.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

L(2023?四川眉山?仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè))已知e"=ln〃，且加-"+左<0恒成立，則左的值不可以是()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】D

【詳解】由e"'=ln〃>0，知”>1,機(jī)=ln(ln〃),則機(jī)一〃+左=ln(ln〃)-〃+左<0,即左<〃-ln(ln〃)=e111"-ln(lnn),

令ln〃=f(f>0),貝iU<e'-lnf,4/(f)=ez-?-1(/>0),則/■'?)=e'-1>0,

函數(shù)/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，于是/。)>/(0)=0,即e'>f+l，

1t-1

從而e'—Inf>f+1—In,，令g(f)=/+l-ln/(f>0),貝ijg，⑺=1—=-----,

tt

則當(dāng)t>l時(shí)，g'(t)>0,g⑺單調(diào)遞增，當(dāng)0</<l時(shí)，g@<0,g⑺單調(diào)遞減，

因此g“)在/=1時(shí)取得最小值2,BPef-InZ>Z+1-In?>2,

所以后42,即先可取一2,0,2,不能取4.

故選：D

2.(2023?江西南昌?江西師大附中?？既?若不等式eX+x(alnx-G+e2)N0在x>0上恒成立，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是()

A.(f,e]B.(-00,e2]

C?:叫鼻D.卜8,三_

【答案】B

【詳解】不等式e"+x(〃lnx-ox+e?)20在x>0上恒成立，

兩邊同除x得廣1nx+a(lnx-x)+e2N0在％>0上恒成立，

1y—1

令/(x)=x-ln無(wú)，貝=l-=-----,

xx

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，當(dāng)尤>1時(shí)，f^x)>0,“X)單調(diào)遞增，

所以=

令，=x-lnx,t>l,

BPel-at+e220在％上恒成立，

所以只需.[三F]即可，

令=則g，⑺=’e'；e2,

令人=汨-e'-e?,則〃'(。=汨>0在上恒成立，〃?)單調(diào)遞增，

又因?yàn)椤?2)=0,

所以當(dāng)1V/V2時(shí)，g'⑺VO,g⑺單調(diào)遞減，當(dāng)出2時(shí)，g”"0,g⑺單調(diào)遞增，

所以8(%=8出=62，即aVez,

故選：B

3.(2023?黑龍江大慶?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知加，〃為實(shí)數(shù)，不等式山-2冽在(0,+”)上

恒成立，則幺的最小值為()

m

A.-4B.—3C.—2D.-1

【答案】C

【詳解】設(shè)/(x)=liu-2mx,/,(x)=--2m,

當(dāng)時(shí)，/,(x)=1-2w>0,函數(shù)/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

此時(shí)，lux-27nx-〃W0在(0,+司不恒成立，不合題意

當(dāng)加〉0時(shí)，

寸，f^x)>0,函數(shù)在(0,：］上單調(diào)遞增，

時(shí)，/,(x)<0,函數(shù)在上單調(diào)遞減，

)［2加)

所以/(X)在尤=3時(shí)取得最大值，

2m

由題意不等式Inx-2加x-〃W0在(0,+。卜恒成立,只需

\2m)

即In———1-72<0,

2m

所以〃2-l-ln2m,

n-l-ln2m

之，

mm

設(shè)g(尤)=x(x>0)，

,/、ln2x

g(x)=/

當(dāng)尤寸，g'(x)<0,g(x)在區(qū)間，￡|

上單調(diào)遞減，

當(dāng)x時(shí)，g'(x)>o,g(x)在區(qū)間［g,+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)在尤=g取得最小值為-2,

所以上最小值為-2,

m

故選：c

二、多選題

4.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知出一得卜2-辦+1”,則。的可能取值有（）

A.-eB.In6c.e2

【答案】BD

【詳解】已知（e，-ax）（x2-ax+l”0,

當(dāng)x=0時(shí)，卜°-0乂02_（）+1）=120成立;

QX—ax>0ex-ax<0

當(dāng)x〉0時(shí),恒成立或＜恒成立;

x2—tzx+1>0x2-ax+1<0

ex

a<——

叫工恒成立或"恒成立;

a<x+—a＞x+—

、幾/\1../、1+—1)

設(shè)g(x)=x+—J(x)=l--r=^————

XXX

xe(O1),g<x)=(x+?x-l)<0,g⑺單調(diào)遞減;

xe(l,+oo),gf(x)=0+1)，0>o,g(x)單調(diào)遞增；

g(x)min=g⑴=2,g(x)無(wú)最大直

設(shè)/（尤）=9/行戶號(hào)二巴曾，

xe（0,1）,尸（x）=.（；「）＜0,/（X）單調(diào)遞減;

xe（1,+00）,/（%）=-（：「）＞0,人與單調(diào)遞增；

〃xL=〃l)=e/(x)無(wú)最大直

,04/（尤）福a”"、

當(dāng)x>0時(shí),成立或＜成立;

aNg(x)1rax

a<e“"(X)max

當(dāng)x>0時(shí),成立或＜無(wú)解;

a<2O2g(x)max

:.a<2

ex-tzx>0恒成立或：二:::＞。恒成立;

當(dāng)x<0時(shí),

x2-tzx+1>0

A

a>——ea<,——e

即，*恒成立或x1恒成立;

、1

tZ<XH---Q?XH---

%

設(shè)、門g(/x)\=x+F1/,［/x\)=l-71=(^x——+l)?(x———1)

xe(_l,O),g，(x)=(x+?xT)<O,g(x)單調(diào)遞減；

xe(一叫-1)送'("=二十?”-1)>O,g(x)單調(diào)遞增;

g(x)max=g(T)=-2,g(X)無(wú)最小值?

設(shè)/(x)=［，(>學(xué)="1,

x￡(~oo,0)/(x)=，(：1)<0,/6)單調(diào)遞減;

???〃X)<0/(x)無(wú)最小值.

?魯恒成立或，a<f(x\.

當(dāng)x<0時(shí),/}〈皿成立;

aNg(x)1mx“〈gWnin

a2—2a<f(x］.

當(dāng)x<0時(shí),、c成立；或《/}-n無(wú)解;

6Z>0a4g(x)1mn

/.tz>0

所以22aN0,0<ln6<lne2=2,0〈巴<2.

2

故選：BD.

5.(2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃x)=e*-lnx+(-l)x,若〃x"0恒成立，則實(shí)數(shù)，的可能的

值為()

1112

A.—B.—C.D.一

e2eee

【答案】AD

［詳解］f(x)=e"—Inx+。一1)x20ne"+比21nx+xne枕+比2Inx+,

txlax

故/⑴20恒成立，轉(zhuǎn)化成e+tx>lnx+e恒成立，

記g(x)=e”+x,gr(x)=ex+l>0,則g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，故由e"+比NInx+a”得g⑻g(lux),故

tx3Inx恒成立，

記〃(x)=^,"(x)=W*故當(dāng)x>e時(shí)，"(x)<0，Mx)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<e時(shí)，”(x)>0,〃(x)單調(diào)遞

增，故當(dāng)x=e時(shí)，〃(x)取最大值！，

故由比像IUCt也恒成立，即/2(也〕，故此L

XIX；maxe

故選：AD

6.(2023,海南?模擬預(yù)測(cè))若x?L2]時(shí)，關(guān)于x的不等式(l+x)lnx+x〈m恒成立，則實(shí)數(shù)。的值可以為

()

(附：In2?0.69)

2+31n2

【答案】BD

【詳解】由題意知：當(dāng)xe[l,2]時(shí)，a2]l+￡|lnx+l恒成立；

令/(x)=([+4]lnx+l,則/(x)=」lnx+'+1「+l；lnx

VxJXXXX

令g(x)=x+l-lnx,貝==

當(dāng)xe[l,2]時(shí)，g〈x"0恒成立，即廣(X)20恒成立,

“⑺在[1,2]上單調(diào)遞增，.?J(x)M=〃2)=}n2+l="詈,

“號(hào)，即實(shí)數(shù)”的取值范圍為-2+321—n2，+0°)}

3-31n22+31n2.2+31n2。2+31n2

,/In2?0.69，----------<------------，3>------------,2<------------

故選：BD.

三、填空題

7.(2023上?河北保定?高三定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e印-alnx,若/(x)2a(lna-l)

對(duì)尤＞0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(0,e2]

X+1

【詳解】易知?！?,由—可得---+1-IM>Inx,

a

即e'+i-1n°+l—InaNlnx,貝U有e'+ma+%+1一出。2x+Inx，

設(shè)〃(x)=e"+x,易知〃(x)在R上單調(diào)遞增，

故〃(4+1-1114)>h(lnx),所以x+1-ln〃21nx,BPx-Inx>In?-1,

設(shè)g(x)=x-lnx=>g<x)=-——,令>0=x>1,g，(x)<0n0<x<1,

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(尤"g(l)=l,則有解之得ae(0,e2].

故答案為：(0,e1.

8.(2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x"-aln尤(a>0),g(x)=e'-x,若時(shí),

〃x)Vg(x)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—.

【答案】(0,e]

【詳解】g(x)=e，-x,則g'(x)=e-l,

則x>0時(shí)，g'(x)=e-l>0,g(x)單調(diào)遞增.

xe。1)時(shí)，[(x)Vga)恒成立，即x"-alnxVe*-x恒成立，

則e"-Inx"We*-x在(Ld)上恒成立，

貝Ulnf<xBPa<高在(1述2)上恒成立,

lnx-1

令k(x)=4-xs(l,e2),則左'(幻=

2

Inx(inx)

則當(dāng)時(shí)，k\x)<0,左(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xc(e,e2)時(shí)，k\x)>0,左(x)單調(diào)遞增.

則當(dāng)X=e時(shí)k(x)取得最小值上(e)=；=e,則aVe

Ine

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,e]

故答案為：(0,e]

四、問(wèn)答題

9.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e'-機(jī)/(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

2

⑴當(dāng)加=，時(shí)，討論函數(shù)“X)在[1,+8)上的單調(diào)性；

(2)若對(duì)一切xe[0,+oo),/(x)+x-120恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)/(x)在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+⑹上單調(diào)遞增

222

【詳解】(1)當(dāng)加=,P時(shí)f(x)=e，e貝e

記g(x)=e，-'x,則g<x)=e*-5.

2

令g'(x)=O,得x=1115.

當(dāng)xe■1寸，g'(x)<0；當(dāng)xe(ln■1■,+(?卜寸，g,(x)>0.

所以g(x)在1,In；］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

即尸⑺在1,ln［］上單調(diào)遞減，在卜n1,+"上單調(diào)遞增.

22

又/")=e一、<0,((2)=0,*<2,

所以當(dāng)xe［l,2)時(shí)，r(x)<0；當(dāng)尤e(2,y)時(shí)，〃⑺〉0.

所以函數(shù)〃x)在［1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)xe［0,+oo)時(shí)，/(無(wú))+為一120恒成立，即］一小2+工一120恒成立.

①當(dāng)x=0時(shí)，e°-mx02+0-1=0,此時(shí)加ER.

②當(dāng)x〉0時(shí)，e%-mx2+x-l>0,EPm<e1

x

2

、_,［/、e+x-1.n,(e“+1)?——2x(e*+x—1)(x—2—1)

i己"(x)=--—，x>0,貝!=l——L---------------L=\————L.

XXX

當(dāng)XE(0,2)時(shí)，A"(x)<0；當(dāng)XE(2,+OO)時(shí)，〃(x)〉0.

所以〃(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

故"x).="2)=出，所以機(jī)4貴土1,

綜上可知，實(shí)數(shù)加的取值范圍為『鞏］1.

10.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=。1”-％+6(Q/￡2.

(1)若曲線歹=/(、)在％=1處的切線方程為2x—歹―2=0,求實(shí)數(shù)q,b的值；

(2)若。=3,對(duì)任意的”閆3,+8),且x產(chǎn)馬,不等式/(再)-〃％)|<5,；74恒成立，求加的取值范圍.

【答案】⑴。=3,6=1；

(2)".

【詳解】⑴函數(shù)〃x)=alnx-x+6的定義域?yàn)?0,+“)，求導(dǎo)得/(耳=￡-1,

,、加)="1=2

由曲線了=/尤在x=l處的切線方程為2x-y-2=0,得［工,八c，解得。=3,6=1,

/⑴=-1+6=0

所以a=3,6=1.

(2)當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)/(x)=31nxr+6,求導(dǎo)得廣(幻=：一1,

當(dāng)xe［3,+8)時(shí),r(x)<0,即函數(shù)/(X)在［3,收)上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)34%<芍，則/(X1)>/(X2),

不等式|/(xj-/(%)|<三,；-閆恒成立，即/(再)-/伍)<^(￥-X；)恒成立，

貝！J/(再)+/x：</(X2)+5工；恒成立，設(shè)〃(％)-/(%)+5％2=~x2+31nx-x+b,

于是7再,工2?3,+00),石<馬,〃(再)<〃(%)恒成立

則力(x)在［3,+co)上單調(diào)遞增,于是/(%)=加x+——120在［3,+8)上恒成立,

即"亞-2+'在［3,+8)上恒成立，-三+L=-3(L-3+'V,，當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取等號(hào)，因此/?工,

xxxxx6121212

所以冽的取值范圍為'什001,

11.(2023下?安徽合肥?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)［(x)=sinx-辦-2("R).

1兀

⑴當(dāng)。=萬(wàn)時(shí)，討論〃x)在區(qū)間0,2上的單調(diào)性；

(2)若當(dāng)xNO時(shí)，/(x)+ex+cosjc>0,求a的取值范圍.

7TITTTT

【答案】⑴"X)在0,-上單調(diào)遞增，在公弓上單調(diào)遞減

(2)(-℃,2