計(jì)算機(jī)科學(xué)導(dǎo)論-第二章-數(shù)字系統(tǒng)

第二章數(shù)字系統(tǒng)2.1引言2.2位置化數(shù)字系統(tǒng)2.1引言數(shù)字系統(tǒng)：定義了如何用獨(dú)特的符號(hào)來(lái)表示一個(gè)數(shù)字。不同的系統(tǒng)中，數(shù)字有不同的表示方法數(shù)字系統(tǒng)位置化系統(tǒng)非位置化系統(tǒng)主要討論位置化系統(tǒng)。2.2位置化數(shù)字系統(tǒng)數(shù)制數(shù)制也稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制。是指用一組固定的符號(hào)和統(tǒng)一的規(guī)則來(lái)表示數(shù)值的方法。該數(shù)制系統(tǒng)中的符號(hào)被稱為數(shù)碼。基數(shù)數(shù)制所用到的數(shù)字符號(hào)個(gè)數(shù)?；鶖?shù)簡(jiǎn)稱“基”或“底”。常用字母R表示。如十進(jìn)制數(shù)制，可用“0，1，2，…，9”，10個(gè)符號(hào)來(lái)表示，基數(shù)為10，即R=10。位權(quán)一個(gè)數(shù)碼處在不同位置所代表的值不同。每個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)值等于該數(shù)碼乘以一個(gè)與數(shù)碼所在位置相關(guān)的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做位權(quán)。位權(quán)的大小：以基數(shù)為底、數(shù)碼所在位置的序號(hào)為指數(shù)的整數(shù)次冪。例如：219=2×102+1×101+9×100常用的數(shù)制十進(jìn)制——符合人們習(xí)慣。二進(jìn)制——計(jì)算機(jī)內(nèi)部表示和存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，便于物理實(shí)現(xiàn)。十六進(jìn)制、八進(jìn)制——便于書(shū)寫(xiě)，與二進(jìn)制轉(zhuǎn)換。常用的數(shù)制表示方法下標(biāo)法字母法下標(biāo)法用小括號(hào)將要表示的數(shù)括起來(lái)，然后在右括號(hào)外的右下角寫(xiě)上數(shù)制的基數(shù)R。一般我們用（）角標(biāo)表示不同進(jìn)制的數(shù)據(jù)。如：十進(jìn)制數(shù)用（）10表示，二進(jìn)制數(shù)用（）2表示（1056.78）10表示1056.78是十進(jìn)制數(shù)（756）8表示756是八進(jìn)制數(shù)（1101.0101）2表示1101.0101是二進(jìn)制數(shù)⒈R＝2二進(jìn)制

數(shù)碼個(gè)數(shù):2個(gè)

計(jì)數(shù)規(guī)律:例：0,1逢二進(jìn)1,借一當(dāng)2(11011.01)2=1

24+123

+022+121+120

+02-1

+12-22.采用二進(jìn)制的原因（1）易于物理實(shí)現(xiàn)電子元件雙穩(wěn)工作的特點(diǎn)只有兩個(gè)數(shù)字0和1，可表示兩個(gè)不同的穩(wěn)定的物理狀態(tài)。（2）二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)單二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單，使計(jì)算機(jī)運(yùn)算器的結(jié)構(gòu)、邏輯線路的設(shè)計(jì)大大簡(jiǎn)化。（3）機(jī)器可靠性高使用二進(jìn)制數(shù)只有兩個(gè)狀態(tài)，數(shù)字的傳輸和處理不容易出錯(cuò)，計(jì)算機(jī)工作可靠性高。（4）通用性強(qiáng)由于二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)，可以代表邏輯代數(shù)中的“真”和“假”，因而，邏輯代數(shù)能夠成為計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2.R＝8八進(jìn)制

數(shù)碼個(gè)數(shù):8個(gè)

計(jì)數(shù)規(guī)律:例：0,1,2,3,4,5,6,7逢八進(jìn)1,借一當(dāng)八(176.5)8=1

82+781

+680

+58-13.R＝16十六進(jìn)制

數(shù)碼個(gè)數(shù):16個(gè)

計(jì)數(shù)規(guī)律:例：逢十六進(jìn)1,借一當(dāng)160,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(0………10……15)(FA1.C)16=F

162+A161

+1160

+C16-1二進(jìn)制與十進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)000011112102231133410044510155611066711177二進(jìn)制與十進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)81000

10891001

119101010

12A（10）111011

13B（11）121100

14C（12）131101

15D（13）141110

16E（14）151111

17F（15）幾種進(jìn)位計(jì)數(shù)制的表示和運(yùn)算規(guī)則進(jìn)位計(jì)數(shù)制的表示方法對(duì)于任意的R進(jìn)制數(shù)位置計(jì)數(shù)法

（N）R=an-1an-2…a1a0.a-1…a-m按權(quán)展開(kāi)法

（N）R=an-1×Rn-1+an-2×Rn-2+…+a1×R1+a0×R0+a-1×R-1+…+a-m×R-m

(其中n為整數(shù)位數(shù)，m為小數(shù)位數(shù)，R為基數(shù))進(jìn)位計(jì)數(shù)制的表示方法如，十進(jìn)制數(shù)（34958.34）10=3×104+4×103+9×102+

5×101+8×100+3×10-1+4×10-2二進(jìn)制數(shù)（100101.01）2=1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

和式二、其他進(jìn)制其它進(jìn)制的計(jì)數(shù)規(guī)律可看成是十進(jìn)制計(jì)數(shù)制的推廣，對(duì)任意進(jìn)制R，數(shù)N可以表示成按權(quán)展開(kāi)式。(N)R=(an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m)R(N)R=an-1Rn-1+an-2Rn-2+…+a1R1+a0R0

+a-1R-1+a-2R-2+…+a-mR-m按權(quán)展開(kāi)式：2.2.6數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制方法：用十進(jìn)制計(jì)數(shù)制把二進(jìn)制數(shù)各位置的數(shù)按權(quán)展開(kāi)后相加。例2-1求(1001.101)2的十進(jìn)制數(shù)值。解：(1001.101)2=1×23+0×22+0×21+

1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

=8+1+0.5+0.125=(9.625)10十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制方法:整數(shù)部分：除以2取余，至商為零；所得的余數(shù)倒序排列。小數(shù)部分：乘以2取整，達(dá)到精度為止；乘積的整數(shù)部分順序排列。求(19)10的二進(jìn)制數(shù)值。解:因此，(19)10=(10011)2222221942101........1........0........0........1........余數(shù)低位高位90.6875

整數(shù)部分×21(K-1)……1.3750×2

0(K-2)……0.7500×2

1(K-3)……1.5000×21(K-4)……1.0000高位低位十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制小數(shù)例2-3求(0.6875)10的二進(jìn)制數(shù)值。十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制小數(shù)十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)過(guò)程中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)乘積的小數(shù)部分總不等于0的情況，或者出現(xiàn)循環(huán)小數(shù)的情況如：(0.2)10

=(0.001100110011…)2

這樣的情況下，乘2過(guò)程的結(jié)束由所要求的轉(zhuǎn)換精度確定。一般當(dāng)要求二進(jìn)制數(shù)取m位小數(shù)時(shí)，可求出m+1位，然后對(duì)最低位作0舍1入處理。十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制小數(shù)例2-4求(0.323)10的二進(jìn)制數(shù)值。（保留4位小數(shù)）解:

因此，(0.323)10=(0.0101)2

1.2920.6460.323×2×20.5841.168×2×20.336×2高位低位十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制數(shù)例2-5將(237.625)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解:

則，(237.625)10=(11101101.101)210110111591182372914731222222220整數(shù)除2取余小數(shù)乘2取整0.6251.2500.250.501.0×2×2×2101R進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制方法：用十進(jìn)制計(jì)數(shù)制把R進(jìn)制數(shù)各位置的數(shù)按權(quán)展開(kāi)后相加。練:將下列數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。

(1011)2

(237)8(AB2)16十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)R進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分：除以R取余，至商為零；所得的余數(shù)倒序排列。小數(shù)部分：乘以R取整，達(dá)到精度為止；乘積的整數(shù)部分順序排列。練:(保留４位小數(shù))

(12.5)10=()2(72.8)10=()8(12.13)10=()16二進(jìn)制和八進(jìn)制轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換原則：每三位二進(jìn)制對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制數(shù)。二進(jìn)制轉(zhuǎn)八進(jìn)制“三位一并”法方法：從小數(shù)點(diǎn)開(kāi)始分別往兩邊，整數(shù)部分自右向左，小數(shù)部分自左向右，按每三位為一組，不足三位用0補(bǔ)齊，每組用相應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)寫(xiě)出。八進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制“一分為三”法方法：每位八進(jìn)制數(shù)用三位二進(jìn)制數(shù)代替。二進(jìn)制轉(zhuǎn)八進(jìn)制例2-6將（10110101110.11011）2轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

則（10110101110.11011）2＝（2656.66）8010

110

101

110.110

110

2

6

5

6

.

6

6八進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制例2-7將（6237.431）8轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。則（6237.431）8＝（110010011111.100011001）2110

010

011

111

.100

011

001

6

2

3

7

.

4

3

1二進(jìn)制和十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換原則：每四位二進(jìn)制對(duì)應(yīng)一位十六進(jìn)制數(shù)。二進(jìn)制轉(zhuǎn)十六進(jìn)制“四位一并”法方法：從小數(shù)點(diǎn)開(kāi)始分別往兩邊，整數(shù)部分自右向左，小數(shù)部分自左向右，按每四位為一組，不足四位用0補(bǔ)齊，每組用相應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)寫(xiě)出。十六進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制“一分為四”法方法：每位十六進(jìn)制數(shù)用四位二進(jìn)制數(shù)代替。二進(jìn)制轉(zhuǎn)十六進(jìn)制例2-8將（1001010111.110110111）2轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。則（1001010111.110110111）2＝（257.DB8）16

0010

0101

0111.1101

1011

1000

2

5

7

.

D

B8十六進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制例2-9將（3CB.61）16轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。則（3CB.61）16＝（111100