利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題 解析版-2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練

專題07利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題

(典型題型歸類訓練)

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：判斷(討論)零點(根)個數(shù)問題...........................2

題型二：證明唯一零點問題.........................................6

題型三：根據(jù)零點(根)的個數(shù)求參數(shù)...............................9

三、專項訓練.......................................................14

一、必備秘籍

1、函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=/(x),把使/(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)>=/(x)的零點.

(2)三個等價關(guān)系

方程/(x)=0有實數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點的橫坐標=函數(shù)y=/(x)有零點.

2、函數(shù)零點的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［。,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/伍)?/(〃)<0,那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(。))內(nèi)有零點，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是/(x)=0的根.我們把

這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理.

注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點

3、利用導數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法

(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問題(畫草

圖時注意有時候需使用極限).

(2)利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極

值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).

4、利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍的方法

(1)分離參數(shù)(a=g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線歹=。與V=g(x)的

圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；

(2)利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建不等式求解；

(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

二、典型題型

題型一：判斷(討論)零點(根)個數(shù)問題

1.(2023?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/■(x)=lnx+(a-2)尤+a.

⑴若a=l,求曲線>=f(x)在點(ej(e))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(尤)的零點個數(shù).

【答案】(l)[-l]x-y+l=0

⑵答案見解析

【詳解】(1)當〃=1時/(x)=lnx—x+l,貝！j/(e)=lne—e+l=2—e,

r(x)=1-l,所以r(e)=?,

所以曲線y=/(x)在點(ej(e))處的切線方程為了一(2-e)=[：7](x-e),即[-1卜-y+l=0.

(2)函數(shù)/(力=11^+(4-2)%+〃定義域為(0,+00),

/r(x)=—+a-2,

當”2上0,即.22時/呢x)>0恒成立，所以/(無)在(0,+功上單調(diào)遞增，

又當x趨向于0時/(x)<0,/(l)=2a-2>0,所以函數(shù)有一個零點；

當a-2<0,即a<2時令/'(x)=0,解得x=--—,

所以當0<x<4時/恤)>0,當尤>4時八尤)<0,

2-a2-a

所以/(X)在(0,占]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當X趨向于0時〃司<0,當X趨向于正無窮時/(x)<0,又/]￡j=ln[￡j-l+a，

令/?(〃)=In—1+a<2),

2-〃

貝IJ〃⑷=—1-+1>0,所以M。)在(-8,2)上單調(diào)遞增,且%(1)=0,

若/［EjnlnlS］-1+">°，即1<“<2時函數(shù)/(x)有兩個零點；

若■4￡［Tn［￡［T+"=()'即“=1時函數(shù)，(x)有一個零點；

若/［E］=ln［￡］-l+"<0'即，<1時函數(shù)，(x)沒有零點；

綜上，當a<1時函數(shù)/(無)沒有零點，當。=1或2時函數(shù)/(無)有一個零點，當1<“<2時函數(shù)“X)有兩

個零點.

2.(2023?陜西渭南??？寄M預測)已知函數(shù)/(x)=e'-"-1,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間：

(2)討論函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上零點的個數(shù).

【答案】⑴答案見解析

⑵答案見解析

【詳解】(1)因為/'(x)=e*-ax-1,所以解(x)=e、-a,

當aV0時，f'(x)>0恒成立，

所以〃幻的單調(diào)增區(qū)間為(-叫+8),無單調(diào)減區(qū)間.

當a>0時，令f\x)<0,得x<Ina,

令f'(x)>0,得x>Ina,

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(T?,lna),單調(diào)遞增區(qū)間為(Ina,伏).

(2)由(1)知,f\x)=ex-a.

①當aW1時，在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增且"0)=0,

所以〃x)在區(qū)間［0刀上有一個零點.

②當a2e時,/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減且/(0)=0,

所以/(X)在區(qū)間［0,1］上有一個零點.

③當l<a<e時，/⑴在區(qū)間［0,Ina］上單調(diào)遞減,在(InaJ上單調(diào)遞增,

而〃l)=e-叱l.

當e-a-120,即l<aWe-l時，/⑺在區(qū)間［0,1］上有兩個零點.

當e-a-l<0,即e-l<a<e時，/6)在區(qū)間［0,1］上有一個零點.

綜上可知,當aWl或a>e-l時，/O)在［0,1］上有一?個零點，

當1<a4e-1時,秋x)在區(qū)間［0,1］上有兩個零點.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)處理函數(shù)零點常用方法

(1)構(gòu)造新函數(shù)g(x),利用導數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

(2)利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零點.

3.(2023上廣東中山?高三?？茧A段練習)設函數(shù)=g(x)=x2-(m+l)x,m>0.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當加C7時,討論/(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).

【答案】(D單調(diào)遞增區(qū)間是(J￡,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(o,瘋)

(2)函數(shù)與g(x)的圖象總有一個交點

【詳解】(1)函數(shù)“X)的定義域為(0,+司，/，(司_卜+而)1一折).

當0<x〈苗時，r(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

當x>J/時，#(x)〉0,函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上，函數(shù)［(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(標,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,詬).

1

(2)令>(%)=/(%)-g(%)=——x2+(m+l)x-mlnx,x>0,

2

題中問題等價于求函數(shù)b(x)的零點個數(shù).

")=-x+(…一？=一(1)9間,

當機=1時，r(x)<o,函數(shù)萬(x)為減函數(shù),

a

因為廠(l)=；>0,F(4)=-ln4<0,所以尸(X)有唯一零點；

當〃>1時，0<x<l或x>"z時，F(xiàn)f(x)<0；時，F(xiàn)(x)>0,

所以函數(shù)尸(X)在(0,1)和(私+8)上單調(diào)遞減，在(1,加)上單調(diào)遞增，

因為尸(1)=機+；>0,

F(2m+2)=—mIn(2m+2)<0,

所以尸(x)有唯一零點.

綜上，函數(shù)尸(X)有唯一零點，即函數(shù)“X)與g(x)的圖象總有一個交點.

4.(2023上?上海虹口?高三?？计谥?函數(shù)/(x)=sinx+cosx,g(x)=lnx

(1)求函數(shù)V=f(x)在點(0,1)的切線方程；

(2)函數(shù)y=K+2g(x),(meR,加片0),是否存在極值點，若存在求出極值點，若不存在，請說明理由;

X

⑶若weR,請討論關(guān)于X的方程3=/-2弦+加解的個數(shù)情況.

X

【答案】⑴x7+l=O；

(2)〃7<0時無極值點；加>0時有極小值點乂=而，無極大值點.

⑶答案見解析.

【詳解】(1)由題設/'(x)=cosx-sinx,則/'(0)=1,而/1(0)=1,

所以，切線方為y-l=x,即x-y+l=0.

(2)由題設v=3+21n尤，則了=2(1_2)，且xe(0,+⑹，

XXX

當7”<0時，/>0恒成立，故了=2+21nx在(0,+8)上遞增，無極值；

當機>0時，％￡(0,時_/<0,X￡(4?,+00)時V>0,

貝I」丁=2+2Inx在xE(0,Vm)上遞減，在x￡(Vm,+00)上遞增；

x

此時有極小值點為無=而，無極大值點.

(3)由題意，只需討論機=皿--+2ex在xe(0,+⑹上根的情況，

X

令h(x)=-x2+2ex,貝ljh\x)=--2(e-x),而h'(e)=0,

x%

當xw(0,e)時〃'(x)>0,〃(x)遞增；當了￡(e,+oo)時〃Xx)<0,〃(%)遞減;

且X趨向?；?00時〃(X)趨向-8,極大值為人(e)=1+e2,

e

綜上，當冽〉!+。2,原方程有無解；當比=」+。2,原方程有一個解；當％<1+e2,原方程有兩個解;

eee

5.(2023上?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期中)給定函數(shù)〃x)=(尤+2)e、.

⑴討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性，并求出〃x)的極值；

(2)討論方程/'(x)=。(。eR)解的個數(shù).

【答案】(1)/(尤)在區(qū)間(-巴-3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-3,+⑹上單調(diào)遞增；極小值為-I，無極大值

e

⑵答案見解析

【詳解】([)函數(shù)的定義域為xeR.

/,(x)=(x+2),er+(x+2)(eiy

=e*+(x+2)e，=(x+3)e，.

令/'(x)=0,解得x=-3,

/(尤)，/(無)的變化情況如表所示.

X(-GO,-3)-3(-3,+⑹

-0+

/(X)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

e3

所以，/(無)在區(qū)間(-巴-3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-3,+⑹上單調(diào)遞增.

當x=-3時，“X)有極小值〃-3)=-無極大值

e

(2)方程/(X)=€R)的解的個數(shù)為函數(shù)了=/(X)的圖象與直線y=。的交點個數(shù).

令〃x)=0,解得x=-2.

當x<-2時，/(X)<0；當x>-2時，/(%)>0.

又由(1)可知，/(尤)在x=-3時有唯一極小值，也是最小值-

e

所以，“X)的圖象經(jīng)過特殊點1-3,-：1,(-2,0),(0,2).

且當x>0時，有〃x)=(x+2)e，>e，；

當-2時，有/(%)=(%+2)e*<0.

如圖，作出函數(shù)的圖象

當［時，y=/(x)與y=a的圖象沒有交點，所以方程/(x)=a的解為。個；

e

當。=-3或o時，y=/(x)與y=a的圖象只有一個交點，所以方程“X)=a的解為1個;

e

當-5<。<0時，y=1(x)與>的圖象有兩個交點，所以方程/(x)=a的解為2個.

題型二：證明唯一零點問題

1.(2023上廣東珠海?高三校考階段練習)已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx-x,y=/(尤)為了=/(無)的導

數(shù).

(1)求曲線了=小)在償唱J處的切線方程：

(2)證明：y=/'(尤)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點;

【答案】(l)y=葭T，+2-?；

⑵證明見解析.

【■詳、AZ.解An】.(/1、)/?^[-7CJ?=2_s.m7-C--7Ccos7C---7T=2_-7C-,所廣一..以.i切-、r(n點_為7C?,

又/'(x)=2c°sx-c°sx+xsinx-l=c°sx+xsin龍一1，

所以左=/[1■]=+,

所以切線方程為y_12_K_l卜T，即y=ti}+2-q；

(2)由(1)矢口/'(x)=cosx+xsinx—l,令g(x)=/'(x)=cosx+xsinx-l

貝ijgz(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

令g[x)>0,解得xe/，3,此時g(x)單調(diào)遞增，

令g〈X)<0,解得兀)，此時g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g&=5-j°，

又g(o)=l-1=0,所以在區(qū)間皿上g(x)>0恒成立，

g(7i)=-l-l=-2<0,所以存在％■，兀]使得且伉卜。，

所以g(x)在(0㈤上存在唯一的零點％,

即>=/'⑺在區(qū)間(0㈤存在唯一零點，得證.

【點睛】方法點睛：導數(shù)問題一般可以先通過求導得到函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性判斷函數(shù)的圖像，根據(jù)

圖像解決相關(guān)問題.

2.(2023上?黑龍江?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)=x+lnx,g(x)=e'lnx+a,且函數(shù)/(x)的零

點是函數(shù)g(x)的零點.

⑴求實數(shù)a的值；

(2)證明：>=g(x)有唯一零點.

【答案]⑴1

(2)證明見詳解

【詳解】(工)由/'(x)=x+lnx易判斷/(無)在(0,+。)單調(diào)遞增,

j=l+ln-=--l<0,/(l)=l+lnl=l>0,

jeee

所以可令/(%)=%+111/=0，

xx

得與=_lnXo,所以Xo+lnx。=ln(xoe°)=0xoe°=1,

x

由題意g(x0)=0，即e/In/+a=-e°x0+a=-l+a=0,

所以a=1；

(2)g(x)=e1nx+l,貝1應("=/1111%+：],

令p(x)=lnx+L則;/(%)=2=

所以當xe(0,l)時，p(x)<0,p(x)單調(diào)遞減，當xe(l,+oo)時，p(x)>0,p(x)單調(diào)遞增，所以

p{x}>/?(1)=1>0,

所以g'(x)=e*1nx+J>0,

結(jié)合(1)可得存在唯一使得g(x°)=0,即函數(shù)y=g(x)有唯一零點.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題(1)的關(guān)鍵是通過同構(gòu)得出x°e，。=1；(2)的關(guān)鍵是二次求導確定函數(shù)的

單調(diào)性.

3.(2023下?河南?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/aeR.

(1)過坐標原點作/(x)的切線，求該切線的方程；

(2)證明：當時，/(%)+辦2=0只有一個實數(shù)根.

【答案】⑴了+-14

⑵證明見解析

【詳解】(1)函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8),設切點為(%，啊-血0),

f'[x)=a~—,則/'(%)=。，

X%0

故切線方程為>—(狽0-1啄)=1——%)，

由切線過原點0—(辦0—1啄)=a---(0-x0),得Xo=e,

Ixo)

所以所求切線方程為y=，-jx；

(2)要證明a<0時，/(力+辦2=0只有一個實數(shù)根，

即證ax-lnx+亦2=0只有一個實數(shù)根，

令力(x)=ax-lux+ax1(x>0),

x1c2ax2+ax人

則h(x)—a---Flax=----------<0，

尤x

即〃(x)單調(diào)遞減，

當x=er時，〃(e")=?e3a-3a+ae6a>a-3a+a=-a>0,

又〃⑴=2a<0,

由此可知，〃卜)的圖象在(0,+s)上有且只有一個公共點，

從而"0時，/(x)+af=0只有一個實數(shù)根.

【點睛】思路點睛：本題第二問解題思路是構(gòu)造函數(shù)令人口)=辦-1改+公2(》>0),結(jié)合零點存在性定理求

解.

題型三：根據(jù)零點(根)的個數(shù)求參數(shù)

1.(2023上?北京?高三景山學校校考期中)已知函數(shù)/(x)=ln(a無)-；x3(aw0).

(1)當。=2時，求曲線y=〃x)在點[J，：)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

⑶當”=1時，設g(x)=〃x)+t,若g(x)有兩個不同的零點，求參數(shù)1的取值范圍.

【答案】⑴21x—12y—ll=0；

⑵答案見解析；

【詳解】(1)由題設〃x)=ln(2x)-!V,貝IJr(無)=!--,故〃3=一1，/(1)=：,

3x22424

所以在點處的切線方程為y+[=：(x—；),即21X—12〉—11=0.

(2)由r(%)=~~x2=-——，

XX

當a<0,定義域為xe(F,0),此時1-J〉。,故八x)<0,即“勸在(-又域上遞減;

當。>0,定義域為xe(0,+oo),

若xe(0,l),則/''(x)>0,/(x)在(0,1)上遞增；

若—,則八X)<0,/㈤在(1,+8)上遞減;

(3)由題設，/(x)=lnx-1x3,故g(x)=lnx-$3+/在%￡(0,+8)有兩個不同零點,

所以/=；/一inl在在%￡(o,+8)有兩個不同根，

1,3_1

令力(幻=一13_］nx,則“(%)=-r---,

3x

在％w(0,1),則h\x)<0,h(x)在(0,1)上遞減，

在X￡(l,+oo),則〃(x)>0,〃(x)在(1,+8)上遞增，且以l)=g,

X趨向于0或+切時〃(x)都趨向于+8,故只需/>；,滿足題設.

2.(2023?陜西咸陽??？寄M預測)已知函數(shù)/(x)=^e*-Ax2#eR.

⑴當左=0時,求函數(shù)/(x)在12,2］上的值域；

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+8)上僅有兩個零點，求實數(shù)人的取值范圍.

【答案】⑴-1,2e2

(2)(e,+oo)

【詳解】(1)當下=0時,/(x)=x-ex(xeR),所以/'(x)=(l+x)@,

令/'(x)=0,貝！Jx=-1,

X(-2,一1)-1卜L2)

/'(X)-0+

“X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

i7

所以/。濡=/(-1)=一。=--,又/(一2)=-7J(2)=2e2,

所以/(切在［-2,2］上的值域為「-±2百.

(2)函數(shù)/'⑺=--4=x(e"-foc)在(0,+oo)上僅有兩個零點，

令g&)=e-kx,則問題等價于g(x)在(0,+。)上僅有兩個零點，

易求gCG)=e*-左，因為xe(0,+co),所以e，>l.

①當部(-*1］時，g'(x)>0在(0,+。)上恒成立，所以g(尤)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

所以g(x)>g(O)=l，所以g(x)在(0,+。)上沒有零點,不符合題意；

②當后e(l,+oo)時，令g'(x)=O,得x=ln《，

所以在(O,ln左)上g'(x)<0,在(哂+8)上g[x)>0,

所以g(x)在(0,In")上單調(diào)遞減，在(1#,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為g(li次)=,

因為g(X)在(0,+8)上有兩個零點，

所以g(ln^)=左-左JMcO,所以左>e.

因為g(O)=l>O,g(in42)=42_1n后2=k(k-21nA),

令否(x)=x-21nx,〃(x)=1——=----,

所以在(0,2)上力'(x)<0,在(2,+s)上，〃(尤)>0,所以〃卜)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增;

所以〃(x)N2-2ln2=lne2-ln4>0,所以g(ln^2)=左(左一21M)>0,

所以當A>e時，g(x)在(O,lnk)和(lM,+s)內(nèi)各有一個零點，即當后>e時，g(x)在(0,+。)上僅有兩個零點.

綜上，實數(shù)人的取值范圍是(e,+<?).

3.(2023上?重慶涪陵?高三重慶市涪陵高級中學校?？奸_學考試)已知函數(shù)=+ax,g(x)=-x2-a(aeR).

(1)若函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x)在xe[l,+8)上單調(diào)遞增，求。的最小值；

(2)若函數(shù)G(x)=/(x)+g(尤)的圖象與V="有且只有一個交點，求。的取值范圍.

【答案】⑴-3

4

(2)(-<?,--)u(0,oo)

【詳解】(1)尸(x)=/(x)-g(x)=$3+ax+x2+a,F\x)=x2+2x+a,

因函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在xe[1,包)上單調(diào)遞增，

所以尸'(x)=x?+2x+aNO在xe[1,+co)恒成立，即a2(一'—2X》儂，a>-3,

的最小值為-3.

(2)G(x)=/(x)+g(x)=33--+ax-a與〉="有且只有一個交點，

即]X，-X2+ax-a=ax只有一■個根，

---a=0只有一個根，

令Mx)=g/-x2,所以的圖象與夕=。的圖象只有一個交點，

h\x)=x2-2x,令”(x)〉0,解得x<0或x〉2,

令/⑺＜0,解得o＜x＜2,所以〃（x）在（-8,0）,（2,+8）上單調(diào)遞增,（0,2）上單調(diào)遞減，M%）的圖象如

下所示：

4

二，（X）極大值=M°）=°4（x）極小值="2）=-“

又?.?。╔）的圖象與＞的圖象只有一個交點，

4

aG（-00,-y）kJ（0,00）.

o

4.（2023下?湖南衡陽?高二?？茧A段練習）已知函數(shù)/口）=§/-（后+i）/+2日，g5）=2日+1（其中左eA）.

⑴討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性；

（2）若方程〃x）=g（x）有三個根，求上的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析

【詳解】（1）解：由題意得函數(shù)/（無）的定義域為尺，

/'（x）=2x?-2（4+l）x+2左=2（x-l）（x-左），

①當上=1時，/'（x）＞0,即Q（x）在&上單調(diào)遞增;

②當上＞1時，由/'（x）＞0,得x＜l或x＞4,由/得l＜x＜左，

\/卜）在（1，人）上單調(diào)遞減，在（-8,1）和出+CO）上單調(diào)遞增；

③當左＜1時，由/''（X）＞0得x＜左或x＞1,由/''（x）＜0得上＜x＜l,

\/（x）在出1）上單調(diào)遞減，在（-8,左）和（I，+8）上單調(diào)遞增，

綜上所述，當左=1時，/（x）在R上單調(diào)遞增；

當上＞1時，“X）在（1,左）上單調(diào)遞減，在和出+8）上單調(diào)遞增；

當后＜1時,“X）在（后,1）上單調(diào)遞減，在（H,左）和。，+⑹上單調(diào)遞增；

2

（2）方程/（x）=g（x）有三個根，即-優(yōu)+1）/+2依=2履+1有三個根，

7

二：/-（左+1）/-1=0有三個根，顯然尤=0不是方程的根,

則左=：7x-g1-i有三個根，即、=左與函9數(shù)〃1的圖象有三個交點,

77

"（尤）=]+？，令"（x）=°,可得尤=一再,

由〃（x）>0,可得X<-將或x>0,由力'（尤）<。,可得-正<X<O,

則〃（x）在卜（?,-6'）和（0,+co）上單調(diào)遞增，在^3,0）上單調(diào)遞減，

〃（x）在x=7四處取得極大值為中網(wǎng)=-冷-1,

當X—>-8時，—CO,當X—>0-時，“（X）—co,

當X30+時，〃（無）-一00,當X—+8時，/z（x）f+00,

y

5.（2023下?浙江衢州?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=￡

⑴若過點（0,加）作函數(shù)/（無）的切線有且僅有兩條，求小的值；

（2）若對于任意ke（-叫0）,直線y=h+》與曲線尸〃力（xe（。,+⑹）都有唯一交點，求實數(shù)b的取值范圍.

4

【答案】（1）冽=?

e

4

⑵

【詳解】（1）設過點（0,加）作函數(shù)/（無）切線的切點為

因為/'（x）=W，所以切線方程為y-2=r（x-。），即昨上出》+《，

eeeee

2

又因為切線過點（0,加），所以用=—.

e

令g(x)4,則蟲)=哼立，

CC

所以xe(-oo,0),g,(x)<0,g(x)遞減;

xe(O,2),g,(x)>0,g(x)遞增;

xe(2,+co),g,(x)<0,g(x)遞減.

當x=0時，g(x)取極小值g(0)=0；當x=2時，g(x)取極小值8⑵二

g(0)=0,x<0時g(x)>0；x>0時g(x)>0,

根據(jù)以上信息作出g(x)的大致圖象，

由題意，直線〉=拼與8卜)的圖象有且僅有兩個交點，

、4

所以加=g(2)=?.

e

Y1A

(2)由題可得依+6=下有唯一解，即左=三一,1>0有唯一解.

eex

令h(x)=j—”>°,

ex

若小,則，泊與題設林(fO),矛盾，故b>0.

又因為x.0,九(x)fro；xf+oo,〃(x)fO,

結(jié)合題意可得〃⑺="―在(0,+動上單調(diào)遞增，

__X_|_L.

fx

BPA(x)="7>0,所以叫/(x>o)

X2

1，max

4

結(jié)合(1)可得層所以心之.

V/maxe

三、專項訓練

一、單選題

1.(2024上?廣東江門?高三統(tǒng)考階段練習)直線x+y=O與函數(shù)>=lnx一的圖象公共點的個數(shù)為(

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】聯(lián)立x+y=O與y=lnx-/,消去y得，x2-x-lnx=0,

令/(x)=x2-x-Inx,xe(0,+co),求導得f\x)=2x-l--=(「苫+1)(尤1),

xx

當xe(0,l)時，_f(x)<0J(x)單調(diào)遞減;當xe(l,+s)時,/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

因此/(X)min=/⑴=0,函數(shù)/(x)有唯一零點1,

所以直線x+y=0與函數(shù)y=lnx-V的圖象公共點的個數(shù)為1.

故選：B

2.(2023上?河北?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/'(x)=e=，-質(zhì)-。有兩個零點，則。的取值范圍為()

A.(1,+<?)B.(e,+oo)C.[1,+co)D.[e,+oo)

【答案】A

【詳解】令"x)=0,則產(chǎn)/3+八

注意函數(shù)>=^-“與函數(shù)y=lnx+a互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線>=x對稱，

則要使函數(shù)/(x)有兩個零點，只需y=lnx+。與直線N=x有兩個交點即可，

即關(guān)于X的方程血+a=X有兩個根，即〃=%-也在(0,+8)上有兩個根，

設g(x)=_r-lnx,則g〈x)=l-L

易知當0<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當x>l時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

則g(x)向n=g(l)=l，且X->0時，g(x)f4w,當Xf+8時，g(x)f+oo,

故。>1,

故選：A.

3.(2023下?廣東陽江?高二?？计谥?若函數(shù)”X)=XL3X-左在R上只有一個零點，則常數(shù)上的取值范圍

是()

A.(-oo,-l)B.(2,4-00)

C.(^?,-l)U(l,+oo)D.(-oo,-2)U(2,+oo)

【答案】D

【詳解】令/'(x)=d-3x-左=0,貝晨3-3工=左，

構(gòu)建g(x)=/-3x,原題意等價于>=8(》)與>=后有且僅有一個交點,

因為g'(x)=3/-3,

令g'(x)>0,解得x>l或x<-l；令g'(x)<0,解得一

則V=g(x)在(-8,-1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-M)上單調(diào)遞減，

可得y=g(x)在X=-1處取到極大值g(-1)=2,在x=1處取到極小值g⑴=-2,

且當x趨近于-co時;y=g(x)趨近于-00,當X趨近于+00時，y=g(x)趨近于+8,

結(jié)合y=g(x)的圖象可知：若y=g(x)與V=左有且僅有一個交點，則左<-2或左>2,

所以常數(shù)％的取值范圍是(-s,-2)U(2,+<?).

故選：D.

二、填空題

4.(2023上?江蘇常州?高三統(tǒng)考期中)若關(guān)于x的方程I弋nV,有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)f的取值范

x-2

圍是.

【答案】(0,+的

12

【詳解】令y=/(x)=91且xe(0,2)U(2,+?)),則廣(到一(x-2)-Inx1——Inx

(x-2)2—(x-2)2

令g(x)=l—2-lnx,貝1Jg'(x)=

XXXX

當尤e(O,2)時g[x)>0,即g(x)遞增；當xe(2,+oo)時g<x)<0,即g(x)遞減;

所以g(x)max=g(2)=-ln2<0,故以(力<0恒成立,即“X)在(0,2)、(2,+8)上遞減,

而0<x<l時/(x)>0；l<x<2時/(x)<0；x>2時/(x)〉0；

所以歹=/(%)的圖象如下圖示，故/(x),有兩個根0,￡(0,+8).

凹x<Q

5.(2023?貴州遵義?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)〃尤)=<e，'一，若關(guān)于x的不等式;'2(x)+4(x)<0恰

x2-x,x>0

有一個整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】[一2,T)u(e2,2e3]

x+1(x+1)e-x

【詳解】當x40時,>0

即函數(shù)/(x)在(-'0］上單調(diào)遞增

/(-3)=-2e3,/(-2)=-e2,/(-l)=O,/(O)=l,/(l)=O,/(2)=2

函數(shù)的圖像如下圖所示：

由(無)+4(無)<0得出/⑺(/(x)+a)<0,

當“=0時，顯然不成立.

但"0時，解得-a</(x)<0,使得不等式只有唯一整數(shù)解，ltL0^-2e3<-a<-e2.

即e2<aV2e3時，唯一整數(shù)解是x=-2,

當"<0時，0</(x)<-a,使得不等式只有唯一整數(shù)解，此時1<-042,

即-24a<-1時，唯一整數(shù)解是x=0.

23

綜上，?e[-2,-l)u(e,2e].

故答案為：[-2,-l)u(e2,2e3]

6.(2023下?重慶江北?高二重慶十八中?？计谥?已知函數(shù)/(無卜猶”的圖象與函數(shù)g(x)=ax+alnx的圖

象有兩個交點，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(e,+8)

【詳解】因為/(x)=xe*=爐*"*,g(x)=ax+alnx=a(x+lnx),

且了=x,y=lnx在(0,+動上單調(diào)遞增，可知/=x+lnx在(0,+/)上單調(diào)遞增,

由題意可知：函數(shù)y=e'的圖象與函數(shù)了=加的圖象有兩個交點，

又因為y'=e',

設切點坐標為(嘰e〃')，則切線斜率左=e*切線方程為了-鏟=《。-小),

若切線過原點，貝!]一心=一加腔，解得加=l#=e,

結(jié)合圖象可知：若函數(shù)》=占的圖象與函數(shù)>=辦的圖象有兩個交點，則Q>e,

所以實數(shù)。的取值范圍是(e,+8).

故答案為：(e,+℃).

三、問答題

7.(2023上?山東?高三濟南一中校聯(lián)考期中)已知函數(shù)〃x)=x3+2/一ax+2(aeR).

(1)若函數(shù)>=/(x)在xe[l,+ao)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象與>=。(1-x)有且只有一個交點，求。的取值范圍.

【答案】⑴(-8,7]

/7/86)

(2)ae(-oo,2)U^—

【詳解】(1)由/'(x)=丁+2——辦+2,貝！J/'(X)=3x?+4x-a,

因為函數(shù)了=/(X)在xe[1,+8)上單調(diào)遞增，

所以「'(無)=3尤2+4x-a20在xe[1,+8)恒成立，

BPtz<(3x2+4x),

而>=3/+4x在x￡[,+。)上單調(diào)遞增，

當x=1時，(3、2+4x1=7,

所以。的取值范圍(-叫7].

(2)/(x)=x3+2/-ax+2與y="(l-x)有且只有一個交點，

即x3+2-—。了+2=。(1一無)只有一個根，x，+2/+2=a只有一個根，

令〃(力=尤3+2尤2+2,所以〃(x)的圖像與>的圖像只有一個交點，

〃(x)=3，+4x,令〃(x)>0,解得尤<-(或x>0,

令〃(x)<0,解得一g<x<0,

所以〃(x)在,巴-；],(O,+⑹上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減,

所以〃(x)極大值=j=||,〃(x)極小值=〃(o)=2,

又因為Mx)的圖像與夕=。的圖像只有一個交點,所以ae(-8,2)u1II,+8).

8.(2023上?吉林長春?高一吉林省實驗校考期中)已知函數(shù)/(x)=x2-(a+2)尤+alnx,(aeR)

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點；

(2)若a=4,方程一"=0有三個不同的根，求用的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析

(2)(41n2-8,-5)

【詳解】(1)定義域為(0,+力)，

「(xb2x+,(a+2"(xT)*-a),

令小)=0得x=Ng

當?jw。即aWO時，xe(O,l),f'(x)<0,〃x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減；

xe(l,+s),#(x)〉0,/(x)在區(qū)間(1,+⑹上單調(diào)遞增；

故/(x)有極小值點1，無極大值點，

當0<^|<1即0<a<2時，時，〃(x)〉0,/(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，

當xegl)時，f'(x)<0,〃x)在區(qū)間glj單調(diào)遞減；

當”(,+8)時,/()>0,/⑺在區(qū)間(L+8)上單調(diào)遞增;

當/(x)極小值點為1,極大值點為￡；

當事>1即a>2時，xe(O,l)時，/小)〉0,〃x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增，

當［時，fr(x)<0,〃x)在區(qū)間單調(diào)遞減；

當》4號+"時，〃(x)〉0,/(x)fx在區(qū)間單調(diào)遞增；

故/(x)有極小值點有極大值點為1；

當］=1時，即。=2時，f'(x)>0,/(x)在(0,+功單調(diào)遞增，無減區(qū)間，無極值點.

(2)當Q=4時，/(x)-m=OBp=

由(1)可知，xe(O,l)時，/(尤)單調(diào)遞增，xe(l,2)時，/(尤)單調(diào)遞減，

xe(2,+s)時，單調(diào)遞增；

極大值〃1)=-5,極小值/(2)=41n2-8,

要使/'(x)-m=O有三個不同的根，則41n2-8(機<-5.

故切的取值范圍為(4山2-8,-5)

9.(2023上?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(無)=x?-x-sinx-cosx.

⑴若曲線V=/(x)在點處的切線與無軸平行，求該切線方程；

(2)討論曲線y=/(x)與直線>=a的交點個數(shù).

【答案】⑴了=-1

⑵答案見解析

【詳解1(1)f'(x)=2x-(sinx+xcosx)+sinx=x(2—cosx),

因為曲線了=/(x)在點(x。,/'伍))處的切線與X軸平行，

所以/'(Xo)=Xo(2-cosXo)=0,

因為2-cos尤?！?。，所以％=0,/(%)=-1.

所以所求切線方程為y=-L

(2)由(1)可知，當xe(O,+<?)時，(x)=x(2-cosx)>0,

當x?-0o,0)時,/(X)=x(2-cosx)<0,

所以/(無)在(0,+功上單調(diào)遞增，在(-鞏0)上單調(diào)遞減，

所以“X)1nhi=/(0)=-1.

所以當時，曲線>=/(尤)與直線丁=。無交點；

當。=-1時，曲線y=/(%)與直線V=。有且僅有一個交點；

當°>-1時，在無e[0,+8)上，/(x)>x2-x-l,

令x2-x-l=a，得苫=1+后不(1-歷布舍去),

22

則力"乎X/(O)=-l<a,

I27

所以在X￡[0,+8)上，曲線>=/(')與直線歹=。有且僅有一個交點，

又因為sin卜x)_C0s[x)=%2一1.sim—cos￥=/(c),

即/(x)為偶函數(shù)，

所以在尤武-哈舟)上，曲線y=f(x)與直線>有兩個交點.

綜上所述，當。<-1時，曲線了=/(力與直線>無交點；

當a=-1時，曲線了=“X)與直線y=a有且僅有一個交點；

當。>-1時，曲線了=/(x)與直線>有兩個交點.

10.(2023下?山東荷澤?高二?？茧A段練習)給定函數(shù)/(X)=(x+3)e、

⑴判斷了(x)的單調(diào)性并求極值；

(2)討論f(x)=m(meR)解的個數(shù).

【答案】⑴/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間是(T+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(-叫-4).無極大值，極小值/(-4)=-5.

(2)%=-，■或以20時有一解；-g〈機<0時有兩解.

【詳解】(1)V/(x)=(x+3)ex

/'(x)=(x+3)'e*+(x+3)(e*)'=(尤+4)e*,

令f\x)=(x+4)ex>0得x>-4,

令廣(x)=(x+4)e*<0得x<—4,

/.函數(shù)/(x)在區(qū)間(---4)上單調(diào)遞減，在(-4,+?)上單調(diào)遞增，

.?.當x=-4時，/⑴取得極小值為〃-4)=-b4,無極大值.

(2)由(1)知

函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,-4)上單調(diào)遞減且當x<-3時，/(x)=(x+3)e，<0；

當x=-4時，“X)取得極小值為4)=-

e

從而得知，當x<-3時，/(x)圖像恒在x軸下方，且當x--8時，/(x)f0,即以x軸為漸近線，

當皿=-［時，兩函數(shù)圖像恰好相切，方程有一個解；當以20時，兩圖像恰好交于一點，方程有一個解;

e

當〈加<0時，兩圖像有兩個交點，方程有兩根.

e

綜上，當=--^或擾20時，方程有一■個解；當--^<7M<0時，方程有兩根.

ee

11.(2023上?廣東深圳?高三紅嶺中學校考階段練習)若函數(shù)/(x)=x(x-c『在x=3處有極小值.

⑴求c的值.

(2)函數(shù)g(x)=/卜)+6/-(9+3a)x+1恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案］⑴3

(2)pvj

【詳解】(1)因為/(x)=x(尤-c『，所以解(x)=(x-c)(3x-c),

又因為函數(shù)/(x)=x(x-c『在x=3處有極小值，

所以/■'(3)=(3-c)(9-c)=0,解得c=3或c=9,

當c=3時，/'(X)=(x-3)(3x-3),

貝ljl<x<3時，/，(x)<0,x>3時，#(x)〉0,

〃x)在(1,3)上單調(diào)遞減,在(3,+s)上單調(diào)遞增，

可得函數(shù)/(x)在尤=3處取得極小值；

當c=9時，r(x)=(x-9)(3x-9),

貝|J尤<3時，H(x)〉O,3<x<9時，f'(x)<Q,

〃x)在(一*3)上單調(diào)遞增，在(3,9)上單調(diào)遞減，

可得函數(shù)/(x)在尤=3處取得極大值，不合題意，舍去.

所以c的值為3.

(2)g(x)=/(x)+6x2-(9+3a)x+l=x，-6x?+9尤+6x?-(9+3a)x+l=x3-3"+1,

函數(shù)定義域為R，g，(x)=3x2-3(z,

當a40時，g'(x)N0恒成立,g(x)在R上單調(diào)遞增,

a=0時，g(x)=Y+i有一個零點；；

"0時.，g(：J=：-3+l<0,g(0)=l>0,g(x)恰有一個零點.

當a〉0時，g'(x)〉。解得x<-4a或x>G,g'(x)<。解得一G<x<4a,

g(x)在卜8,-和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

%=—G時，g(x)有極大值，％=五時，g(x)有極小值，

g(x)恰有一個零點，g^-4a^=2a4a+\<。或g(五)=+1>0

mo<a<—，

2

(亞

綜上可知，函數(shù)g(x)=/(x)+6——(9+3a)x+l恰有一個零點，實數(shù)〃的取值范圍為-哈學

12.(2023上?陜西?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/■(x)=alnx-x(aeR).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若〃X)在1,e