高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識+高頻考點+解題訓(xùn)練）合情推理與演繹推理

第五節(jié)合情推理與演繹推理

■他知溟工打牢

1強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識能否憶起］

—、合情推理

歸納推理類比推理

由某類事物的部分對象具有某些特征,推

由兩類對象具有類似特征和其中一類對

出該類事物的全部對象都具有這些特征

定義象的某些已知特征推出另一類對象也具

的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論

有這些特征的推理

的推理

特點由部分到整體、由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理

（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性（1）找出兩類事物之間的相似性或一致

一般

質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類

步驟

確的一般性命題（猜想）事物的性質(zhì),得出一個明確的命題（猜想）

二、演繹推理

1.定義：從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理

2,特點：演繹推理是由一般到特殊的推理.

3.模式：三段論.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

,①大前提一已知的一般原理；

“三段論”的結(jié)構(gòu)②小前提一所研究的特殊情況；③結(jié)論一根據(jù)一般原理，

對特殊情況做出的判斷

①大前提一〃是8

“三段論”的表示②小前提一s是〃；

③結(jié)論一S是P

［小題能否全取］

1.（教材習(xí)題改編）命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)

是假命題，推理錯誤的原因是（）

A.使用了歸納推理

B.使用了類比推理

C.使用了“三段論”，但推理形式錯誤

D.使用了“三段論”，但小前提錯誤

解析：選C由條件知使用了三段論，但推理形式是錯誤的.

2.數(shù)列2,5,11,20,工47,…中的x等于（）

A.28B.32

C.33D.27

解析:選B由5-2=3,11—5=6,20—11=9.

則x-20=12,因此x=32.

3.（教材習(xí)題改編）給出下列三個類比結(jié)論.

①（36）〃二d7"與（3+6）〃類比，貝IJ有（3+6）〃=石〃十少；

②loga（xy）二logax+logy與sin（。+￡）類比，則有sin（。+￡）=sinasin￡；

③（己+6）2=3+2a6+Z?2與（a+6）2類比,則有（a-^-H）2=a+2a?b+b2.

其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.0B,1

C.2D.3

解析：選B只有③正確.

4.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2,則它們的面積比為1：4.類似地，在空間中，若

兩個正四面體的棱長的比為1：2,則它們的體積比為.

1

-sA

電

匕3111

解

析-----X---

友

七1428

-S為

3

答案：1：8

5.（-陜西高考）觀察下列不等式

115

1+牙+呼〈予

1117

1+牙+手+產(chǎn)1

照此規(guī)律，第五個不等式為..

解析：觀察得出規(guī)律，左邊為項數(shù)個連續(xù)自然數(shù)平方的倒數(shù)和，右邊為項數(shù)的2倍減1的差除以項數(shù),

11111272-1*、、

即1+夢+于+不+^+…-,〃22）,

所以第五個不等式為1+（+提+/+（+&〈卷.

―1111111

答案：1+再+『+不+『+『<百

1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用.合

情推理的結(jié)論可能為真，也可能為假，結(jié)論的正確性有待于進(jìn)一步的證明.

2.應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提與推理

形式是正確的，結(jié)論必定是正確的.如果大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯誤的.

...惠頻有點要通關(guān)抓考點|學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

歸納推理

典題導(dǎo)入

［例1］（?河南調(diào)研）已知函數(shù)廣（入）=；，5（x>0）.如下定義一列函數(shù)：f（X）=f（力,血（X）二

f（fi⑹,%（￡）二廣（一（+）），…,￡（幻=77EN*,那么由歸納推理可得函數(shù)￡5）的解析

式是￡（x）=?

Y

「自主解答］依題意得，f（x）=E，

X

x+2x______x______

￡（x）=3X+4=2?-l—x+22'

OA1-4：xXX

/（x）=F—:=E=:-1X+23,…，由此歸納可得￡3=2=1x+2〃（x>°）

3^+4+2

x

［答案］2"一1r+2"（x>°）

由題悟法

1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍.

2.歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或試驗的基礎(chǔ)之上的.

［注意］歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明，但對數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用.

以題試法

1.(-棗莊模擬)將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個數(shù)為()

1

357

911131517

19212325272931

A.809B.852

C.786D.893

解析：選A前20行共有正奇數(shù)1+3+5+…+39=20。=400個，則第21行從左向右的第5個數(shù)是

第405個正奇數(shù)，所以這個數(shù)是2X405-1=809.

3類比推理

典題導(dǎo)入

［例2］在平面幾何里，有“若玄的三邊長分別為a,4c內(nèi)切圓半徑為右則三角形面積為叢胸

=*a+6+c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體相切的四個面的面積分別為S,甌國,￡,

內(nèi)切球的半徑為七則四面體的體積為”.

［自主解答］三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長類比為四面體四個面的面積，內(nèi)切圓

半徑類比為內(nèi)切球的半徑.二維圖形中類比為三維圖形中的;，得『四面體."=：(S+$+$+&)「.

［答案］，四面體+S+&+&)r

由題悟法

1.類比推理是由特殊到特殊的推理，命題有其特點和求解規(guī)律，可以從以下幾個方面考慮類比：類

比定義、類比性質(zhì)、類比方法、類比結(jié)構(gòu).

2.類比推理的一般步驟：

(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；

(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想).

以題試法

2.若｛aj是等差數(shù)列，么n、。是互不相等的正整數(shù)，則有：(ZZ7-n)aP+(n-p)a?+(p-ni)a?=O,類

比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，對等比數(shù)歹MAJ,有一

解析：設(shè)㈤的首項為氏,公比為q,則￥?6廠?山"

=也/一)…?5；"，也仃')-

=式?q=1.

答案：?機(jī)『=\

演繹推理

皿

典題導(dǎo)入

77+2

［例3］數(shù)列?｝的前〃項和記為S,已知a=1,ae=TS(〃GN*).證明：

(1)數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)S+i=4a.

Z7+2

［自主解答］(1),「劣+1=S+i-S,劣+1=—

5+2)S=/(S+i-S),即4S+i=2(/?+))S.

^777=2,(小前提)

故是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列.(結(jié)論)

(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)

_Sn+1Sn-1

(2)由(1)可知1y=4------7(〃,2),

77+1n-i

Sn-177-1+2

???S+i=4(〃+1)?-----7=4?-----------?S-i=4a(〃22).(小前提)

Xa2=3S=3,=si+a2=1+3=4=4ai,(/卜前提)

對于任意正整數(shù)n,都有S+i=4a〃.(結(jié)論)

由題悟法

演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么

是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略.

以題試法

3.如圖所示，D,E、尸分別是況；CA,46上的點，LBFD="A且DE//BA.求

證：碘=/6（要求注明每一步推理的大前提、小前提和結(jié)論，并最終把E推理過程用簡

略的形式表示出來）./\/\

BDC

證明：（1）同位角相等，兩條直線平行，（大前提）

乙"。與乙"是同位角，且乙〃。=44（小前提）

所以加‘〃氏!.（結(jié)論）

（2）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，（大前提）

施〃力且勿吆應(yīng)1,（小前提）

所以四邊形/儂為平行四邊形.（結(jié)論）

（3）平行四邊形的對邊相等，（大前提）

碩和/尸為平行四邊形的對邊，（小前提）

所以旗=":（結(jié)論）

上面的證明可簡略地寫成：

乙BFD=AA=^DF//EA\

:今四邊形加怩是平行四邊形臺碘=/￡

DE//BAJ

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A級全員必做題

1.推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是（）

A.①B.②

C.③D.①和②

解析：選B由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結(jié)論.故選B.

2.（?合肥模擬）正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f（x）=sin（f+l）是正弦函數(shù)，因此f（x）=$m（戈+1）是奇函

數(shù)，以上推理（）

A.結(jié)論正確B.大前提不正確

C.小前提不正確D,全不正確

解析：選C因為f（x）=sin（f+l）不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確.

3.（-泰興模擬）在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形46。的內(nèi)切圓面積為S,外接圓面積為跖則搟

02

1匕

=不推廣到空間可以得到類似結(jié)論；已知正四面體9的內(nèi)切球體積為匕，外接球體積為K,則%=

匕1

解析：選D正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為L：3,故行二萬.

V2乙（

4.（?德州模擬）給出下面類比推理（其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）：

①“若a,6ER,貝1J女一/?=6”類比推出“乃，cEC,貝lj乃一0今a=c”；

②“若a,b,c,dCR,則復(fù)數(shù)a+6i=c+di0a=c,6=d”類比推出"a,b,c,<7EQ,貝l]a+八「

=c+o\^2=>a=c,b-dn；

③“a,6ER,則a-6>00a>6”類比推出“若a,b￡C,貝lja-6>0今a>6”；

④“若xER,貝<1=>-1<X<1”類比推出“若zEC,則|z|<1=.

其中類比結(jié)論正確的個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B類比結(jié)論正確的有①②.

5.觀察如圖所示的正方形圖案，每條邊（包括兩個端點）有〃GN*）個圓點，第〃個圖案中圓

點的總數(shù)是S.按此規(guī)律推斷出S與〃的關(guān)系式為（）

A.Sn=2nB.Sn=4n

C.S=2"D.S=4〃-4

解析：選D由〃=2,〃=3,刀=4的圖案，推斷第〃個圖案是這樣構(gòu)成的：各個圓點排成正方形的四

條邊，每條邊上有〃個圓點，則圓點的個數(shù)為S=4〃-4.

6.（-武漢市適應(yīng)性訓(xùn)練）下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）

22

A.設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項和為S.由4=2〃-1,求出S=l[S2=2,&=3,???,推斷：S二〃2

B.由_f（x）=xcosx滿足f｛-x）--_f（x）對VxER都成立，推斷：f（x）=xcosx為奇函數(shù)

C.由圓/+/二步的面積S=兀步,推斷：橢圓=+1（女>A>0）的面積S二五ab

au

D.由（1+1）2>2：（2+1）2>22,（3+l）2>23,推斷：對一切〃GN*,（??+1）2>2"

解析：選A選項A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且注意到數(shù)列｛a,｝是等差數(shù)列，其前n項和等

n1+2/7—1

于S=-------------=〃，選項D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確.因此選A.

11

-+-+135

7.(-杭州模擬)設(shè)n為正整數(shù)，f?23+-,計算得f(2)=,r(4)>2,A8)>-,『(16)>3,

觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為.

77+2

解析：由前四個式子可得，第〃個不等式的左邊應(yīng)當(dāng)為H2"),右邊應(yīng)當(dāng)為丁，即可得一般的結(jié)論

77+2

為f(2")

z?+2

答案：F(2")》一^

8.(-陜西高考)觀察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此規(guī)律，第〃個等式為

解析：每行最左側(cè)數(shù)分別為1、2、3、…，所以第〃行最左側(cè)的數(shù)為n；每行數(shù)的個數(shù)分別為1、3、5、…,

則第〃行的個數(shù)為2〃-1.所以第〃行數(shù)依次是久〃+1、〃+2、…、3A-2.其和為〃+5+1)+5+2)+…

+(3/7-2)=(2〃-1)

答案：n+5+1)+5+2)+???+(3/7-2)=(2/7-I)2

9.(?杭州模擬)在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形,

按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：/=—+?.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方

體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐。-￡網(wǎng)如果用S,S,￡表示三個側(cè)面面積，&表示截面面積，那

么類比得到的結(jié)論是.

解析：將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得?+$+&=

答案：

10.平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和

大于第三邊；（2）三角形的面積S=^X底義高；（3）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的B；……

請類比上述性質(zhì)，寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論.

解：由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：

（1）四面體的任意三個面的面積之和大于第.四個面的面積；

⑵四面體的體積廣（義底面積乂高；

（3）四面體的中位面平行于第四個面且面積等于第四個面的面積的|

11.定義”等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)

列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{aj是等和數(shù)列，且4=2,公和為5.

⑴求a8的值；

（2）求該數(shù)列的前〃項和S.

解：⑴由等和數(shù)列的定義數(shù)列是等和數(shù)列，且d=2,公和為5,易知初7=2,甌=35=1,2…）,

故318=3.

（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時，

S?=ai+ai+???+an=（ai+as++a?-i）+（a2+&+,,,+a〃）

5

=2+2+—++3+3+…+驛3=-n；

當(dāng)〃為奇數(shù)時，

5.51

Sn=S?-i+a?=-^{n-1）+2=-7?--

-5

.〃為偶數(shù)，

綜上所述：s

5〃n為奇數(shù).

12.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這

些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相

同），設(shè)第n個圖形包含個小正方形.

⑴求出H5）的值；

（2）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（〃+l）與『5）之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式

求出f(n)的表達(dá)式；

⑶求『1+yi—―+Fl——+…+*二―M的值?

解:⑴f⑸=41.

(2)因為A2)-AD=4=4X1,

r(3)-f(2)=8=4X2,

f(4)-A3)=12=4X3,

f(5)-f(4)=16=4X4,

由上式規(guī)律，所以得出『5+1)-f?=4〃.

因為f(.n+1)-f{n)=477,

所以f(n+1)=f(〃)+4/7,

/(77)=f(n-1)+4(〃-1)

=f(n-2)+4(77-1)+4(77-2)

=f(n-3)+4(/?-1)+4(/?-2)+4(77-3)

⑴+4(/7-1)+4(77-2)+4(〃-3)+-+4

=2n-2/7+1.

⑶當(dāng)〃22時，

i1=1-3

fn-127777-12v/7-1n'

1111

,---------+---------------+--------------+???+---------------

''f1f2-1/3-1fn-1

11111

++

-2-2--3-3--4-

31

2~2n,

B級重點選做題

1.(?江西高考)觀察下列各式：石+6=1,才+9=3,a+I)=4,a+I)=7,a+b5=ll,?--,則

A.28B.76

C.123D.199

解析：選C記a"+6"=f5),則f(3)=AD+A2)=1+3=4；f(4)=f(2)+A3)=3+4=7；f(5)

=A3)+f(4)=11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)F5)=f(n-1)+/(〃-2)SEN*,〃》3),則f(6)=f(4)+f(5)=18；

f(7)=f(5)+r(6)=29；f(8)=f(6)+f(7)=47；『⑼=f(7)+f(8)=76；f(10)=f(8)+f(9)=123.所

以a、+廬=123.

2.對于命題：若。是線段四上一點，則有|OB|?OA+|OA|?。5=0.

將它類比到平面的情形是：

若。是△/6C內(nèi)一點，則有SAOBC*OA+St^OCA,OB+S\OBA,OC=0,將它類比到空間情形應(yīng)該是：

若。是四面體ABCD內(nèi)一點，則有.

解析：將平面中的相關(guān)結(jié)論類比到空間，通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積,

因此依題意可知若。為四面體/及/內(nèi)一點，則有Vo-BCD?OA+Vo-ACD,OB+Vo-ABD,OC+Vo-ABC?OD—

0.

答案：%-BCD*OA+Vo-ACD*OB+Vo-ABD*OC+Vo-ABC*OD—0

3.(-福建高考)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：

(1)sin213°+COS217°-sin13°cos17°；

(2)sin215°+COS215°-sin15°cos15°；

(3)sin218°+COS212°-sin18°cos12°；

(4)sin2(-18°)+COS248°-sin(-18°)cos48°；

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin(-25°)cos55°..

(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

解：(1)選擇⑵式，計算如下：

sin215°+COS2150-sin15°cos15°=1一;sin30°

13

-4--4-

3

⑵三角恒等式為sir?a+cos?(30°-a)-sina?cos(30°-

證明如下：

法一：sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°一。)

二sin2a+(cos30°cosQ+sin30°sin-sina(cos30°?cosQ+sin30°sina)

32^3.1.2^3.1.2

=sina+-cosa+-^-sinacosa+-sina--^-sinacosa--sina

33

=7sin2Q+-cos2a

44

_3

=?

法二：sin2a+cos2(