2.4.4向量與距離課件高二下學期數學選擇性

向量與距離第2章空間向量與立體幾何湘教版

數學

選擇性必修第二冊課標要求能夠用向量方法求點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面之間的距離.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1點到直線的距離與兩平行直線之間的距離1.點到直線的距離:如圖,直線l的方向向量為v,點P為直線l外一點,過點P作直線l的垂線交l于點D,則||即為點P到直線l的距離.2.兩平行直線之間的距離:由于兩平行直線之間的距離處處相等,因此兩平行直線之間的距離可以轉化為其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)點到直線的距離就是點與直線上的點之間距離的最小值.(

)(2)點P到直線l的距離公式推導過程中,點A也可以是點P在直線上的射影,此時d=|AP|.(

)√√2.求空間中點到直線的距離除了利用直線的方向向量求解外,若是求出垂足的坐標,結合兩點間的距離公式應怎樣求解?提示

空間中求點M到直線AB的距離的方法與步驟:(1)建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標.在已知直線AB上取一點E,點E應滿足兩個條件:①

,②ME⊥AB.(2)利用(1)中的兩個等量關系求出λ的值,進而求出點E的坐標,求出向量||的模即為M點到直線AB的距離.知識點2點到平面的距離與兩平行平面之間的距離1.點到平面的距離:P為平面α外一點,在平面α內任取一點A.設n是平面α的法向量,則

在法向量n上的

就是點P到平面α的距離d,即d=.

2.兩平行平面的距離:兩平行平面α與β之間的距離等于平面α上

A到平面β的距離,也等于兩平面之間的任一條線段AB在平面α的法向量n上的投影長,即n是平面α的一個法向量,A和B分別是平面α和平面β內的點,則平面α和平面β之間的距離為d=.

兩平行平面間的距離處處相等

投影長

任一點

過關自診1.怎樣求線面距離、面面距離?2.[人教B版教材習題]已知平面α外一點A到平面α的距離為d,且點A到平面α內一點B的距離為5,寫出d的取值范圍.提示

線面距離、面面距離都可以通過一定的方法轉化為點到平面的距離求解.解

如圖,設A在平面α內的射影為A',則A'B2=52-d2≥0,∴0<d≤5,即d的取值范圍是(0,5].3.[北師大版教材習題]已知點M(-1,1,-2),平面α經過原點O,且垂直于向量n=(1,-2,2),求點M到平面α的距離.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用向量求點到直線的距離【例1】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點,求點A到EF的距離.解

如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,由棱長為2可知A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),變式探究

本例題中條件不變,若BC的中點為G,求直線EG與AD1之間的距離.解

由于EG∥BC1,BC1∥AD1,因此EG∥AD1,所以直線EG與AD1之間的距離即為點E到直線AD1的距離.規(guī)律方法

用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)建立空間直角坐標系;(2)求直線的方向向量;(3)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影長;(4)利用勾股定理求距離.另外,要注意平行直線間的距離可以轉化為點到直線的距離.探究點二利用空間向量求點到平面的距離【例2】

[北師大版教材習題]在邊長為4的正方形ABCD中,點E,F分別是AB和AD的中點,CG⊥平面ABCD,且CG=2,求點B到平面EFG的距離.規(guī)律方法

用向量法求點面距的方法與步驟

變式訓練正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則平面A1BD與平面B1CD1間的距離為

.

解析

以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則令z=1,得y=1,x=-1,所以n=(-1,1,1)為平面A1BD的一個法向量.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)點到直線的距離與兩平行直線之間的距離;(2)點到平面的距離與兩平行平面之間的距離.2.方法歸納:利用直線的方向向量求點到直線的距離,轉化法求兩平行直線之間的距離;利用直線的方向向量與平面的法向量求點到平面的距離;轉化法求兩平行平面之間的距離.3.特別提示:求距離時首先要明確所求的距離公式,其次計算要準確.求點到直線的距離需要先求直線的方向向量.成果驗收·課堂達標檢測A級必備知識基礎練123456789101112131415161.已知直線l經過點A(2,3,1),且方向向量為n=(1,0,-1)的直線與l垂直,則點P(4,3,2)到l的距離為(

)B123456789101112131415162.已知空間直角坐標系中的點P(1,1,1),A(1,0,1),B(0,1,0),則點P到直線AB的距離為(

)D123456789101112131415163.空間直角坐標系中A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,則平面α與平面β間的距離為(

)A123456789101112131415164.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,則點A到直線B1E的距離為(

)B解析

建立如圖所示的空間直角坐標系,連接B1A,B1E,由已知得A(0,0,0),

123456789101112131415165.已知點M(-1,1,-2),平面π過原點O,且垂直于向量n=(1,-2,2),則點M到平面π的距離是

.

123456789101112131415166.已知平面α的法向量為n=(-2,-2,1),點A(x,3,0)在平面α內.若點P(-2,1,4)到平面α的距離d為,則x=

.

-1或-11123456789101112131415167.[人教B版教材例題]如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一個邊長為1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=1.求點D到平面PBC的距離.12345678910111213141516解

依題意,AB,AD,AP是兩兩互相垂直的.12345678910111213141516B級關鍵能力提升練123456789101112131415168.(多選題)已知平面α的法向量為n=(-1,-2,2),點A(x2,2x+1,2)為α內一點.若點P(0,1,2)到平面α的距離為4,則x的值為(

)A.2 B.1

C.-3 D.-6AD123456789101112131415169.

鱉臑是指四個面都是直角三角形的三棱錐.如圖,在鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=PA=2,D,E分別是棱AB,PC的中點,點F是線段DE的中點,則點F到直線AC的距離是(

)B1234567891011121314151610.已知正四棱錐S-ABCD側面和底面的棱長都為2,P為棱BC上的一個動點,則點P到平面SAD的距離是(

)D1234567891011121314151621234567891011121314151612.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,已知點H,A,C1三點共線,且

=0,則點H到平面ABCD的距離為

.

解析

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B1(2,0,1),C1(2,2,1),

=(2,2,1),因為點H,A,C1三點共線,1234567891011121314151613.PA,PB,PC是從點P出發(fā)的三條線段,每兩條線段的夾角均為60°,PA=PB=PC=1,AB=1.若點M滿足,則點M到直線AB的距離為

.

1234567891011121314151614.

如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點.(1)求點D到平面PEF的距離;(2)求直線AC到平面PEF的距離.1234567891011121314151612345678910111213141516又EF?平面PEF,AC?平面PEF,所以AC∥平面PEF,12345678910111213141516C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練由點到平面距離的定義,當且僅當n⊥平面Oxy時,線段MY的長度最短.這時,123456789101112131415161234567891011121314151616.

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側棱AA1=2,D,E分別是CC1與A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(1)求A1B與平面ABD所成角的余弦值;(2)求點A1到平面AED的距離.12345678910111213141516解