2024高考數學二輪復習：焦點弦和焦半徑公式在高考中的應用

專題12焦點弦和焦半徑公式在高考中的應用

每當談到高中數學的學習，我們總是避不開這樣一個話題，教材上沒有、高考要考，而且是有效的解題利

器，那就是——二級結論。

比如說2022年全國一卷第16題，硬做當然可以做出來，但是不僅容易翻車而且很耗時間，就算真算對了，

4

在考場上又有幾人有魄力相信a=—的答案呢？

13

不過，必須指出的是二級結論要想在考場上玩的轉，必須熟練掌握，注意是必須，光知道是不夠的。

有人認為只要知道它在那里，可以考場上推一次再用，然而以某人某段時間的悲慘經歷可以告訴大家：“你，

想多了

因為現推耗時耗力不說，在考場上大部分人是推不出的。

其實以上想依靠現推來解題的想法不過是在偷懶，很多非常實用的二級結論的推導需要極其巧妙的手法，

在高度緊張的環(huán)境中，著實很難想到，不如就先記住并熟練掌握。

再者，高考題越來越新、越來越活，很多題放在那里你都不一定知道該用什么結論，更何況你如果不熟練

呢？

怎么會用？

從實際操作的角度來講，我們必須記憶。

記得我們高中數學老師第一節(jié)課就曾說過：“數學好的第一個必要條件就是記憶力好”。

當然，不是指死記硬背，更不是指不要死記硬背。

某些同學曾經陷入過一個誤區(qū)，認為只要理解就可以記住或者只要在刷題中鞏固就可以熟練掌握。

這其實是矯枉過正，我們過度重視了理解與實踐，而在最基本的層面上一些機械性的成分其實必不可少，

因為機械記憶是所謂一切種種的根基所在。

真的，各位千萬不要忽略記憶的重要性，某些同學深受其害，到高三才意識到事情的嚴重性。

因為，如果你不先記住，怎么在刷題中想到去應用去實踐？

而且理解了也不代表掌握，功利地講，在考場上如果不能直接運用結論，理解其實也沒什么用。

不過話說回來，我并不是說記憶就夠了，也并不是在抹黑理解與應用，我只想說死記硬背其實是第一步，

千萬不要忽視。

目錄

題因o橢圓焦半徑最值....................................................................6

2023?深圳市一模........................................................................6

2023屆?溫州市第一次適應性考試（11月）................................................6

ms拋物線焦點弦與焦半徑公式..........................................................7

2023屆?湖南中學高三上學期第一次月考......................................7

2023屆?佛山二模第11題一無坐標系，焦半徑公式與交點弦公式............................8

型且橢圓焦點弦公式與焦半徑公式.......................................................11

2023浙江紹興二模T16——橢圓的中的對稱..............................................11

2023?浙江嘉興二模.....................................................................12

m0雙曲線焦點弦與焦半徑公式.........................................................14

2023屆?湖南雅禮中學高三月考T16............................................................................................................14

2023屆?山東省新高考3月聯合質量測評..................................................15

2023屆?青島三模T8——2個二級結論...................................................16

睡嗝焦點弦被焦點分成定比.............................................................17

2024屆?浙江省Z20名校聯盟高三上學期第一次聯考T16.....................................................17

2024屆?長郡中學月考（三）T15........................................................................................................18

|知識點?梳理］

橢圓焦半徑與焦點弦夾角公式

焦半徑長公式：I產媚=---（長），|0用=---（短），\PQ\=_2a萬一

111

a-ccos0a+ccos02cos2a

證明：在6中，由余弦定理得|鳥尸『=|公尸『+閨乙『―2閨尸卜閨心|cos8,

將叵尸|=2"閨尸|代入得：閨尸『―4口閨尸"4/=|片尸/+八2—4c閨P|.cos8,

f一**

移項合并得：㈤尸|（4c?cos。—4a）=4c2-4a2=IFPI=——--=-------------,

1lv'11a-c-cosOa-c-cos0

同理，在△片。匕中，由余弦定理得■片+閨閭2—2閨9.閨閶cos（?！猟）,

將\F2Q\=2a—閨P|代入化簡得：山°|==--——

a+c?cos6Q+C?COS6

則I尸周+|。周=—

a-ccosa

2-1

焦點弦被焦點分成定比：若|尸片|=%。周，則e-cosS=-------（注：拋物線默認e=l）

2+1

2b21212

簡證：ISUHQKR廣;高-------=----------------=>---------=----------

CL—CCOSC7Q+CCOS。-a-ccos3Q+CCOS。l—ecos。1+ecos。

2-1

交叉相乘得：1+ecos0=A-AecosOnecos8(2+1)=2—l=e?cos0------

4+1

雙曲線焦半徑與焦點弦夾角公式

22

己知雙曲線0一4=1（。>b>0）,求出2種情況下的焦半徑4F；,8片以及焦點弦AB

ab

情況1：：AB兩點同一支上，直線AB與x軸夾角為a

【答案】情況1:

在△片28中，由余弦定理得幺用2=幺片2+月用2一2幺片?片片cosa,

2

將/耳=AF[-2a代入得：AF^-4a-AFX+4]=AF^+4c-4c-AFX-costz,

2_2?2

移項合并得：AF(4c-COS6Z-4^)=4c2-4a2=^>AF=-----=-------------,

XXc-msa-ac?cosa-a

2_2129b2

ca

同理可得：BFX=~—=--------------,則4g=|/周—忸媼=2a；——.

c-cosa+ac?cosa+aa-ccosa

情況2：AB兩點不在同一支上，直線AB與x軸夾角為少

【答案】情況2:

在△片中，由余弦定理得47^2=4片2+片82一24片?片geos(兀一/),

2

將力B-AR+2a代入得:AF^+4a-AF{+4/=AF^+4c+4c-AF{-cosa,

2_2?2

移項合并得：AF(4a-4c-coscif)=4c2-4a2=>AF=--——--=-------------,

XXa-c-cosaa-c-cosa

2_272D12

同理可得：BF=C~A—=-----------,則43=以耳|+|瓦—r—

Xa+c-cosaa+c-cosaa-ccosa

拋物線焦半徑公式：拋物線焦半徑與焦點弦公式相信同學們都比較熟悉，這里就不證明了

記拋物線/=2川(P>°)，過焦點方的直線交拋物線于A,B兩點，直線AB與x軸夾角為，

焦半徑（短）：AF=-2—；焦半徑（長）：BF=—2—；4B=W—,—+—

1+cos，1—cos，sin26>AFBFp

高考真題?回顧

2022年新高考I卷第16題

22

已知橢圓C:0+￡=l(a>b>O),C的上頂點為/,兩個焦點為片，F2,離心率為;.過片且垂直于幺鳥

的直線與。交于。，E兩點，I1=6,則△NOE的周長是

【答案】13

【解析】易知不名為等邊三角形,

/\ADF的周長^為6+AD+AE=6+DF?+EF?—6+2?！狣F1+2a—EF、=4a

【法一】：焦點弦公式

2“為

2a-b2

\DE\==6=>4

a-c2cos230°2324

a---ci

16

【法二】：通性通法

x2y,2

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為豆+備=1,gp3x2+4/-12c2=0,根據離心率得到直線

4%的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線?！甑姆匠蹋簒=4iy-c

1Q

代入橢圓方程獷+4/-12/=0,整理化簡得到：13/-6V3CJ-9C2=0,利用弦長公式求得C=?

8

17

得°=2c=?,根據對稱性將AADE的周長轉化為△月的周長，利用橢圓的定義得到周長為

4a=13.

1

【詳解】?.?橢圓的離心率為e=￡、a=2c,b1=a2-c1=3c2,橢圓的方程為

a2

x2y,2

4?+3?-=1,即3X2+4/-12C2=0,不妨設左焦點為片，右焦點為國，如圖所示，?,

JT

AF[=a,OF[=c,a=2c,：.ZAF2O=~,月名為正三角形，二?過片且垂直于/月的直線與C

交于。，￡兩點，為線段/工的垂直平分線，，直線DE的斜率為理，斜率倒數為行，直

線?！甑姆匠蹋簒=4iy-c,代入橢圓方程3*+4/-I2cJo,整理化簡得到：13/-6V3cy-9c2=0,

判別式A=(6A『+4x13x%?=6?x16xC?,

.?.|皿=/+(可回一為=2x巫=2X6X4X￡

=6,

1313

"，得a=2c=U

8J4

為線段/8的垂直平分線，根據對稱性，AD=D%AE=EF],，的周長等于△月〃￡

的周長，利用橢圓的定義得到△月周長為

\DF2\+\EF21+lD^I=|DF21+|EF21+|。用+|如HZ>用+|Z>&+|E用+|Eq=2a+2a=4“=13.

|重點題型?歸類精

題四0橢圓焦半徑最值

2023?深圳市一模

1,若橢圓上的點到焦點距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為.

【答案】|

【詳解】依題意，由圖象的性質可知，

點到焦點距離的最大值為a+c,最小值為"C,

所以￡±￡=2,化簡得￡=；,即離心率e=J

a-ca33

2023屆?溫州市第一次適應性考試（11月）

2.已知耳，工是橢圓C的兩個焦點，點M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓

的離心率為.

【答案】正

2

【分析】先結合橢圓的定義表示出|班「|"|=|町]（2.-|融/用，化簡后結合1Ml的范圍可求出

|融用?|"|的最值，然后列方程可表示出的關系，從而可求出橢圓的離心率.

【詳解】因為|町|+|感|=2°,

所以|孫"崢|=|町]（2"|孫|）=-|孫「+2力孫|=-（|町|一4）一+a2,

所以當|MFj=a時，|融7訃|摩|取得最大值儲，

因為|期|=[a-c,a+c],所以|肛H融可的最小值為4+/=/,

因為|孫的最大值是它的最小值的2倍，

所以。2=2b2,

所以02=a1-b2=b2,所以a=y[lb,c=b,

所以橢圓的離心率為e=9=3=42

a42b2

題包工拋物線焦點弦與焦半徑公式

3.已知拋物線y=16x的焦點為戶，過點戶作直線，交拋物線于例N兩點，則+

\MF\\NF\

\NF\4

的最小值為.

9\MF\

1111

[答案]+i——r=--

MF4，3

[1l+cosdl-cosd2

【解析】（1）----------+-----------=—

\MF\\NF\PPP4

111

⑵由而+網干

則IS4\NF\?1

9\MF\93

2023屆?湖南中學高三上學期第一次月考

4.（多選）已知48是拋物線C：=4x上兩動點，尸為拋物線C的焦點，則（）

A.直線48過焦點廠時，最小值為4

B.直線過焦點廠且傾斜角為60。時（點4在第一象限），|，耳=2忸尸|

C.若48中點M的橫坐標為3,則%可最大值為8

口.點幺坐標（4,4）,且直線斜率之和為0,4/與拋物線的另一交點為。，則直線，AD方程為：

4x+87+7=0

提示：C選項用卜3區(qū)|〃1+|昉|

D選項可不聯立，設D點坐標，用AD斜率求D點坐標（斜率公式中消x）

【答案】ACD

【解析】直線48過焦點尸，當48垂直于x軸時，取最小值4,A正確；對于B選項，由

題可知：\AF\------....=4,忸用=-----....=—,故5錯誤；由于為兩動點，所以

l-cos60°l+cos6003

區(qū)|4F|+忸同=盯+/+2=8,當且僅當直線過焦點尸時等號成立，故C正確；對于D

選項，依題意，心=,=---,故為=T,即0化-1],同理可得8（號,-71

3xA-xDyA+yDU）I4）

故直線AD方程為4x+8y+7=0,。正確.

2023屆?佛山二模第11題一無坐標系，焦半徑公式與交點弦公式

5.（多選）如圖拋物線口的頂點為A,焦點為少，準線為小焦準距為4；拋物線匕的頂點為8,焦點也

為F,準線為，2,焦準距為6.11和匕交于尸、。兩點，分別過尸、。作直線與兩準線垂直，垂足

分別為“、N、S、T,過尸的直線與封閉曲線4P80交于。、。兩點，則（）

B.四邊形跖VST的面積為100

C.FSFT-OD.的取值范圍為5,—

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據拋物線的定義可得|48|=5判斷A,以A為原點建立平面直角坐標系，根據條件

可得拋物線「1的方程為/=8x,可得|河7|=|g|=4而，進而判斷B,利用拋物線的定義結合

7T

條件可得N7FS=,可判斷C,利用拋物線的性質結合焦點弦的性質可判斷D.

【詳解】設直線18與直線分別交于G,府,由題可知|GZ|=|4F|=2,|尸同=忸冏=3,

所以|GM=|ACV|=10,以同=5,故A正確;

如圖以A為原點建立平面直角坐標系，則尸（2,0）,4：x=-2,

連接尸7"由拋物線的定義可知|產制=|"P|,|PE|=|NP|,又|MV|=10,

所以馬=3,代入j?=8x,可得力=2遙，

所以阿7|=|語|=4a，X|ACV|=IO,故四邊形跖VST的面積為406，故B錯誤；

連接。尸，因為|。制=|。7|=|3|,所以NQFT=NQTF,NQFS=NQSF,

所以NTFS=ZQFT+ZQFS=7y+/℃；+,附=|,

故屈?丹=0,故C正確；

根據拋物線的對稱性不妨設點。在封閉曲線APBQ的上部分，設C,。在直線l［，k上的射影分別

為G，2,

當點。在拋物線HP,點。在拋物線NQ上時，|CQ|=|cq|+|DDj,

當C,。與48重合時，|CD|最小，最小值為|8|=5,

當。與尸重合，點。在拋物線上時，因為尸（3,2指）,尸（2,0）,直線C0:y=2后（x—2）,

與拋物線「1的方程為歹2="聯立,可得3/-13x+12=0,設。（西,必

則再+工2=§,

\CD\=XI+X2+4=—,

「25一

所以|CD|e5,y；

當點。在拋物線P4,點。在拋物線上時，設CZ>:x=O+2,

與拋物線「1的方程為/=8x聯立，可得y2_8少—16=0,設。（9,%）,。（》4，%）,

則%+為=8,|。。|=&+》4+4=/（%+74）+8=8r+828,當/=0,

25

即CQL4B時取等號，故此時|CD|e8,y；

「

當點。在拋物線P4,點。在拋物線。8上時，根據拋物線的對稱性可知，|CQ|e5,2y5

「一

綜上，|CD|e5,2y5,故D正確.

6.已知尸為拋物線C：/=4x的焦點，過/作兩條互相垂直的直線44,直線4與C交/,8兩點，直線4

與C交于D,￡兩點，則|/8|+|?！陓的最小值為.

【答案】16

【詳解】

思路一：設眼上房,則siY怎-q荷。

4444

則|朋+1?！陓=砧+嬴蓊,而兩+西=］，乘"1"即可

思路二：由題意拋物線焦點為尸（1,0）,

顯然直線44的斜率都存在且都不為0,設直線4方程為〉=左（工-1）,/（國,必）,8（＞2，歹2）,

由1'4”,得后2/一2/2+2）x+后2=0,所以再+%2=2（%：2）,再、2=1,

［）=左（％_1）k

\AB\=Jl+rxJ（XI+X2）2-4X］X2=40￥），

k

故答案為：16.

題園呈橢圓焦點弦公式與焦半徑公式

2023浙江紹興二模T16——橢圓的中的對稱

22

7.己知橢圓C:'+彳=1（。＞3＞0）的左、右焦點分別為大，心.若A關于直線j=2x的對稱點P恰好在

a"b"

。上，且直線尸片與。的另一個交點為。，貝Ucos/片06=.

【詳解】

思路一:

故陷|=孚。匹I=咨375

設耳，尸的中點為M,易知0M_L々P,故與尸_L片尸,

r

b

cos,=cosNgGP=.2V5，。07片/_M+ccos廠_3丁52下_"三47°?'

----CH----------C

55

財。?"號=嚏,尸。=管，故3/片善=用4

思路二：

設片（一。,0）關于直線N=2X的對稱點尸（國,必）,

-^-2=-1

x,+c3c4c|尸制=孚°,|丑聞=竿°,又知上@=2c,

由＜1,得尸（丁，-三），可知

”2C33

、2—2

所以戶片『+|尸閭2=|片聞2,則夕尸片為直角,

由題意，點尸恰好在C上，根據橢圓定義忸周+|尸引=2°,得。=￥。

675

|。片|+|。閭=2。，設|。￡|=加，則[0匕|=2。—m=-----c—m,

5

在直角三角形△。「片中，（加+￥°y+（平2Z6A/52

-c)=(c-m),

24^/5

解得m=；；c,從而|。巴|=26%c,\QP\—-------c,

25

所以c°s"圖"局\QP\=狂12

2023?浙江嘉興二模

22

8,已知橢圓C:「+A=l（a>6>0）的左、右焦點分別為片，工，離心率為e,點尸在橢圓上，連接咫并延

ab

長交C于點。，連接。鳥，若存在點p使|尸。|=|。閶成立，則e2的取值范圍為.

【答案】[872-11,1）

【分析】設|的=見附|=〃，所以存在點P使闿|=|同等價于（|「。|-|。用）1nmV。由：+可

求同四=2",+"2”的最小值，求得臉勺范圍，從而得到次的取值范圍.

a

設|。片|=a|尸耳|=〃,則|。町=2"加.顯然當戶靠近右頂點時，|尸0|>|0段,

所以存在點尸使|尸。|=|。8|等價于（\PQ\-\QF2|）min<0,\PQ\-\QF2\=2m+n-2a,

在耳耳中由余弦定理得尸川=PF；+F、F；-2尸片韋8?cos。，

2

2cch

即（2a-〃）=n2+4c2-2H-2c-cos0,解得篦=--------,

a-ccosd

同理可得加=--------,所以^■+'=當

所以（2加+〃-2。）*=（后+D0一2a,當且僅當n=時等號成立.

2a

由（行+1）%2—2aW0得J?12—8近,所以8行—11工/<1

2aa

故答案為：［872-11,1）

關鍵點：求離心率范圍關鍵是建立。,仇。的不等式，此時將問題轉化為（忸。|-|。國射/。，從而

只需求|尸。|-|。8|=2加+力-2a的最小值，求最小值的方法是結合焦半徑性質士+方，=3使用基

本不等式求解.

22

9.如圖尸是橢圓土+匕=1的右焦點，過點尸作條與坐標軸不垂直的直線,交橢圓于點4B,

43

線段力夕的中垂線，交X軸于點瓶證明：W^=4

|FM|

【答案】

露行/設ZAFO=0,貝（］NBFO=n-a

則由橢圓的焦半徑公式可知

叫=--——=1—；

\AB\=\AF\+|F5|=---+―--=一

2-cosa2+cosa4-cosa

設43的中點為N,則

23_6cosa

2\FN\=\AF\-\FB\=

2-cos?2+cosa4-cos2a

3cosa

即沖|=

4-cos2a

在RSMNF中,

于是兇=4

于7H\FM\

題四因雙曲線焦點弦與焦半徑公式

2023屆?湖南雅禮中學高三月考T16

f2

10.過雙曲線二-4V=1（。>0,6>0）的右焦點廠作其中一條漸近線的垂線，垂足為。，直線與雙曲線

ab

的左、右兩支分別交于點M,N,若|MQ|=3|QN|,則雙曲線的離心率是.

【答案】V5

【分析】設雙曲線的左焦點為大，連接MF["QFO=e,分別求得=---=?—,同理

ccosO-ab-a

|7W|=—-—=2一，結合|MQ|=3|QN],求得進而求得離心率.

cos8+ab+a2

【詳解】如圖所示，根據點到直線的距離公式可得點E到直線y=2%的距離為6,

a

設雙曲線的左焦點為《，連接上明，貝"叫|=|EA/|—2a,

設/QFO=e,貝Ucos8=2,|四|=_U——=-^—,\FN\=--——=-^~

cccos0-ab-accos8+。b+a

因為=3\QN\^\FM\-b=3（|2F|-Z））,

則有￡4=3m￡]=4b=回學把n2（/-2）=（2j）bnb=2a,

b—aI6+QJb-a

所以a=gb,故離心率為6.

2023屆?山東省新高考3月聯合質量測評

11.過雙曲線必一/=1的左、右焦點作兩條相互平行的弦CD,其中43在雙曲線的左

支上，A,C在x軸上方，則|"]卜|。閭的最小值為.當48的傾斜角為三時，四邊

形/片&C的面積為.（提示：參考焦半徑公式與焦點弦公式）

【答案】1,2庭

解析：方法1:設45：x=ky-41,聯立得（左之_l）j?_20@+1=0.所以必%=”―-,

k—1

所以|第H%|=|皿卜地|=（產+1）（_%%）=^^=-1+帚21,

當且僅當人=0時等號成立.5=。（|2周+|魏1閨7訃sing=T48|M/訃sing=2指.

方法2:|^|-|C^|=|^|-|^|=1>1,（提示：以周=eP4是焦準距）

l-zcos01-ecosg

S=；（|Z4|+|。閶）.閨閶.Sin"^|^=2?.

2023屆?青島三模T8------2個二級結論

22

12.已知。為坐標原點，雙曲線。：彳-勺=1（。＞0力＞0）的左，右焦點分別為片，與，過。的右焦點心

ab

且傾斜角為（的直線交，于4夕兩點，中點為%\F^V\=^a2+b2,則離心率6=；

短48的周長等于12,則且=.

(1)易知區(qū)叼=J/+/=十萬與沙=以0"左。==tan3()o=/,又七B=tan60°=百，

2

則kow-kAB=e-1=>e=s/2

(2)易知片幺=與2+2。，FXB=F2B+2a,則的周長為245+4a

“「2ab2

AR—______________=____2__a_3____-Ari

由焦點弦長公式可知，，,7i-,c，1",故248+4。=12。=12=>。=1

-c-cos—a-2a——

34

題園?焦點弦被焦點分成定比

2-1

若AB是過焦點的弦，且力尸=幾8尸（2〉1）,則e?cos6=------

2+1

2024屆?浙江省Z20名校聯盟高三上學期第一次聯考T16

22

13.已知橢圓C：^+方=1（。>6>0）的右焦點為尸，過點尸作傾斜角為z的直線交橢圓C于A、B兩點,

PF1

弦的垂直平分線交x軸于點尸，若-了=：，則橢圓C的離心率0=