上海歷年高考數(shù)列大題-理

2004-2013上海歷年高考數(shù)列大題（2004上海）22、(本題滿分18分)第1小題滿分6分,第2小題滿分4分,第3小題滿分8分設(shè),,…,()是二次曲線C上的點(diǎn),且,,…,構(gòu)成了一個(gè)公差為（）的等差數(shù)列,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).記.（1）若C的方程為,.點(diǎn)及,求點(diǎn)的坐標(biāo)；(只需寫出一個(gè))（2）若C的方程為(a>b>0).點(diǎn),對于給定的自然數(shù)n,當(dāng)公差d變化時(shí),求的最小值；（3）請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點(diǎn)P1,對于給定的自然數(shù)n,寫出符合條件的點(diǎn)存在的充要條件,并說明理由.【解】(1),由,得.由，得 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)可以為.(2)【解法一】原點(diǎn)O到二次曲線（）上各點(diǎn)的最小距離為,最大距離為.∵,∴,且,∴.∵,>0∴在[,0)上遞增, 故的最小值為·=.【解法二】對每個(gè)自然數(shù),由 ，解得 ∵,得∴以下與解法一相同.(3)【解法一】若雙曲線－=1,點(diǎn),則對于給定的,點(diǎn)存在的充要條件是.∵原點(diǎn)O到雙曲線C上各點(diǎn)的距離,且,∴點(diǎn)存在當(dāng)且僅當(dāng)2>2,即d>0.【解法二】若拋物線,點(diǎn),則對于給定的,點(diǎn)存在的充要條件是.理由同上【解法三】若圓（）,,則對于給定的n,點(diǎn)存在的充要條件是.∵原點(diǎn)O到圓C上各點(diǎn)的最小距離為0,最大距離為2,且=0,∴d>0且.即.（2005上海）20．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.假設(shè)某市2004年新建住房面積400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房.預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2004年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？解：（1）設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列，由題意可知是等差數(shù)列，其中a1=250，d=50，則令即∴到2013年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1=400，q=1.08，則bn=400·(1.08)n－1由題意可知有250+(n－1)50>400·(1.08)n－1·0.85.由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6，∴到2009年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.（2006上海）21．（本小題滿分16分）已知有窮數(shù)列{an}共有2k項(xiàng)（整數(shù)k2），首項(xiàng)a1=2。設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=(a–1)Sn+2(n=1,2,…,2k–1)，其中常數(shù)a>1。求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；若，數(shù)列{bn}滿足(n=1,2,…,2k)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；若(2)中的數(shù)列{bn}滿足不等式++…++4，求k的值。(1)[證明]當(dāng)n=1時(shí),a2=2a,則=a；2≤n≤2k－1時(shí),an+1=(a－1)Sn+2,an=(a－1)Sn－1+2,an+1－an=(a－1)an,∴=a,∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2)解：由(1)得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,bn=(n=1,2,…,2k).（3）設(shè)bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)n≤k時(shí),bn<；當(dāng)n≥k+1時(shí),bn>.原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)==.當(dāng)≤4,得k2－8k+4≤0,4－2≤k≤4+2,又k≥2,∴當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí),原不等式成立.（2007上海）20．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，，…，，即（），我們稱其為“對稱數(shù)列”．例如，由組合數(shù)組成的數(shù)列就是“對稱數(shù)列”．（1）設(shè)是項(xiàng)數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，．依次寫出的每一項(xiàng)；（2）其中是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．記各項(xiàng)的和為．當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？并求出的最大值；（3）對于確定的正整數(shù)，寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過的“對稱數(shù)列”，使得依次是該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求其中一個(gè)“對稱數(shù)列”前項(xiàng)的和．解：（1）設(shè)的公差為，則，解得，數(shù)列為．（2），，當(dāng)時(shí)，取得最大值．的最大值為626．（3）所有可能的“對稱數(shù)列”是：①；②；③；④．對于①，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．對于②，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．對于③，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．對于④，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．（2008上海）21．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分。已知為首項(xiàng)的數(shù)列滿足:.(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，試用表示數(shù)列前100項(xiàng)的和；（3）當(dāng)（是正整數(shù)），，正整數(shù)時(shí)，求證：數(shù)列，，，成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)。（2009上海）23.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。若，是否存在，有說明理由；找出所有數(shù)列和，使對一切,,并說明理由；若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請證明。23．[解法一]（1）由，得，．．．．．．2分整理后，可得，、，為整數(shù)，不存在、，使等式成立。．．．．．．5分（2）若，即，（*）（?。┤魟t。當(dāng){}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。．．．．．．7分（ⅱ）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號左邊是常數(shù)，，矛盾。綜上所述，只有當(dāng){}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。．．．．．．10分【解法二】設(shè)則若d=0，則若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾綜上所述，有，10分（3）設(shè).，.13分取15分由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s,sN時(shí)，命題成立.說明：第（3）題若學(xué)生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）若p為偶數(shù)，則am+1+am+2+……+am+p為偶數(shù)，但3k為奇數(shù)故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。當(dāng)p=1時(shí)，則am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=當(dāng)ｋ為偶數(shù)時(shí)，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立1分當(dāng)p=3時(shí)，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知，當(dāng)k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時(shí)，存在m,4m+9=3k成立2分當(dāng)p=5時(shí)，則am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍數(shù)，所以，當(dāng)p=5時(shí)，所要求的m不存在故不是所有奇數(shù)都成立.2分（2010上海）20.(本題滿分13分)本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由。（2）=n=15取得最小值解析：(1)當(dāng)n1時(shí)，a114；當(dāng)n≥2時(shí)，anSnSn15an5an11，所以，

又a1115≠0，所以數(shù)列{an1}是等比數(shù)列；

(2)由(1)知：，得，從而(nN*)；

解不等式Sn<Sn1，得，，當(dāng)n≥15時(shí)，數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增；

同理可得，當(dāng)n≤15時(shí)，數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減；故當(dāng)n15時(shí)，Sn取得最小值．（2011上海）22.（本大題滿分18分，第1小題滿分4分，第二小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列（1）寫出；（2）求證：在數(shù)列中，但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2012上海）23．對于數(shù)集，其中，，定義向量集.若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當(dāng)xn＞1時(shí)，x1=1；（6分）（3）若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）[解]（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.……2分所以x=2b，從而x=4.……4分（2）證明：取.設(shè)滿足.由得，所以、異號.因?yàn)?1是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為-1，另一為1，故1X.……7分假設(shè)，其中，則.選取，并設(shè)滿足，即，則、異號，從而、之中恰有一個(gè)為-1.若=-1，則2，矛盾；若=-1，則，矛盾.所以x1=1.……10分（3）[解法一]猜測，i=1,2,…,n.……12分記，k=2,3,…,n.先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P.任取，、.當(dāng)、中出現(xiàn)-1時(shí)，顯然有滿足；當(dāng)且時(shí)，、≥1.因?yàn)榫哂行再|(zhì)P，所以有，、，使得，從而和中有一個(gè)是-1，不妨設(shè)=-1.假設(shè)且，則.由，得，與矛盾.所以.從而也具有性質(zhì)P.……15分現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1,2,…,n.當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)n=k時(shí)，有性質(zhì)P，則，i=1,2,…,k；當(dāng)n=k+1時(shí)，若有性質(zhì)P，則也有性質(zhì)P，所以.取，并設(shè)滿足，即.由此可得s與t中有且只有一個(gè)為-1.若，則1，不可能；所以，，又，所以.綜上所述，，i=1,2,…,n.……18分[解法二]設(shè)，，則等價(jià)于.記，則數(shù)集X具有性質(zhì)P當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對稱.……14分注意到-1是X中的唯一負(fù)數(shù)，共有n-1個(gè)數(shù)，所以也只有n-1個(gè)數(shù).由于，已有n-1個(gè)數(shù)，對以下三角數(shù)陣……注意到，所以，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為，k=1,2,…,n.……18分（2013上海）23．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．給定常數(shù)c＞0，定義函數(shù)f(x)＝2|x＋c＋4|－|x＋c|.數(shù)列a1，a2，a2，…滿足an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)若a1＝－c－2，求a2及a3；(2)求證：對任意n∈N*，an＋1－an≥c；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由．解：(1)a2＝2，a3＝c＋10.(2)f(x)＝當(dāng)an≥－c時(shí)，an＋1－an＝c＋8＞c；當(dāng)－c－4≤an＜－c時(shí)，an＋1－an＝2an＋3c＋8≥2(－c－4)＋3c＋8＝當(dāng)an＜－c－4時(shí)，an＋1－an＝－2an－c－8＞－2(－c－4)－c－8＝c.所以，對任意n∈N*，an＋1－an≥c.(3)由(2)，結(jié)合c＞0，得an＋1＞an，即{an}為無窮遞增數(shù)列．又{an}為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，an≥－c，從而，an＋1＝f(an)＝an＋c＋8.由于{an}為等差數(shù)列，因此其公差d＝c＋8.①若a1＜－c－4，則a2＝f