人教版七年級數學下冊《一元一次不等式（第4課時）》示范教學設計

一元一次不等式（第4課時）教學目標1．能從實際問題中抽象出數學問題，根據數量關系建立一元一次不等式模型進行求解，體會數學建模的思想．2．能解決方案設計、階梯收費問題，發(fā)展分析問題和解決問題的能力，體會分類討論思想的重要作用．教學重點運用一元一次不等式解決實際問題中的方案型問題．教學難點從實際問題中抽象出不等式的數學模型，分類討論進行求解．教學過程知識回顧列一元一次不等式解決實際問題的一般步驟是什么？【師生活動】學生獨立思考作答，教師強調：“審”這一步，在解決實際問題中發(fā)揮著“突破口”的作用，只要審清理明，多層次的復雜問題也能達到最終的解決目標．【答案】（1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的不等關系．（2）設：設出適當的未知數．（3）列：根據題中的不等關系列出不等式．（4）解：解不等式．（5）驗：檢驗解（或解集）是否符合實際意義．（6）答：寫出答案．【設計意圖】復習一元一次不等式解決實際問題的一般步驟，鞏固基礎，為本節(jié)課學習“方案設計、階梯收費問題”做準備．新知探究一、探究學習【問題】商店為了促銷，將某種定價為3元的商品，按下列方式優(yōu)惠銷售：若購買不超過5件，按原價付款；若一次性購買5件以上，超過部分打八折．現有27元錢，最多可以購買該商品多少件呢？【師生活動】教師引導學生找出題目的關鍵信息，分析題意：設購買商品x件．購買數量/件購物花費/元x＜53xx＝515x＞515＋3(x－5)×0.8【思考】你能根據表格列出一元一次不等式，并完成解答嗎？【師生活動】學生小組討論，列出方程，完成作答．【答案】解：設購買商品x件．由題意，得15＋3(x－5)×0.8≤27．解得x≤10．答：最多可以購買該商品10件．【設計意圖】通過簡單的問題，引導學生進行分類討論，為學習“列一元一次不等式解決方案設計問題”作鋪墊．【問題】甲、乙兩商場以同樣的價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計購買100元后，超出100元的部分按90％收費；在乙商場累計購買超過50元后，超過50元的部分按95％收費．顧客到哪家商場購物花費少？【師生活動】教師提問：如何理解題意呢？學生先獨立思考，理解題意，然后發(fā)表自己的觀點．教師追問：如果購物款x元，你能分別表示出在兩家商場花費的錢數嗎？學生獨立思考、列式子，教師引導學生發(fā)現：由于優(yōu)惠起點的不同，需要進行分類討論，每種情況下有各自對應的式子．【分析】在甲商場購物超過100元后享受優(yōu)惠，在乙商場購物超過50元后享受優(yōu)惠，因此，我們需要分三種情況討論：（1）累計購物不超過50元；（2）累計購物超過50元而不超過100元；（3）累計購物超過100元．【師生活動】引導學生利用表格表示題目中的量，并請學生代表在黑板上繪制表格．購物款/元在甲商場花費/元在乙商場花費/元x≤50xxx＞50且x≤100x50＋0.95(x－50)x＞100100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)【設計意圖】讓學生能夠主動思考問題、自己尋找方法，呈現出問題所表達的意思，培養(yǎng)學生的思維能力．【思考】你能從表格中看出哪家商場花費少嗎？【師生活動】學生小組討論，師生共同分析，完成表格．購物款/元在甲商場花費/元在乙商場花費/元比較x≤50xx一樣x＞50且x≤100x50＋0.95(x－50)乙少x＞100100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)？（1）如果累計購物不超過50元，則在兩家商場購物花費是一樣的；（2）如果累計購物超過50元但不超過100元，則在乙商場購物花費少．【思考】如果累計購物超過100元，在哪家商場花費少呢？【師生活動】學生自由發(fā)言，在學生充分發(fā)表意見的基礎上，師生共同歸納出當購物超過100元時，需要分三種情況討論：（1）什么情況下，到甲商場購物花費少？（2）什么情況下，到乙商場購物花費少？（3）什么情況下，到兩商場購物花費一樣？學生分小組討論、交流，得出答案：當甲商場花費＜乙商場花費時，100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)；當甲商場花費＞乙商場花費時，100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)；當甲商場花費＝乙商場花費時，100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)．教師追問：你能綜合上面的分析完成解答，并給出一個合理化的消費方案嗎？學生獨立思考，完成作答，教師在黑板上完善表格．購物款/元在甲商場花費/元在乙商場花費/元比較x≤50xx一樣x＞50且x≤100x50＋0.95(x－50)乙少x＞100x＞50且x＜150100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)乙少x＝150一樣x＞150甲少【答案】解：（1）當累計購物不超過50元時，在甲、乙兩商場購物都不享受優(yōu)惠，且兩商場以同樣價格出售同樣的商品，因此到兩商場購物花費一樣．（2）當累計購物超過50元而不超過100元時，享受乙商場的購物優(yōu)惠，不享受甲商場的購物優(yōu)惠，因此到乙商場購物花費少．（3）當累計購物超過100元時，設累計購物x（x＞100）元．①若到甲商場購物花費少，則100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)．解得x＞150．所以累計購物超過150元時，到甲商場購物花費少，②若到乙商場購物花費少，則100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)．解得x＜150．所以累計購物超過100元而不到150元時，到乙商場購物花費少．③若100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)，解得x＝150．所以累計購物為150元時，到甲、乙兩商場購物花費一樣．答：購物不超過50元和剛好是150元時，在兩家商場購物，花費沒有區(qū)別；超過50元而不到150元時，在乙商場購物花費少；超過150元后，在甲商場購物花費少．【歸納】不等式的方案設計問題包括兩種：（1）確定方案的種數；（2）最優(yōu)方案問題．解答此類問題時，注意分類討論的標準，先分清情況，再作答．【設計意圖】幫助學生從實際問題中抽象出數學問題，找出問題中的不等關系，列出不等式，讓學生體會建立不等式模型的過程．教師及時進行引導、歸納和總結，展現完整的解答過程，培養(yǎng)學生有條理地思考和表達的習慣，讓學生體會分類討論思想的重要作用．二、典例精講【例題】自來水公司的收費標準如下，若每戶每月用水不超過5m3，則每立方米收費1.8元，若每戶每月用水超過5m3，則超出的部分每立方米收費2元，小明家每月的水費都不少于15元，則小明家每月的用水量至少是多少立方米？【師生活動】教師引導學生獨立分析題意：每月用水量/m3每月水費/元x＜51.8xx＝59x＞59＋2(x－5)學生根據分析獨立思考作答，請一名學生代表板演，教師講評．【答案】解：設小明家每月的用水量是xm3．由題意，得9＋2(x－5)≥15．解得x≥8．