2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納：解直角三角形模型之新定義模型

解直角三角形模型之新定義模型

解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試

題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)

學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對(duì)

學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這

方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵。

【知識(shí)儲(chǔ)備】

模型1、新定義模型

此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也

可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明.

若無特殊說明，一般認(rèn)為△NBC的3個(gè)角乙4、45、ZC,分別對(duì)應(yīng)邊0、b、c；

ahc

1）正弦定理：如圖1,--=二一-=2R（其中火是三角形外接圓的半徑）。

2）余弦定理：如圖2,a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-laccosBc2=a2+b2-2abcosC.

3）正弦面積公式：如圖2,S=—absmC=—bcsmA=—acsmB.

K222

4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin29+cos29=1,tan9=2.

COS0

5）和（差）、二倍角角公式：

sin{a±￡）=sinacos/3±cosasin/3；sinla=2sinacosa.

cos（a±￡）=cosacos/3+sinasin/3；cos2a=cos2a-sin1a=2cos2a-1=\-2sin1a.

tana±tan/32tana

tan（a±乃）=tan2cl=

\+tanatan/3l-tan2a

例1.（2022?湖南?中考真題）閱讀下列材料：

在A/BC中，乙4、DB,ZC所對(duì)的邊分別為。、b、c,求證：，三=」一

sinAsinB

證明：如圖1,過點(diǎn)。作CD1AB于點(diǎn)。，貝I：

在RtABCD中，CD^asinB-,在RtAACD中，CD=bsinA

asinB=bsinA----=----

sinAsinB

省首屆旅游發(fā)展大會(huì),張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知4=67。,

4=53。，/C=80米，求這片區(qū)域的面積.（結(jié)果保留根號(hào).參考數(shù)據(jù)：sin530=0.8,sin67°=0.9）

【答案】⑴見解析（2）180073

【分析】（1）作8c邊上的高，利用三角函數(shù)表示/￡（后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；

（2）作邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出/￡和3C,即可求解.

⑴證明：如圖2,過點(diǎn)A作/。1BC于點(diǎn)。，在此A4M）中，AD=csinB,

bc

在此ZUCD中，AD=6sinC,「.csinB=bsinC,/.--=--；

sinBsinC

AA

莖A

BaDCBEC

圖2圖3

（2）解：如圖3,過點(diǎn)A作ZE15。于點(diǎn)E,:NBAC=67°,乙8=53。，AZC=60°,

在比ZUCE中，4E=4C.sin60°=80x走

=40^3(tn)

2

.ACBC目口80BC3c=90(/),S=1x90x4073=180073(zw2).

又-----=---------,即一=—,:/AABC

sin5sinABAC0.80.9

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問

題的前提.

例2.（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值關(guān)系

的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定理是

這樣描述的：在△N8C中，//、NB、NC所對(duì)的邊分別為°、b、c,則三角形中任意一邊的平方等于另

外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.

用公式可描述為：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC

現(xiàn)已知在中，AB=3,AC=4,ZA=60°,貝I]BC=.

【答案】V13

【分析】從閱讀可得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSA,將數(shù)值代人求得結(jié)果.

【詳解】解：由題意可得，

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSA=32+42-2x3x4*00560°=13,：.BC=用,故答案為：屈.

【點(diǎn)睛】本題考查閱讀理解能力，特殊角銳角三角函數(shù)值等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是公式的具體情景運(yùn)用.

例3.（2022?山東青島??？级＃﹩栴}提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究.

探究一：如圖1,在“3C中，AABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求AABC的面積.

在中，ZABC=90°,sina=AB=2>?sina.SMBC=}-BC-AB=sina.

24.C22

探究二：如圖2,AABC中，AB=AC=b,BC=a,NB=Za,求“3C的面積（用含a、b、a代數(shù)式

表示），寫出探究過程.

探究三：如圖3,“3C中，AB=b,BC=a,N8=Na,求“8C的面積（用。、b、a表示）寫出探究

過程.

問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字?jǐn)⑹觯?

問題應(yīng)用：如圖4,已知平行四邊形48CD中，AB=b,BC=a,ZB=a,求平行四邊形4BCD的面積（用

a、b、a表示）寫出解題過程.

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用。、6、d、。、萬表示），

其中48=6,BC=c,CD=d,AD=a,ZA=a,ZC=/?.

【答案】|^sinO,見解析；1^sina,見解析；一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半；Msina；

SWABCD=-ab-sina+^cd-sin/?

【分析】探究二：如圖2中，作/"1C8于求出高即可解決問題；

探究三：如圖3中，作/〃_LCB于求出高/〃，即可解決問題；

問題解決：S=^absmZC（/C）是a、6兩邊的夾角）；

問題應(yīng)用：如圖4中，作于〃求出高即可解決問題；

問題拓廣：如圖5,連接2。，由探究三的結(jié)論可得出答案.

【詳解】解：探究二：如圖2中，作/于

圖2圖3圖4圖5

.AB=AC=b,BC=a,Z.B=Z.a,Z.B=Z.C=a,

在氏A/HC中，AAHC=90°,，sina=*,AH=b-sina,：.SMBC=^-BC-AH=}-absina.

探究三：如圖3中，作4"1CB于H.

在氏A/HC中，ZAHC=90°：.sina=華,AH=b-smaSMBC=^BC-AH=^-absina.

問題解決：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

故答案為：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

問題應(yīng)用：如圖4中，作于

4H

在RMAHB中，Z.AHB=90°sina=——,/.AH="sina-a-S平行四邊形功⑺=BC?AH=absina.

問題拓廣：連接2。，由探究三的結(jié)論可得：S?=；x”xNOxsina=/vina.

SKBCD=gxBCxCD=*in0.:.Ss?ABCD=^ab-sina+^d-sin/3.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積，銳角三角函數(shù)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

例4.(2023春?四川瀘州?八年級(jí)校考期中)平面幾何圖形的許多問題，如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、角度等問

題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決.古人對(duì)任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積.具

體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,尸=g(a+6+c),則有下列面積公式：

S=^P(P-a)(P-b)(P-c)(海倫公式)；S=J*2_(4+；_C2)2](秦九韶公式).

⑴一個(gè)三角形邊長(zhǎng)依次是5、6、7,利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；

(2)學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長(zhǎng)也可以求出其面積.如圖，在"3C中，AB=15,

BC=14,AC=13,求AABC的面積和BC邊上得高/D的長(zhǎng).

【答案】⑴6c(2)AABC的面積為84；3c邊上得高4D的長(zhǎng)為12

【分析】(1)利用兩個(gè)公式分別代入即可；

(2)設(shè)BD=x,則利用勾股定理得NO?=/。2一c02,4DJAB-BD)即13。-(14-x)2=152--,

求解得x=9,即8。=9,再利用勾股定理求解，然后利用三角形面積公式求出其面積即可.

【詳解】⑴解：尸=；(a+b+c)=9x(5+6+7)=9,

由海倫公式可得S=ylP(P-a)(P-b)(P-c)=79X(9-5)X(9-6)X(9-7)=676；

222

由秦九昭公式可得S=ay=J1X52x62_^+^-7j=6后.

(2)解：設(shè)BD=x,貝l]DC=14-x,'.'AD1BC,AD2=AC2-CD2,AD2=AB2-BD2,

.-.132-(14-X)2=152-x2,解得x=9；BD=9

AD=^AB2-BD2=7152-92=12.=1sC-^￡>=1xl4xl2=84.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積公式和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例5.(2023?北京市?九年級(jí)?？计谀?關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,sin

(a-P)=sinacosp-cosasinp；cos(a+P)=cosacosp-sinasinp,cos(a-P)=cosacosp+sinasinp；

tan(a+p)匕：口+,叱-tanatanp^o),合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊

1-tan(7tan/?

角的三角函數(shù)來求值，如sin9(T=sin(30°+60°)=sin300cos600+cos300sin60°=-x-+—x—=1,利

2222

用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sin105。=近也，②tan105Q=-2-6，③sin15。=必二變，④cos90。

44

=0,其中正確的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】直接利用已知公式法分別代入計(jì)算得出答案.

00

【詳解】①sin105o=sin(60°+45°)=sin60cos45°+cos60sin45°=^x—+-x—=舟、,故此選項(xiàng)

22224

正確;

ctan450+tan6001+JJ(1+V3)2工心十也

②tan105o=tan(t60°+45°)=---------——-=-----尸=------—=-2-73,故此It選項(xiàng)正確；

1-勿〃45勿〃60l-y/3-2

③sin15o=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=立義顯一工又立■=遍一④,故此選項(xiàng)正確；

22224

?cos90°=cos(45°+45°)=cos45°cos45°-sin45°sin45°=巫x巫-也x變=0,故此選項(xiàng)正確；

2222

故正確的有4個(gè).故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

例6.(2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題)“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞

的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶.某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的

長(zhǎng)度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量.如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干。。疊合時(shí)，在與

塔底D水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部O的仰角AOED=45°,風(fēng)葉OA的視角ZOEA=30°.

⑴已知a,/兩角和的余弦公式為：3（（7+￡）=85“05萬-5出（75出￡,請(qǐng)利用公式計(jì)算375。；

（2）求風(fēng)葉CM的長(zhǎng)度.

【答案】⑴近了1⑵風(fēng)葉Q4的長(zhǎng)度為僅OG-60）米

【分析】（1）根據(jù)題中公式計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)工作Ml龐，連接/C,OG1AC,先根據(jù)題意求出OE,

再根據(jù)等腰對(duì)等邊證明OE=/E,結(jié)合第一問的結(jié)論用三角函數(shù)即可求E7"再證明四邊形。尸4G是矩形，

即可求出.

【詳解】（1）解：由題意可得：cos75。=cos（45。+30。）,

cos（45°+30°）=cos45°cos300-sin45°sin300=——x----------xy------

''22224

OE=———=‘°_60亞

由題意得：?！?60米，4OED=45。,一3/45。一克一米，ZDOE=45°,

~T

;三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，/.ZDOA=120°,乙4?！?120。—45。=75。，

又..NO以=30。，..NCU￡=180?！?5?！?0。=75。，/.ZOAE=ZAOE,/.OE=AE=6o42^,

/ZOEA=30°,ZOED=45°,/.ZAED=75°,由（1）得：cos75。=痛一血,

4

E尸=4Excos75°=30G-30米，。尸=DE-EF=60-卜08-30）=90-306米，

■:AFIDE,OG1AC,OD1DE,四邊形OFNG是矩形，4G=D尸=90-306米，

?三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，且三片風(fēng)葉長(zhǎng)度相等，，NCMG=30。，

AG_90-30^_/c-\

二嬴赤一一忑-—（6U"3-叫米，二風(fēng)葉.的長(zhǎng)度為（60百-60）米.

T

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵.

例7.（2023?四川宜賓?校考三模）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條

邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊

角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如果“3C中，AB=AC,

那么頂角/的正對(duì)記作sacU,這時(shí)sacU=g^=g￡.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互

腰AB

3

唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，填空：如果N4的正弦函數(shù)值為不，那么sad4的值為.

【答案】巫

5

【分析】過點(diǎn)B作8O1ZC于。，利用乙4的正弦函數(shù)值，設(shè)出2。、的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出CD,

最后根據(jù)sa<M的規(guī)定求值即可.

【詳解】解：過點(diǎn)3作8D1/C于。，如圖所示，

...sin/=y,.,.設(shè)80=3左,45=5左，力。=J（5左，—（3左了=4左,

-AB-AC=5k,CD=k,/.BC=J（3=+玄=VT6左，

,sa叱8返=回故答案為：叵.

AB5k55

A

A

【點(diǎn)睛】此題是新定義運(yùn)算題，主要考查了等腰三角形的定義、勾股定理和三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握勾

股定理、三角函數(shù)的定義以及新定義運(yùn)算的規(guī)定是解答此題的關(guān)鍵.

例8.（2022春?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：

在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問題：如圖1,在RS/BC中，ZACB=90°,AB=1,ZA^a,

求sin2a（用含sina,cosa的式子表示）.

聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的:如圖2,取48的中點(diǎn)O,連接。C,過點(diǎn)C作CD,48于點(diǎn)。，則“OB=2a,

然后利用銳角三角函數(shù)在R348C中表示出』C,8C,在出A/CD中表示出CO,則可以求出

.cCDsin（7-ACsina-cosa、.

sin2<7==------z------=--------：-------=2smq?cosa

OCIi

22

c

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在中，ZC=90°,AB=1.

(1)如圖3,若BC=g,貝!Jsin□=_,sin2q=：

（2）請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出tan2。的表達(dá)式（用含sin。,cos4的式子表示）.

￡4E；(2)tan2(7=2cos口?sina

【答案】（1）

39l-2(sin(7)2

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得/C,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得sin4和COSQ,再根據(jù)5抽24=25山4.854

求解即可；（2）取NB的中點(diǎn)O,連接。C,過點(diǎn)C作CDL/3于點(diǎn)。，貝IJ/CO3=2a,OC=；/B=g,

在MA/CD中表示出CO,勾股定理求得。￡）,即可求解.

【詳解】解：（1）由勾股定理可得：AC7AB2-BC。=也

3

由三角函數(shù)的定義可得sina=空=：,cosa=W^=迪

AB3AB3

由材料可得：sin2a=2sincosa=生旦故答案為!；勺2

939

（2）取48的中點(diǎn)O,連接OC,過點(diǎn)C作CD,48于點(diǎn)。，如下圖：

在中，AC=cosa,5C=sinq在放△/CD中，CD=ACsina=cos<7-sin(7,

在必△C5Q中，BD=BCsina=(sina)2,貝ijOD=OC—=；—(sin

-CDcosa?sin42cos□?sin4。

11tan2(7=-------------=--------------—一八2cos(7-sin<7

則11OD「(Sina)?1一2(smay故答t案為tan2a=一―丁

【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義，作輔助線作所求角

的直角三角形.

例9.（2022?重慶?校考一模）材料一'：證明：sin2a+cos2a=\.

證明：如圖，作在射線/C上任意取一點(diǎn)。（異于點(diǎn)/）,過點(diǎn)。作。垂足為￡

'DE]_AB于點(diǎn)EsinZ.BAC=---,cosZ.BAC=----/.sin2Z.BAC=cos2NBAC=

ADADAD2AD2

r)r2AJ72r)p2+AP1AD1

???在Rt/XADE中，DE2+AE2=AD2:.sin2ABAC+cos2ABAC=—=----------=--=1

AD2AD1AD1AD1

/^BAC=/_asin2a+cos2<7=1.

材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個(gè)直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)或知道

直角三角形的一條邊的長(zhǎng)及其一個(gè)銳角的度數(shù)，我們可以求出這個(gè)直角三角形其它邊的長(zhǎng)度和其它角的度

數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個(gè)三角形的兩條邊的長(zhǎng)度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個(gè)三角

形的第三條邊一定可以求出來.

應(yīng)用以上材料，完成下列問題：⑴如圖，在△ABC中，AC=4,BC=6,ZC=60°,求48的長(zhǎng).

（2）在⑴題圖中，如果ZC=6,BC=a,/C=a,你能用a,6和COSa表示A8的長(zhǎng)度嗎？如果可以，寫出

推導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由.

【答案】⑴2s'（2）能，過程見解析

【分析】（1）過點(diǎn)/作8c于點(diǎn)。，根據(jù)解直角三角形即可求得；

（2）過點(diǎn)4作BC于點(diǎn)D,根據(jù)解直角三角形即可求得.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)工作40/BC于點(diǎn)。

cDBDB

八]

.-.AD=AC-sin60°=4x—=26,CZ)=^C-cos60°=4x-=2

22

DB=CB-CD=6-2=4AB=yJAD2+DB2=426)、42=2"

(2)解：如圖，過點(diǎn)N作4D/8C于點(diǎn)。

AD=AC-sina=-sina,CD=AC-cosa=b-cosaDB=CB-CD=a-b-cosa

AB=yjAD2+DB2=J(b-sina)2+(a-Z?-cosa)2

=ylb2sin2a+a2-2abcosa+b2cos2a=\lb2+a2-2abcosa-

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

例10.(2023春?湖北?九年級(jí)專題練習(xí))在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù),

即在圖1所示的直角三角形N3C,//是銳角，那么sin/=4的對(duì)邊+斜邊，cos/=N/的鄰邊+斜邊，

12!1/=44的對(duì)邊一//的鄰邊.為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)

有一個(gè)角a,我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸。x,建立直角坐標(biāo)系(圖2),在角a

的終邊上任取一點(diǎn)P,它的橫坐標(biāo)是x,縱坐標(biāo)是％點(diǎn)P和原點(diǎn)(0,0)的距離為.舊+J/⑴總是正的)，

然后把角a的三角函數(shù)規(guī)定為：sina=上，cosa='，tana=上.我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角/

rrx

的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角a的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在

角a的終邊位置無關(guān).比較圖1與圖2,可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根

據(jù)第二種定義回答下列問題：

⑴若90。<”180。，則角a的三角函數(shù)值sina、cosa、tana,其中取正值的是；

(2)若角a的終邊與直線y=2x重合，貝sina+cosa的值；

⑶若角a是鈍角，其終邊上一點(diǎn)尸(x,2),且cosa=；x,求tana的值；

(4)若0°<a<90°,貝Isina+cosa的取值范圍是.

【答案】(1)sina(2)手或一亭(3)tana=±￥(4)l<sinQ+cosa<V2

【分析】⑴由題意可得r>0,y>0,X<O,然后依據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)P（x,2x）,貝囪卜|,

然后分為x>0和x<0兩種情況求解即可；（3）由題意可得，=3,然后依據(jù)定理列出關(guān)于x的方程，從而

求出x的值，然后依據(jù)正切的定義求解即可；（4）依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得x+V>「，然后再得到

$出。+3”廣：',再求得與1駕的取值范圍，即可求得結(jié)果.

22

獷+/X+y

【詳解】(1)解：當(dāng)90°<a<180°時(shí)，,/r>0,v>0,x<0,

sintz=—>0,cos<7=—<0,tana=—<0,故答案為：sina.

rrx

(2)解，?若角a的終邊與直線V=2x重合，「.P(x,2x),.」=舊石尸=石|凡

u,AD_L2xX3\/5山八□4.2xX36

當(dāng)%sina+cosa=-j=-+r=---,當(dāng)xvOH工sina+cosa=——『-----廠=-------,

y/5xyj5x5yj5xy/5x5

55

Y1

(3)解：...COSQ=-，點(diǎn)尸(x,2),且C0S4=L，

r3

>Jx2+22=3,：.X=±45(正值舍去)，tan(7=—=-^^.

x5

...yxx+yx+y

(4)解：?Sin67+cos67=—+-=——=25：.x+y>r：.sin(7+cos(7>1,

12

>0,/.x+y>2xy,又?「（：+>）=]+j盯w=2,/22-

'，x2+y2x2+y2+y

1<sin（7+cosQ<5/2,故答案為：1<sina+cosa<V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及完全平方公式，理解三角函數(shù)的定義是解題的

關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023秋?廣東東莞?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦

值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦

定理是這樣描述的：在中，NB、/C所對(duì)的邊分別為以b、C,則三角形中任意一邊的平方

等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.用公式可描述為：

a2=b2+c2-2bccos^4;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;現(xiàn)已知在“3C中，AB=2,BC=4,

ZA=60°,則/C的長(zhǎng)為()

A.2A/3B.V13+1C.V13-1D.3c

【答案】B

【分析】利用公式直接解答即可.

【詳解】解：；AB=2,8c=4,c=2,a=4.

'''a2=b2+c2-2bccosA,42=b2+22-2x2bx—,整理得，Z>2-26-12=0,

解得6=+1或1-(負(fù)值舍去)，故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用、解一元二次方程，正確理解公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?四川廣元市?中考真題)規(guī)定：

sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny給出以下四個(gè)結(jié)論：(1)

sin(-30°)=-1；(2)cos2x=cos2x-sin2x；(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny；(4)

cosi5°=近二e其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論.

【詳解】解：⑴sin(-30°)=-sin30°=-g,故此結(jié)論正確；

(2)cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos2x-sin2x,故此結(jié)論正確；

(3)cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sinxsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny故止匕結(jié)論正確;

(4)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=^LX-+—x-=—+—

222244

=84故此結(jié)論錯(cuò)誤.故選：c.

4

【點(diǎn)睛】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),

理解題中公式.

3.（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給

出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為6、c的^ABC的面積為S.BC=；J。/."BC的邊

a、b、c所對(duì)的角分別是//、/B、ZC,則=gabsinC=gacsin8=g6csin/.下列結(jié)論中正確的

是（）

cosC=^±^

A.cosC=二+‘-BC0SC=，+"Yc.cosC=D

2ablablac2bc

【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可.

【詳解】解：S,=

ABC1￡^r?Z±HIZY,S^c=1^sinC,

二夕4貫即//一=a2b2sm2C,

fa*2^*b2-c22h2-r2

222n+

abcosC=(2abcosC=---------故選：A.

lab

【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡(jiǎn)，熟悉豆1?。+饃52。=1是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?安徽滁州??？级＃┮阎切蔚娜呴L(zhǎng)分別為a、b、c,求其面積問題.中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行

過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=Jp（p-a）（p-bKp-c）,其中p="歲；

我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式,若

一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,則其面積是（）

A.6^6B.6^/15C.D,

22

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中的秦九韶公式，可以求得一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7的面積，從而可以解答

本題.

【詳解】?:二若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,

則面積是：S^-./52X62-（5*+6-7）2=-7900-36=676,故選A.

2V22

【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列相應(yīng)的二次根式并將其化簡(jiǎn).

5.(2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模)一般地，當(dāng)a、0為任意角時(shí)，tan(a+0)與tan(a-p)的值可以用下面的

八??tan6?±tan/?，一

公式求得：tan(a±p)=丁二----:一例如：tan15°=tan(45°-30°)

'-Y-］干tanq?tan/?

..1一也

tan45-tan3033-^3(3-揚(yáng)

=2-V3.請(qǐng)根據(jù)以上材料，求得tan75。的值

1+tan45tan30?1x3+百(3+6)(3-6)

~T

【答案】2+石.

【分析】根據(jù)給定的公式，將tan45。"tan3。。邛代入胖;。中計(jì)算化簡(jiǎn)即可.

tan45°+tan30°33+G(3+V3)

【詳解】解：tan75°=tan(45°+30°)=：2+行

1-lx—

3

故答案為:2+73.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算以及用平方差公式進(jìn)行分母有理化，讀懂新定義的含義是關(guān)鍵.

6.(2023?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期中)閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題.

sin230°+cos230°=；

sin245°+cos245°=；

sin260°+cos260°=；

觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角4者6有sin?/+cos?4=—.

【答案】1111

【詳解】sin230°+cos230°=(1)2+(^)2=1,

sin245°+cos245°=(^)2+(亨?=1,

sin260°+cos260°=(^)2+(1)2=1,

即可猜想出：對(duì)任意銳角A,都有sin%+cos%=l.故答案為：1;1;1;1

7.(2023秋?山東濟(jì)南?九年級(jí)統(tǒng)考期末)定義一種運(yùn)算：sin(￡7+/5)=sinacos/?+cosasin/?,

sin(a-/?)=sinacos/9-cosasin/?,例如：當(dāng)a=60°,￡=45°時(shí)，sin(60°-45°)=—x^--x^=^

則sin75。的值為

V6+V2

【答案】

4~

【分析】根據(jù)75。=45。+30。和新定義，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°

V2V3V21V6+V2故答案為：近史

=X---1---x—

22224

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值，能

準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式的計(jì)算.

8.(2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模)同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：

sin(q—￡)=sinacos(3-cosasin(3,sin(q+￡)=sin□cos(3+cosasin/?,

cos(4—￡)=cosacos￡+sin□sin/?,cos(4+￡)=cosacos/?-sin(7sin￡.例：

sin15。=sin(45。一30。)=sin45°cos30°一cos45°sin30°="J.若已知銳角。滿足條件sina=g,貝］

sin2(7=.

【答案】逑

9

【分析】先根據(jù)sina=g求出cosa,把sin2a變?yōu)閟ina+a,然后根據(jù)sin(a+￡)=sinacos￡+cosasin/9計(jì)

算即可.

【詳解】解：如圖，在RtZUSC中,

2/+C0s2/=—=學(xué)=1.

ccc

.121.28、rt-f.2

/sincz=-,cosa=l-sina=-.二口為銳角，/.cos(7=------

393

,/sin(f7+￡)=sinacos/?+cosasin￡

.c...12^/214^/2狀■4A/2

..sm2〃=sma+4=sinacosa+cosasma=-x------+-------x-=-------.故答案為：-----

333399

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算，正確理解所給計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵.

9.(2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)定義一種運(yùn)算；sin(a+0=sinacos￡+cosasin￡,

sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?.例如：當(dāng)a=45°,￡=30°時(shí),

■\lb+y/2

sin(45°+30°)=則sin15。的值為.

22224

【答案】丁

［分析】根據(jù)sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

V2s/iV21V65/2V6—V2故答案為：丁

=-------X--------------------X—=--------------------=--------------------

2222444

【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

10.(2023?四川成都?成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒?觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題

AD

在銳角AABC中，NA、ZB./C的對(duì)邊分別是a、b.c,過A作ADLBC于D(如圖⑴)，則sinB=

即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即----=----,同理有：----=----,----=----,所以

sinBsmCsinCSIIL4SIIL4sinB

a_b_c

sirUsin5sinC

即：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素(至少有一

條邊)，運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素.

根據(jù)上述材料，完成下列各題.

圖(1)圖(2)圖(3)

(1)如圖(2),△ABC中，NB=45。，ZC=75°,BC=60,貝i」NA=_；AC=；

(2)某次巡邏中，如圖(3),我漁政船在C處測(cè)得釣魚島A在我漁政船的北偏西30。的方向上，隨后以

40海里/時(shí)的速度按北偏東30。的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚島A在的北偏西75。的方

向上，求此時(shí)漁政船距釣魚島A的距離AB.

【答案】(1)60。,20指;(2)10指

【詳解】(1)先利用三角形內(nèi)角和定理求出NA,再利用題目總結(jié)的正弦定理，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入求解即可;

(2)在AABC中，分別求得BC的長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用題目中總結(jié)的正弦定理AB的長(zhǎng)即可.

解析：(1)ZB=45°,ZC=75°,ZA=180°-ZB-ZC=60°,

60AC

根據(jù)材料有：一吟二，「?一%='三，即耳=二方，，AC=20a,故答案為60。，20幾；

smZAsinZ.Bsin60°sin45°

22

(2)如圖，依題意：BC=40x0.5=20(海里)，/CD//BE,/.ZDCB+ZCBE=180°.?.ZDCB=30°,

/.ZCBE=150°,

*/ZABE=75O,/.ZABC=75°,/.ZA=45°,

在ZsABC中，即‘解之得：AB=10而海

smZ.ACBsmZAsin60sm45

里，

所以漁政船距釣魚島A的距離為10幾海里.

【點(diǎn)睛】本題考查的閱讀理解題，涉及到三角函數(shù)等知識(shí)，弄清材料中知識(shí)，并能應(yīng)用解決相關(guān)的問題是

關(guān)鍵.

11.(2023春?山東濟(jì)寧?九年級(jí)校考階段練習(xí))定義：在中，若4B=c,AC=b,BC=a,則存在余

112222

弦定理：Q?=/+C?-2bc?cos4,b=a-\-c-2ac-cosB,c=a+b-