2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 柯西不等式（精講+精練）解析版（新高考）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

柯西不等式(精講+精練)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

1.二維形式的柯西不等式

(a2+/?2)(c2+6?2)>{ac+bd)2(a,b,c,dwR,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí)，等號(hào)成立.)

2.二維形式的柯西不等式的變式

(1)7^2+b2-J，+屋習(xí)a。+(〃,人,°,行￡R,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí),等號(hào)成立.)

(2)J〃+/,Jo?+/n|蜀+M(a,b,c,dwR,當(dāng)且僅當(dāng)ad-be時(shí),等號(hào)成立.)

(3)(a+/?)(c+d)>(4ac+4bd)2(a,b,c,d>Q,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí),等號(hào)成立.)

3.二維形式的柯西不等式的向量形式

履年同聞(當(dāng)且僅當(dāng)斤是零向量,或存在實(shí)數(shù)左，使G=左萬(wàn)時(shí)，等號(hào)成立.)

注：有條件要用；沒(méi)有條件，創(chuàng)造條件也要用。比如，對(duì)。2+〃+，，并不是不等式的形狀，但變成

|?(12+12+12)*(?2+〃+,2)就可以用柯西不等式了。

4.擴(kuò)展:--卜+匕；+8；T----卜”)之+a2b2+a3b3---卜。也了，當(dāng)且僅當(dāng)

%:b]—a]:b?—,,,—：bn時(shí)，等勺成AZ..

二、題型精講精練

【題型訓(xùn)練1-刷真題】

一、填空題

1.(2021?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知平面向量a/,c,(cw0)滿(mǎn)足卜|二L慟=2,Q?/?=0,(〃-/?)?c=0.記向量d在

〃力方向上的投影分別為羽y,d-〃在c方向上的投影為z,則爐+y+z2的最小值為.

【答案】|2

【分析】設(shè)i=(l,O),b=(0,2),c=O,〃)，由平面向量的知識(shí)可得2%+》-62=2,再結(jié)合柯西不等式即可得

解.

【詳解】由題意，設(shè)。=(l,0),8=(0,2),c=(m/),

貝(］(〃一切?0=加一2〃=0,即m=2〃，

又向量d在。力方向上的投影分別為居J,所以d=(羽y),

——(d-a>cm(x-l)+ny2x-2+y

所以d_〃在c方向上的投影z=~~~=/~=q，

??Vm2+n2±15

BP2x+y.=2,

所以x2+y2+z2=：22+l2+(±75)2(x2+/+z2)>^(2x+y,A/5Z)2=|,

2

x=一

x_y_z5

當(dāng)且僅當(dāng)，］一7_.正即<y=g時(shí)，等號(hào)成立,

小

2x+y.z=2非

Z=?

所以尤2+:/+z2的最小值為會(huì)

2

故答案為：

二、解答題

2.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知a,b,c均為正數(shù)，且"+62+402=3,證明：

⑴a+6+2cW3；

⑵若b—2c,貝d

ac

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)方法一：根據(jù)。2+^+4。2=/+/+(2。)2,利用柯西不等式即可得證；

(2)由(1)結(jié)合已知可得0<a+4cW3,即可得到二1再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.

a+4c3

【詳解】(1)［方法一］:【最優(yōu)解】柯西不等式

由柯西不等式有[/+6+(2c)2](l2+l2+l2)>(a+&+2c)2,

所以Q+Z?+2c<3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c=l時(shí)，取等號(hào)，所以。+〃+2。<3.

［方法二］:基本不等式

由。2+6222ab,b1+4c2>4bc,a2+4c2>4ac，

(a+Z?+2cJ=〃2+/+4c2+2ab+4bc+4ac<3(a1+〃+4c2)=9,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c=l時(shí)，取等號(hào)，所以a+0+2cK3.

(2)證明：因?yàn)閎=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得々+》+2C=Q+4c<3,

即Ova+4c<3,所以一-—>-,

a+4c3

由權(quán)方和不等式知工+工=上+”20±疝=-?-23，

aca4ca+4ca+4c

當(dāng)且僅當(dāng)±1=2即a=l,c=1：時(shí)取等號(hào)，

a4c2

所以L%3.

ac

【點(diǎn)睛】(1)方法一：利用柯西不等式證明，簡(jiǎn)潔高效，是該題的最優(yōu)解；

方法二：對(duì)于柯西不等式不作為必須掌握內(nèi)容的地區(qū)同學(xué)，采用基本不等式累加，也是不錯(cuò)的方法.

【題型訓(xùn)練2-刷模擬】

一、解答題

1.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若實(shí)數(shù)無(wú)、y、z滿(mǎn)足x+2y+3z=a(a為常數(shù))，求Y+J+z?的最小值.

2

【答案】—

14

【分析】利用柯西不等式進(jìn)行解答即可.

【詳解】因?yàn)閤+2y+3z=a,

所以+22+32)(x2+y2+z2)>(x+2y+3z)2=a2,

即14,+y2+z2)>a2,當(dāng)且僅當(dāng)^=|=|時(shí)等號(hào)成立，

22

ttx2+/+z2>—,即V+y+z?的最小值為幺.

1414

2.(2023?甘肅蘭州??？家荒?已知。,6,cwR,且滿(mǎn)足。+2/+3c=6,求〃+2從+3c?的最小值.

【答案】6

【分析】利用柯西不等式求出最小值.

【詳解】由柯西不等式，得(1+2+3)(〃2+2。2+3°2)2(1.〃+0.缶+石.、瓦丁.

得6（，2+2〃+3。2）之（，+2人+3。）2=36.Wtz2+2fe2+3c2>6.

當(dāng)且僅當(dāng)—=母b_6c

即a=6=c=l時(shí)，上式等號(hào)成立.

1V2#>

所以4+2/+3c2的最小值為6.

3.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))己知a,b,c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=3.求證:

(l)abc<l；

(2)4/+畫(huà)+。2>6.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)；

(2)利用柯西不等式.

【詳解】(1)因?yàn)閍,b,c是正實(shí)數(shù)，所以空產(chǎn)3痂，所以痂si(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=l時(shí)等式

成立)，BPabc<1；

,.(1]、112a=2b=c

(2)因?yàn)?4/+4〃+/)1+公+1k(2。、K+2bX5+cxl)2=(〃+b+c)2=9,當(dāng)且僅當(dāng)j__j,一，等號(hào)成

IJ22

立，所以(4/+4/+。2卜29,BP4a2+4^+c2>6.

4.(2023?江西吉安?統(tǒng)考一模)己a,b,c均為正數(shù)，且a+6+c=4,證明：

a+ca+bb+c8

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用題意構(gòu)造基本不等式，再利用柯西不等式證明即可;

(2)構(gòu)造基本不等式即可證明.

【詳解】(1)證明：由柯西不等式可得(/+q+，](12+22+32)N(a+b+c)2=16,

49J

bc2

當(dāng)且僅當(dāng)，，二=5三時(shí)取等號(hào).

即片則原式成立;

111

(2)證明:-----1-----1----——(Q+C+a+Z?+Z?+C)|-----F

a+ca+bb+c8\a+ca+bb+cJ

31(b+ca+bb+cc+aa+ba+c

——I------1-----1-----1-----1-----1-----

88\a+bb+cc+ab+cc+aa+b

、31(\b+ca+b八lb+cc+a八[a+bc+a)9

>-+-2J---------+2J----------+2J----------=-

88(\a+bb+c\c+ab+c\c+aa+bJ8

4

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=］時(shí)取等號(hào).

5.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知均為正數(shù)，且滿(mǎn)足a2十廿十H=3.證明:

⑴a+b+G,3；

(小2)、—1F—1H—1..C3.

abc

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)9=3(/+尸+°2),結(jié)合柯西不等式證明即可;

(2)根據(jù)柯西不等式證明!+：+，..?一再根據(jù)—7—…:證明即可?

abca+b+ca+b+c3

(1)

證明：由柯西不等式有:

9=3(〃+82+。2)=(]2+]2+]2)(。2十萬(wàn)2+。?)(<2+Z?+C)2,當(dāng)且僅當(dāng)Cl=b—C=1時(shí)取等號(hào),可得。+匕+￡,3；

(2)證明：由柯西不等式有(〃+b+c)［：+：+g，9,當(dāng)且僅當(dāng)a=h=c=l時(shí)取"=號(hào)，可得

1119

—I1—.

abca+b+c

119

又由a+/?+G,3,可得-?,可得---:-?3,

a+b+c3a+b+c

故有工+；+工.3,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=l時(shí)取"=號(hào).

abc

6.(2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)a,仇c為正數(shù)，且a+b+c=L

(1)證明/+尸+。2之；；

abc

(2)證明+/+。2----1-----1-----

b+cc+aa+b-i

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】⑴由柯西不等式可得(〃+k+c2)(12+F+12)N(a+6+c)2,由此證明結(jié)論；

(2)由重要不等式結(jié)合不等式性質(zhì)可得力+"十。22a6+6c+m,a2+b2+c2>ac+ba+cb,結(jié)合不等式性

質(zhì)和柯西不等式證明結(jié)論.

【詳解】(1)因?yàn)椋?。為正?shù)，a+b+c=l,

由柯西不等式可得(a2+Z?2+c2)(l2+l2+l2)>(a+Z?+c)2=l,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=^時(shí)等號(hào)成立，

所以/+62+c2、g,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=；時(shí)等號(hào)成立；

(2)由重要不等式得/+〃22",當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)等號(hào)成立，

b2+c2>2bc,當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)等號(hào)成立，

c2+a2>2c?,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以/+/+/>ab+bc+ca,當(dāng)且僅當(dāng)Q=/?=c時(shí)等號(hào)成立，

22

同理可得/+Z?+c>ac+ba+cb9當(dāng)且僅當(dāng)〃=Z?=c時(shí)等號(hào)成立,

兩式相加得2,2++02)之〃+c)+b(c+a)+C(Q+b)

所以2(/+/］土bc

+-----+

c+aa+b

abc

2[a(Z?+c)+b(c+a)+c(Q+Z?-----1------1-----

b+cc+aa+b

z91

>(a+b+c)=19當(dāng)且僅當(dāng)〃=6=。=1時(shí)等號(hào)成立;

即(82+')〔史+占+金反，當(dāng)且僅當(dāng)"』W時(shí)等號(hào)成立.

7.(2023?四川?四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模)已知。>0,6>0,c>l,且1+4/+c?/c=2,證明:

(l)6Z+2/?+c<4；

(2)若a=2b,貝！]—I----N3.

bc-1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由柯西不等式即可證明;

⑵由均值的不等式可得］+WW+2gR)C+去/+g)］雙由⑴可得鼻3T4

即可證明!+」一23.

bc-1

【詳解】(1)^Sa2+4b2+c2-2c=2,<a2+4Z?2+(c-l)2=3,

由柯西不等式有[/+(26)2+(c_i)2](『+/+F)N(a+26+c_iy,

.\a+2b+c-l<3,當(dāng)且僅當(dāng)Q=22=c-l=1時(shí)等號(hào)成立,

.-.a+2b+c<4,當(dāng)且僅當(dāng)。=1,6=g,c=2時(shí)等號(hào)成立;

(2)由4=26可得

(a+2b+c—1)=

當(dāng)且僅當(dāng)c-l=?時(shí)取等,

由（1）可得一/_->1，當(dāng)且僅當(dāng)4=1,。=2,C=2時(shí)等號(hào)成立，

從而9+429J_->3,當(dāng)且僅當(dāng)。=1,6=1,c=2時(shí)等號(hào)成立.

二、單選題

8.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的，但

從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱(chēng)為柯西--布尼亞科夫斯基--施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家

彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學(xué)選修教材4-5中給出了

ab

二維形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）>2當(dāng)且僅當(dāng)（即一=-；）時(shí)等號(hào)成立.該不

ca

等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用.根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)

y（x）=2,5-x+Jx-4的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為（）

A.6義B.瓜2C,而，生D.弧,生

551313

【答案】A

【分析】將257+代入二維形式的柯西不等式的公式中，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到答案.

【詳解】由柯西不等式可知：（2^/5^+^/^4）2?（22+12）[（75^）2+（A/T^4）2]=5

所以257+^/n46，當(dāng)且僅當(dāng)2G7=5工即*=皆時(shí)取等號(hào)，

故函數(shù)/（無(wú)）=257+的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為V5,y,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查二維形式柯西不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2023?浙江?統(tǒng)考一模）若sinx+cosy+sin（尤+_y）=2,則sinx的最小值是（）

A.0B.2-43C.3-幣D.g

【答案】C

【分析】先把已知整理成2-sinx=（sinx+l）cosy+cosxsiny的形式，再把等式的右邊利用柯西不等式進(jìn)行

放縮，得到關(guān)于sinx的一元二次不等式進(jìn)行求解.

【詳解】由已知sinx+cosy+sinxcosj+cosxsiny=2整理得

2-sinx=（sinx+1）cosy+cosxsiny,

由柯西不等式得

（sinx+1）cosy+cos%siny<+sinx）"+cos2x?^/cos2y+sin2y=j2+2sinx，

當(dāng)（sinx+1）siny=cosycos尤時(shí)取等號(hào)，

所以（2-sinxf<2+2sinx,即sir?比一6sin尤+2W0,

解得3-S"〈sinxVl,所以sinx的最小值為3-/.

故選：C.

三、填空題

10.（2023秋?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？计谀┤?。C：（無(wú)-4+仃-（x-6）2+（y-8）2=4,

M,N分別為。C,。。上一動(dòng)點(diǎn)，|MN|最小值為4,則3a+46取值范圍為.

【答案】［15,85］

【分析】先根據(jù)|〃用的最小值求出|。q=7,即（。-6）2+0-8）2=49,再使用柯西不等式求出取值范圍.

【詳解】由于］肱V|最小值為4,圓C的半徑為1,圓D的半徑為2,故兩圓圓心距離|CQ|=4+l+2=7,

即（4-6）2+（6-8）2=49,

由柯西不等式得：［（a-6）2+（6-8）2）（32+42”［3（“一6）+4（6-8）［2,

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)燃础?三，6=日時(shí)，等號(hào)成立，

即（3a+4人一SO）?425x49,解得：15V3a+4bV85.故答案為：［15,85］

11.（2023春?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)角*夕均為銳角，貝Usina+sin4+cos（（z+⑶的范圍是

【答案】），|

【分析】由$苗（《+尸）＜$由（/+$111分將函數(shù)化為$1111+5111月+85（?+〃）＞0'$如（"+月+：］,結(jié)合三角函數(shù)

的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，再由柯西不等式求出函數(shù)的最大值，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)榻莂、P均為銳角，所以sin/cosc,sin/7,cos。的范圍均為（0』），

所以sin(a+/)=sin夕cos/?+cosasin/<sina+sin9，

所以sini+sinp+cos(a+夕)〉sin(a+4)+cos(a+尸)=A/2sin[I+尸+：

因?yàn)?。＜。?/p>

所以及5由［々+/?+：［＞血乂^^=1,

sina+sin/?+cos(a+/?)=s