2.4.2直線與圓錐曲線的綜合問題（課件）高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

直線與圓錐曲線的綜合問題

(兩課時)(1)弦長公式注意：一直線上的任意兩點(diǎn)都有距離公式或弦長公式(2)面積公式消元一元二次方程消y消xOABcxy(3)直線與圓錐曲線有關(guān)弦的中點(diǎn)問題解題思路：中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）點(diǎn)差法求解問題步驟鞏固提升：(1)一動圓與兩圓：x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切，則動圓圓心的軌跡為()

（A）拋物線（B）雙曲線（C）雙曲線的一支（D）橢圓(2)（2011·遼寧高考）已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()

（A）（B）1（C）（D）CCC4.已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值。.xoyFABMCND

求值

范圍

專項(xiàng)提升1：橢圓綜合lmmOxyFlmm分析：作出直線l及橢圓.觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，利用平行于直線l且與橢圓只有一個交點(diǎn)的直線，可以求得相應(yīng)的最小距離.解：由直線L的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交（為什么？）.設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0.①②另方程②的根的判別式△=0，得③解方程③得

由圖可知，當(dāng)k=25時，直線m與橢圓的交點(diǎn)到直線l的距離最近，此時直線m的方程4x-5y+25=0.直線m與直線l間的距離所以，最小距離是思考：最大的距離是多少？

方法二：橢圓的參數(shù)方程例4：已知橢圓過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被

平分，求此弦所在直線的方程.解：韋達(dá)定理→斜率韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造例4

已知橢圓過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率．點(diǎn)作差例4已知橢圓過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0從而A,B在直線x+2y-4=0上而過A,B兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思：中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)”這一條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，法一：例5：法二：(此處設(shè)點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn))例7：法三：用弦長公式求弦AB的長度對稱與變換的思想在橢圓中的應(yīng)用專項(xiàng)提升2：雙曲線綜合例1：如果直線

與雙曲線

僅有一個公共點(diǎn)，求

的取值范圍．

即

解：

由

得

方程只有一解

當(dāng)

時，方程只有一解當(dāng)

時，應(yīng)滿足

解得

故

引申1：如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍解：由得(1-k2)x2+2kx-5=0(*)即方程無解y=kx-1x2-y2=4∴1-k2≠0△=4k2+20(1-k2)<0引申2：如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4有兩個公共點(diǎn)，求k的取值范圍解：直線與雙曲線有兩個公共點(diǎn)方程(*)有兩個不等的根1-k2≠0△=4k2+20(1-k2)>0拓展延伸如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4右支有兩個公共點(diǎn)，求k的取值范圍如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4左支有兩個公共點(diǎn)，求k的取值范圍如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4左、右支各1個公共點(diǎn)，求k的取值范圍x1x2=->0解：等價于4k2+20(1-k2)>0x1+x2=-2>01-k2≠0221<k<x1x2=->0解：等價于4k2+20(1-k2)>0x1+x2=-2<01-k2≠022-<k<-1解：等價于1-k2≠04k2+20(1-k2)>0x1x2=-<02-1<k<1引申3：引申4：引申5：例2、如圖，過雙曲線的右焦點(diǎn)傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求|AB|。解：解：解：思考：若改變角度，問題的解決是否變化？解：變形１：解：變形２：xyo..NM例3、xyo..NMxyo..NM例4、過雙曲線的右焦點(diǎn)傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求|AB|。特殊：如果直線過焦點(diǎn)，我們可以利用

焦半徑公式來求解。解：將y=ax+1代入3x2-y2=1又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,∵原點(diǎn)O（0，0）在以AB為直徑的圓上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.例5、直線y-ax-1=0和曲線3x2-y2=1相交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)a為何值時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。它有兩個實(shí)根，必須,分析：只需證明線段AB、CD的中點(diǎn)重合即可。證明:(1)若L有斜率，設(shè)L的方程為:y=kx+b例6專項(xiàng)提升2：拋物線綜合例1當(dāng)b為何值時,直線y=-2x+b與拋物線(1)相交,(2)相切,(3)相離?解：由方程組{

消去y，并整理得(1)當(dāng)即b>-2時，直線與拋物線相交(2)當(dāng)即b=-2時，直線與拋物線相切（2）當(dāng)即(3)當(dāng)即b<-2時，直線與拋物線相離

例2求過定點(diǎn)P（0，1）且與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線的方程.由{

得{故直線x=0與拋物線只有一個交點(diǎn).

解:(1)若直線斜率不存在,則過點(diǎn)P的直線方程是由方程組{消去y得

(2)若直線斜率存在,設(shè)為k,則過P點(diǎn)的直線方程是y=kx+1,x=0.故直線y=1與拋物線只有一個交點(diǎn)

.當(dāng)k≠0時，若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，則此時直線方程為綜上所述，所求直線方程是x=0或y=1或點(diǎn)評：本題用了分類討論的方法.若先用數(shù)形結(jié)合，找出符合條件的直線的條數(shù)，就不會造成漏解。當(dāng)k=0時，x=,y=1.題型二：叢書62頁12題這一結(jié)論非常奇妙,變中有不變,動中有不動.A(x1,y1)(1)|AB|＝