指數(shù)函數(shù) 學(xué)案-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課11指數(shù)函數(shù)

考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)

2023年新高考I

卷T4

邏輯推理

指數(shù)函數(shù)掌握2023年全國甲卷★★☆

直觀想象

(文)T11

2023年北京卷T4

從近幾年高考的情況來看，指數(shù)函數(shù)是高考?？純?nèi)容，一般

以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等.命題熱點(diǎn)為指

命題分析預(yù)測(cè)

數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)在分段函數(shù)中考

查指數(shù)函數(shù)

【基礎(chǔ)知識(shí)?診斷】

：夯實(shí)基礎(chǔ)臼^-

一、指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=ax(a>0且存1)叫作指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是

R.

二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=ax

圖象

y=ax

定義域R

值域①(0,+oo)

性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1)

當(dāng)x>0時(shí),y>l；當(dāng)x<0時(shí)，y>l；

當(dāng)x<0時(shí),0<y<l當(dāng)x>0時(shí)，②0<y<l

在(-00,+oo)上是增函數(shù)在(-00,+oo)上是減函數(shù)

y=ax與y=(］產(chǎn)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

診斷自測(cè)

題組?走出誤區(qū)

L判一判.(對(duì)的打7"，錯(cuò)的打“x”)

⑴函數(shù)y=2x"是指數(shù)函數(shù).()

(2)函數(shù)y=axz+i(a>l)的值域是(0,+功.()

⑶2-3>2±()

(4)若am<an(a>0且/1),貝!jm<n.()

答案(1)X(2)x⑶弋(4)x

2.(易錯(cuò)題)已知a>0且#1,若函數(shù)f(x)=2aX-4在［-1,2］上的最大值為10,則

a=.

【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視對(duì)底數(shù)a的分類討論致誤.

答案夕或［

解析①若a>l,則函數(shù)y=ax在［-1,2］上單調(diào)遞增，

故f(x)在［-1,2］上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為f(2)=2a2-4=10,

即a?=7,又a>l,所以a=V7.

②若0<a<l,則函數(shù)y=ax在［-1,2］上單調(diào)遞減，

故f(x)在［-1,2］上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=-l時(shí),f(x)取得最大值,最大值為f(-D=2a1-4最0,所以a\.綜上所述，a

的值為近或

題組。走進(jìn)教材

3.(人教A版必修①P120.T9改編)已知函數(shù)f(x)=a(|)W+b的圖象過原點(diǎn)，且無限

接近直線y=2但又不與該直線相交，則f(-4)=.

答案言

解析由題意知，a+b=O,b=2,所以a=-2,所以心)=-2乂6)岡+2,

所以f(-4)=-2x6)4+2=*

4.(人教A版必修①P119-T6改編)若a=0.3°7,b=0.7°-3,c=1.20-3,則a,b,c的大

小關(guān)系是().

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

答案B

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=0.3x在R上是減函數(shù)，

所以0<0.3°7<0.3°3<0.3°=1,

又因?yàn)槟己瘮?shù)y=x("在(0,+co)上單調(diào)遞增，且0.3<0.7,

所以O(shè)<O,3o-3<O,7°-3<lo-3=l,所以0<a<b<l,

又函數(shù)y=L2x是R上的增函數(shù)，

所以cnlZasAlzLl,所以c>b>a.故選B.

題組?走向高考

5.(2023?北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+S)上單調(diào)遞增的是().

A.f(x)=-lnxB.f(x)=*C.f(x)=-|D.f(x)=3|x11

答案C

解析由指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得選項(xiàng)A,B,D錯(cuò)誤.由反比例函數(shù)的性

質(zhì)可知選項(xiàng)C正確.故選C.

【考點(diǎn)聚焦?突破】

考廣一指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

典例11(1)函數(shù)f(x)=a"的圖象如圖所示，其中a,b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的

是().

A.a>l,b<0B.a>l,b>0

C.O<a<Lb>0D.O<a<l,b<0

⑵若函數(shù)丫=|2-1|的圖象與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍

為.

答案(1)D(2)(0,1)

解析(1)由f(x)=ax-b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)=ax-b在定義域上單調(diào)遞減，所

以0<a<l,又函數(shù)f(x)=ax-b的圖象是由y=ax的圖象向左平移得到的，所以b<0.

故選D.

⑵作出函數(shù)丫=|2-1|的圖象與直線y=b,如圖所示.由圖象可得實(shí)數(shù)b的取值范圍

是(0,1).

變式幽SH若將本例(2)中的條件“函數(shù)丫=|2口|的圖象與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn)”改

為“曲線|y|=2x+l與直線y=b沒有公共點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

答案[-1,1]

解析作出曲線卜|=2*+1,如圖所示，要使該曲線與直線y=b沒有公共點(diǎn)，只需

-l<b<l.

變式鍛?zhàn)枞魧⒈纠浦械臈l件“函數(shù)y=|2x-l|的圖象與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn)”改

為“函數(shù)y=|2x-l|在O,k]上單調(diào)遞減”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

答案(口,0]

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=|2x-l|的單調(diào)遞減區(qū)間為(a,0],所以仁0,即實(shí)數(shù)k的取值

范圍為(-co,0].

。方法總結(jié)口口口

有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路

1.已知函數(shù)的解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這

些點(diǎn)，若不滿足則排除.

2.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通

過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)，

應(yīng)注意分類討論.

3.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形

結(jié)合求解.

4.根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x=l與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行

判斷.

考廣二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

角度1比較大小

典例2(1)已知a=202503,b=0.32025,c=log20250.3,則(

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

,20241/2024\2024/2024\024.2024mrii.r4七

(2)已知a=疝,b=(-)c=(-)(x2^)2025,則a,b,c的大小關(guān)系

是.

答案(1)A(2)b>c>a

32025

解析(l)V20250->2025°=l,0<0.3<0.3°=l,Iog2o250.3<log2025l=0,

a>b>c.故選A.

(2)：0＜釜＜1,指數(shù)函數(shù)y=(黑尸在R上單調(diào)遞減,

/2024\/2024\2024/2024\1口口2024/2024\2024

02025<1，

<20251<20251礪》\——2025，I即——2025<'2——025,

202420242024(2024、1

(絲)竺)(生絲)2025〉

12025,2025〉12025,k20257120251即b>c>a.

。方法總結(jié)口口口

比較指數(shù)募大小的常用方法

單調(diào)因?yàn)椴煌椎闹笖?shù)基化為同底后可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所

性法以能夠化同底的盡可能化同底

取中

不同底、不同指數(shù)的指數(shù)累比較大小時(shí)，先與中間值(特別是0,1)比較大

間

小，然后得出大小關(guān)系

值法I

函數(shù)

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，借

圖象

助圖象比較大小

法

角度2解指數(shù)方程或不等式

典例31(1)若X滿足方程2x2+1=仁/2,則*=

(2)已知y=4x-3-2x+3的值域?yàn)閇1,7],則x的取值范圍是.

答案(1)-3或1(2)(-oo,0]U[l,2]

2

解析⑴因?yàn)?X2+I=(JX-2,所以2X2+I=(2-2)X-2,則2X2+I=24-2X,gpx+l=4-2x,

解得x=-3或x=l.

(2)因?yàn)閥=4X-3?x+3的值域?yàn)閇1,7],所以為4*-39+39,且2*>0,所以0<2上1

或2Kx%即xWO或1女32,所以x的取值范圍是(-oo,O]U[1,2].

。方法總結(jié)口口口

解指數(shù)不等式的常用方法

性質(zhì)解形如ax>ab的不等式，可借助函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不

法確定，那么需要分a>l與0<a<l兩種情況進(jìn)行討論

轉(zhuǎn)化解形如ax>b的不等式，可先將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)幕的形式，再借

法助函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解

圖象

解形如ax>bx的不等式，可利用對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象求解

法

角度3>：求參數(shù)值(范圍)

典例4(1)已知函數(shù)f(x)=2|2x-m|(m為常數(shù))，若f(x)在[2,+oo)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是.

⑵若函數(shù)f(x)=6)ax2+2x+3的值域是(0,1],則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案(1)(一8,4](2)(-8,-1]

解析(1)令t=|2x-m|,則t=|2x-m|在[5,+co)上單調(diào)遞增，在(-oo,同上單調(diào)遞

減.而y=7在R上單調(diào)遞增,所以要使函數(shù)f(x)=*ml在⑵+oo)上單調(diào)遞增，則"2,

即mS4,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-co,4].

(2)令g(x)=ax2+2x+3,

,llfa>0,

因?yàn)閒(x)的值域是(0,-J,所以g(x)的值域是[2,+00).故,12a-4=2解得a=l，

所以g(X)=X?+2x+3,f(X)=(|)X2+2X+3

因?yàn)間(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-00,-1],所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-00,-1].

。方法總結(jié)?？?

指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題的解題策略

涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函

數(shù)的構(gòu)成，在涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性

質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

多維訓(xùn)練

1.(2024.九