第二章圓錐曲線單元測試 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

第二章圓錐曲線單元測試-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊一、單選題1．方程mxA．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線2．已知橢圓C：x2a2+y2bA．13 B．25 C．123．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：x2a2A．3+396 B．3+724．已知過拋物線G：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線l與拋物線G交于M、N兩點(diǎn)（M在x軸上方），滿足MF=3FN，A．(x?13)C．(x?3)2+(y?25．已知拋物線y2=4x上兩點(diǎn)A、B滿足A．（5，0） B．（1，0） C．（3，0） D．（2，0）6．已知橢圓方程為4xA．F1(?22,0)，F(xiàn)C．F1(0,?12)，F(xiàn)7．定長為3的線段AB的兩個端點(diǎn)在拋物線y2=2x上移動，M為線段AB的中點(diǎn)，則M點(diǎn)到A．12 B．1 C．328．已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OA?OB=2（其中OA．2 B．3 C．1728 二、多選題9．橢圓x216+y2A．9 B．23 C．16?7 D．10．已知雙曲線C:4xA．若k=2，則l與C僅有一個公共點(diǎn)B．若k=22，則l與CC．若l與C有兩個公共點(diǎn)，則2<k<2D．若l與C沒有公共點(diǎn)，則k>211．已知曲線C：x2A．若m>n>0，則C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B．若m=n（n>0），則C是圓C．若m=?2，n=6，則C是雙曲線，其漸近線方程為3x±y=0D．若m=?2n，則C是雙曲線，其離心率為3或6三、填空題12．已知雙曲線與橢圓x216+y213．已知直線l：kx﹣y+1=0（k∈R）．若存在實(shí)數(shù)k，使直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=|k|，則稱曲線C具有性質(zhì)P．給定下列三條曲線方程：①y=﹣|x|；②x2+y2﹣2y=0；③y=（x+1）2．其中，具有性質(zhì)P的曲線的序號是．14．已知F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為直線x=?a四、解答題15．已知雙曲線x24?（1）若∠F1M（2）若∠F1M16．在平面直角坐標(biāo)系中內(nèi)動點(diǎn)P（x，y）到圓F：x2+（y﹣1）2=1的圓心F的距離比它到直線y=﹣2的距離小1．（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，過點(diǎn)F的直線l的斜率為k，直線l交曲線E于A，B兩點(diǎn)，交圓F于C，D兩點(diǎn)（A，C兩點(diǎn)相鄰）．①若BF=tFA，當(dāng)t∈[1，2]時，求k的取值范圍；②過A，B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線l1，l2，兩切線交于點(diǎn)N，求△ACN與△BDN面積之積的最小值．17．設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A(?2，0)，B(2（1）求橢圓的方程．（2）若直線l與橢圓交于P，Q（異于A，B）兩點(diǎn)．（i）求直線BP與BQ的斜率之積；（ii）若直線AP與BQ的斜率之和為?12，求直線18．橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部（不包含邊界）運(yùn)動，且與A，（1）求橢圓C的方程；（2）若直線DE的斜率恒為12，求動點(diǎn)P19．橢圓C：x2a2+y（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：若m=0，n≥0，方程y2若m>0，n>0，方程表示橢圓或圓；若m<0，n≠0，方程表示雙曲線；由于方程沒有一次項(xiàng)，方程不可能表示拋物線.故答案為：D.

【分析】根據(jù)m=0，n≥0和m>0，n>0，以及m<0，n≠0，結(jié)合直線、圓、橢圓和雙曲線的方程，即可求解.2．【答案】D【解析】【解答】連接IF1，IF2，|MI||IE|=|MF1所以|MI||IE|故2a2c=2b又b2所以3a=5c，即ca故答案為：D.

【分析】利用角平分線定理可得|MI||IE|=|MF3．【答案】A【解析】【解答】設(shè)雙曲線半焦距為c，則F(?c，0)，而AF⊥x軸，由x=?cx2a2?y2b因此有3e2?3e?3=0所以C的離心率為e=3故答案為：A

【分析】設(shè)雙曲線半焦距為c，則F(?c，0)，而AF⊥x軸，再利用已知條件結(jié)合幾何法和代入法，從而解方程組得出|y|=b4．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)N作NE⊥MM′，由拋物線的定義，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．解三角形EMN，得∠EMF=π3，所以直線l的斜率為3其方程為y=3（x﹣p2與拋物線方程聯(lián)立可得3x2﹣5px+34∴x1+x2=53∴|MN|=83p=16∴p=2，∴M（3，23），r=4，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y﹣23）2=16．故選：C．【分析】求出直線l的斜率，可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用|MN|，求出p，可得M的坐標(biāo)，即可求出以M為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．5．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)A(y12則lAB：x=y1又因?yàn)镺A→?OB→=則直線過點(diǎn)(5，0)，故答案為：A.

【分析】由已知條件設(shè)出點(diǎn)的再把，然后由點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，并把結(jié)果代入到數(shù)量積公式，由此整理化簡計(jì)算出結(jié)果即可。6．【答案】C【解析】【解答】由4x2+2所以焦點(diǎn)在y軸上，且半焦距為c=1則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0,?1故答案為：C.

【分析】化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，求出c的值，則橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得。7．【答案】B【解析】【解答】如圖所示，拋物線y2=2x的準(zhǔn)線為l：x=?12，

過A、B、M分別作AA'、BB'、MM由拋物線定義知|AA'|=|FA|，|BB'|=|FB|，由梯形中位線定理得|MM則M到y(tǒng)軸的距離d≥32?12所以dmin=1，即M點(diǎn)到故答案為：B【分析】由已知得到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線為l：x=?18．【答案】B【解析】【解答】據(jù)題意得F(14，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x故答案為：B

【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而得出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)A(x1，y1)，B(x29．【答案】A,B【解析】【解答】解：橢圓x216+y2m=1依題意當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，則16?m=7，解得m=9；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，則m?16=7，解得m=23，∴m的值為9或23.故答案為：AB.【分析】分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論求解即可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因?yàn)殡p曲線的方程為4x2?y2A.又因?yàn)橹本€l:y=kx+1過定點(diǎn)(0,1)，當(dāng)k=2時，直線B.聯(lián)立4x2?y2當(dāng)直線l與雙曲線C相切時，方程只有一個實(shí)數(shù)根，Δ=(2k)2+8(4?k2所以當(dāng)k=22時，直線l與雙曲線CC.若l與C有兩個公共點(diǎn)，則4?k2≠0Δ=(2k)D.若l與C沒有公共點(diǎn)，4?k2≠0故選：ABD【分析】先求出雙曲線的漸近線，直線l:y=kx+1所過定點(diǎn)為：(0,1)，當(dāng)k=2時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，可知直線l與雙曲線C有且只有一個交點(diǎn)，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程，消消去y可得一元一次方程，根據(jù)題意可列出方程，解方程可求出k=±22，據(jù)此可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)l與C有兩個公共點(diǎn)，可列出不等式組，解不等式組可求出k的取值范圍，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)l11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：曲線C：x2m+y2n=1，，

若m>n>0，則C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故A正確；

若m=n(n>0)，即C：x2+y2=m=n，則C是圓，故B正確；

若m=?2，n=6，則C是雙曲線，

其漸近線方程為x2?2+y26=0，即y=±3x，故C錯誤；

若m=-2n，則C是雙曲線，

12．【答案】x【解析】【解答】由題意橢圓焦點(diǎn)為(±10,0)，∴設(shè)雙曲線方程為x2a2?y2b2=1∴雙曲線方程為x2故答案為：x2

【分析】利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用漸近線方程，轉(zhuǎn)化求解a，b，得到雙曲線方程即可．13．【答案】②③【解析】【解答】解：①y=﹣|x|與直線l：kx﹣y+1=0（k∈R）至多一個交點(diǎn)，不具有性質(zhì)P；②x2+y2﹣2y=0圓心為（0，1），直線l：kx﹣y+1=0（k∈R）過定點(diǎn)（0，1），故存在k=±2，使直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=|k|，具有性質(zhì)P；③y=（x+1）2，過點(diǎn)（0，1），直線l：kx﹣y+1=0（k∈R）過定點(diǎn)（0，1），故存在k，使直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=|k|，具有性質(zhì)P．故答案為：②③．【分析】確定直線l：kx﹣y+1=0（k∈R）過定點(diǎn)（0，1），曲線過定點(diǎn)（0，1），即可得出結(jié)論．14．【答案】2【解析】【解答】由題意，點(diǎn)M，P位于x軸的上方，因?yàn)閨OM|=|OF|=c，M為直線又因?yàn)镺P=OF+OM，所以四邊形所以P(c?a2c代入雙曲線的方程，可得b4c2a2所以雙曲線的離心率為e=c故答案為：2.

【分析】先確定M的坐標(biāo)，再確定P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得結(jié)論.15．【答案】（1）解：設(shè)|MF1|=r1因?yàn)镾△所以只需求r1當(dāng)θ=90°時，由雙曲線方程知a=2,b=3,c=13由雙曲線的定義，得r1兩邊平方，得r1又r1即|F1F求得S（2）解：若∠F1MF2=120求得S△同理，可求得∠F1【解析】【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)出|MF1|=r1,|MF2|=16．【答案】（1）解：由題意，動點(diǎn)P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=﹣2的距離小1，∴動點(diǎn)P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=﹣1的距離，∴動點(diǎn)P的軌跡是以F（0，1）為焦點(diǎn)的拋物線，其方程為x2=4y（2）解：①由題意知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0，設(shè)（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∵BF=tFA，∴t=﹣x2∴(x1+x2∴t+1t=4k2∵f（t）=t+1t在[1，2]上單調(diào)遞增，∴2≤t+1∴?2②y=14x2∴直線AN：y﹣14x12=12x1（x﹣x1），BN：y﹣14x22=12x兩式相減整理可得x=12（x1+x2∴N（2k，﹣1），N到直線AB的距離d=21+k∵|AC|=|AF|﹣1=y1，|BD|=|BF|﹣1=y2，∴|AC||BD|=1∴△ACN與△BDN面積之積=12|AC|d?12|BD|d當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，△ACN與△BDN面積之積的最小值為0【解析】【分析】（1）由動點(diǎn)P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=﹣2的距離小1，可得動點(diǎn)P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=﹣1的距離，利用拋物線的定義，即可求動點(diǎn)P的軌跡W的方程；（2）①由題意知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0，利用條件，結(jié)合韋達(dá)定理，可得t+1t=4k2+2，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求k的取值范圍；②17．【答案】（1）解：依題意可得a=2，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)D(?2，2)時，l代入x24+Δ=(?12解得b2=1，所以橢圓的方程為（2）解：（i）依題意可得直線l的斜率不為0，設(shè)l：x=my+6，P(x1，由x=my+6，x2則y則k=32（ii）因?yàn)閗AP所以kAP=?12k則直線BQ的方程為y=?x+2，與x24+所以l的方程為y=456【解析】【分析】（1）依題意可得a=2，設(shè)直線l的方程為x=?42y+6，與橢圓方程聯(lián)立，整理得(8b2+1)y2?122b2y+8b2=0，由Δ=0，推得b2=1，即可得解；

（2）設(shè)l：x=my+6，P(x1，y1)，Q(x218．【答案】（1）解：當(dāng)P為坐標(biāo)原點(diǎn)時，D，由題知ba=1所以橢圓C的方程為x2（2）解：設(shè)點(diǎn)P(x0，y=12x+tx2由Δ=4t2?4(2x1+x則x1=t?1由題知t≠1，故1y0x即2x0+2+2∵點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，且不在直線AB上，∴?2<x故P的軌跡方程為x+2y=0(?2【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及橢圓的頂點(diǎn)，再結(jié)合斜率及四邊形的面積公式，即可求解出a，b，進(jìn)而得出橢圓C的方程；

（2）設(shè)出直線DE，與橢圓聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出x1，x19．【答案】解：（Ⅰ）∵左焦點(diǎn)（﹣c，0）到點(diǎn)P（2，1）的距離為10，∴(2+c)2又e=ca=12，解得a=2，∴b2∴所求橢圓C的方程為：x2（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+mx24+y23△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化為3+4k2＞m2．∴x1+xy1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），k