人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-全等三角形的判定（解析版）

第02講全等三角形的判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握全等三角形的幾種判定方法。

①全等三角形的判定2.掌握直角三角形的判定方法。

②直角三角形的全等判定3,能夠熟練運(yùn)用全等三角形的判定方法判定全等。

4,對(duì)全等三角形的應(yīng)用

思維導(dǎo)圖

普通三角形的全等判定

全等三角形的判定?枇)與斜i&(HL)

直角三角形的全等判定

全等三角形的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)01邊邊邊(SSS)判定全等

1.概念：

三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

2.數(shù)學(xué)語言：

如圖：在△ABC與4DEF中：

AB=DE

<AC=DF.,.△ABC^ADEF(SSS)O

BC=EF

題型考點(diǎn)：①添加全等判定條件。

②全等判定。

【即學(xué)即練1】

1.如圖，已知AB=DC,若用定理SSS證明△/BC之△DC2,則需要添加的條件是（）

A.OA^ODB.AC=DBC.OB=OCD.BC=CB

【解答】W：'：AB^DC,BC=CB,

當(dāng)添加/C=r>8時(shí)，AABC”ADCB〈SSS).

故選：B.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，在△NCD和△48。中，CD=BD,AC=AB.求證：AACD冬AABD.

【解答】證明：在△/CO和△/8D中,

，AC=AB

-AD=AD>

CD=BD

：./\ACD^/\ABD(SSS),

知識(shí)點(diǎn)02邊角邊（SAS）判定全等

1.概念：

兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等O

2.數(shù)學(xué)語言：

如圖：在△ABC與4DEF中：

AB=DE

<ZA=ND

AC=DF

.,.△ABC^ADEFO

題型考點(diǎn)：①添加全等判定條件。

②全等判定。

【即學(xué)即練1】

3.如圖，在/和中，點(diǎn)￡、尸在3C上，AF=DE,ZAFB=ZDEC,添加下列一個(gè)條件后能

用“S/S”判定尸且△OCE的是（）

C./A=/DD.AB=DC

【解答】解：/、由BE=C尸，得到3P=CE,又AF=DE,NAFB=/DEC,由&4s能判定△為&尸名△

DCE,故/符合題意；

B、NB=NC,又AF=DE,ZAFB=ZDEC,由44s能判定/絲△OCE,故8不符合題意；

C、ZA=ZD,又AF=DE,NAFB=NDEC,由45/能判定尸絲△DCE,故C不符合題意；

D、AB=DC,AF=DE,ZAFB,NOEC分別是N3、0c的對(duì)角，因此不能用￡4S判定尸烏△DCE,

故。不符合題意.

故選：A.

【即學(xué)即練2】

4.如圖，點(diǎn)。在線段AE1上，AB//CD,AB=DE,BD=CD.△48。和△EDC全等嗎？為什么？

【解答】解：△48。和△EDC全等，理由如下:

,JAB//CD,

：.NB=/CDE,

在和△EOC中,

'AB=DE

,ZB=ZCDE>

LBD=CD

：./\ABD^/\EDC(SAS).

知識(shí)點(diǎn)03角邊角（ASA）判定全等

1.概念：

兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

2.數(shù)學(xué)語言：

A

如圖，在△ABC與^DEF中：

Z=ZD

BC

<AB=DED

NB=NE

.,.△ABC^ADEFOEF

題型考點(diǎn)：①添加全等判定條件。

②全等判定。

【即學(xué)即練1】

5.如圖，點(diǎn)3,F,C,￡在同一直線上，AC^DF,Nl=/2,如果根據(jù)((ASAff判斷△ZBC之那

么需要補(bǔ)充的條件是（）

AD

zxx

BFCE

A.AB=DEB.NA=/DC.BF=CED./B=/E

【解答】解：需要補(bǔ)充的條件是NN=ND,

在△NBC和△￡>￡尸中，

2A=ND

?AC=DF，

,Z2=Z1

:AABC冬ADEFCASA）.

故選：B.

【即學(xué)即練2】

6.（2023春?東明縣期末）如圖，點(diǎn)尸、C是/。上的兩點(diǎn),<BC//EF,AB//DE,AF=DC,求證：AABC

沿ADEF.

A

【解答】證明：CD,

：.AC=DF,

?；EF〃BC,D

???NEFD=/BCA,

'：AB//DE,

N4=ND,

在△45C和△。環(huán)中，

2A=ND

<AC=DF，

,ZACB=ZDFE

:./XABC名/\DEF(ASA).

知識(shí)點(diǎn)04角角邊（AAS）判定全等

3.概念:

兩角及其其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等o

4.數(shù)學(xué)語言：

如圖，在△ABC與4DEF中:

'乙4=ND

<NB=NE

BC=EF

.'.△ABC^ADEFO

題型考點(diǎn)：①添加全等判定條件。

②全等判定。

【即學(xué)即練1】

7.如圖，已知/1=/2,若用“44S”證明△NCBgZkBD/,還需加上條件（）

A.AD=BCB.BD=ACC.ZZ)=ZCD.NDAB=/CBA

【解答】解：A.AD=BC,BA=AB,N1=N2不符合全等三角形的判定定理，不能推出△/CB也△出必,

故本選項(xiàng)不符合題意；

B.AB=BA,Z1=Z2,AC—BD,符合全等三角形的判定定理&4S,不符合//S定理，故本選項(xiàng)不符

合題意；

C.ND=NC,Z1=Z2,AB=BA,符合全等三角形的判定定理44S,能推出故本選

項(xiàng)符合題意；

D./DAB=NCBA,AB=BA,Z1=Z2,符合全等三角形的判定定理NS4,能推出△/CBgZXBD/,

故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：c.

【即學(xué)即練2】

8.如圖，在△/BC中，于點(diǎn)D,BEUC于E.4D馬BE交于F,若BF=4C,求證：△/DCg

△BDF.

:./ADC=NBDF=NBEA=90°,

:NAFE=NBFD,ZDAC+ZAEF+ZAFE=18Q°,ZBDF+ZBFD+ZDBF^180°,

：.ZDAC=ZDBF,

在△NDC和△8〃尸中，

2DAC=NDBF

<NADC=NBDF，

,AC=BF

:.^ADC%ABDF(AAS).

知識(shí)點(diǎn)05直角三角形的直角邊與斜邊（HL）判定全等

5.概念:

直角三角形的斜邊與其中一條斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

6.數(shù)學(xué)語言：

如圖：在RtZ\ABC與RtZXDEF中:

AC=DF

AB=DE

：.RtAABC^RtADEFo

題型考點(diǎn)：①添加全等判定條件。

②全等判定。

【即學(xué)即練11

9.如圖，DCLAE,垂足為C,且NC=CD,若用“HL”證明△/BC0△OEC,則需添加的條件是（）

D

A.CE=BCB.AB=DEC.NA=/DD.ZABC=ZE

【解答】解：AB=DE,

理由是：VDCXCE,

:.NACB=NDCE=90°,

在RtAASC和RtADEC中，

[AB=DE,

IAC=CD，

/.RtAABC^RtADEC(HL),

故選：B.

【即學(xué)即練2】

10.如圖所示，在△N3C中，CBLAB,ZBAC=45°，尸是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)/在8c上，且4B=CR.求

證：RtAABE義RtACBF.

；.NABC=NFBC=90°,

VZBAC=45°,

：./\ABC為等腰直角三角形，

:.AB=CB,

在RAABE和RtACSF中，

[AE=CF

1AB=CB'

ABE^RtACBF(HL).

尋找全等判定條件的方法總結(jié):

題型精講

題型01補(bǔ)充判定全等的條件

【典例1】

如圖，N4=/D,BC=EF,要得到△45C之△￡>￡*只需添加（

A.AC=DFB.NE=NBC.AB=DED.DE//AB

【解答】解：/、：//=ND,BC=EF,添加

...不能利用SSA判定△N3C之△￡>￡￡本選項(xiàng)不符合題意;

B、VZA^ZD,BC=EF,添加NE=/8,

,利用44s能判定△。所，本選項(xiàng)符合題意；

C、:/A=/D,BC=EF,添加

，不能利用SSA判定AABC坦ADEF,本選項(xiàng)不符合題意;

D、?:NA=/D,BC=EF,添加DE〃AB,則NZ=N。，

，不能判定△NBC之△DE凡本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【典例2】

【解答】解：=

Z1+NE4B=N2+NEAB,

即

/、加上條件8C=￡Z>不能證明△4C8之△NDE；

B、加上條件AB=AE可利用SAS定理證明△NC8烏△/￡>￡；

C、加上條件NC=ND可利用ASA證明

D、加上條件1可利用44s證明△4C2絲△4DE；

故選：A.

【典例3】

如圖，/1=/2,下列條件中不能使的是（）

A.AB=ACB.NB=NCC.ZADB=ZADCD.DB=DC

【解答】解：N、：在出)和△4CD中

fAB=AC

<Z1=Z2

,AD=AD

:.△4BD”AACDQSAS),故本選項(xiàng)不符合題意；

B、,：在AABD和ZX/CD中

，ZB=ZC

<Z1=Z2

LAD=AD

AAABD^/XACD(AAS),故本選項(xiàng)不符合題意；

C、在4ABD和44CD中

'N1=N2

-AD=AD

,ZADB=ZADC

:.AABD^LACD(ASA),故本選項(xiàng)不符合題意；

D、根據(jù)/1=/2、和不能推出故本選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

【典例4】

如圖，已知/￡=/C,NC=NE,下列條件中，無法判定的是()

A./B=NDB.BC=DEC.Nl=/2D.AB=AD

【解答】解：A,添加48=/。，由“W4S”可證△ABCgAlDE,故選項(xiàng)/不合題意;

B、添力口2C=DE,由“&4S”可證△/BCg/XADE,故選項(xiàng)8不合題意；

C、添加/1=/2,由“4X4”可證△/BC四△/￡)￡1,故選項(xiàng)C不合題意；

D、添力口45=40,不能證明△/2C之△/￡?￡1,故選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

【典例5】

如圖，在△48C和△￡)￡/中，如果N3=D￡,BC=EF.在下列條件中不能保證的是()

A./B=NDEFB./A=/DC.AB//DED.AC=DF

【解答】解：/、可根據(jù)S/S判定△/2。名人0￡尸，

故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不能根據(jù)SSA判定A4BC咨ADEF,

故本選項(xiàng)符合題意；

。、根據(jù)可得/8=/?！晔?，可根據(jù)S4s判定△4BC也△￡>￡*

故本選項(xiàng)不符合題意；

D、可根據(jù)SSS判定△/BCT4DEF,

故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【典例6】

如圖，若要用“HL”證明RtAiBC注RtA4BD,則還需補(bǔ)充條件()

A.ABAC=ABADB.AC=AD或BC=BD

C.NABC=NABDD.以上都不正確

【解答】解：若要用“HL”證明則還需補(bǔ)充條件/C=4D或3c=8D,

故選：B.

題型02全等三角形的判定證明

【典例1】

如圖，點(diǎn)3,E,C,尸在一條直線上，AB=DF,AC=DE,BE=CF.求證：AABC沿ADFE.

【解答】證明：?.?2E=CR

：.BE+EC^CF+EC,即BC=EF.

在△43C和△OBE'中，

'AB=DF

■AC=DE，

BC=FE

:.AABC-DFE(SSS).

【典例2】

如圖，在四邊形中，3。平分N/OC,點(diǎn)E在線段8。上，ZA=ZDEC=90°,AB=CE.求證：△

ABD冬LECD.

【解答】證明：平分N/DC,

NADB=/EDC,

在△48。和△ECO中，

'/ADB=/EDC

<ZA=ZDEC=90°，

,AB=CE

:AABD咨4ECD(AAS).

【典例3】

如圖，48=40,AC平分/BAD.求證：△48C之△4DC.

ZBAC=ZDAC,

在△4BC和△4DC中，

，AB=AD

-ZBAC=ZDAC-

AC=AC

:.△4BC會(huì)4ADC(SAS).

【典例4】

如圖，點(diǎn)。在3c邊上，BC=DE,Z1=Z2,NC和?！晗嘟挥邳c(diǎn)。.求證:△ABC%4ADE.

【解答】證明：???//DC=N1+N3,

即ZADE+Z2=Z1+ZB,

而Nl=/2,

/.ZADE=Z.B,

在△NBC和中，

2C=/E

-BC=DE，

,ZB=ZADE

/\ABC^/\ADECASA).

【典例5】

己知：如圖，/A=NB,AE=BE,Z1=Z2,點(diǎn)。在/C邊上.

求證：AAEC%4BED.

【解答】證明：；N1=N2,

/AEC=NBED,

在△4EC和△HEP中，

,ZAEC=ZBED

<AE=BE，

1ZA=ZB

:.AAEC烏ABEDCASA).

題型03全等三角形的判定與性質(zhì)

【典例1】

已知銳角△/8C中，ZABC=45°,4D_L2C于點(diǎn)。，3￡_L/C于點(diǎn)況交4D于點(diǎn)E.

(1)求證：4BDE沿AADC；

(2)若3。=8,DC=6,求線段斯的長(zhǎng)度.

：.ZBDE=ZADC=90°.

,/ZABC=45

:?/BAD=/ABC=45

:?BD=AD.

U：ADLBC,BEL4C,

：.ZC+ZDAC=90°,NC+NCBE=90°,

：.ZCBE=ZDAC.

在△5QE和△ZOC中，

<ZDBE=ZDAC

<BD=AD，

LZBDE=ZADC

??.△BDE/AADC(ASA).

(2)解：?:△BDEmAADC,DC=6,BD=8,

：?BC=BD+CD=14,AD=BD=8,AC=BE,DE=CD=6,

在Rt^BDE中，由勾股定理得BE=VBD2+DE2=10，

：.AC=BE=10f

SAABC^BC'AD=1AC'BF，

.kAD-BC8X1456

,，BF=AC=10"

?■?EF=BF-BE-f-

b

【典例2】

如圖，四邊形48。中，BC=CD,AC=DE,AB//CD,NB=/DCE=90°,NC與?！晗嘟挥邳c(diǎn)尸.

(1)求證：△48C出△ECO；

(2)判斷線段NC與。￡的位置關(guān)系，并說明理由.

【解答】(1)證明：在RtZ\NBC和RtZXECZ)中,

fAC=DE

[AB=EC'

,".RtA^5C^RtAECr>(HL),

(2)解：ACLDE.理由如下：

ZBCA=ZCDE,

,;NB=NDCE=90°,

：.ZBCA+ZACD^90Q,

.\ZCDE+ZACD^90°,

：.ZZ)FC=180°-(.ZCDE+ZACD)=90°,

：.ACA.DE.

【典例3】

如圖所示，在△4BC中，于D,CELABE,AD與CE交于點(diǎn)F,且4D=CD.

Cl)求證：△4BD9ACFD；

(2)已知3C=7,AD=5,求4F的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：'：AD±BC,CELAB,

，ZADB=ZCDF=ZCEB=90°,

；.NBAD+/B=NFCD+NB=90°,

ZBAD=ZFCD,

在A4BD和CFD中，

，ZADB=ZCDF

<AD=DC>

LZBAD=ZDCF

:AABD沿ACFDCASA),

(2)解：V^ABD^/XCFD,

：.BD=DF,

,:BC=1,AD=DC=5,

：.BD=BC-CD=2,

：.AF=AD-DF=5-2=3.

【典例4】

如圖，點(diǎn)3、F、C、E在一條直線上，OA=OD,AC//FD,AD交BE于O.

(I)求證：ZUC。g△DFO；

：.ZCAO=ZFDO,

在△/CO與△。尸。中

,ZCAO=ZFDO

,ZA0C=ZD0F>

,OA=OD

:.△ACO名△DFO(AAS)；

(2)V/\ACO^/\DFO,

：.OF=OC,

?:BF=CE,

：.BO=EO,

在△NBO與△DE。中

'BO=EO

<ZA0B=ZD0E-

,OA=OD

:.AABO%ADEO(.SAS),

：.ZB=ZE,

.'.AB//DE.

【典例5】

已知：△/2C是等腰三角形，CA=CB,0°<ZACB^90°.點(diǎn)〃在邊/C上，點(diǎn)N在邊BC上(點(diǎn)、M、

點(diǎn)N不與所在線段端點(diǎn)重合)，BN=AM,連接NN,BM,射線/G〃3C,延長(zhǎng)3M交射線NG于點(diǎn)。,

點(diǎn)￡在直線NN上，且AE=DE.

(1)如圖，當(dāng)//CB=90°時(shí)；

①求證：ABCM冬AACN；

②求NBDE的度數(shù)；

(2)當(dāng)//C2=a,其它條件不變時(shí)，/3DE的度數(shù)是.(用含a的代數(shù)式表示)

E

備用圖備用圖

【解答】(1)①證明：?:CA=CB,BN=AM,

:?CM=CN,

在和△ZCN中，

'CM=CN

<NC=NC，

CA=CB

:?△BCMQAACN(SAS)；

②解：V/XBCM^AACN,

：.ZCBM=ZCAN,

■:AG//BC,

：.ZCBM=/ADM,

：.ZADM=ZCAN,

?：AE=DE,

：./EAD=NEDA,

：.ZBDE=ZCAN+ZEAD,

VZACB=90°,

：.ZCAG=9Q°,

ZBDE=ZCAN+ZEAD=90°；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)E在直線4G上方時(shí)，由②同理可得N5Q￡=NC4N+NE4D,

*.*ZACB=a,

NC4G=a,

???ZBDE=ZCAN+ZEAD=l^O°-a,

當(dāng)點(diǎn)E在直線4G下方時(shí)，

D

E

同理可得ND2C=NaiN=/4D2,ZACB=ZDAC=a,

,:EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA,

/BDE=ND4c=a,

故答案為：180°-a或a.

題型04全等三角形的應(yīng)用

【典例1】

王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2c加的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)

一個(gè)等腰直角三角板(AC=BC,ZACB=90°)，點(diǎn)C在。￡上，點(diǎn)/和8分別與木墻的頂端重合.則

兩堵木墻之間的距離是()

C.20cmD.15cm

【解答】解：,:AC=BC,ZACB=90°,ADLDE,BELDE,

：.N4DC=NCEB=90°,

；./4CD+NBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

ZBCE=ADAC,

在△NDC和△CM中,

,ZADC=ZCEB

ZDAC=ZBCE-

,AC=BC

.?.△/DC絲△CEB(AAS)；

.,.EC=AD=6cm,DC=BE=l4cm,

：.DE=DC+CE=2Q(.cm),

故選：C.

【典例2】

如圖，要測(cè)量小金河兩岸相對(duì)的/、2兩點(diǎn)之間的距離，可以在與垂直的河岸B尸上取C、。兩點(diǎn)，且

使3C=CD.從點(diǎn)。出發(fā)沿與河岸8尸垂直的方向移動(dòng)到點(diǎn)￡,使點(diǎn)/、C、￡在一條直線上.若測(cè)量DE

的長(zhǎng)為28米，則/、8兩點(diǎn)之間的距離為28米.

【解答】解：:/臺(tái),呂。，EDLBD,

:.NABC=NEDC=9Q°,

VZACB=ZDCE,BC=CD,

:.△ABC沿AEDC(ASA),

：.AB=DE=2S米.

故答案為：28.

【典例3】

小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位置/處，。區(qū)與地面垂直，兩腳在地面上用力一

蹬，媽媽在距地面1"?高的2處接住她后用力一推，爸爸在。處接住她.若媽媽與爸爸到04的水平距

離3。、CE分別為1.4加和1.8m，/2。。=90°.爸爸在C處接住小麗時(shí)，小麗距離地面的高度是()

D.1.4m

【解答】解：由題意可知/CEO=N8DO=90°,0B=0C,

VZBOC=90°,

AZCOE+ZBOD=ZBOD+ZOBD=90°.

:?/COE=/OBD,

在△COE和△05。中,

，ZCOE=ZOBD

,ZCEO=ZODB>

OC=OB

.?.△COEg△08。(AAS),

：.CE=OD,OE=BD,

,:BD、CE分別為1.4m和1.8m,

：.DE=OD-OE=CE-BD=l.S-1.4=0.4(m),

'：AD=lm,

J.AE^AD+DE^IA(m),

答：爸爸是在距離地面L4加的地方接住小麗的.

故選：D.

【典例4】

如圖，一個(gè)等腰直角三角形零件放置在一凹槽內(nèi)，頂點(diǎn)4.B.。分別落在凹槽內(nèi)壁上，測(cè)得BE

=9cm,則該零件的面積為()

A.14B.53C.98D.196

【解答】解：???△A8C是等腰直角三角形，

：.AC=BC,ZACB=90°,

：.ZACD+ZBCE^90°,

,：ZADC^90°,

：.ZACD+ZDAC=90°,

NDAC=NBCE,

在△NDC和△CM中，

，ZD=ZE=90°

<ZDAC=ZECB，

LAC=BC

.?.△4DC咨ACEB(AAS),

.\DC=BE=9cm,

?'?AC=J52+g2=7106(cm),

:,BC=y{106。冽,

，該零件的面積為axJi而x7106=53(cm2).

故選：B.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，已知==,BC=BD.則證明△A4C0△24D的理由是（

A.SASB.ASAC.AASD.HL

【解答】解：,；/BCA=NBDA=90：

在RtABAC和RtZkB/D中,

[AB=AB,

1BC=BD，

；.RtA8/CgRtABAD(HL).

故選：D.

2.如圖，點(diǎn)/、3分別在。C、0。上，40與2c相交于點(diǎn)E,OA=OB,OC=OD,Z(?=40°,/。=20°,

則ZAEC等于()

A.70°B.80°C.90°D.100°

【解答】解：在△40D和△BOC中，

，OA=OB

,ZA0D=ZB0C>

LOD=OC

:AAOD會(huì)ABOC(&4S),

；./。=/。=20°,

AZDAC=ZO+ZD=4Q°+20°=60°,

/.ZAEC=180°-20°-60°=100°.

故選：D.

3.如圖，在四邊形/BCD中，對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)。，且O/=OC,OB=OD.下列結(jié)論不一定成立

A.AD=BCB.AB//CDC.ZDAB=ZBCDD.ZDAB=ZABC

【解答】解：:四邊形的對(duì)角線/C,2。相交于點(diǎn)。，且04=。。，OB=OD,

二四邊形為平行四邊形，

J.AB//CD,ZBAD=ZDCB,AD=BC.

所以/、B、C三項(xiàng)均成立,

故選：D.

4.如圖，在△/2C中，ZACB^90°,按如下步驟操作：①以點(diǎn)/為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交

AC,AB于D,￡兩點(diǎn)；②以點(diǎn)C為圓心，AD長(zhǎng)為半徑作弧，交NC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸；③以點(diǎn)尸為圓

心，OE長(zhǎng)為半徑作弧，交②中所畫的弧于點(diǎn)G；④作射線CG,若NB=40°,貝iJ/FCG為（）

【解答】解：如圖：連接?！?FG,

;在△N3C中，ZACB=90°,Z5=40°,

AZA=90°-40°=50°,

由作法可知：AD=AE=CF=CG,DE=FG,

在△/￡)￡1和△CFG中，

'AD=CF

-AE=CG，

DE=GF

.?.△/DE絲△CFG(SSS),

/Z=NFCG=50

故選：B.

5.在△45C中，AB=AC,AB>BC,點(diǎn)。在邊8C上，CD=2BD,點(diǎn)、E、/在線段上，Z1=Z2=Z

BAC,若△/BC的面積為18,則△NCF與△8AE的面積之和是（）

A.6B.8C.9D.12

【解答】解：；/l=/2=/8/C,Z1=ZBAE+ZABE,ZBAC=ZBAE+ZCAF,Z2=ZFCA+ZCAF,

：.N4BE=NCAF,NBAE=NFCA,

，ZABE=ZCAF

在△/BE和尸中，,AB=AC,

,ZBAE=ZACF

:.AABE出ACAF(ASA),

：.的面積=ZU5E的面積，

A4CF與ABDE的面積之和=Z\4BE與△BDE的面積之和，

AABC的面積為18,CD=2BD,

.,.△ABD的面積=2x18=6,

3

，△/CF與△ADE的面積之和=2\48。的面積=6；

故選：A.

6.如圖，和CE是△N3C的高，交于點(diǎn)R且尸D=4,CD=1,則//的長(zhǎng)為()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：于點(diǎn)D,CELAB于點(diǎn)E,

：./ADB=ZCDF=ZCEB=90°,

/.ZBAD=ZFCD=90°-ZB,

在和△CFD中，

'NADB=NCDF

<AD=CD，

LZBAD=ZFCD

:AABD沿ACFD(ASA).

:.BD=DF=4,

,:AD=1,

：.AF=AD-FD=1-4=3,

4尸的長(zhǎng)是3.

故選：A.

7.在直線/上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3,正放

KHGDCB

:在和△48C中，

，ZEDC=ZCBA

<NECD=NCAB，

,EC=CA

:.ACDE烏AABC(AAS),

:.AB=CD,BC=DE,

：.AB2+DE2^DE2+CD2=CE2^3,

同理可證FG2+LK2=HB=1,

S1+&+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4.

故選：c.

8.在學(xué)習(xí)完“探索三角形全等的條件”一節(jié)后，一同學(xué)總結(jié)出很多全等三角形的模型，他設(shè)計(jì)了以下問題

給同桌解決：如圖，做一個(gè)“U”字形框架以2。，其中4B=42c〃z,AP,2。足夠長(zhǎng)，PALAB^A,QB

,48于點(diǎn)2,點(diǎn)”從3出發(fā)向/運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從2出發(fā)向。運(yùn)動(dòng)，使M,N運(yùn)動(dòng)的速度之比3：4,

當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止，此時(shí)在射線4P上取點(diǎn)C,使叢ACM與4BMN全等,則線段/C的長(zhǎng)

為（）

pQ

M

A.18cmB.24cmC.18c冽或28c加D.18c冽或24c冽

【解答】解：設(shè)：BM=3xcm,貝lj2N=4xc加，

VZA=ZB=90°,

(1)當(dāng)△/CM名時(shí)，有BM=AM=3x,BN=AC,

又AM+BM=42cm,

??3x+3x=42,

：.x=7.

；?AC=BN=4x=28cm；

(2)當(dāng)CM絲時(shí)，有AM=BN,BM=AC,

當(dāng)時(shí)，有BM=AM,BN=AC,

又AM+BM=42cm,

3x+3x=42,

：?x=7.

；?AC=BN=4x=28cm；

當(dāng)△4CMt時(shí)，有AM=BN=4x,BM=AC=3x,

又AM+BM=42cm,

??4x+3x=42,

??x^6,

：.AC=BM=18cm；

故選：C.

9.如圖，已知：40與5c交于。點(diǎn)，OA=OB,要使△/。。絲△5。。，添加一個(gè)你認(rèn)為合適的條件為

【解答】解：OC=OD,

理由是：???在△ZOC和△8。。中,

，OA=OB

?NAOC=NBOD，

,OC=OD

AAAOC^ABOD(SAS),

故答案為：。。=。?；?/=/3或/。=/。.

10.在測(cè)量一個(gè)小口圓形容器的壁厚(厚度均勻)時(shí)，小明用“X型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗”按如圖方法進(jìn)行測(cè)量，其中

OA=OD,OB=OC,測(cè)得/8=3cm,EF=5cm,圓形容器的壁厚是cm.

【解答】解：在和△OOC中,

'0A=0D

<ZA0B=ZD0C-

,B0=0C

/\AOB^/\DOC(SAS),

.,.AB—CD—3cm,

EF—5cm,

...圓柱形容器的壁厚是上X(5-3)=1(cm),

2

故答案為：1.

11.如圖，△48C中，ZC=90°,ND平分△8/C交3C于點(diǎn)。，BE，/。交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,DFL

4B交AB于點(diǎn)、F.若BF=BE,4c=4,DF=3.則/￡的長(zhǎng)為.

【解答】解：平分NB/C,ZC=90°,DFLAB,

:.CD=DF=3；

?**AD=VAC2CD2=^42+32=5；

u：BELAD,

：.ZE=ZBFD=90°；

在RtABFD和RSED中，

[BF=BE,

IBD=BD'

:.RtABFD咨RtABED(HL),

：.DE=DF=3,

：.AE=AD+DE=5+3=8.

故答案為：8.

12.如圖，AB=7cm,AC=5cm,NCAB=/DBA=60°，點(diǎn)P在線段48上以2CTM/S的速度由點(diǎn)/向點(diǎn)3

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在射線8。上運(yùn)動(dòng)速度為xc加/s,它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s)(當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束)，當(dāng)