初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：動點引起的角度問題

動點引起的角度問題

【一題多解?典例剖析】

【角度等于具體度數(shù)】

例題1.（2021.湖北荊門中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，MVQ4B斜邊上的高為1,

ZAO8=30。，將RfVOAB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90。得到母△OCD,點A的對應(yīng)點C恰好在函數(shù)

“k

y=—（笈W0）的圖象上，若在＞=—的圖象上另有一點M使得/MOC=30。，則點M的坐標(biāo)

XX

為.

【解析】解：如圖，過點C作CEJ_y軸于E,過點M作MF，x軸,

則OE=G，即C（1,石）

又C點在反比例函數(shù)圖象上,

:收=6

方法一：解析式法

直線0M的解析式為y=3x,

3

聯(lián)立y=^^x,y=^H-,得：

3x

X=石或x=-6（舍）

故M（B1）

方法二：相似

易知△COES/^MOF

.C^_OEJ__3

MFOF'MFOF

設(shè)M（x,好）

X

1_A/3

X

解得：X=百或x=-百（舍）

故M（G,1）

方法三：三角函數(shù)

在RtZ\OMF中，ZMOF=30°,

貝ijtan/MOF=』^￡=—,

OF3

設(shè)M（x,3）

X

V3

,>?=顯

x3

解得：x=6或x=-V3（舍）

故M（51）.

【一題多解?對標(biāo)練習(xí)】

練習(xí)1.（2021?遼寧丹東中考）如圖，已知點A（-8,0）,點丹-5,T）,直線y=2x+〃］過點8

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷.4JC的形狀，并說明理由；

(3)￡為直線AC上方的拋物線上一點，且tan/EC4=U,求點E的坐標(biāo).

2

【答案】(1)y=—^—x+6；(2)ZiiABC為直角三角形，^BAC=90°；(3)E(----，

4411

500.

而)?

【解析】解：(1)直線y=2x+m過點3交y軸于點C,

將B(-5,-4)代入得：-4=2x(-5)+m,

解得：m=6,則C(0,6),

將A(-8,0)、C(0,6)=ax2+—x+c,

拋物線的表達(dá)式為y尤②+=元+6；

44

(2)△ABC為直角三角形，且NBAC=90。，理由為：

由題意,AB2=(-8+5)2+(0+4)2=25,

AG=(-8+0)2+(0-6)2=100,BG=(-5+0)2+(-4-6)2=125,

.-.AC^+AB^BC2,

.?.△ABC為直角三角形，且N54C=90。；

(3)由(2)知AB=5,AC=10,

AB1

tanZBCA=---=—=tan/ECA,

AC2

ZBCA=ZECA,

方法一：解析式法

如圖，延長BA交直線CE于F,過F作FHLx軸，過B作BG_Lx軸于G,

由NFCA=NBCA,AC=AC,/CAB=/CAF=90°

知4ACF絲AACB

/.AB=AF

.".△AFH^AABG

又B(-5,-4),A(-8,0)

；.BG=4,AG=3

；.AH=AG=3,FH=BG=4

即F(-11,4)

設(shè)直線CF解析式為y=kx+m

[-11%+6=4

則/6

[o=6

直線CF的解析式為y=—x+6,

2111

聯(lián)立y=—x+6,y=—x2+—x+6,得:

1144

113

x=0(舍)或*=--—

113500

即BnE(-----,——).

11121

方法二：相似法（三角函數(shù)）

由NFAC=90°知，ZFAH=ZACO,AB=AF=5

RtAAFH<^RtACAO

FHAH_AF

AO~~OC~AC

叁=四=9

8610

；.FH=4,AH=3

；.F(-11,4).

練習(xí)2.(2021?四川省內(nèi)江市中考)如圖，拋物線yuad+H+c與x軸交于A(-2,0)、2(6,0)

兩點，與y軸交于點c.直線/與拋物線交于A、。兩點，與y軸交于點E,點。的坐標(biāo)為

(4,3).

(1)求拋物線的解析式與直線/的解析式;

(2)若點。是y軸上的點，且加。=45。，求點。的坐標(biāo).

113

直線/的解析式為y=gx+l；(2)(0,了)或(0,-9).

【解析】解：(1)將(-2,0),(6,0),(4,3)代入拋物線解析式得:

4〃一2b+c=0

36〃+6/?+c=0

16a+4b+c=3

1

a=——

4

解得：b=l

c=3

即拋物線的解析式為y=-1x2+x+3.

由A(-2,0),D(4,3)知直線1的解析式為：y=；x+l.

(2)如圖，

過A作AMLAD,由NMDA=45°知，AADM是等腰直角三角形,

.\AD=AM

過M,D作x軸的垂線，垂足為H,G

則RtAAMH^RtADAG

；.AH=DG=3,MH=AG=6

AM(-5,6)

113

由D(4,3),M(-5,6)得直線DM的解析式為：y=--x+y

同理，可得：直線DM，的解析式為：y=3x-9

即Q'(0,-9)

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為(0,￡13)或(0,-9).

【多題一解?典例剖析】

【兩角相等】

例題2.(2021.福建省福州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，直線、=日+3分別交x軸、

y軸于A,8兩點，經(jīng)過A,B兩點的拋物線了=-尤2+法+。與無軸的正半軸相交于點C(1,O).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若尸為線段上一點，ZAPO=ZACB,求AP的長.

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)2A/2.

【解析】解：(1)令x=0,則y=3,

點B的坐標(biāo)為(0,3),

拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B(0,3),C(l,0),

.fc=3

[-l+Z?+c=0'

[b=-2

解得：。，

拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

(2)令y=0,則0=-x2-2x+3,

解得：x=l或x=-3,

.,.點A的坐標(biāo)為(-3,0),

???OA=3,OB=3,OC=1,AB=*+="+乎=3及,

ZAP0=ZACB,且NPAO=NCAB,

.'.△PAO^ACAB,

，任即

ACAB43V2

.'.AP=2A/2.

【多題一解?對標(biāo)練習(xí)】

練習(xí)3.(2021?四川德陽中考)如圖，已知：拋物線y=N+6x+c與直線/交于點A(-1,0),

C(2,-3),與x軸另一交點為B.

(2)在拋物線上找一點P,使AACP的內(nèi)心在x軸上，求點P的坐標(biāo)；

(3)M是拋物線上一動點，過點M作x軸的垂線，垂足為N,連接在(2)的條件下,

是否存在點M,使NMBN=/APC?若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=x2-2x-3；(2)P(4,5)；(3)M的坐標(biāo)為(總-||),|,覆

【解析】解：⑴把點(-1,0),(2,-3)代入y=x2+bx+c,

，曰JO=l-b+c

得、j-3=4+26+c'

拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

(2)作點C關(guān)于x軸的對稱點C,則C(2,3),

可得直線AC'的解析式為y=x+l,

x=-l或x=4

即P(4,5)

(3)存在點M,

由P(4,5),A(-1,0),C(2,-3)知PA2=50,AC2=18,PC2=68

50+18=38知，PA2+AC2=PC2,

.,.△PAC為直角三角形，且NPAC=90°

.AC303

??tanNAPC-------=—T="——,

AP5四5

由NMBN=NAPC,知

3

tanZMBN=-,

MN_3

~BN~~5

MN_3

BAF-5

在y=x2-2x-3中，當(dāng)y=0時，x=-l或x=3

即B(3,0)

設(shè)M(m,m2-2m-3),則BN=3—m,MN=|m2-2m-3|

.|m2-2m-3|3

3—m5

OQ

解得：m=_y或m=一g

存在符合條件的點M,M的坐標(biāo)為(1,(-1,黑).

練習(xí)4.(2021?山東煙臺中考)如圖，拋物線丁=以2+法+(；經(jīng)過點4(_2,0),5(4,0),與y

軸正半軸交于點C,且OC=2Q4.拋物線的頂點為。，對稱軸交無軸于點E.直線y=

經(jīng)過3,C兩點.

(1)求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接AC,若點尸是拋物線上對稱軸右側(cè)一點，點。是直線BC上一點，試探究是否

存在以點E為直角頂點的用PEQ,且滿足tanNEQP=tanNOC4.若存在，求出點尸的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=+4,y=-x+4；(2)P點坐標(biāo)為(/^,萬+^/^)或-不+&5);

【解析】解：(1)VA(-2,0),OC=2OA,

???OC=4,C(0,4)

將(-2,0),(0,4),(4,0)代入拋物線解析式，并解得：

a=--,b=Lc=4

2

即拋物線解析式為：y=-1x2+x+4.

直線BC的解析式為：y=-x+4.

1EP1

(2)由(1)得，tanZEQP=tanNOC4=一,即==彳，

2QE2

過點Q作。于"，過點P作PN_LDE于N,

ZQEP=90°,

：.ZQEM+ZMQE=90°,/QEM+NPEN=9b。,

：.ZMQE=ZPENf

：.叢MQEs叢NEP,

.QM=ME=QE=?

-PAF--'

如圖1,設(shè)尸點坐標(biāo)為O，-g/+機(jī)+4),

則PN=m-1,EN=-—m2+m+4,EM=2m-2,MQ=—m2+2m+8,

2

則。點坐標(biāo)為(—用2+2m+9,2—2m),

將Q點坐標(biāo)代入y=-x+4,得2-2機(jī)=加2-2m-9+4，

解得，m=V7,或m=-V7(舍去)，

把m=V7代入y=-gf+x+4,得，y=g+近,

故p點坐標(biāo)為(ag+近)；

如圖2,同理，得P點坐標(biāo)為(尼，-；+年)；

綜上，P點坐標(biāo)為+或;

練習(xí)5.如圖，已知拋物線>=辦2+a+。與無軸相交于A(—3,0),8兩點，與y軸相交于

點C(0,2),對稱軸是直線x=—1,連接AC.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若過點2的直線/與拋物線相交于另一點。，當(dāng)時，求直線/的表達(dá)

式.

949222

【答案】(1)y=--x2-—x+2；(2))=或,=§%一§?

【解析】解：(1);拋物線的對稱軸為x=-l,

b

------=—1,即b—2a

2a

又C(0,2)

/.c=2

將A(-3,0)代入得：9a-3b+c=0

24

即拋物線的解析式為y=-yx2-—x+2；

(2)①當(dāng)點D在x軸上方的拋物線上時，如圖,

則E在拋物線對稱軸上

2

由A(-3,0),C(0,2)知直線AC解析式為：y=—x+2,

3

由對稱性知，B(1,0)

.?.可得直線BD的解析式為：y=--x+2.

3

②當(dāng)點D在x軸下方拋物線上時，如圖,

22

同理，得直線BD的解析式為y=§x—

2?2

綜上所述，直線/的解析式為y=--*+2或丫=—x——.

333

練習(xí)6.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線+c與x軸交于點A(-1,O)和點8,與＞軸

交于點C,頂點。的坐標(biāo)為(LT).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點尸在拋物線上且滿足/PCB=/CB。，求點P的坐標(biāo).

57

【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)(4,5),(—，—).

24

【解析】解：(1)將(-1,0),頂點坐標(biāo)(1,-4)代入拋物線解析式得：

a-b+c=0

/口〃+Z?+c=-4

得＜

"1

、2a

6i—1

解得卜=一2

c=-3

；?拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

(2)由B(3,0),D(1,-4)得直線BD的解析式為：y=2x-6

由y=x2-2x-3知C(0,-3),B(3,0)

①當(dāng)PC/7BD時，it匕時NPCB=/CBD,

設(shè)直線PC解析式為y=2x+m

將點（0,-3）代入得：m=-3,

二聯(lián)立y=2x-3,y=x2-2x-3得:

x=0（舍）或x=4

即P（4,5）.

②

如圖，當(dāng)P在x軸下方時，設(shè)PC交BD于Q

則NCBD=NQCB,即CQ=BQ

又OC=OB

；.OQ是BC的垂直平分線，

即OQ的解析式為y=-x,

聯(lián)立y=-x,y=2x-6得：Q(2,-2)

，CQ的解析式為：y=gx-2,

聯(lián)立y=；x-2,y=x?-2x-3得：

x=0(舍)或x=—

2

57

即P

24

57

綜上所述，符合條件的P點坐標(biāo)為：(4,5),(；,-4).

24

【多題一解?典例剖析】

【角度倍數(shù)關(guān)系】

例題3.【2020?四川內(nèi)江】如圖，拋物線＞=0?+灰+。經(jīng)過A(-1,0)、B(4,0)、C(0,

2)三點，點、D(x,y)為拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點.

(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過點D作DE±BC,垂足為點E,是否存在點D,使得△CDE中的某個角等于/ABC

的2倍？若存在，求點。的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

(a—b+c=0

【解析】解：(1)將A(-1,0)、8(4,0)、C(0,2)代入y=a?+法+c得：卜6a+鉆+C=0,

k=2

故拋物線的解析式為卜寺+?+2?

(2)①當(dāng)NOCE=2/A8C時，取點/(0,-2),連接

VOC=OF,OBLCF,

：.ZABC=ZABF,

：.ZCBF=2ZABC.

?；NDCB=2NABC,

：.ZDCB=ZCBFf

J.CD//BF.

■1點B(4,0),F(0,-2),

，直線BF的解析式為y=3-2,

???直線CO的解析式為＞=

聯(lián)立得:

解得心二卜舍去)，CM，

.?.點。的坐標(biāo)為(2,3)；

②當(dāng)NCDE=2/ABC時，過點C作于點N,交0B于H,作點N關(guān)于2C的對稱

點尸，連接NP交BC于點Q,

；NOCH=90°-ZOHC,ZOBF=90°-ZBHN,

ZOHC^ZBHN,

：.ZOCH=ZOBF.

:.△OCHS^OBF,

.OCBn0H2

OFOB24

：.OH=1,H(1,0).

設(shè)直線CN的解析式為y=fcc+w(原0),

VC(0,2),H(1,0),

?《UW解得憶丁

J直線CN的解析式為y=-2x+2.

y=-z

J5

二點N的坐標(biāo)為(:，一?)?

53

???點5(4,0),C(0,2),

?,?直線3C的解析式為尸-

6

■:NPLBC,且點N",-5),

55

直線NP的解析式為y=2x-y.

M

r

X■

得

解

..2竺5

y

b=

25

_6418

...點。的坐標(biāo)為(若-)

86

-g

s,點N,尸關(guān)于3c對稱,

8866

?,.點尸的坐標(biāo)為(―,—).

2525

-/、B866、

.點C(0,2),P—),

2525

???直線CP的解析式為打；y+2.

將y=；］X+2代入y=整理，得：11/-29x=0,

解得:XI—0(舍去),冗2=會，

29

?,?點。的橫坐標(biāo)為

11

綜上所述：存在點。，使得△C0E的某個角恰好等于NABC的2倍，點。的橫坐標(biāo)為2或

29

11,

【多題一解?對標(biāo)練習(xí)】

練習(xí)7.如圖，拋物線交工軸于A,8兩點，交