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第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校南湖校區(qū)九年級(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題3分,共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列各數(shù)中5,3.14,?9,π2,3A.2 B.3 C.4 D.52.進(jìn)入春季,有些人會(huì)出現(xiàn)花粉過敏癥狀.已知某種花粉顆粒直徑約為0.0000065米,將數(shù)據(jù)0.0000065用科學(xué)記數(shù)法表示為(
)A.6.5×10?6 B.0.65×10?5 C.3.下列計(jì)算結(jié)果正確的是(
)A.32?2=3 B.a4.從上面看下面的物體,形狀不相同的是(
)A. B. C. D.5.如圖,小明在點(diǎn)C處測得樹的頂端A仰角為62°,測得BC=10米,則樹的高AB(單位:米)為(
)A.10sin62°
B.10tan62°6.如圖,在等腰Rt△AOB中,∠AOB=90°,E是三角形內(nèi)一點(diǎn),連接OE,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OF,連接BF,AE.若∠OBF=20°,則∠EAB的度數(shù)為(
)A.45° B.15° C.20° D.25°7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,按以下步驟作圖:①以B為圓心,任意長為半徑作弧,分別交BA、BC于M、N兩點(diǎn);②分別以M、N為圓心,以大于12MN的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;③作射線BP,交邊AC于D點(diǎn).若BD=5,點(diǎn)D到AB的距離為3,則△BCD的周長為(
)A.6 B.12 C.15 D.208.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=kx在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)和點(diǎn)B(4,m),則△AOB的面積為(
)A.2
B.3
C.4
D.5二、填空題:本題共6小題,每小題3分,共18分。9.單項(xiàng)式?7πx310.若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),則常數(shù)m11.如圖,某小區(qū)物業(yè)想對小區(qū)內(nèi)的三角形廣場ABC進(jìn)行改造,已知AC與BC的夾角為120°,AC=10m,BC=14m,請你幫助物業(yè)計(jì)算出需要改造的廣場面積是______m2(結(jié)果保留根號(hào)).12.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn),點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn).若AB=3,AE=2,則邊AC的長為______.13.若一次函數(shù)函數(shù)y=(m?2)x的圖象y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是______.14.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,n),且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在?3和?2之間,則下列結(jié)論正確的是______.
①abc<0;
②a+b+c<0;
③3a+c>0;
④關(guān)于x的方程ax三、解答題:本題共7小題,共56分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題8分)
先化簡,再求值:(3?aa?2)÷a?3a16.(本小題8分)
七年級某班為了開展活動(dòng),購買了一些體育用品,有15個(gè)毽球和6根跳繩,共用去69元,其中每根跳繩的價(jià)格比每個(gè)毽球價(jià)格的3倍還多0.5元,求毽球和跳繩的單價(jià).17.(本小題8分)
如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,AB=CD.過點(diǎn)D分別作DF⊥AB于點(diǎn)F,DE⊥BC于點(diǎn)E,且DE=DF.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若∠EDF=60°,AB=3,則四邊形ABCD的面積為______.18.(本小題8分)
圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在給定的網(wǎng)格中,只用無刻度的直尺,在圖①、圖②、圖③中,按下列要求畫圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出畫法.
(1)在圖①中畫△ABC的中線CD.
(2)在圖②BC邊上找一點(diǎn)E,連結(jié)AE,使AE平分△ABC的面積.
(3)在圖③中△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)F,使S△FBC=13S19.(本小題8分)
在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=x2+bx+c(b、c為常數(shù))與x軸交于A,B(?3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,?3),點(diǎn)P在拋物線上,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)將此拋物線上P、C兩點(diǎn)之間的部分(包括P、C兩點(diǎn))記為圖象G.圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)差為6時(shí),求m20.(本小題8分)
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)P、Q分別是邊CA、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且PC=2BQ,以PQ,PC為鄰邊作平行四邊形PQMC,作點(diǎn)B關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)B′,設(shè)BQ=m(0≤m≤4).
(1)當(dāng)△PCQ的面積為8時(shí),求m的值.
(2)當(dāng)∠BQB′=2∠ABC時(shí),求線段BB′的長.
(3)當(dāng)點(diǎn)B′落在四邊形PQMC的邊上時(shí),直接寫出CQBB′的值.
21.(本小題8分)
【問題探究】在學(xué)習(xí)三角形中線時(shí),我們遇到過這樣的問題:如圖①,在△ABC中,點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn),AB=4,AC=6,求線段AD長的取值范圍.我們采用的方法是延長線段AD到點(diǎn)E,使得AD=DE,連結(jié)CE,可證△ABD≌△ECD,可得CE=AB=4,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求AD的范圍,我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”.則AD的范圍是:______.
【拓展應(yīng)用】
(1)如圖②,在△ABC中,BC=2BD,AD=3,AC=210,∠BAD=90°,求AB的長.
(2)如圖③,在△ABC中,D為BC邊的中點(diǎn),分別以AB、AC為直角邊向外作直角三角形,且滿足∠ABE=∠ACF=30°,連結(jié)EF,若AD=23,則EF=______.(直接寫出)答案解析1.A
【解析】解:∵5是無理數(shù),
3.14是有理數(shù),
?9=?3是有理數(shù),
π2是無理數(shù),
38=2是有理數(shù),
∴其中無理數(shù)是5和π2這2【解析】解:0.0000065=6.5×10?6,
故選:A.
3.【解析】解:A、32?2=22,故此選項(xiàng)不符合題意;
B、a6÷a3=a3,故此選項(xiàng)不符合題意;
C、(3a【解析】解:A、C、D選項(xiàng)的俯視圖都是第一行三個(gè)正方形,第二行中間一個(gè)正方形,B選項(xiàng)俯視圖是第一行三個(gè)正方形,第二行是最左邊一個(gè)正方形,
所以形狀不相同的是B選項(xiàng).
故選:B.
5.C
【解析】解:由題意得:
∠ABC=90°,∠ACB=62°,
在Rt△ABC中,BC=10米,
∴AB=BC?tan62°=10tan62°(米),
故選:C.
6.【解析】解:∵線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OF,
∴OE=OF,∠EOF=90°,
∵△OAB為等腰直角三角形,
∴OA=OB,∠AOB=90°,∠OAB=45°,
∵∠AOE+∠EOB=90°,∠EOB+∠BOF=90°,
∴∠AOE=∠BOF,
在△AOE和△BOF中,
OA=OB∠AOE=∠BOFOE=OF,
∴△AOE≌△BOF(SAS),
∴∠OAE=∠OBF=20°,
∴∠EAB=∠OAB?∠OAE=45°?20°=25°.
故選:D.
7.【解析】解:由作圖可知BD是∠ABC的平分線,
∵點(diǎn)D到AB的距離為3,∠ACB=90°,
∴DC=3,
在Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理得:
∴BC=BD2?CD2=52?32=4【解析】解:∵反比例函數(shù)y=kx在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)和點(diǎn)B(4,m),
∴k=2×2=4,m=44=1,
∴B(4,1)
設(shè)直線OB的解析式y(tǒng)=kx,
∵點(diǎn)B(4,1)在直線上,
∴k=14.
∴直線OB的解析式y(tǒng)=14x,
過點(diǎn)A作AM⊥x軸,交OB于點(diǎn)N.則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,19.?7π【解析】解:單項(xiàng)式?7πx3y6的系數(shù)是?7π6,
故答案為:?7π【解析】解:有兩種情況:
①當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)為y=2x+1,
∵圖象為一條直線,與x軸有一個(gè)交點(diǎn),
∴m=0;
②當(dāng)m≠0時(shí),y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),
令y=0,則mx2+2x+1=0,
∴Δ=4?4m=0,
解得:m=1,
故答案為:0或1【解析】解:過點(diǎn)A作AD⊥BC,交BC的延長線于點(diǎn)D,
∵∠ACB=120°,
∴∠ACD=180°?∠ACB=60°,
在Rt△ACD中,AC=10m,
∴AD=AC?sin60°=10×32=53(m),
∵BC=14m,
∴△ABC的面積=1212.2【解析】解:∠BAC=90°,點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn),AE=2,
∴BD=2AE=4,
又AB=3,
∴AD=BD2?AB2=7,
∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn),
∴AC=2AD=2【解析】解:∵一次函數(shù)函數(shù)y=(m?2)x的圖象y隨x的增大而減小,
∴m?2<0,
解得:m<2,
故答案為:m<2.
14.②④
【解析】解:由所給函數(shù)圖象可知,
a<0,b<0,c>0,
∴abc>0.故①錯(cuò)誤;
∵拋物線的對稱軸為直線x=?1,且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在?3和?2之間,
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間.
又∵拋物線開口向下,
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值小于零,
即a+b+c<0.故②正確;
∵拋物線的對稱軸為直線x=?1,
∴?b2a=?1,
即b=2a,
又∵a+b+c<0,
∴3a+c<0.故③錯(cuò)誤;
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,n),
∴拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與直線y=n?1有交點(diǎn),
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c?n+1=0有實(shí)根.故④正確.
∴結(jié)論正確的是②④.
故答案為:②④.
15.解:(3?aa?2)÷a?3a2?4
=【解析】利用分式的相應(yīng)的法則對式子進(jìn)行化簡,再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可.
16.解:設(shè)毽球的單價(jià)是x元,則跳繩的單價(jià)是(3x+0.5)元,
根據(jù)題意得15x+6(3x+0.5)=69,
解得x=2,
∴3x+0.5=6.5,
答:毽球和跳繩的單價(jià)分別為2元和6.5元.
【解析】設(shè)毽球的單價(jià)是x元,則跳繩的單價(jià)是(3x+0.5)元,購買毽球需要15x元,購買跳繩需要6(3x+0.5)元,于是列方程得15x+6(3x+0.5)=69,解方程求出x的值,再求出代數(shù)式3x+0.5的值即可.
17.92【解析】(1)證明:∵DE⊥BC于點(diǎn)E,DF⊥AB于點(diǎn)F,
∴∠CED=∠AFD=90°,
∵AB//CD,AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠C=∠A,
在△CDE和△ADF中,
∠C=∠A∠CED=∠AFDDE=DF,
∴△CDE≌△ADF(AAS),
∴CD=AD,
∴四邊形ABCD是菱形;
(2)解:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB=3,∠A+∠B=180°,
∵DE⊥BC于點(diǎn)E,DF⊥AB于點(diǎn)F,∠EDF=60°,
∴∠B=360°?60°?90°?90°=120°,
∴∠A=60°,∠ADF=30°,
∴AF=12AD=32,
∴DF=18.解:(1)如圖①,取格點(diǎn)F、G,連接FG交AB于點(diǎn)D,連接CD,
點(diǎn)D及△ACD就是所求的圖形.
理由:連接AF,則AF/?/BG,AF=BG,
∴∠AFD=∠BGD,
在△ADF和△BDG中,
∠AFD=∠BGD∠ADF=∠BDGAF=BG,
∴△ADF≌△BDG(AAS),
∴AD=BD=12AB;
(2)線段BC的垂直平分線MN,交BC于E,連接AE,線段AE即為所求;
理由:如圖②,過A作AH⊥BC于H,
∵M(jìn)N垂直平分BC,
∴BE=CE,
∵S△ABE=12BE?AH,S△ACH=12CE?AH,
∴S△ABE=S△ACE,
∴AE平分△ABC的面積.
(3)如圖③,取AB的中點(diǎn)D及格點(diǎn)K,連接CD、AK交于點(diǎn)F,連接BF,點(diǎn)F及△BCF就是所求的圖形.
理由:如圖①,∵△ADF≌△BDG,
∴FD=GD,
∴點(diǎn)D為格點(diǎn),
取格點(diǎn)I,連接DI,則DI//CK,
∴△DFI【解析】(1)根據(jù)三角形中線的定義畫出圖形即可;
(2)作線段BC的垂直平分線MN,交BC于E,連接AE即可;
(3)取格點(diǎn)D,作BC的垂直平分線交BC于K,連接AK,CD交于F,則S△FBC=19.解:(1)將點(diǎn)B(?3,0),C(0,?3)代入y=x2+bx+c,得c=?39?3b+c=0,
解得:b=2c=?3,
∴此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x?3;
(2)∵y=x2+2x?3=(x+1)2?4,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,?4),
分兩種情況:①當(dāng)P點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)時(shí),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?3+6=3,
∴m2+2m?3=3,
解得:m=?1+7或m=?1?7(舍去);
②當(dāng)P點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)時(shí),P【解析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可;
(2)分兩種情況:①①當(dāng)P點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)時(shí),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?3+6=3;②當(dāng)P點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)時(shí),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?4+6=2.根據(jù)題意,得出關(guān)于m的一元二次方程,根據(jù)解一元二次方程的方法,得出符合題意的m值即可.20.解:(1)由題意得BQ=m,BC=6,AC=8,PC=2BQ,
∴CQ=6?m,PC=2m,
∵△PCQ的面積為8,
∴12PC?CQ=8,即12×2m(6?m)=8,
解得:m1=2,m2=4,
∵0≤m≤4,
∴m的值為2或4.
(2)如圖,設(shè)PQ與BB′交于點(diǎn)D,
在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=82+62=10,
∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線PQ對稱,
∴PQ⊥BB′,BB′=2BD,∠BQB′=2∠BQD,
∵∠BQB′=2∠ABC,
∴∠BQD=∠ABC,
∴AB//PQ,
∴CPAC=CQBC,即2m8=6?m6,
∴m=125,
∵∠BDQ=∠ACB=90°,
∴△BQD∽△ABC,
∴BDAC=BQAB,即BD8=12510,
∴BD=4825,
∴BB′=9625.
(3)當(dāng)點(diǎn)B′落在四邊形PQMC的邊QM上時(shí),如圖,
則∠BQD=∠B′QD,BQ=B′Q,PQ⊥BB′,
∵四邊形PQMC是平行四邊形,
∴QM//PC,
∴∠CQM=∠ACB=90°,
∴∠BQB′=180°?∠CQM=90°,
∴∠BQD=∠B′QD=45°,
∴∠CQP=∠BQD=45°,
∴△CPQ是等腰直角三角形,
∴PC=CQ,即2m=6?m,
解得:m=2,
∴CQ=6?2=4,BQ=2,
∵△BQB′是等腰直角三角形,
∴BB′=2BQ=22,
∴CQBB′=422=2;
當(dāng)點(diǎn)B′落在四邊形PQMC的邊CM上時(shí),如圖,【解析】(1)根據(jù)三角形面積建立方程求解即可;
(2)
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