2023屆江西省九江市高三年級(jí)下冊(cè)高考數(shù)學(xué)（理）模擬考試試卷（含答案）

九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試題(理科)

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等內(nèi)容填寫在答題卡上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第H卷用黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.

第I卷(選擇題60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

/31

L已知復(fù)數(shù)Z滿足iz=[+2i,則Z2=(C)

173.1

A4.-+—ic回D.」+g

22222222

m15/3.i3

解：2=7-二-1，/.Z2=----1,故選C.

2222

2.已知集合A=B={Aly=ln(x-l)},則(C/)nB=(A)

A.(-1,0)B.(-℃,0)C.(-2,-1)D.(-oo,-l)

解:A={xlx<0},B=[x\-l<x<OBJCX>1),(CA)pS={xI-1<x<0},故選A.

RR

元+2y21

3.已知實(shí)數(shù)無,y滿足條件x-yWl,貝i|z=3x-4y的最大值為(D)

y-l<0

A.-7B.1

C.2D.3

x+2y>l

解:作出不等式組｛x-表示的平面區(qū)域，如圖所示，

y-l<0

平移直線/:3x-4y=0,當(dāng)過點(diǎn)4(1,0)時(shí)，z=3,故選D.

0max

4.已知命題pPxeR,x2+2x+2-a<0,若p為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(D)

A.(l,+°o)B.[1,+<?)C.(-oo,l)D.(-oo,l]

解:依題意，^A=4-4(2-?)<0,故選D.

8Q/T

5.已矢口sin^—coS/二看，0e(0,7i),則cos9=(B)

2Q2。11

A-丁B「丁C，3D--3

sin--cos—=^->0,J=L0e(0,TI),(sin--cos—)2=—,sin0=-,Qe(—,71),:.cos0=-^^.

223223323

故選B.

,oc4095

6.執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸入的是〃=LS=0,輸出的結(jié)果為

4096

則判斷框中“O”應(yīng)填入的是(C)

A.n<13B.n>12

C."<12D.n<11

解：執(zhí)行循環(huán)體后，當(dāng)〃=12時(shí)，5=1+J-+..1

?+—二

222212

4095皿a(J束)

=1-4096-故選C

7.已知變量的關(guān)系可以用模型y=ke，，，x擬合，設(shè)z=Iny,其變換后得到一組數(shù)

據(jù)如右.由上表可得線性回歸方程z=3x+a，則左=(B)X12345

A.e-3B.e-2C.e2D.e3Z2451014

解：由表格數(shù)據(jù)知：x=3,￡=7.由z=3x+a,得a=7_3x3=_2,

z=3x-2,z=Iny=Ink+mx=3x-2,：.lnk=-2,k=e-2,故選B.

8.如圖，正方體ABCO-ABCO的棱長為2,“是面3CC3內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),

lilt11

且則。M+MC的最小值為(C)4

1

A.R+2

c.72+76D.2

解:連接班),BC,DC,易知AC,平面BDC,

1111

Ai

:DMLAC,.1DW2平面BDC,即M在線段

11

BC上.將沿著BC展開，使得￡>,3,C,C；大一

1111

四點(diǎn)共面，則。M+="+故選C.

9.青花瓷又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下

彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為icm,瓷碗的軸截面可以近似看成是

拋物線，碗里不慎掉落一根質(zhì)地均勻、粗細(xì)相同長度為22cm的筷子，筷子的兩端緊貼瓷碗內(nèi)壁.若筷子

的中點(diǎn)離桌面的最小距離為7cm,則該拋物線的通徑長為(C)

解:如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為短=20；(0〉0),W二W

焦點(diǎn)廠(0,4),設(shè)A(x,y),8(x,y),1,

21122i

“叫=22,陷平個(gè)陽，7+%+K22,\，_一夕

設(shè)線段中點(diǎn)為則2y+p>22,由題意可知，y的最小值/

為6,；.12+p=22,p=10,.?.該拋物線的通徑長為2p=20,故選c.",

10.在△ABC中，三內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別是凡瓦c,已知+=a=3當(dāng)B取

cosAcosCcosB

最小值時(shí)，△ABC的面積為?

C.正D.272

sinAsinCsinB

解：由正弦定理得-----+-----=------,即tanA+tanC=tan5,tanA+tanC=-tan(A+C),

-cosAcosCcosB

tan4+tanC=_tanA+tanC...tanA+tanC0,tanAtanC=2,A,C為銳角.

1-tanAtanC

又tan5=tanA+tanC>2JtanAtanC=2版,即5取最小值時(shí)，tanB取最小值2J7,

止匕時(shí)tanA=tanC=JJ,△ABC為等腰三角形，c=a=^/3,sinB=,

]]_2/TL

/.S=-acsinB=_x73x^/3x_2_=,故選C.

/XABC2

Y2V2

11.已知雙曲線c：一一二=1(a,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為尸，/，M是雙曲線C左支上一點(diǎn),

a2b212

且NFMF=30°，點(diǎn)F關(guān)于直線MF對(duì)稱的點(diǎn)在y軸上，則C的離心率為(A)

1212

解:設(shè)點(diǎn)廠關(guān)于直線板對(duì)稱的點(diǎn)為P,連接Pb,則尸歹為正

三角形，/=30°.又/尸MF=30°,」MF1=2c

IMF1=2y/3c,由雙曲線的定義知2a=2A-2c,解得

1—巾+1

故選A.

4―0-12

12.設(shè)a=sin；,。=展一1,c=ln￡,則a,b,c的大小關(guān)系為(B)

44

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

解:將1用變量光替代，則。=5m了，b=e*-l,c=ln(x+l),其中xe(O,l),易證-1>x>sinx,

4

:.b>a令/(x)=sinx—ln(x+l),貝g/'(x)=cosx——^―,f\x)=-sinx+————,

x+1(X+1)2

易知/"(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，且/"(0)=1>0,/ff(l)=1-sinl<0,.-.Hre(0,1),使得〃。)=0,

4oo

當(dāng)X￡(O,X)時(shí)，f\x)>Q,廣(尤)單調(diào)遞增;當(dāng)X￡(%,1)時(shí),/〃(尤)<0,廣(元)單調(diào)遞減.

00

又/'(0)=0,/⑴=cosl—；>0,.?./'(x)>0,.?./(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，

/(%)>/(0)=0,即sinx>ln(x+l),:.a>c,

綜上，b>a>c,故選B.

第II卷(非選擇題90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22-23題為選考題,

學(xué)生根據(jù)要求作答.

二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(2+J7)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為60.

JC

r\2a32

解：(4+6)6展開式的通項(xiàng)為?「(一)6_(6),=26-?521),令工廠―6=0,得廠=4,故(—+6)6的

X6X62X

展開式中，常數(shù)項(xiàng)為26-4C4=60.

6

2兀

14.已知非零向量Q8滿足13=21加，且S—3〃)1=Q2,則d〃的夾角為行.

解：設(shè)向量〃b的夾角為。,?.?(b-3a)b=b2-3ab=〃2,:.\bh-6\b\2cos0=4b2,即00=-L,

.-.9=—.

3

71

15.函數(shù)/(x)=4sindx-lx-ll的所有零點(diǎn)之和為6.

7171

解：令/(x)=0,得4sin'%=lx-II,問題等價(jià)于函數(shù)，=45也2％與y=lx-ll圖象的所有交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)之和?兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，且有且僅有6個(gè)交點(diǎn)(x,y),(%,y)一??,(%,y),

112266

=3x2=6.

i

i-1

16.根據(jù)祖Bfi原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩

個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖1所示，一個(gè)容器是半徑為R的半球，另一個(gè)容器

是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等.若將這兩容

器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同.如圖2,一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為4cm,

高為10cm,里面注入高為1cm的水，將一個(gè)半徑為4cm的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端

解：設(shè)鐵球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為/i.由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等

于圓柱的體積，由圖1知相應(yīng)圓臺(tái)的體積加上球在水面下的部分體積也等于相應(yīng)圓柱的體積，故容器內(nèi)水

的體積等于相應(yīng)圓臺(tái)的體積?容器內(nèi)水的體積為丫卜=71X42X1=1671,相應(yīng)圓臺(tái)的體積為

水

4417、//7、64兀(4一0)3?！?4兀(4一力)3兀

X7ix42x4一一X71X(4—/l)2x(4—九)=------------,/.16兀=--------------,解得

33333

/2=4-^16=4-2^2?4-2x1.26=1.48cm.

三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

。IQ

已知公差不為零的等差數(shù)列｛。｝中，a+a=8,且a,a,a成等比數(shù)列，記b=(-—.

n152511naa

nn+\

⑴求｛aJ的通項(xiàng)公式；

⑵求｛d｝前〃項(xiàng)和的最值.

n

解：(1)<〃+。=8,/.a+2d=4...........2分

151

?：a,a成等比數(shù)列，:.a?=a-a,即(a+4d”=(a+d)?(a+10d),

25115211111

化簡(jiǎn)得—2d2=。,?4分

i

a+2d=4,a=2,(2=4,

或9=0；(舍去)………5分

由<'M解得i

aa-2a2=0,d—\

i

/.a=2+(〃-1)x1=〃+1..........6分

n2n_|_3

=(―1)?+13=(—])〃+ix(11

⑵由⑴可知b=(-l)?+i”+)7分

na-a(〃+1)?(〃+2)n+1〃+2

nn+1

設(shè)也｝的前〃項(xiàng)和為S,

nn

：.s=(i+[—J+L+(i+1)-…+(—i)“(i+1)+(—l)”+i(111+(—1"1

+)

"233445nn+1n+1〃+22n+2

..........8分

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，S=：+」，｛S｝單調(diào)遞減，＜S

9分

〃2n+2〃2〃i

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，=H｛SJ單調(diào)遞增，………】。分

他｝前〃項(xiàng)和的最大值為S=^+—=1,最小值為S=1--1—=1..........12分

?121+26222+24

18.（本小題滿分12分）

TT

如圖，在三棱柱ABC—ABC中，AC，平面ZABB=_,

iiiiii3

AB=1,AC=A4=2,。為棱88的中點(diǎn).

11

（1）求證：平面AC。；

11

（2）在棱BC上是否存在異于點(diǎn)3的一點(diǎn)E,使得DE與平面AC。所

11

71一一BE一

成的角為??？若存在，求出行的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

oBC

證明：（1）???AC，平面ADJ平面AABB,.?.AC,AO,

11工11

..........1分

-AC//ACfADIAC2分

iiii

兀兀7C

由已知得AB=BO=1,ZABD=_,：.ZADB=_,同理可得44。6=一.....3分

33116

八z

兀

ZADA=n-(ZADB+ZADB)=-,即.....4分

11121

又A￡)r|AC=A,AD,AC0平面AC。，AO_L平面

1111111H1111

兀

解：(2)連接AB,?.?/ABB=—，AB=1,BB=2,：.ABLAB,

ii3ii

AC,平面:.ACVAB,ACLAB...........6分

iii

以A為原點(diǎn)，AB,ACAB所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖空

1

間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0),5(1,0,0),C(0,2,0),7分

設(shè)Bi,則E（1-九,2九,。），岑）………8分

由⑴知平面qq。的一個(gè)法向量為A力=（；,0,唾）.....9分

1|X+1I]

；」cos<DE,AD>\=「2=_..........10分

一九）2+（2九）2+（—2^）2

3

化簡(jiǎn)得4九2-3九=0,解得入=二或九=0（舍去）.....11分

4

兀BE3

故在棱上存在異于點(diǎn)8的一點(diǎn)E,使得DE與平面AC。所成的角為L，且一大=二.....12分

1'6BC4

19.（本小題滿分12分）

現(xiàn)有編號(hào)為2至5號(hào)的黑色、紅色卡片各一張.從這8張卡片中隨機(jī)抽取三張，若抽取的三張卡片的編號(hào)

和等于10且顏色均相同，得2分；若抽取的三張卡片的編號(hào)和等于10但顏色不全相同，得1分；若抽取

的三張卡片的編號(hào)和不等于10,得0分.

（1）求隨機(jī)抽取三張卡片得0分的概率；

（2）現(xiàn)有甲、乙兩人從中各抽取三張卡片，且甲抽到了紅色3號(hào)卡片和紅色5號(hào)卡片，乙抽到了黑色2號(hào)

卡片，求兩人的得分和X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解:（1）三張卡片編號(hào)和等于10有3種可能，分別為：2+3+5,3+3+4,2+4+4.........1分

其中，三張卡片編號(hào)均不同的情況共有：N=23=8種.....2分

1

有兩張卡片編號(hào)相同的情況共有：%=2x2=4種………3分

設(shè)“隨機(jī)抽取三張卡片得分為。分”為事件A,，P（A）=1-P（Z）=1-婆=1-11=1-

C3561414

8

即隨機(jī)抽取三張卡片得0分的概率為!.....4分

14

（2）得分和X的可能值為0,1,2,3,4.....5分

①若X=4,則甲乙各得2分.

即甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），乙為2（黑）+3（黑）+5（黑），有1種情況.

1_1

P(X=4)=C1C2-306分

54

②若X=3,則甲得2分乙得1分.

即甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），乙為2（黑）+4（紅）+4（黑）有1種情況.

11

P(X=3)=7分

C1C230

54

③若X=2,則甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分.

若甲得2分乙得0分,則甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），對(duì)應(yīng)乙有4種情況;

若乙得2分甲得0分,則乙為2（黑）+3（黑）+5（黑），對(duì)應(yīng)甲有2種情況.

—4+261、

r（,A=切=-----=一=一.....8分

OC2305

54

④若x=l,則乙得1分甲得0分.

即乙為2（黑）+4（紅）+4（黑），對(duì)應(yīng)甲有2種情況.

22_1

P（X=1）=9分

C1C230-15

54

⑤若X=0,則甲和乙均得0分.

20.（本小題滿分12分）

X2V2/3

如圖,已知橢圓U布+五=1（.〉人°）的離心率為直線/與圓q：x2+A="相切于第一象限,

與橢圓c相交于A,8兩點(diǎn)，與圓Q：龍2+V=42相交于w,N兩點(diǎn)，\MN\=2>/3.

（D求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線/的方程.

解：（1）依題意得IAWI=2ja2—bz=2道,⑺—從=3..........1分

又02=b2+C2,；.C2=3,C=y/3..........2分

?：e=-=,:.a=2,b=l..........3分

a2

Y2

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+W=1..........4分

（2）解法一：依題意可設(shè)直線/的方程為y=kx+機(jī)（k<0,機(jī)〉0）,A（x,y）,B（x,y）,

1122

ImI

?.?直線/與圓C相切，=1,即機(jī)2=1+k2.........5分

1Jl）+%2

y=kx-\-m,

聯(lián)立方程組<消去y整理得（1+4左2）%2+8Qnx+4加2-4=。......6分

彳+產(chǎn)=1,

8km4機(jī)2—4

X+X=----------,XX=-----------7分

121+4左2121+4^2

S=—xlxIAB1=-J1+.2lx-%|=1J1+-2?/（x+x）2-4xx

△ObB22122、1212

1r—―/8km、.4m2-4251+左2.J一加2+1+4）2_253。2（1+12）

力-中p-4."9分

1+4左21+4左2

???3左2+（1+左2）2213左2（1+左2）,

即SMl10分

1+4左2△04B

當(dāng)且僅當(dāng)左=-半時(shí)取等號(hào)

11分

..?直線/的方程為y=—+當(dāng)，即x+—番=0

12分

解法二依題意知直線/的斜率存在，設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(口。)(°<W0<1),R'),8心?

?.?直線。尸的斜率為學(xué)，OP，/,...直線/的方程為》一天=一去(無一無0),

0,0

又TX2+V2=1%x+yV=1

^^00005分

xx+yy=L

o0

聯(lián)立方程X2消去y整理得(4x2+y2)x2-%x+4-4y2=06分

+丁2=1,

~4

8%4-4y2

X+X=----0——xx=------o_7分

124%2+y2124%2+y2

0000

+y八2)_4y/3jx2(l-x2)

味-%上"儲(chǔ)+4)2—招&=y

3x2+1'

000

1114nliL.1LX2xj)_2y/^x

:.S=_xlxIAB\=—-1+-0-lx-xl=—?1+f3x2+13x2+19分

/XOAB22\y2122\y2

Vo1ooo

10分

o

當(dāng)且僅當(dāng)X=*,y=更時(shí)取等號(hào)

11分

03o3

，直線/的方程為x+y=1,即x+5/Jy-5/T=012分

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=e、-a%2(〃￡R),g(x)=x-l.

⑴若直線>=g(x)與曲線y=/(x)相切，求。的值；

⑵用min3,〃｝表示加,”中的最小值，討論函數(shù)/z(x)=min｛/(x),g(x)｝的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：⑴設(shè)切點(diǎn)為(x4),?/f'M=e.v-2ax,f'(x)=e<0-lax1分

00o0

ex0-2ax=1,

o(*)2分

ex-ax2=x-1,

o00

消去。整理，得(e%+l)(x-2)=0,二x=23分

00

e2-1

a=-----4分

4

⑵①當(dāng)xe(—oo,l)時(shí)，g(x)<0,/i(x)=min{/(x),g(x)}Wg(x)<0,,/?。)在(一00,1)上無零點(diǎn)

.....5分

②當(dāng)x=l時(shí)，g(D=0,〃l)=e-

若〃We,/⑴20,此時(shí)/z(x)=g⑴=0,%=1是力(無)的一個(gè)零點(diǎn),

若a>e,/(1)<0,此時(shí)力(％)=/(1)<0,無=1不是力(無)的零點(diǎn)……6分

③當(dāng)尤e(l,+?)時(shí),g(x)>0,此時(shí)以無)的零點(diǎn)即為〃x)的零點(diǎn).

口,OxLIx(x—2)0x

令/(X)=口工-0X2=0,得。=一，令(p(x)=一,則(p(x)=--------,

X2X2X3

,

當(dāng)l<x<2時(shí)，(p(x)<0:當(dāng)x〉2時(shí)，(p'(x)>0,在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)xf+00時(shí)，(p(x)—+<?......7分

02

(i)若?！窗?),即a<時(shí),/(x)在(1,+8)上無零點(diǎn)，即依無)在(L+oo)上無零點(diǎn).....8分

4

e2

(近)若。=中(2),即。=4時(shí)，/(X)在(1,+8)上有一個(gè)零點(diǎn)，即皿>)在(1,+8)上有一個(gè)零點(diǎn)

.....9分

02

(iii)若(p(2)<a<(p⑴，即又<a<e時(shí)，/(x)在(l,+oo)上有兩個(gè)零點(diǎn)，即6(x)在(1,+8)上有兩個(gè)零

點(diǎn).....10分

(iv)若a2(p(l),即a2e時(shí)，/(x)在(1,+8)上有一個(gè)零點(diǎn)，即/z(x)在(1,+8)上有一個(gè)零點(diǎn)

.....11分

n2n2

綜上所述，當(dāng)a〈一或。>口時(shí)，%(x)在R上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)。=二或。=口時(shí)，%(x)在R上有兩個(gè)零

44

口2

點(diǎn)；當(dāng)一<a<口時(shí),例>)在R上有三個(gè)零點(diǎn).....12分

4

請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.(本小題滿分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

一JQ—___1__

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/的方程為冉+嫄曠+1=0,曲線C的參數(shù)方程為,-cosa(a為

y-tana

參數(shù)).以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線I的極坐標(biāo)方程和曲線c的普通方程；

⑵設(shè)直線丁=依(左〉0)與曲線C相交于點(diǎn)A6,與直線/相交于點(diǎn)C,求2—屋j—的

依|2I0BI2\OC\2

最大值.

角軍：(1)令*=pcosO,y=psin0,cos0+V2psin0+1=0,

,J21

即直線l的極坐標(biāo)方程為P=-——，即P=------------.........2分

2(sm0+cos0)2sin(0+71)

11sin2a，-

?.?--------tan2a=------------------=1,%2一產(chǎn)=1,

cos2acos2acos2a

即曲線。的普通方程為X2-y2=l5分

兀

（2）解法一：直線>=立（左>0）的極坐標(biāo)方程為e=a（0<a<_）.....6分

兀

設(shè)Aja),則㈣,…)，C(Pd+a)(0<aj),

11

曲線C的極坐標(biāo)方程為P2=g'五五

L_+_L_=±+±=2cos2a

7分

10412\OBVp2p2

I2

①1=]=2(sincx+cosoc)2=2+2sin2a

又P3=8分

2(sina+cosa)\OC\2p2

3

111

--------+---------+------=--2-+2cos2a+2sin2a=2+2^2sin(2a+；)9分

IOAI2IOB|2IOC|2

—!—+—!—+—!—的最大值為2+2J2