東北三省三校2025屆高三數(shù)學(xué)（文）第三次模擬考試試題（含解析）

東北三省三校2025屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬考試試題文(含解析)

第I卷(共60分)

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={久62|工241},F=則4cB=()

A.{-1,1}B.{0}C.{-1,0,1}D.[-1,1]

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出集合4然后再求出4cB即可.

【詳解】：4=概62|/41}={—1,0,1},B=[-1,0,1,2},

故選C.

【點(diǎn)睛】解答集合運(yùn)算的問題時(shí)，首先要分清所給的集合是用列舉法還是用描述法表示的，

對于用描述法表示的集合，在運(yùn)算時(shí)肯定要把握準(zhǔn)集合中元素的特征.

2.z=(l-i)(2+i),則團(tuán)=()

A.回B.#C.書D.隹

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則綻開，再求模即可.

【詳解】2=(1-。(2+，)=3-力所以同=回，故答案A

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和求模，基礎(chǔ)題.

3.已知向量港的夾角為60。，向=2,曲=4,則位一五」=()

A.-16B.-13C.-12D.-10

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和數(shù)量積的定義求解即可得到答案.

【詳解】.向量2萬的夾角為60°，向=2,西=4,

.,.at）—|a|'\f>\-cos60°=2x4x；=4,

??（a—方）.方=a,b—方2=4—16=—12.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，解題時(shí)依據(jù)運(yùn)算律和定義求解即可，屬于基礎(chǔ)題.

xv

4.已知雙曲線點(diǎn)一?=l（a>0力>0）的離心率為2,則其漸近線方程為（）

a

A.y=+—%B.y=+—xC.y—+xD.

y=+yj3x

【答案】D

【解析】

【分析】

I2_i2IJ~2>

由離心率為2可得￡=上工=l-f=2,于是得-=3，由此可得漸近線的方程.

aaJa

/v?b

【詳解】由7-看=0得y=±T,即為雙曲線的漸近線方程.

a2b2a

?.?雙曲線的離心率為2,

>?—―--------------------1+^=2,解得-=平,

aaaa

；?雙曲線的漸近線方程為丫=士?.

故選D

【點(diǎn)睛】解題時(shí)留意兩點(diǎn)：一是如何依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出漸近線的方程；二是要依據(jù)

離心率得到9=戶.考查雙曲線的基本性質(zhì)和轉(zhuǎn)化、計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

a

5.等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)和均為正數(shù)，。1=1,%+。2+。3=7,則。3+。4+。5=（）

A.14B.21C.28D.63

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)題中的條件求出等比數(shù)列的公比q,再依據(jù)。3+。4+&=（%+?2+。3）/即可得到所求.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

：%=1,+a2+a3=7,

%（1+q+q2）=l+q+q2=7,

即q2+q-6=0，解得q=2或q=-3,

又4>o，

q=2,

2

/.a3+a4+as=q（a1+a2+a3）=4x7=28.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算，解題時(shí)留意將問題轉(zhuǎn)化為基本量（首項(xiàng)和公比）的運(yùn)

算，另外解題時(shí)還需留意數(shù)列中項(xiàng)之間性質(zhì)的敏捷應(yīng)用，以削減計(jì)算量、提高解題的效率.

6.^-np^p-.VxeR,X3-X2+1<0>則~1「為（）

A.3%GR,X3-X2+1>0B.VxGR,X3-X2+1>0

C.BxGR,X3-X2+1<0D.VxGR,X3-X2+1>0

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)含有量詞的命題的否定的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】.命題p：VxeR,x3-工2+130,

二中為:3x6R,X3-X2+1>0.

故選A.

【點(diǎn)睛】對含有存在（全稱）量詞的命題進(jìn)行否定須要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全

稱（存在）量詞；②將結(jié)論加以否定.

7.如圖，直角梯形4BCD中，乙4BC=90°，AB^AD=1,BC=強(qiáng)在邊4。上任取點(diǎn)E,連BE交

AC于點(diǎn)F,貝的概率為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由相像三角形求出AE的長，利用幾何概型概率計(jì)算公式求解即可.

【詳解】由已知三角形ABC為直角三角形，AB=1,BC=力可得AC=2.

13AEBC絲=坦Q

當(dāng)=6時(shí)，CF='因?yàn)?CFB所以啟=亍即13,所以4E=上，且點(diǎn)E的活

22AFCF--3

22

10

動(dòng)區(qū)域?yàn)榫€段AD,AD=1.所以的概率為3書

Z—=—

13

故答案為B.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的“長度”之比，基礎(chǔ)題.

8.運(yùn)行程序框圖，假如輸入某個(gè)正數(shù)n后，輸出的s6（20,50）,那么n的值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

依次運(yùn)行框圖中給出的程序，依據(jù)輸出結(jié)果所在的范圍來推斷圖中兀的值.

【詳解】依次運(yùn)行框圖中的程序，可得：

第一次：s=1+3x0=l,k=2；

其次次：s=l+3x1=4,=3；

第三次：s=1+3X4=13,k=4；

第四次：s=l+3xl3=40#=5；

第五次：5=1+3x40=121,k—6；

因?yàn)檩敵龅腟C(20,50),

所以程序運(yùn)行完第四次即可滿意題意，所以推斷框中兀的值為4.

故選B.

【點(diǎn)睛】程序框圖的補(bǔ)全及逆向求解問題思路：①先假設(shè)參數(shù)的推斷條件滿意或不滿意；②

運(yùn)行循環(huán)結(jié)構(gòu)，始終到運(yùn)行結(jié)果與題目要求的輸出結(jié)果相同為止；③依據(jù)此時(shí)各個(gè)變量的值,

補(bǔ)全程序框圖.此類試題要求學(xué)生要有比較扎實(shí)的算法初步的基本學(xué)問，以及綜合分析問題

和解決問題的實(shí)力，要求較高，屬中檔題.

9.已知四面體4BCD中，平面ABDI平面BCD,A4BD為邊長2的等邊三角形，BD=DC,

BDLDC,則四面體4BCD的體積為（）

2J344J3「

A.，B.-C.1D.2J3

333"

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用面面垂直求出四面體的高，因?yàn)锳BCD是等腰直角三角形易求面積,利用三棱錐的體積公

式即得.

【詳解】解:取BD中點(diǎn)此因?yàn)?43。為邊長2的等邊三角形,所以4時(shí)_1.8。,且/1"=力.

又因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD且交線為BD,所以4M±平面BCD,而且ABCD是等腰直角三角形,且

面積為2,所以囁_88=1x2x的=可,故答案為A.

【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的性質(zhì),錐體體積的運(yùn)算,基礎(chǔ)題.

10.一項(xiàng)針對都市熟男（三線以上城市，30?50歲男性）消費(fèi)水平的調(diào)查顯示，對于最近一年

內(nèi)是否購買過以下七類高價(jià)商品，全體被調(diào)查者，以及其中包括的1980年及以后誕生（80后）

被調(diào)查者，1980年以前誕生（80前）被調(diào)查者回答“是”的比例分別如下：

全體被調(diào)查者80后被調(diào)查者80前被調(diào)查者

電子產(chǎn)品56.9%66.0%48.5%

服裝23.0%24.9%21.2%

手表14.3%19.4%9.7%

運(yùn)動(dòng)、戶外用品10.4%11.1%9.7%

珠寶首飾8.6%10.8%6.5%

箱包8.1%11.3%5.1%

個(gè)護(hù)與化妝品6.6%6.0%7.2%

以上皆無25.3%17.9%32.1%

依據(jù)表格中數(shù)據(jù)推斷，以下分析錯(cuò)誤是（）

A.都市熟男購買比例最高的高價(jià)商品是電子產(chǎn)品

B.從整體上看，80后購買價(jià)商品的意愿于80前

C.80前超過3成一年內(nèi)從未購買過表格中七類高價(jià)商品

D.被調(diào)查的都市熟男中80后人數(shù)與80前人數(shù)的比例大約為2:1

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)表格中給出的信息，對四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、推斷后可得答案.

【詳解】對于選項(xiàng)A,從表中的數(shù)據(jù)可得都市熟男購買電子產(chǎn)品的比例為56.9%,為最高值，

所以A正確.

對于選項(xiàng)B,從表中后兩列的數(shù)據(jù)可看出，前6項(xiàng)的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，

所以B正確.

對于選項(xiàng)C,從表中的最終一列可看出，80前一年內(nèi)從未購買過表格中七類高價(jià)商品的比例

為32.1%,約為3成，所以C正確.

對于選項(xiàng)D,依據(jù)表中數(shù)據(jù)不能得到被調(diào)查的都市熟男中80后人數(shù)與80前人數(shù)的比例，所以

D不正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用和閱讀理解實(shí)力，解題的關(guān)鍵是讀懂表中數(shù)據(jù)的意義，然

后結(jié)合所求進(jìn)行分析、推斷，屬于基礎(chǔ)題.

11.橢圓一+/=1上存在兩點(diǎn)，4月關(guān)于直線軌-2y-3=0對稱，若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，^\\OA+OB\=

4

A.1B.V3C.衽D."

【答案】C

【解析】

【分析】

1

由題意設(shè)直線ZB的方程為y=-，久+m,與橢圓方程聯(lián)立后求得到點(diǎn)4B的坐標(biāo)與參數(shù)m的關(guān)

系，然后依據(jù)4B的中點(diǎn)在直線4久-2y-3=0上求出參數(shù)m的值，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而

得到向量力4+而的坐標(biāo)，于是可得結(jié)果.

【詳解】由題意直線與直線4%-2y-3=0垂直，設(shè)直線的方程為y=-3+m.

1

ly=—x4-m

由）22消去y整理得+2m2—2=0，

x

—+y7=1

4，

??,直線AB與橢圓交于兩點(diǎn)，

***A=（―2m）2—4（2m2-2）=—4m2+8>0，解得一但<m<隹.

設(shè)4（第1必）四第2必），45的中點(diǎn)為“（％%））,

則第1+%2=2m,

.乙+%21m

%0=---=m,y0=--x0+m=-f

771

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（犯萬）.

由題意得點(diǎn)M在直線4%-2y-3=0上，

m“r

4m—2x—■-3=3m-3=0,解得m=l.

x

/.xx+x2=2,為+y2=-1（工i+2）+2m=1，

：.\OA+OB\=強(qiáng)

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是得到直線4B的方程.其中題中的對

稱是解題的突破口，對于此類問題要留意兩對稱點(diǎn)的連線與對稱軸垂直、兩對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在

對稱軸上，解題是要留意這兩點(diǎn)的運(yùn)用，屬于中檔題.

12.如圖，直角梯形ABCD,乙4BC=90°，CD=2,4B=BC=1,E是邊CD中點(diǎn)，AADE沿AE翻

折成四棱錐D'-4BCE，則點(diǎn)C到平面4BD'距離的最大值為（）

A.-B.巫C.四D.1

223

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意得在四棱錐。'一4BCE中4E1平面O'CE.作D,MJ.CE于M，作MNJ.4B于N,連D,N,可證

得4B1平面D,MN.然后作MH_Ln,N于“，可得MH即為點(diǎn)C到平面4B。'的距離.在AD,MN中，

依據(jù)等面積法求出MH的表達(dá)式，再依據(jù)基本不等式求解可得結(jié)果.

【詳解】由翻折過程可得，在如圖所示的四棱錐D'-ABCE中，底面4BCE為邊長是1的正方形,

側(cè)面D,EA中，DELAE,且D'E=4E=1.

\'AE1DE^E1CE,DEaCE=E,

J.平面D,CE.

作?！甅J.CE于M,作MNJ.4B于N,連￡)'N,

則由4E1平面D'CE,可得￡)'M_L4E,

/.D'M±平面4BCE.

又ABu平面ABCE,

DMLAB.

"：MNLAB,DMC\MN=M,

.?.AB±平面D'MM

在AD,MN中，作MH_LD‘N于H,則MH1平面ZB。'.

又由題意可得CE||平面48。'，

MH即為點(diǎn)C到平面AB。'的距離.

在RtAD’MN中，DM1MN,MN=1，

設(shè)D'M=工，則0<X4D'E=1，

2

：.DN=^+x.

由D'M.MN=DN-MH可得X=Jl+x2-MH,

x1業(yè)

MH=,==,<—

J1+/I￡2,當(dāng)X=1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)D'E_L平面ABCE,

綜上可得點(diǎn)C到平面4BD'距離的最大值為四.

2

故選B.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查立體幾何中的線面關(guān)系和點(diǎn)面距的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出表示點(diǎn)面

距的垂線段，另外依據(jù)線面平行將所求距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化也是解答本題的關(guān)鍵.在求得點(diǎn)面距的

表達(dá)式后再運(yùn)用基本不等式求解，此時(shí)須要留意等號(hào)成立的條件，本題難度較大.

第n卷（共90分）

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.已知等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S”，且54=24,a8=17,則S&=.

【答案】80

【解析】

【分析】

解方程組求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差后再依據(jù)前n項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

由題意得心;2,解得

—4al+ba—Z4|d=2

/.S8—8al+28d=8x3+28x2—80.

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中的基本運(yùn)算，解題時(shí)留意方程思想的運(yùn)用，同時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為

等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差的問題是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.函數(shù)y=sin^a>x+3(3eN*)的一條對稱軸x=則3的最小值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

依據(jù)題意得到?+g=g+/OT,k6Z,進(jìn)而得3=2+6匕k￡Z,最終依據(jù)題中的要求得到答案.

662

【詳解】?.,函數(shù)y=s網(wǎng)3K+GN")的一條對稱軸％=

3=2+6k,kEZf

又3￡N*,

的最小值為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=As加⑷無+。的性質(zhì)，解題時(shí)要把3久+@作為一個(gè)整體，然后再結(jié)

合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解，同時(shí)還應(yīng)留意43的符號(hào)對結(jié)果的影響，屬于中檔題.

15.若函數(shù)f(x)=::|g在(-8,+8)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是.

【答案】(0,3]

【解析】

【分析】

由題意依據(jù)函數(shù)y=mx+m-l在區(qū)間(-8,0)上為增函數(shù)及分段函數(shù)的特征，可求得m的取值范

圍.

【詳解】???函數(shù)八乃=12：+匕，：/在(_7+8)上單調(diào)遞增，

(nrx十Tn~~A.、u

函數(shù)y=mx+m-l在區(qū)間(一8,0)上為增函數(shù)，

—=2,解得。<”3,

實(shí)數(shù)m取值范圍是(0,斗

故答案為：(0,3].

【點(diǎn)睛】解答此類問題時(shí)要留意兩點(diǎn)：一是依據(jù)函數(shù)八久)在(-8,+8)上單調(diào)遞增得到在定義域

的每一個(gè)區(qū)間上函數(shù)都要遞增；二是要留意在分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，這一點(diǎn)簡單忽視，

屬于中檔題.

16.已知/1（町=萬一+b,9（￡）=產(chǎn)（均—1，其中a^0,c>0,則下列推斷正確是

x+c

.（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

①f（x）關(guān)于點(diǎn)（01）成中心對稱；

②f乃（在（0,+8）上單調(diào)遞增；

③存在M>0,使|/（幻|WM；

④若g（x）有零點(diǎn)，貝帥=0;

⑤9（?=0的解集可能為{L-L2,-2}.

【答案】①③⑤

【解析】

【分析】

ax

對于①，依據(jù)函數(shù)y=w—（。工0）為奇函數(shù)并結(jié)合函數(shù)圖象的平移可得正確.對于②，分析

x+c

可得當(dāng)Q>O,C>O時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（血+8）上單調(diào)遞減，故不正確.對于③，由

_ax_a=\a\<\a\=\a]_。比

777—一c,可得但一二^一麗一藤，從而得1人工）1=1^—+”

x+-\x\+1-|/+c

XX

W/+內(nèi)，可得結(jié)果成立.對于④，依據(jù)③中的函數(shù)的值域可得6Ko時(shí)方程也有解.對于

⑤，分析可得當(dāng)。=3￡=2/=0時(shí)滿意條件，由此可得⑤正確.

ax

【詳解】對于①，令y=w一（a井0）,則該函數(shù)的定義域?yàn)镽,且函數(shù)為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)

X+C

a%

于原點(diǎn)（0,0）對稱.又函數(shù)y=的圖象是由y=-^—（a*0）的圖象向上或向下平移網(wǎng)個(gè)單位

X+C

而得到的，所以函數(shù)y=f（為圖象的對稱中心為（06），故①正確.

axa

v=-----=-----c,

對于②，當(dāng)％>0時(shí)，x2+c,若Q>0,C>0,則函數(shù)y=%+-在（0,代）上單調(diào)遞減,

c%+-x

x

所以函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增；函數(shù)y=x+：在（a,+8）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)了=〃為單調(diào)遞

減.故②不正確.

axa

CLXv------=-----

對于③，令y=~3——（。工°），則當(dāng)》工。時(shí)，x2+cc,

/+c汽+一

x

心=，'麗寺

X

所以收),百ax十。閆亦ax,八學(xué)lai+凡

lai

令M—=+1^1，則|/(x)|WM成立.故③正確.

(2X

對于④，若9(乃有零點(diǎn)，則g(x)=尸(久)—1=0，得f(*)=±1,從而得方---+b=±1,

X+C

故￡^=一^±1'結(jié)合③可得當(dāng)9(乃有零點(diǎn)時(shí)，只需1-b±l|3之即可，而b不肯定為零.故

④不正確.

axax

對于⑤，由9(町=產(chǎn)(久)一1=0，得/'(%)=三一+b=±1.取6=0,則萬一=1,整理得

X+CX+C

ax

x2-ax+c=0-當(dāng)a=3,c=2時(shí)，方程了?一3久+2=0的兩根為*=1或x=2.又函數(shù)了=方---為

x+c

奇函數(shù)，故方程的解集為門廠1,2,-2}.故⑤正確.

綜上可得①③⑤正確.

故答案為：①③⑤

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用及命題真假的判定，解題時(shí)要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)的零

點(diǎn)狀況進(jìn)行分析，留意干脆推理的應(yīng)用，同時(shí)在推斷命題的真假時(shí)還要留意舉反例的方法的

運(yùn)用，難度較大.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.在A4BC中，2.sinA-sinB(l—tanA-tanB)=tanAtanB.

(I)求/C的大??；

(II)求V^sin/l-cosB的取值范圍.

【答案】⑴手(II)卜粉

【解析】

【分析】

(I)將切函數(shù)化為弦函數(shù)，整理后兩邊約掉sinAsEB,然后逆用兩角和的余弦公式得到

Tl27r7T

cos(A+=-,于是4+8=§,從而(II)將B=§-4代入所求值的式子后化簡得

^sinA-cosB=sin(A-^\f然后再結(jié)合4的范圍得到所求.

sinAsinB、sinAsinB

【詳解】(I)1--------?---—----,,

cosAcosB,cosAcosB

VsinAsinB00,

2,(cosAcosB—sinAsinB)=2cos(/+=1,

1

cos(/+

?:0<A+BV77,

71

/.4+B=—,

3

27r

???C=—,

3

71

(II)由(I)得8=§—4,

+gsinA

/.psinA—cosB=^sinA—cos^—A^=y/3sinA—

1/7T\

=——sinA-cosA=sin[A—U

226,

7T

V0<<-,

3

7171Tl

?—<A—<~,

666

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的三角變換問題，解題時(shí)留意三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，同時(shí)要

留意三角變換公式的合理應(yīng)用.對于求范圍或最值的問題，一般還是要以三角函數(shù)為工具進(jìn)

行求解，解題時(shí)須要確定角的范圍.

18.如圖四棱錐P-4BCD中，PAJ.底面4BCD,A4CD是邊長為2的等邊三角形，且4B=8C=亞,

PA=2.

c

(I)求證：平面H4C_L平面PBD;

(ID若點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，求直線PD與BM所成角的余弦值.

【答案】(I)證明見解析；(II)匕史.

4

【解析】

【分析】

(I)先證出BDJ■平面P4C,再利用面面垂直的判定定理即可.

(II)取CD中點(diǎn)N,連接MN,BN,則MN//PD,可得/BMN或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.

在ABMN中利用余弦定理求解即可.

【詳解】(I)證明："PAL^ABCD,PA±BD

取AC中點(diǎn)。，連接。B,。。，貝IJ4CJ.OB,ACJ.。。，

???點(diǎn)。方刀共線，即4CJ.BD

y."PActAC-A,.?.BD1平面PAC

???BOu平面PBD,平面P4CJ,平面PBD

(II)解：取CD中點(diǎn)N,連接MN,BN,則MN〃PD

??.NBMN或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角

RtAPAD中，PA=AD=2,:.PD=2也,即MN=M

RtAMOB中，MO-OB=1,BM=^2.

△BDN中，BD=V3+1,DN=1,4BDN=30°，由余弦定理得

BN2=BD2+DN2-2BD-DN-cos30°=2+#

BM2+MN2-BN22+2—(2+遂)2-J3

△BMN中，COSABMN=-----------------------=---------d_?=—匚

2-BM-MN2x72xV24

所以直線PD與所成角的余弦值為少.

4

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直性質(zhì)定理，判定定理，面面垂直的判定定理,異面直線所成的角的

作法及運(yùn)算,基礎(chǔ)題.

19.現(xiàn)代社會(huì)，“鼠標(biāo)手”已成為常見病，一次試驗(yàn)中，10名試驗(yàn)對象進(jìn)行160分鐘的連續(xù)鼠

標(biāo)點(diǎn)擊嬉戲，每位試驗(yàn)對象完成的嬉戲關(guān)卡一樣，鼠標(biāo)點(diǎn)擊頻率平均為180次/分鐘，試驗(yàn)探

討人員測試了試驗(yàn)對象運(yùn)用鼠標(biāo)前后的握力改變，前臂表面肌電頻率(sEMG)等指標(biāo).

(I)10名試驗(yàn)對象試驗(yàn)前、后握力(單位：N)測試結(jié)果如下：

試驗(yàn)前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376

試驗(yàn)后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361

完成莖葉圖，并計(jì)算試驗(yàn)后握力平均值比試驗(yàn)前握力的平均值下降了多少N?

_實(shí)驗(yàn)的I一|實(shí)驗(yàn)后

31

32

33

34

35

36

-371

(II)試驗(yàn)過程中測得時(shí)間t(分)與10名試驗(yàn)對象前臂表面肌電頻率(sEMG)的中的位數(shù)y

(Hz)的九組對應(yīng)數(shù)據(jù)(t,y)為。87),(20,84),(40,86),(60,79%(80,78),

(100,78),(120,76),(140,77),(160,75).建立y關(guān)于時(shí)間珀勺線性回來方程；

(III)若肌肉肌電水平顯著下降，提示肌肉明顯進(jìn)入疲憊狀態(tài)，依據(jù)(II)中9組數(shù)據(jù)分析，

運(yùn)用鼠標(biāo)多少分鐘就該進(jìn)行休息了？

9

參考數(shù)據(jù)：^(t-t)(y-y)=-1800；

i=l

參考公式：回來方程夕=加+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

n

bA=-i=--1----------,八a=一y—bt

nJ

i=l

【答案】(I)莖葉圖見解析，30N；(II)y=-0.075t+86；(III)60分鐘.

【解析】

【分析】

(I)結(jié)合所給數(shù)據(jù)可得莖葉圖；分別求出試驗(yàn)前、后握力的平均數(shù)后比較可得結(jié)果.(II)

依據(jù)所給公式并結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)可得b=-0.075/=86,于是可得線性回來方程.(III)分

析九組數(shù)據(jù)可得，在40分鐘到60分鐘y的下降幅度最大，由此可得結(jié)論.

【詳解】(I)依據(jù)題意得到莖葉圖如下圖所示：

實(shí)驗(yàn)前〃賣臉后"

313

32124

330246

6343~

8735OP

422036IP

632.'37

由圖中數(shù)據(jù)可得

_1

x2=—x(346+357+358+360+362+362+364+372+373+376)=363,

11

x2=—x(313+321+322+324+330+332+334+343+350+361)=333,

x1—x2—363—333=30(N),

???故試驗(yàn)前后握力的平均值下降30M

(II)由題意得亍=1(0+20+40+60+80+100+120+140+160)=80,

y=|(87+84+86+79+78+78+76+77+75)=80,

9

=(0-80)2+(20-80)2+(40-80)2+(60-80)2+(80-80)2

1=1

2

+(100-80)+(120—80)2+(140—80)2+(160—80)2=24000，

9

又2佗-1)(%-歹)=—1800,

1=1

9

占-1800

b=-------------=------=-0.075,

924000

》產(chǎn))2

1=1

a=y—bt=80—(—0.075)x80=86,

關(guān)于時(shí)間t的線性回來方程為夕=-0.075t+86.

(Ill)九組數(shù)據(jù)中40分鐘到60分鐘y的下降幅度最大，提示60分鐘時(shí)肌肉已經(jīng)進(jìn)入疲憊狀

態(tài)，

故運(yùn)用鼠標(biāo)60分鐘就該休息了.

【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的基本問題，即數(shù)據(jù)的整理、分析和應(yīng)用，解題時(shí)由于涉及到大量的

計(jì)算，所以在解題時(shí)要留意計(jì)算的合理性和精確性，同時(shí)要充分利用條件中給出的中間數(shù)據(jù),

屬于中檔題.

20.拋物線工2=句的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為Z,若4為拋物線上第■象限的■動(dòng)點(diǎn)，過尸作4F的垂線交

準(zhǔn)線2于點(diǎn)B,交拋物線于M,N兩點(diǎn).

(I)求證：直線4B與拋物線相切；

(II)若點(diǎn)4滿意AMJ.AN,求此時(shí)點(diǎn)4的坐標(biāo).

【答案】⑴證明見解析；(II)4(2展).

【解析】

【分析】

(1，設(shè)出:^打乂殉〉。,義)>。)，由此可得直線4?的斜率，進(jìn)而得到直線2尸的斜率，由止匕得到

x0

BF的方程為y=；—X+1,令y=-l可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，于是可得直線4B的斜率.然后再由導(dǎo)數(shù)

i-y0

的幾何意義得到在點(diǎn)A處的切線的斜率，比較后可得結(jié)論.(II)由(I)知4(%%)，直線MN

的方程為"=一支+1,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后得到二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)

1-y0

系及4MJ.AN可求得點(diǎn)A的坐標(biāo).

【詳解】(I)由題意得焦點(diǎn)F(0,l).設(shè)傳Mo)Go>0%>O)，

直線4F的斜率為電

%

%

由已知直線BF斜率存在，且直線的方程為"=一支+1,

i-y0

人.'曰2(70-1)

令y=-L得無=------

2（5）

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（」一,-1）,

%

域

%o(丁+1)

即+1%+1q%o

直線AB的斜率為一-——-

2仇—1）2(70-1)7)2

2

%0---X-Q----------------%-2彳T

%0%

即拋物線在點(diǎn)A處的切線的斜率嗎,

???直線4B與拋物線相切.

Xo

（II）由（I）知4（久0，丫0），直線MN的方程為y=-——-.X+1,

1-y0

x2=4y

4々)

由xo,［消去y整理得M------x—4=0,

y=------x+11一%

i-y。

設(shè)M(x”當(dāng)),N(久〃及)，

4久。

貝！|久］+*2=彳--->xlx2=-4.

22

勺%0

由題意得直線AM的斜率為>1-丫0彳彳x1+x0,

,y__-y■y____-yA.

人1人0人1人f)*

22

X2XQ

直線AN的斜率為%-y（）彳-7*2+與，

■y■y-y~yA,

xA

“20”20一

,：AMLAN,

.xi+xo々+xo

-1,

44

2

/.(久1+x0)(x2+%0)=Xt%2+Xo(%1+X2)+x0=-16,

4Ko

-4+XQ?+=-16,

1一%

整理得丫（）2_2%-3=0,

解得y0=3或％=-1.

,?,y0>°，

=3,

又。>0,且而2=12,

存在4(2點(diǎn),3),使得4M1AN.

【點(diǎn)睛】解答本題時(shí)要留意以下幾點(diǎn)：(1)題中所須要的點(diǎn)的產(chǎn)生的方法，即由線與線相交

產(chǎn)生點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)留意將問題合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如依據(jù)線的垂直可得斜率的關(guān)系；(3)由于

解題中要涉及到大量的計(jì)算，所以在解題中要留意計(jì)算的合理性，通過利用拋物線方程進(jìn)行

曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化、利用“設(shè)而不求”、“整體代換”等方法進(jìn)行求解.

,,_1+Inxk

21.已知函數(shù)/~(x)=x]—-.

(I)當(dāng)卜=0時(shí)，求函數(shù)八乃的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/■㈤>0對隨意的x6(1,+8)恒成立,求整數(shù)k的最大值.

【答案】⑴f(x)的減區(qū)間為(0,1),(1,+8),無增區(qū)間；(H)3.

【解析】

【分析】

(I)利用二次求導(dǎo)即得.

(II)先分別參數(shù)得到k<%(1+lnX\x>1)令h(町=%(1+lnX\通過二次求導(dǎo)和零點(diǎn)存在性定理

x-1、)''x-1

確定零點(diǎn)所在區(qū)間及整數(shù)k的最大值.

【詳解】(I)/(%)的定義域?yàn)?0,l)u(l,+8)

1,

---Inx

當(dāng)k=0時(shí)，>x

f(x)=-----r

(xT)

1r1—X

令g(》)=――一"％，gg=^~

X

x6(04),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增

XE(1,+oo),g\x)<0，g(x)單調(diào)遞減

9(無*5=9(1)=_1<0

???f(X)<0

???/(幻的減區(qū)間為(0,1),(1,+8),無增區(qū)間；

/L、1+Inxkx(l4-Iwc)

(II)f(x)>0=-------->0=k<------——(x>1)

l)x-1xx-1k)

.x(l+Inx)、x—2—lwc

令h(x)=------——，則九(x)=Y~

「x-1(%T)

,x一］

^-(p(x)=x-2-lwc,則@(x)=——>0,二姓乃在(1,+8)上單調(diào)遞增,

p(3)=l—ln3<0,@(4)=2—2ln2>0

.?.存在唯一/e(3,4),使得奴K0)=0

gpx0—2—Znx0-0,x0—1=1+lnxQ

列表表示：

X(1的)%0(殉,+°O)

*—0+

h(x)單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增

x0(l+lnx0)

Kx)min=九(久0)==XO60，4)

久0—1

二整數(shù)k的最大值為3.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,利用零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)所在區(qū)間，中檔

題.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.己知曲線C的參數(shù)方程為日；篝，(。為參數(shù))，4(2,0),P為曲線C上的一動(dòng)點(diǎn).

TI2

(I)求動(dòng)點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)從§變動(dòng)到y(tǒng)時(shí)，線段4P所掃過的圖形面積；

(II)若直線4P與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,是否存在點(diǎn)P,使得P為線段A