2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：動點綜合問題（33題）（解析版）

專題34動點綜合問題（33題）

一、單選題

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形中，AD為其對角線，一動點尸從。出發(fā)，沿著。fBfC

的路徑行進(jìn)，過點尸作尸0LC。，垂足為。.設(shè)點尸的運動路程為x,PQ-DQ為y,丁與x的函數(shù)圖象

如圖2,則4D的長為

A.逑11

B.D.—

3344

【答案】B

【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定CD的長，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由圖象得：CD=2,當(dāng)AD+BP=4時，PQ=CD=2,此時點尸在8c邊上,

設(shè)此時=貝！|3D=4-4，AD=BC=2+a,

在RMBC。中，BD1-BC1=CD-,

即：(4-4-("2)2=22,

2

解得：

8

A.D=Q+2=—,

3

故選：B.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在等腰RtaABC中，ZBAC=90°,48=12,動點E,尸同

時從點N出發(fā)，分別沿射線和射線/C的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點￡停止運動時，點歹

也隨之停止運動，連接EF,以E尸為邊向下做正方形EFGX,設(shè)點￡運動的路程為x（O<x<12）,正方形

EFG8和等腰RtA4C重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

AA

【答案】A

【分析】本題考查動態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之

間的關(guān)系，以及對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項分析當(dāng)?shù)呐c重合時，及當(dāng)xW4時圖象的

走勢，和當(dāng)x>4時圖象的走勢即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)?shù)呐c8C重合時，設(shè)=由題可得：

EF=EH=V2x，BE=\2-x,

在RtAEAB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH1-

??x=4,

.,.當(dāng)0<x44時，y=(V2x)2=2x2,

2>0,

...圖象為開口向上的拋物線的一部分，

當(dāng)府在下方時，設(shè)=由題可得:

2

EF=岳，BE=n-x,

ZAEF=/B=45。,ZA=ZEOB=90°,

NFAE對EOB,

AEEO

/一商，

x_EO

?\/2x12—x

?,?當(dāng)4<x<12時，y=（V^x）正=（12—x）x=—x2+12x,

V-l<0,

???圖象為開口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確，

故選：A.

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長為6的正方形4BCZ）中，點尸分別是邊485C上的動點,

且滿足N￡=8尸，師與DE交于點。，點M是。廠的中點，G是邊上的點，AG=2GB,則。/G

2

的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，

先證明廠（SAS）得到4?！?血￡,進(jìn)而得到尸=90。，則由直角三角形的性質(zhì)可得

OM=；DF,如圖所示，在45延長線上截取8〃=5G,連接W,易證明AFBGMAFBH（SAS）,則FH=FG,

可得當(dāng)H、D、尸三點共線時，+族有最小值，即此時/G有最小值，最小值即為?！ǖ拈L的

一半，求出4〃=8,在中，由勾股定理得DH=[AD?+AH?=10，責(zé)任。河+；廠G的最小值為

5.

3

【詳解】解：???四邊形455是正方形，

,AD=AB,ZDAB=/ABC=90°,

XVAE=BF,

：.AADE^ABAF(SAS),

：./ADE=NBAF,

ZDOF=ZADO+ZDAO=ZBAF+NDAO=/DAB=90°,

???點M是。廠的中點，

：.OM=-DF；

2

如圖所示，在45延長線上截取=連接尸X,

ZFBG=ZFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

.?.△F5G%FBH（SAS）,

：.FH=FG,

：.OM+-FG=-DF+-HF=-（DF^HF\,

2222V7

,當(dāng)H、D、尸三點共線時，。尸+H歹有最小值，即此時（W+1bG有最小值，最小值即為。〃的長的一

2

半，

VAG=2GBfAB=6,

：.BH=BG=2,

：.AH=8,

在BIAADH中，由勾股定理得DH=y]AD2+AH2=10，

OM+工尸G的最小值為5,

2

故選：B.

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動點P從菱形48co的點/出發(fā)，沿邊43f勻速運動，運動到點

C時停止.設(shè)點P的運動路程為x,尸。的長為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點尸運動到8c中點

4

時，P。的長為（）

圖1圖2

A.2B.3C.V5D.272

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時，PO=AO=4,當(dāng)點尸運動到點8時，PO=BO=2,根據(jù)菱形的性

質(zhì)，得a4O3=/SOC=90。，繼而得到AB=BC=JoT+2也,當(dāng)點P運動到BC中點時，尸。的

長為工3C=石，解得即可.

2

本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，

直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時，PO=AO=4,

當(dāng)點P運動到點3時，PO=BO=2,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，得乙4OB=ABOC=90°,

故4B=BC=yj0A2+0B2=2A/5，

當(dāng)點P運動到8C中點時，PO的長為=8C=6，

故選C.

5.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在菱形中，AB=6,N3=30。，點￡是5c邊上的動點，連

接NE,DE,過點/作加_LDE于點P設(shè)。E=x,AFy,則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自

變量x的取值范圍）（）

c36

一=身D.y=—

XXXx

【答案】C

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三

角形的性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.過。作D77L3C,交8C延長線于〃，則/DHE=90°,根

5

據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到CD=/。=48=6,ZADF=ZDEH,ZDCH=Z5=30°,進(jìn)而利用含

1AJ7AF）

30度角的直角三角形的性質(zhì)。8=彳口）=3,證明A/FDSADHE得到==京，然后代值整理即可求解.

2DHDE

【詳解】解：如圖，過。作。交延長線于〃，貝!J/nffi=90。，

AB//CD,AD//BC,CD=AD=AB=6,

：.ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30°,

在RtZXCQH中，DH=-CD=3,

2

■:AFLDE,

：.NAFD=ZDHE=90。，又ZADF=/DEH,

：.AAFDS.DHE,

,AF_AD

,,南一杳'

*.*DE=x,AF=y,

?v_6

??———，

3x

?_18

??y=—，

X

故選：c.

二、填空題

6.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知兩條平行線J右，點/是4上的定點，的工"于點B,點C、

。分別是4、，2上的動點，且滿足/C=3D，連接CD交線段于點E,BHLCD于點H,則當(dāng)N84H■最

大時，smNB/H的值為.

6

【分析】證明A/CE會ABDE(ASA),得出==根據(jù)Af/_LCO,得出48/ffi=90。，說明點X

在以BE為直徑的圓上運動，取線段BE的中點。，以點。為圓心，03為半徑畫圓，則點H在。。上運動，

說明當(dāng)/〃與。。相切時N3/〃最大，得出。HL/H,mAO=AE+OE=3OE,利用

sinNBAH=*黑"，即可求出結(jié)果.

AO30E3

【詳解】解：???兩條平行線/1、點4是4上的定點，ABf于點B,

???點5為定點，48的長度為定值，

???/1〃，2，

:?ZACE=/BDE,/CAE=NDBE,

???AC=BD,

：.公ACE%BDE(ASA),

：.BE=AE=-AB,

2

,/BHLCD,

：.NBHE=90°,

???點〃在以班為直徑的圓上運動，

如圖，取線段5E的中點。，以點。為圓心，。5為半徑畫圓,

，當(dāng)4H與OO相切時NBAH最大,

???OH工AH,

AE=OB=2OE,

,AO=AE+OE=3OE,

?.?OH=OE,

故答案為：j.

7

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三

角形等知識點，解題的關(guān)鍵是確定點〃的運動軌跡.

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在Y48CD中，AB=4,AD=5,NA8C=30。，點M為直線BC上

一動點，則M4+MO的最小值為.

【答案】同

【分析】如圖，作A關(guān)于直線BC的對稱點A',連接A'D交3C于“，則=A'H,AH1BC,AM'=A'M',

當(dāng)AT重合時，腿4+最小，最小值為4。，再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作A關(guān)于直線8C的對稱點4,連接4。交8C于AT,則=AHVBC,

AM'=A'M',

.?.當(dāng)AT重合時，M4+MD最小，最小值為4。，

A'

'：AB=4,ZABC=30°,在Y/BCD中，

/.AH=^AB=2,AD//BC,

：.AA'=2AH=4,AA'±AD,

'：AD=5,

A'D=A/42+52=y/4A，

故答案為：V41

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌

握各知識點是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，0M的圓心為"（4,0）,半徑為2,P是直線了=尤+4上的一個動點，

過點P作。M的切線，切點為。，則尸。的最小值為

8

【答案】2幣

【分析】記直線y=x+4與X,y軸分別交于點aK,連接加，PM,KM.由直線解析式可求得點/、K

的坐標(biāo)，從而得△0/K,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ^^PM2-QM2,由

QM=2,則當(dāng)尸河最小時，尸。最小，點尸與點K重合，此時W最小值為KM,由勾股定理求得的

最小值，從而求得結(jié)果.

【詳解】解：記直線了=x+4與x,y軸分別交于點/,K,連接。加，PM,KM,

當(dāng)x=0,y=4,當(dāng)y=0,即％+4=0,

解得：x=-4,

即K(0,4),/(-4,0)；

而M(4,0),

OA=OK=OM=4,

:.AOAK,△OKM均是等腰直角三角形,

ZAKO=ZMKO=45°,

：.ZAKM=90°,

尸與。M相切，

ZPQM=90°,

PQ^yJPM2-QM2,

?/QM=2,

當(dāng)PQ最小時即PM最小，

???當(dāng)尸時，取得最小值,

9

即點P與點K重合，此時9最小值為KM,

在RLOKM中，由勾股定理得：KM=^OM2+OK2=472，

PQ=J32-4=2A/7,

，P。最小值為2b.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，垂線段最短，正確添加

輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知//。8=50。，點尸為/ZO8內(nèi)部一點，點〃為射線。4、點

N為射線。2上的兩個動點，當(dāng)APMN的周長最小時，則.

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點尸關(guān)于。4,

08的對稱點與P2.連接。召，OP2.則當(dāng)N是耳巴與。4,的交點時，APMN的周長最短，根據(jù)

對稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：作尸關(guān)于CM,05的對稱點4P2.連接。與OP2.則當(dāng)N是＜4與。4,03的交點

時，△尸兒W的周長最短，連接

P、々關(guān)于。4對稱,

ZP}OP=2ZMOP,OPX=OP,PXM=PM,NOP\M=ZOPM,

10

同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=OP,,ZOP2N=ZOPN,

APXOP2=ZPtOP+ZP2OP=2(2MOP+ZNOP)=2NAOB=100°,OPX=OP,=OP,

△404是等腰三角形.

ZOP2N=/OP[M=40°,

ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOP2N+ZO^M=80°

故答案為：80°.

10.(2024?四川成都?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知。(3,0),5(0,2),過點C作4軸

的垂線/,P為直線/上一動點，連接尸。，PA,則尸O+P4的最小值為.

【答案】5

【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì).先取點/關(guān)于直線/的對稱點?,

連40交直線/于點C,連/C,得到/C=/'C,A'ALI,再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，

得到當(dāng)尸,H三點共線時，尸。+尸”的最小值為4。，再利用勾股定理求4。即可.

【詳解】解：取點/關(guān)于直線/的對稱點H,連HO交直線/于點C,連/C,

則可知NC=/'C,A'All,

：.PO+PA=PO+PA'>A'O,

即當(dāng)O,尸,4三點共線時，PO+尸”的最小值為4。，

?.?直線/垂直于y軸，

軸，

?.?4(3,0),5(0,2),

AO—3,AAr=4,

???在RM/'/。中，

22

A'O=J。/+“=^3+4=5，

故答案為：5

11

A

A

11.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在“3C中，ZABC=60°,BC=8,￡是3c邊上一點，且3E=2,

點/是的內(nèi)心，2/的延長線交ZC于點。，尸是8。上一動點，連接PE、PC,則尸E+PC的最小

【答案】2岳

【分析】在48取點尸，使BF=BE=2,連接尸尸，CF,過點、F作FH工BC于H,利用三角形內(nèi)心的定

義可得出乙4BD=NCBD,利用SAS證明ABFP包3EP,得出打'=PE,則PE+PC=PF+PC?W,當(dāng)C、

P、/三點共線時，PE+PC最小，最小值為CF,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出5〃，利用勾股定

理求出萬H,CF即可.

【詳解】解：在NB取點凡使BF=BE=2,連接尸尸，CF,過點尸作F”，8C于〃，

：/是“8C的內(nèi)心,

BI平分NABC,

：.ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

12

AB"均BEP(SAS),

PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

當(dāng)C、P、尸三點共線時，PE+PC最小，最小值為CF,

,：FHLBC,ZABC=60°,

ZBFH=30°,

/.BH=-BF=1,

2

FH=y]BF2-BH2=V3?CH=BC-BH=1，

CF=y/CH2+FH2=2小，

：.PE+PC的最小值為2回.

故答案為：2用.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等

知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含30。的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在Y/BCD中，ZC=120°,48=8,SC=10.￡為邊。的中點,

尸為邊4D上的一動點，將4）所沿E尸翻折得廠，連接BD',則面積的最小值

為.

【答案】20百-16/-16+20抬’

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=/3=8,AB//CD,ZABC=60°,由折疊性質(zhì)得到ED=DE=4,

進(jìn)而得到點濟(jì)在以￡為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過￡作瓦/交4S延長線于交圓E

于。夕，此時到邊48的距離最短，最小值為的長，即此時△48。面積的最小，過C作CN_L4B于

N,根據(jù)平行線間的距離處處相等得到=故只需利用銳角三角函數(shù)求得CN=56即可求解.

【詳解】解：?在Y/8CD中，ZBCD=120°,AB=8,

：.CD=AB=8,AB//CD,則ZA8C=180。-/3cz）=60。，

為邊CO的中點，

13

DE=CE=-CD=4,

2

1/GEF沿EF翻折得AD'EF,

：.ED'=DE=4,

，點?！暝谝浴隇閳A心，4為半徑的圓上運動，如圖，過￡作瓦交NB延長線于交圓￡于

此時到邊42的距離最短，最小值為DM的長，即△48。面積的最小，

過C作CN_LN3于N,

AB//CD,

EM=CN,

在RM3CN中，5C=10,ZCBN=60°,

回

C#=5C-sin60O=10x—=5^,

2

/.D'M=ME-ED=54,

△480面積的最小值為；x8x（573-4）=20拒-16,

故答案為：20V3-16.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)

等知識，綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點〃的運動路線是解答的關(guān)鍵.

13.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正方形48CD的邊長為1,M、N是邊BC、上的動點.若

NMAN=45。，則MN的最小值為.

【答案】-2+2V2/2V2-2

【分析】將△/減順時針旋轉(zhuǎn)90。得到“3尸，再證明尸名AM4N（SAS）,從而得到

14

MN=MP=BM+BP=BM+DN,再設(shè)設(shè)CN=a,CM=b,得至!JAW=2—a,利用勾股定理得至I」

CN2+CM2=MN2,即〃+/=（2—q—92,整理得到（2—Q）（2-b）=2,從而利用完全平方公式得到

MN=2—a—b2—2+2J（2-4乂2-b）,從而得解.

【詳解】解：???正方形的邊長為1,

,AD=AB=BC=CD=1,ZBAD=ZABC=ZC=ZD=90°,

將叢ADN順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AABP,則AADNaABP,

:./DAN=/BAP,ZD=ZABP=90。,AN=AP,DN=BP,

???點P、B、M、C共線，

■:/MAN=45。,

：./MAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°-AMAN=45°=AMAN,

VAP=AN,/MAP=/MAN,AM=AM,

：.AMAP^MAN（SAS）,

：.MP=MN,

：.MN=MP=BM+BP=BM+DN,

設(shè)CN=a,CM=b,貝ijQN=l-a,BM=l-b,

：.MN=BM+DN=2-a-b,

ZC=90°,

?U.CN2+CM2=MN2,即/+〃=（2-Q—6）2,

整理得：（2-a乂2-6）=2,

：.MN=2-a-b

=-2+（2-a）+（2-b）

15

=—2+（J2-a—2J2-a,J2-6+（j2-6+2/2—a,y]2-b

=—2+（J2—a—sjl—b）~+2yI（2-a）（2-Z?）

>-2+2^（2-a）（2-Z））

=-2+2亞，

當(dāng)且僅當(dāng)j2—a=12-6，即2—0=2—6=血，也即0=6=2—0時，AGV取最小值一2+20，

故答案為：-2+272.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運算，完全平方公式

等知識，證明"N=+DV和得到（2-a）（2-6）=2是解題的關(guān)鍵.

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形48CD中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊CD、AD

上的動點，且CE=OF.當(dāng)NE+CF的值最小時，貝！|CE=.

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).延長

8C,截取CG=CD,連接GE,ZG,證明ACD尸也AGCE,得出CF=GE,說明當(dāng)/E+EG最小時，AE+CF

最小，根據(jù)兩點之間線段最短，得出當(dāng)/、E、G三點共線時，/E+EG最小，即/E+C尸最小，再證明

△/EOs^GEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：延長BC,截取CG=CD,連接GE,AG,如圖所示：

AB=DC=2,AD=BC=4,AD//BC,

：.ND=ZECG,

,:CD=CG,DF=CE,

：.ACDF/AGCE,

16

???CF=GE,

AE+CF=AE+EG,

.?.當(dāng)/E+EG最小時，/E+CF最小，

:兩點之間線段最短，

...當(dāng)/、E、G三點共線時，/E+EG最小，即NE+CF最小,且最小值為/G的長，

A______________Fn

o（JU

VADIICG,

???/\AEDS/\GEC,

.ADDEnn42-CE

GCCE2CE

2

解得CE=§.

故答案為：f.

三、解答題

15.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，“BC中，AC=BC,44cB=90。，Z（-2,0）,C（6,0）,反比例

函數(shù)>=（（左*0,x>0）的圖象與交于點。（見4）,馬BC交于點、E.

FA.B

AM[C5

（1）求冽，左的值；

（2）點尸為反比例函數(shù)》=：（左。0,%>0）圖象上一動點（點尸在。，E之間運動

，不與。，E重合），過點P

作尸”〃交》軸于點過點尸作尸N〃工軸，交5C于點N,連接MTV,求APMN面積的最大值，并

求出此時點尸的坐標(biāo).

【答案】（1）加=2,左二8

17

（2”群.最大值是藪，止匕時尸卜,8

【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：

（1）先求出2的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線48的函數(shù)表達(dá)式，把。的坐標(biāo)代入直線的函數(shù)

表達(dá)式求出m,再把。的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出后即可；

（2）延長NP交y軸于點。，交幺B于點L.利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出。M=Q尸，設(shè)點尸的坐

標(biāo)為H，（2</<6）,則可求出5"?=；.（6t）1,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：C（6,0）,

:.AC=8.

又AC=BC,

BC=8.

'：ZACB=90°,

一?點3（6,8）.

設(shè)直線48的函數(shù)表達(dá)式為V=+6,

,/\,,f—2a+Z?=0

將/（z-2,0x）,8（6,8）代入y="+6,得6a+b=8，

解得[a匕=nl,

二直線48的函數(shù)表達(dá)式為>=x+2.

將點。（俄,4）代入y=x+2,得加=2.

.'.￡>（2,4）.

將。（2,4）代入y=￡,得左=8.

X

（2）解：延長NP交歹軸于點。,交AB于點L.

18

AC=BC,ZBCA=90°,

?.?尸N〃尤軸,

ZBLN=NBAC=45°,ZNQM=90°.

PM//AB,

ZMPL=ZBLP=45°,

ZQMP=NQPM=45°,

：.QM=QP.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(2<t<6),則=PN=6-t.

MQ=PQ=t.

1117a

S^PMN=-^-Afg=--(6-/)-/=--(/-3)+-.

.,.當(dāng)f=3時，有最大值羨，止匕時尸13,8

-m

16.(2024?四川自貢?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中'一次函數(shù)"h+b的圖象與反比例函數(shù)＞=—

X

的圖象交于2(-6,1),8(1,〃)兩點.

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

(2)尸是直線尤=-2上的一個動點，的面積為21,求點尸坐標(biāo);

(3)點0在反比例函數(shù)＞='位于第四象限的圖象上，AOaB的面積為21,請直接寫出。點坐標(biāo).

X

19

［答案］⑴y=-2,y=-x-5

X

(2)點尸坐標(biāo)為(-2,3)或(-2,-9)；

⑶。點坐標(biāo)為(3,-2)或同，

【分析】(1)先求出機(jī)=-6,再代入8(1,〃)，得出8(1,-6),再運用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式，即可

作答.

(2)先得出直線與直線》=-2的交點C的坐標(biāo)，根據(jù)求不規(guī)則面積運用割補法列式化簡得

gx卜3-2卜7=21,解出P,即可作答.

(3)要進(jìn)行分類討論，當(dāng)點。在點3的右邊時和點。在點8的左邊時，根據(jù)求不規(guī)則面積運用割補法列式,

其中運用公式法解方程，注意計算問題，即可作答.

【詳解】(1)解：依題意把4-6,1)代入y="，得出1=一

x-6

解得m=-6

把3(1/)代入>=一9中，得出"=一?=一6

x1

5(1,-6)

則把-4(-6,1)和5(1,-6)分別代入y=far+b

l=-6k+b

得出

-6=k+b

k=-l

解得

b=-5

><?y=-x—5；

(2)解：記直線48與直線x=-2的交點為。

20

?,?當(dāng)x=—2時，則y=-x-5=2-5=-3

C(-2,-3)

???P是直線x=-2上的一個動點,

設(shè)點尸(一2,p),

?.飛尸/B的面積為21,

|xJPCx|x^-(-2)|+1xPCx|xfl-(-2)|=1xPCx|x74-x5|=1xJPCx(x5-xJ=21

即夫卜3_小7=21

|—3—/?|=6

解得夕=3或-9

???點尸坐標(biāo)為(-2,3)或(-2,-9)；

(3)解：由(1)得出y=—

x

..?點0在反比例函數(shù)＞=-9位于第四象限的圖象上，

設(shè)點Q的坐標(biāo)為＞0)

,*,^QAB的面積為21,4-6,1)和5(1,—6)

21=(1+6)x(q+6)x(l+@x(l+9—^x(q+0:1+-^^~—+6)

整理得21=7x(g+6)-乜L(^+6)x1+-L1,一1)<-^+6

22\q)2Iq

解得4=3(負(fù)值已舍去)

經(jīng)檢驗4=3是原方程的解，

21

點坐標(biāo)為(3,-2)

如圖：點。在點3的左邊時

'''^QAB的面積為21,4(-6,1)和8(1,—6)

(+6)<(+6)-U

?JI^21=7x^-+lj-|x^-+ljx(^+6)-y-|x(l-^)x^-6+-

解得0<q=zll土亞1<i,符合題意,“=七乒<。,不符合題意'

2

6H+A/145"-11+V14511+7145^

則——=----Y—,故Q2

q22J

綜上：。點坐標(biāo)為(3,-2)或］畫.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，幾何綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，割

補法求面積，公式法解方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

17.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知拋物線y=+6x+3經(jīng)過點4(3,0),

與了軸交于點2,且關(guān)于直線尤=1對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

⑵當(dāng)-IVx與時，y的取值范圍是0W〉V2"l,求f的值；

(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線NB于點。，在y軸上是否存在

22

點、E,使得以2,C,D,E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

【答案】(1)歹=-%2+2%+3

5

⑵七

(3)存在點以3,C,D,E為頂點的四邊形是菱形，邊長為3近-2或2

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)分區(qū)1和"1,兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可.

(3)分加為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】(1)解：???拋物線＞=如2+為+3經(jīng)過點/(3,0),與y軸交于點8,且關(guān)于直線x=l對稱，

--=1[a=-1

：.\2a,解得：，

9。+36+3=0〔"=2

??y=—x+2%+3；

(2),?,拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=l,

...拋物線上點到對稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，

時，0＜y＜2t-l,

①當(dāng)時，貝!1：當(dāng)x=t時，函數(shù)有最大值，即：2,-1=-?+2/+3,

解得：/=-2或"2,均不符合題意，舍去；

②當(dāng)，＞1時，貝！I：當(dāng)x=l時，函數(shù)有最大值，即：2f—l=—『+2+3=4，

解得：/=：;

2

,,5

故：=不

2

(3)存在；

當(dāng)y=-尤？+2x+3=0時，解得：Xj=3,X2=-1,當(dāng)尤=0時，y=3,

4(3,0),5(0,3),

設(shè)直線的解析式為歹=丘+3,把/(3,0)代入，得：k=-l,

.*?y——x+3f

設(shè)C(冽，一加2+2加+3)(0＜冽＜3),貝！J：Z)(m,-m+3),

23

CD--m1+2m+3+m-3--m2+3m>BD=^m。+(-m+3-3)-=6m,BC2=m2+^-m2+2/M),

當(dāng)B,C,D,E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：

①當(dāng)BD為邊時，貝1J：BD=CD,即一加2+3加=正加，

解得：m=0(舍去)或加=3-收，

此時菱形的邊長為應(yīng)加=36■-2;

②當(dāng)BD為對角線時，貝U：BC=CD,即：m2+(-m2+2w)2=(-m2+3m)2,

解得：加=2或機(jī)=0(舍去)

此時菱形的邊長為：4+3x2=2;

綜上：存在以8,C,D,￡為頂點的四邊形是菱形，邊長為3及-2或2.

18.(2024?四川南充?中考真題)已知拋物線k-f+bx+c與x軸交于點/(TO),5(3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,拋物線與了軸交于點C,點P為線段OC上一點(不與端點重合)，直線尸/,P3分別交拋物線

于點E,D,設(shè)面積為H，面積為邑，求詈的值；

⑶如圖2,點K是拋物線對稱軸與不軸的交點，過點K的直線(不與對稱軸重合)與拋物線交于點M,N,

過拋物線頂點G作直線/〃x軸，點。是直線/上一動點.求。M+0N的最小值.

【答案】(1?=-%2+2%+3

(3)475

24

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)設(shè)尸(0,0),直線"為y=+求出y=px+p,直線BD為y=后2工+打，求出y=-gx+p,聯(lián)

立方程組得￡(3-p,-p2+4p),一<+?)再根據(jù)E=S“m-S?,邑即可求

解；

(3)設(shè)直線肱V為歹=丘+4,由K(l,0)得左+d=0,^y=kx-k,設(shè)M(加，一加之+2加+3),

2

N(n,-n+2n+3),聯(lián)立直線亞W與拋物/2c,，得f+("2)x-"3=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)

\7[y=-x+2x+3

系可得：m+n=1-k,mn=-k-3,作點N關(guān)于直線/的對稱點N',連接JW,則有

QM+QN=QM+QN'>MN',過M點作MF_LMV'于R則尸(〃,-4+2加+3),貝|

"戶=M+/-2(加+〃)+斗，月1/=忱-,根據(jù)勾股定理得跖\門=/+J7/+go280,即可求出加+0N

最小值.

【詳解】(1)解：???拋物線與x軸交于點/(-1,0),8(3,0),

J-l-Z?+c=O

[-9+3b+c=0'

\b=2

解得。，

[c=3

拋物線的解析式為y=r2+2%+3；

(2)設(shè)P(0,p),直線/尸為〉=匕1+4(匕wO),據(jù)題意得，

,\y=px+p,

y=px+p

聯(lián)立得

y——f+2x+3

x=-lx=3-p

解得y=0或

y=-p2+4p，

E（3-+4°）,

設(shè)尸(O,p),直線3。為了=3+4/wo)，據(jù)題意得,

25

3k>+，=0T,

u解得

b2=P

._p,

??y=-~x+P，

p

y=--x+p

聯(lián)立得

y——f+2x+3

P-3

x=------

x=3、3

解得或<

y二0一昨一二+土‘

93

E=S3s”巾仇-力27+與"=|(3-),

22

S]=SAABE-SAABP=^AB-(yE-yP)=2(-p+4p-p)=2(3p-p),

,縣」

?,邑9；

(3)設(shè)直線MV為了=任+〃(左力0),由K(l,0)得先+4=0,

??d=-k,

*.y=kx-k,

設(shè)一冽2+2加+3),N(%一加2+2〃+3),

y=kx-k

聯(lián)立直線MN與拋物線

y——x2+2x+3

得工2+（左一2）x一左一3=0,

A=（左一2）2—4（—左一3）二左2+16>0,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：m+n=2-k,mn=-k-3,

作點N關(guān)于直線/的對稱點N',連接"N’，

26

由題意得直線l：y=4,則N'[n,n2-2n+5),

/.QM+QN=QM+QN'>MN',

過M點作于凡則尸伍-療+2加+3).

則N'F=|/w2+H2-2(m+M)