2023年廣東省肇慶市高考數(shù)學模擬試卷及答案解析

2023年廣東省肇慶市高考數(shù)學模擬試卷

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）已知，為虛數(shù)單位.若二=黑，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）”xW3”是“X2-7X+12》0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（5分）△NBC中，點”為NC上的點，且力M=5MC,^BM=XBA+[iBC,貝以-p的值

是（）

4.（5分）在一次數(shù)學實驗中，某同學運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù):

X-2-1123

y0.240.512.023.988.02

在以下四個函數(shù)模型（a,b為待定系數(shù)）中，最能反映x,y函數(shù)關系的是（）

A.y—a+bxB.y-a-V-C.y—a+\o§,bxD.y—a+lf

5.（5分）假設某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響.若在兩次射擊

I6

中至多命中一次的概率是云，則該射手每次射擊的命中率為（）

9233

A.—B.=C.一D.一

25554

6.（5分）已知（1+x）I°=QO+QI（2+X）+。2（2+x）2+--?+mo（2+x）10,則49=（）

A.-10B.10C.-45D.45

7.（5分）正方體棱長為4,點E為邊5C的中點，動點M在正方體表面

上運動，并且總保持則動點〃的軌跡的周長為（）

A.3V2B.6C.6V2D.12V2

11

8.（5分）已知函數(shù)/（x）=ln（/+1）-2Xf若。=/（，。04可），b=f（log56）,c=f（log64）,

則a,b,c的大小關系正確的是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c^>a>b

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

第1頁共17頁

9.（5分）如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，A,Bi,比為橢圓的頂點，F(xiàn)為

右焦點，延長治尸與481交于點P，若/囪尸均為鈍角，則該橢圓的離心率可能為（）

1

D.

4

TT

10.（5分）已知向量。=（2,1）,b=（-3,1）,貝I」（

-?-?

A.（。+b）_LQ

B.|a+2b|=5

c.向量會在向量力上的投影是苧

D.向量就勺單位向量是（等，絡）

11.（5分）若直線ax+力=0與圓，+產(chǎn)_4工+2=0有公共點，則（）

A.Ina^zlnbB.|a|W|b|

C.（〃+b）（6Z-b）WOD.aWb

12.（5分）已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M、N,若線段MN的最小值為百-1,

則（）

A.正方體的外接球的表面積為12n

47r

B.正方體的內(nèi)切球的體積為三

C.正方體的棱長為2

D.線段的最大值為2百

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知集合/={x|x>0},5={x|x2^1},貝!.

14.（5分）已知公差不為0的等差數(shù)列{斯},滿足。8。14=。4。10,且數(shù)列{即}的前〃項和S”

的最大值為48,則該數(shù)列的公差"=.

15.（5分）某醫(yī)療隊甲、乙、丙等8名護士站成一排照相，其中甲、乙2人之間要站2人，

乙、丙2人之間也要站2人，則共有種不同的排列方式.（用數(shù)字作答）

第2頁共17頁

16.（5分）若曲線。：夕=^2（。>0）與曲線C2：y="存在公切線，則a的取值范圍為.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）在△/BC中，角/、B、C所對的邊分別為a,b,c,且6-c=l,cosA=

AABC的面積為2VL

（I）求a,b,c的值；

（II）求cos（2C+/）的值.

18.（12分）如圖，正方體/BCD-H夕。。的棱長為4,點E、F為棱CD、的中點.

（1）求證：C尸〃平面"ED'；

（2）求直線皮￡到平面NCF所成角的正弦值.

19.（12分）已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S“，ai=2,2s2=及+。3.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

（2）設bn=萼1,求數(shù)列｛d｝的前〃項和.

20.（12分）某校高一年級組織“知識競答”活動.每位參賽者第一關需回答三個問題，第

一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤

得-10分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得-20分.規(guī)定，每位參賽者回答

這三個問題的總得分不低于30分就算闖關成功.若某位參賽者回答前兩個問題正確的概

21

率都是］回答第三個問題正確的概率是5,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

（1）求這位參賽者僅回答正確兩個問題的概率；

（2）求這位參賽者回答這三個問題的總得分彳的分布列和期望；

（3）求這位參賽者闖關成功的概率.

21.（12分）已知拋物線C：F=2px（0>0）的焦點是尸，若過焦點的直線與。相交于P,

。兩點，所得弦長甲a的最小值為4.

（1）求拋物線C的方程；

第3頁共17頁

(2)設/,3是拋物線C上兩個不同的動點，。為坐標原點，若04,03,OMLAB,

M為垂足，證明：存在定點N,使得也小為定值.

22.(12分)已知函數(shù)/(久)=(a,6CR),在點(1,7(1))的切線為y=l.

CvILrC人

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若XI，X2是函數(shù)g(x)=kx)■久2(keR)的兩個極值點，證明：)〉0.

第4頁共17頁

2023年廣東省肇慶市高考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）已知i為虛數(shù)單位.若2=鬻，則復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

r劭憑、到5+2i（5+2t）（l-305-15i+2i+6ll-13i1113.

【斛答】解：…廣—10-=』-=而一五1，

故復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（/,-盆），故在第四象限.

故選：D.

2.（5分）“xW3”是"x2-7x+1220”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：'々2-7x+1220,解得xW3或x、4,

則“xW3”是“X2-7X+12N0”的充分不必要條件，

故選：A.

3.（5分）△45。中，點M為4。上的點，且ZM=*MC,若=入B4+118c,則入-四的值

是（）

112

A.1B.-C.-D.一

233

T1T

【解答】解：AM=^MC,

所以4M=^4C,

所以BM=BA+AM=BA+^AC=BA+^BC-BA）=^BA+jBC,

若俞=入晶+嬴，

則入=-|,n=A-尸

故選：C.

4.（5分）在一次數(shù)學實驗中，某同學運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù):

X-2-1123

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y0.240.512.023.988.02

在以下四個函數(shù)模型(a,6為待定系數(shù))中，最能反映x,y函數(shù)關系的是()

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+log盡D.y=a+bx

【解答】解：由表格數(shù)據(jù)作出散點圖如下：

yA

8?

4?

2?

Oix

數(shù)據(jù)散點圖和指數(shù)函數(shù)圖象類似，故選項。最能反映X、V的函數(shù)關系，

故選：D.

5.(5分)假設某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響.若在兩次射擊

I6

中至多命中一次的概率是云，則該射手每次射擊的命中率為()

9233

A.-B."C.~D.一

25554

【解答】解：假設某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響.

設該射手每次射擊的命中率為P,

[6

??,在兩次射擊中至多命中一次的概率是正，

**-1-p2=提解得P-

3

，該射手每次射擊的命中率為

故選：C.

6.(5分)已知(1+x)i°=ao+ai(2+x)+。2(2+X)2+--?+QIO(2+X)10,則。9=()

A.-10B.10C.-45D.45

【解答】解：(1+x)1°=[-1+(2+X)]1°=QO+QI(2+X)+。2(2+X)?+,?+QIO(2+X)1°,

第6頁共17頁

則09=%"-1)=-10,

故選：A.

7.（5分）正方體AS。-/181cLDi棱長為4,點￡為邊3c的中點，動點M在正方體表面

上運動，并且總保持則動點M的軌跡的周長為（）

A.3V2B.6C.6V2D.12a

【解答】解：由正方體的特點可知30iJ_平面/。囪，

點E為邊BC的中點，

在48,ABi上分別取點尸，Q,分別是所在棱的中點，

連接尸￡,PQ,EQ,貝!!尸￡〃/C,EQ//B1C,

，平面481c〃平面PEQ,

.*.8r）i_L平面尸￡0,

：.M的軌跡為△PEQ.

:正方體棱長為4,，/。=4企，

-1

:.PE=劌C=2也

:ZEQ的周長為3PE=6五.

故選：C.

11

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=ln(?+1)-2%,右耳)，b=f(log56),c=f(log64),

貝!JQ,b,c的大小關系正確的是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c'>a>b

【解答】解：因為/（x）—In（"+1）—2Xf

一一1ii

所以/（-X）=歷（￡*+1）+尹=加（/+1）-x+2X（"+1）—飛=f（%）,

所以/G）為偶函數(shù)，

第7頁共17頁

因為「（X）=島■一±=*—￡Y，

當x>0時，，（x）>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當x<0時，/G）<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

1

因為a=/。。以可）=f（log45）,b=f（log56）,c=f（log64）,且

因為/g4+/g6>2j/g4」g6,

故/g4./g6〈（她產(chǎn)）2=應等V（等）2=（/g5）2,

乙42

…g56嚙一耦=嚙耦/,

所以log45>logs6>1>loge4,

則a>b>c.

故選：B.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，A,Bi,比為橢圓的頂點，F(xiàn)為

右焦點，延長歷尸與/為交于點P，若/囪尸為為鈍角，則該橢圓的離心率可能為（）

【解答】解：由題意設N(。，0),51(0,b),Bi(0,-6),F(c,0),

TT

貝！MB】=(-a,b),FB2=(-C,-b),

—>—>

且484比為向量4%與尸坊的夾角，

因為/B1PB2為鈍角，

則4看「而2<0，即(-a，為?(-c,-b)<0,

即ac-b2<Q,又b2=a2-c2,

-1-V5-1+V5

所以后_qc-02>0,即e2+e_]V0,解得-----<e<------,

rE_i

又0<e<l,所以0<eV±i—=0.617,

故選：BCD.

第8頁共17頁

10.（5分）已知向量會=（2,1）,b=（-3,1）,則（）

TTT

A.（。+b）,La

B.\a+2b\=5

c.向量會在向量力上的投影是:

D.向量就勺單位向量是（等，珞）

—T

【解答】解：；a+6=（—1,2）,a=（2,1）,

TTT_

二.（a+b）,a=-2+2=0,

TTTd

（a+b）1a,即A正確；

a+2b=（—4,3）,.*.|a+2h|=5,即5正確；

TT__

—>—>CL,b—5A/1o

Q在b上的投影是=—r==—即C錯誤；

\b\V102

向量a的單位向量為：==（一二，］）,或—2=（一2普，一噂）,即。錯誤.

55

|a|55\a\

故選：AB.

11.（5分）若直線ax+力=0與圓x2+y2_4x+2=0有公共點，則（）

A.Ina^lnbB.同W|6|

C.（a+b）（a-b）<0D.aWb

【解答】解：圓的標準方程為(x-2)2+y=2,圓心為(2,0),半徑為魚,

因為直線ax+by=0與圓x2+/-4x+2=0有公共點,

所以三W

Va2+b2

解得。2W戶,即（a+b）（a-b）WO,

等價于同W|6|,所以/、力錯誤,

故選：BC.

12.(5分)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M、N,若線段的最小值為遮-1,

貝IJ()

A.正方體的外接球的表面積為12n

第9頁共17頁

B.正方體的內(nèi)切球的體積為三

C.正方體的棱長為2

D.線段的最大值為28

【解答】解：設正方體的棱長為a,則正方體的外接球的半徑為對角線的一半，即R=字,

內(nèi)切球為棱長的一半，即片多

由于“和N為外接球和內(nèi)切球上的動點，

對于C：所以MN加九=—1,解得Q=2.故C正確；

對于Z：所以外接球的表面積為S=4?兀?（遮尸=12兀，故4正確；

對于3：內(nèi)切球的體積為u=*?兀?13=等，故8正確；

對于。：線段MN的最大值為-^―+萬=5+1,故。錯誤.

故選：ABC.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知集合4={x|x>0},S={x|x2^l},則/A8=（0,11.

【解答】解：??1={x|x>0},8={x|-IWXWI},

：.A（~]B=（0,1].

故答案為：（0,1].

14.（5分）已知公差不為0的等差數(shù)列{?！皚,滿足。8。14=。皿10,且數(shù)列{斯}的前〃項和S”

的最大值為48,則該數(shù)列的公差

【解答】解：根據(jù)題意，設等差數(shù)列{斯}的公差為力

若a8al4=。4。10,則有（ai+7d）（ai+13d）=（ai+3d）（ai+9d）,

變形可得aid=-8d2,

又由d中0,則ai=-8d,

則S〃=M+竺平=?（〃一孝）2—華，

若數(shù)列{斯}的前n項和Sn的最大值為48,必有d<0,

且當"=8或9時，出取得最大值，

貝I]&=S9=-36d=48,

4

解可得d=-y

第10頁共”頁

故答案為：-全

15.(5分)某醫(yī)療隊甲、乙、丙等8名護士站成一排照相，其中甲、乙2人之間要站2人,

乙、丙2人之間也要站2人，則共有480種不同的排列方式.(用數(shù)字作答)

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①，先排甲乙丙三人，由于甲、乙2人之間要站2人，乙、丙2人之間也要站2人，

乙必須在甲乙中間，有2種排法，

②，在剩下5人中任選2人，安排在甲乙中間，在剩下的3人中任選2人，安排在乙丙

之間，剩下1人有2種安排方法，則剩下5人有^52^32C21=240種安排方法，

則有2X240=480種不同的排列方式，

故答案為：480.

e2

16.(5分)若曲線Ci：y=ax2(a>0)與曲線存在公切線，則a的取值范圍為」不

4

+8).

【解答】解：由(?！?),得歹'=2ax,

由得V=^,

曲線G：(〃>0)與曲線。2：歹=產(chǎn)存在公共切線，

設公切線與曲線G切于點(xi,axi2),與曲線Q切于點(]2,i2),

則2的二尺叫"『,

冷一%1

可得2X2=XI+2,

X1

._e-T+1

??Q=f---，

2勺

記/(x)=穿，

則，⑴=e2+；/,

當xe(0,2)時，f(x)<0,f(X)遞減；

當XC(2,+8)時，f(x)>0,f(x)遞增.

當X=2時,f(X)min=q.

*

工。的范圍是片，+°°).

4

故答案為：[;，+°°).

4

四.解答題(共6小題，滿分70分)

第11頁共17頁

1

17.（10分）在△/BC中，角/、B、C所對的邊分別為a,b,c,且6-c=l,cosA=

△ABC的面積為2VL

（I）求a,b,c的值；

（II）求cos（2C+A）的值.

【解答】解：（I）cosA-且/€（0,TT）,.*.sitL4=V1—cos2A=

?.?△48C的面積為2vL

.'.S—^bcsmA—^bcX.=2&,

??be6,

又b-c=',.*.Z>=3,c=2,

由余弦定理知，a2=b2+c2-26ccos/=9+4-2X3X2x1=9,

:?6Z=3,

綜上，a=3,b=3,c=2.

,『.、_ac,32

（II）由（I）及正弦定理一工=-7,知3"方=——；，

sinAsine‘V，sine

3

解得sinC=^

,:c〈b,cosC=V1—sin^C=卷,

?.r萬_.萬萬c4>/2756^/2O-2r~?\17

..sin2C=2sinCcosC=2xx不=>cos2C=2cos2C-1=寸,

yyQoilol

.//，、_，17156/22V223

??cos（20+24）—COSZCCOSTI-sin2csiIL4=X亍---—X―———

oiDoi3z/

18.(12分)如圖，正方體45CZ)-H笈CO的棱長為4,點￡、F為棱CD、8C的中點.

(1)求證：CF〃平面8'ED'；

(2)求直線夕E到平面/CF所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：取377的中點連接兒/尸，ME,

第12頁共17頁

則月0〃。?！??！?且FA/=CE今四邊形CEMF為平行四邊形=CF〃腔，

又CFC平面8m,Affiu平面8切’

故CF〃平面B'ED'.

(2)如圖所示，以點/為坐標原點，分別以/5、AD.血4,為x、y、z軸建立空間直角坐

標系，

/ic

、

則N(0,0,0),C(4,4,0),F(4,2,4),B'(4,0,4),E(2,4,0),

T->T

=ZF=(4,2,4),AC=(4,4,0),B'E=(—2,4,-4),

設￡=(%,y,Z)為平面4cb的一個法向量,

則巧1"，即付絲=°，

(九1AF(九?/產(chǎn)=0

則有篇Ml。，令-2雨=(2,-2,7，

107clt、—4—8+44

=cosE,n>=——67—X375—=—ky.

4

故B'E與平面ACF所成角的正弦值為

19.(12分)已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃,m=2,2s2=。2+的.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)設bn=空工,求數(shù)列也“｝的前〃項和.

an

【解答】解：(1)設數(shù)列｛即｝的公比為q(4>0),

?282=02+43,

.*.2(QI+〃2)=a\q+aiq,

:?q=2

rln

：.an=2?2t=2；

1

(2)由(1)可得：b九二(2?i—1)(2)",

設出篦｝的前〃項和為

第13頁共17頁

則T九=1x2+3x(訝)?+5x(2>+…+(2ti-3)x)n-^+(2n—1)x(,)"①,

1?1311

又A=1X(-)2+3x(-)3+-+(2n-3)x(-)n+(2n-1)x(-)n+1@,

乙乙乙乙乙

111111

由①-②得:-T=-+2x(-)2+2x(-)3+-+2x(-)n-(2n-1)x(-)n+1,

乙n乙乙乙乙乙

1-(2n-l)x(1)n+1,

=5+

即=1+1一([)",2一盤八一1)x

11

，Tn=3—4?(初一(2n—1)x(丹,

1

.?.Tn=3-(2n+3)x(1)n.

20.（12分）某校高一年級組織“知識競答”活動.每位參賽者第一關需回答三個問題，第

一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤

得-10分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得-20分.規(guī)定，每位參賽者回答

這三個問題的總得分不低于30分就算闖關成功.若某位參賽者回答前兩個問題正確的概

21

率都是回答第三個問題正確的概率是5,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

（1）求這位參賽者僅回答正確兩個問題的概率；

（2）求這位參賽者回答這三個問題的總得分己的分布列和期望；

（3）求這位參賽者闖關成功的概率.

【解答】解：（1）設事件4這位參賽者回答對第z?個問題冊=1,2,3）,

???p=「(&&&—)+—+—=221211121=i4

(2)t=-30,-20,0,10,20,30,50,60,

----------1

P(m=_30)=PGM24)=備

------1

P(W=-20)=PQM243)=S，

P也=0)=PGM24)=

P6=10)=PQM24)=g

P6=20)=PGM24)=a，

——1

P(《=30)=PQM24)=S，

第14頁共17頁

——1

PG=50)=P(&A24)=5,

PG=60)=P(4&&)=余2

的分布列為:

-30-2001020305060

P11121112

1899918999

、111?111219S

E(三)二-30x-jg—20xq+0xq+10xq+20xYg+30xg+50xg+60xg=-g-.

4

(3)由(2)得這位參賽者闖關成功的概率為P=P(^=30)+產(chǎn)6=50)+產(chǎn)6=60)=

21.(12分)已知拋物線C：y2=2px(0>0)的焦點是尸，若過焦點的直線與C相交于P,

。兩點，所得弦長尸。|的最小值為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設/,3是拋物線C上兩個不同的動點，。為坐標原點，若。4,03,OMLAB,

M為垂足，證明：存在定點N,使得小小為定值.

【解答】解：⑴設直線尸。的方程為工=〃"+今/。1,》1),0(》2/2),

2

聯(lián)立=my+2得f_2pmy+p=0,

ly2=2px

所以yi+y2=2pm,yry2=p2,

x\+xi=my\-\-§+mj2+g=m(y\+yi)+p=2pm1+p

所以|PQ|=尸尸|+尸°|=xi+9+工2+5=x\+xi+p=2pm2+2p=2/?(1+m2),

當機=0時，尸。|儂力=22=4,解得p=2,

所以拋物線的方程為/=4x.

(2)設直線AB的方程為X=W+S〃(X3J3),5(X4J4),

—>—?

因為CM_LO5,貝I」04?OB=0,即q心力3y4=0,

Vo22

所以-7"+>U2=0,解得>3歹4=-16,

44

X=tv+s

{y2=4%，得f-4夕-4m=0,

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所以y3y4=-4m=-I6,w=4,

則直線的