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文檔簡(jiǎn)介
特殊的平行四邊形(第6課時(shí))人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)
2.正方形的性質(zhì):
1.正方形的定義:有一組鄰邊相等,且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.(1)邊:四條邊相等.(2)角:四個(gè)角都是直角.(3)對(duì)角線:對(duì)角線相等,且互相垂直平分.(4)對(duì)稱性:正方形是軸對(duì)稱圖形,有四條對(duì)稱軸,分別是對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線以及兩條對(duì)角線所在的直線.由正方形的定義可知,有一組鄰邊相等,且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.除此之外,還有沒有其他判定方法呢?上節(jié)課,我們學(xué)過(guò):(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形.(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.你能分別給出證明嗎?已知:如圖,在矩形ABCD
中,AB=AD.求證:矩形ABCD
是正方形.
證明:∵四邊形ABCD
是矩形,∴∠A=90°.又∵AB=AD,∴矩形ABCD
是正方形.有一組鄰邊相等,且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.ABCD有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言:在矩形
ABCD
中,∵AB=AD,
∴矩形ABCD
是正方形.ABCD
證明:∵四邊形ABCD
是菱形,∴AB=AD.又∵∠A=90°,∴菱形ABCD
是正方形.已知:如圖,在菱形ABCD
中,∠A=90°.求證:菱形ABCD
是正方形.ABCD有一組鄰邊相等,且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言:在菱形
ABCD
中,∵∠A=90°,
∴菱形ABCD
是正方形.ABCD矩形的對(duì)角線具有什么性質(zhì)?正方形的對(duì)角線具有什么樣的性質(zhì)?思考對(duì)角線相等且互相平分對(duì)角線相等且互相垂直平分添加對(duì)角線互相垂直能否得到正方形?
證明:∵四邊形ABCD
是矩形,∴OB=OD.∵AC⊥BD,∴AC
是線段BD
的垂直平分線.∴AB=AD.∴矩形ABCD
是正方形.已知:在矩形ABCD
中,AC⊥BD.求證:矩形ABCD
是正方形.ABCDO有一組鄰邊相等的矩形是正方形.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言:在矩形
ABCD
中,∵AC⊥BD,
∴矩形ABCD
是正方形.ABCDO思考
菱形的對(duì)角線有什么性質(zhì)?正方形的對(duì)角線有什么樣的性質(zhì)?對(duì)角線互相垂直平分對(duì)角線相等且互相垂直平分添加對(duì)角線相等能否得到正方形?已知:在菱形ABCD
中,AC=BD.求證:四邊形ABCD
是正方形.
證明:∵四邊形ABCD
是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.∵AC=BD,∴OA=OB=OC=OD.∴△AOB,△BOC
是等腰直角三角形.∴∠ABO=∠CBO=45°.∴∠ABC=90°.∴菱形ABCD
是正方形.ABCDO有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.對(duì)角線相等的菱形是正方形.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言:在菱形
ABCD
中,∵AC=BD,
∴菱形ABCD
是正方形.ABCDO
例1
下列命題正確的是().
A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形
B.四條邊都相等的四邊形是正方形
C.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
D.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形矩形菱形矩形CABCDEF
例2
如圖,等邊三角形AEF
的頂點(diǎn)E,F(xiàn)
在矩形ABCD
的邊BC,CD上,且∠CEF=45°.求證:矩形ABCD
是正方形.
分析:先證明△AEB≌△AFD得到AB=AD,再根據(jù)“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”得出結(jié)論.ABCDEF
證明:∵四邊形ABCD
是矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°.∵△AEF
是等邊三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°.∵∠CEF=45°,∴∠CFE=45°.∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°.∴△AEB≌△AFD.∴AB=AD.∴矩形ABCD
是正方形.
例3如圖,在矩形ABCD
中,BE
平分∠ABC,CE
平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求證:四邊形BECF是正方形.ABCDEF
證明:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四邊形BECF
是平行四邊形.∵四邊形ABCD
是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵BE
平分∠ABC,CE
平分∠DCB,ABCDEF∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴平行四邊形BECF
是菱形.又∵∠EBC=∠ECB=45°,∴∠BEC=90°.∴菱形BEC
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