湖南長沙市長郡教育集團2022年十校聯(lián)考最后數(shù)學試題含解析

湖南長沙市長郡教育集團2022年十校聯(lián)考最后數(shù)學試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．如果關(guān)于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A．k>－ B．k>－且 C．k<－ D．k－且2．方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）．A．k≥1 B．k≤1 C．k>1 D．k<13．下列各數(shù)中比﹣1小的數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．14．如圖，△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，則圖中陰影部分的面積等于()A．2﹣ B．1 C． D．﹣l5．等腰三角形三邊長分別為，且是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則的值為（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或106．若直線y=kx+b圖象如圖所示，則直線y=?bx+k的圖象大致是()A． B． C． D．7．如圖，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，則∠EDC等于（）A．10° B．12.5° C．15° D．20°8．觀察下列圖案，是軸對稱而不是中心對稱的是（）A． B． C． D．9．如圖，以O(shè)為圓心的圓與直線交于A、B兩點，若△OAB恰為等邊三角形，則弧AB的長度為（）A． B．π C．π D．π10．在平面直角坐標系xOy中，四條拋物線如圖所示，其解析式中的二次項系數(shù)一定小于1的是（）A．y1 B．y2 C．y3 D．y4二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如圖是一本折扇，其中平面圖是一個扇形，扇面ABDC的寬度AC是管柄長OA的一半，已知OA=30cm，∠AOB=120°，則扇面ABDC的周長為_____cm12．如圖，AB是半徑為2的⊙O的弦，將沿著弦AB折疊，正好經(jīng)過圓心O，點C是折疊后的上一動點，連接并延長BC交⊙O于點D，點E是CD的中點，連接AC，AD，EO．則下列結(jié)論：①∠ACB=120°，②△ACD是等邊三角形，③EO的最小值為1，其中正確的是_____．（請將正確答案的序號填在橫線上）13．如圖，直線y=2x+4與x，y軸分別交于A，B兩點，以O(shè)B為邊在y軸右側(cè)作等邊三角形OBC，將點C向左平移，使其對應點C′恰好落在直線AB上，則點C′的坐標為．14．如果a2﹣a﹣1＝0，那么代數(shù)式（a﹣）的值是．15．已知∠=32°，則∠的余角是_____°．16．如圖，正方形ABCD和正方形OEFG中,點A和點F的坐標分別為（3,2)，（－1,－1)，則兩個正方形的位似中心的坐標是_________．17．如圖，自左至右，第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角形組成；第2個圖由2個正六邊形、11個正方形和10個等邊三角形組成；第3個圖由3個正六邊形、16個正方形和14個等邊三角形組成；…按照此規(guī)律，第n個圖中正方形和等邊三角形的個數(shù)之和為______個．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離為，從甲的頂部處測得乙的頂部處的俯角為，測得底部處的俯角為，求甲、乙建筑物的高度和（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，.19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，點D是射線CB上的一個動點，△ADE是等邊三角形，點F是AB的中點，連接EF．（1）如圖，點D在線段CB上時，①求證：△AEF≌△ADC；②連接BE，設(shè)線段CD=x，BE=y，求y2﹣x2的值；（2）當∠DAB=15°時，求△ADE的面積．20．（8分）問題提出（1）.如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC，AD=CD=3,∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=60°，則四邊形ABCD的面積為＿；問題探究（2）.如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=22，BC=3，在AD、CD上分別找一點E、F，使得△BEF的周長最小，作出圖像即可.21．（10分）已知A、B、C三地在同一條路上，A地在B地的正南方3千米處，甲、乙兩人分別從A、B兩地向正北方向的目的地C勻速直行，他們分別和A地的距離s（千米）與所用的時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）圖中的線段l1是（填“甲”或“乙”）的函數(shù)圖象，C地在B地的正北方向千米處；（2）誰先到達C地？并求出甲乙兩人到達C地的時間差；（3）如果速度慢的人在兩人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小時到達C地，求他提速后的速度.22．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線．求證：△ADE≌△CBF；若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結(jié)論．23．（12分）計算：（π﹣1）0+|﹣1|﹣÷+（﹣1）﹣1．24．（14分）如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、B【解析】

在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項系數(shù)不為零；（2）在有兩個實數(shù)根下必須滿足△=b2-4ac≥1．【詳解】由題意知，k≠1，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．因此可求得k＞且k≠1．故選B．【點睛】本題考查根據(jù)根的情況求參數(shù)，熟記判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】當k=1時，原方程不成立，故k≠1，當k≠1時，方程為一元二次方程．∵此方程有兩個實數(shù)根，∴，解得：k≤1．綜上k的取值范圍是k＜1．故選D．3、A【解析】

根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的負數(shù)反而小，可得答案．【詳解】解：A、﹣2＜﹣1，故A正確；B、﹣1＝﹣1，故B錯誤；C、0＞﹣1，故C錯誤；D、1＞﹣1，故D錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)大小比較，利用了正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，注意兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的負數(shù)反而?。?、D【解析】∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC=，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，∴DC′=AC′-AD=-1，∴圖中陰影部分的面積等于：S△AFC′-S△DEC′=×1×1-×（-1）2=-1，故選D.【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，得出AD，AF，DC′的長是解題關(guān)鍵．5、B【解析】

由題意可知，等腰三角形有兩種情況：當a，b為腰時，a=b，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=6，所以a=b=3，ab=9=n-1，解得n=1；當2為腰時，a=2（或b=2），此時2+b=6（或a+2=6），解得b=4（a=4），這時三邊為2，2，4，不符合三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故不合題意．所以n只能為1．故選B6、A【解析】

根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象可知k＞1，b＜1，再根據(jù)k，b的取值范圍確定一次函數(shù)y=?bx+k圖象在坐標平面內(nèi)的位置關(guān)系，即可判斷．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象可知k＞1，b＜1，

∴-b＞1，∴一次函數(shù)y=?bx+k的圖象過一、二、三象限，與y軸的正半軸相交，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系．函數(shù)值y隨x的增大而減小?k＜1；函數(shù)值y隨x的增大而增大?k＞1；一次函數(shù)y=kx+b圖象與y軸的正半軸相交?b＞1，一次函數(shù)y=kx+b圖象與y軸的負半軸相交?b＜1，一次函數(shù)y=kx+b圖象過原點?b=1．7、C【解析】試題分析：根據(jù)三角形的三線合一可求得∠DAC及∠ADE的度數(shù)，根據(jù)∠EDC=90°-∠ADE即可得到答案．∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵AD=AE（已知），∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°-∠ADE=15°．故選C．考點：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理點評：解答本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．8、A【解析】試題解析：試題解析：根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念進行判斷可得：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選A.點睛：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．這個旋轉(zhuǎn)點，就叫做對稱中心．9、C【解析】過點作，∵，∴，，∴為等腰直角三角形，，，∵為等邊三角形，∴，∴．∴．故選C.10、A【解析】

由圖象的點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式即可判定．【詳解】由圖象可知：拋物線y1的頂點為（-2，-2），與y軸的交點為（0，1），根據(jù)待定系數(shù)法求得y1=（x+2）2-2；拋物線y2的頂點為（0，-1），與x軸的一個交點為（1，0），根據(jù)待定系數(shù)法求得y2=x2-1；拋物線y3的頂點為（1，1），與y軸的交點為（0，2），根據(jù)待定系數(shù)法求得y3=（x-1）2+1；拋物線y4的頂點為（1，-3），與y軸的交點為（0，-1），根據(jù)待定系數(shù)法求得y4=2（x-1）2-3；綜上，解析式中的二次項系數(shù)一定小于1的是y1故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)點的坐標求得解析式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、1π+1．【解析】分析：根據(jù)題意求出OC，根據(jù)弧長公式分別求出AB、CD的弧長，根據(jù)扇形周長公式計算．詳解：由題意得，OC=AC=OA=15，的長==20π，的長==10π，∴扇面ABDC的周長=20π+10π+15+15=1π+1（cm），故答案為1π+1．點睛：本題考查的是弧長的計算，掌握弧長公式:是解題的關(guān)鍵．12、①②【解析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，結(jié)合垂徑定理、三角形的性質(zhì)、同圓或等圓中圓周角與圓心的性質(zhì)等可以判斷①②是否正確，EO的最小值問題是個難點，這是一個動點問題，只要把握住E在什么軌跡上運動，便可解決問題．【詳解】如圖1，連接OA和OB，作OF⊥AB．

由題知：沿著弦AB折疊，正好經(jīng)過圓心O

∴OF=OA=OB

∴∠AOF=∠BOF=60°

∴∠AOB=120°

∴∠ACB=120°（同弧所對圓周角相等）

∠D=∠AOB=60°（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）

∴∠ACD=180°-∠ACB=60°

∴△ACD是等邊三角形（有兩個角是60°的三角形是等邊三角形）

故，①②正確

下面研究問題EO的最小值是否是1

如圖2，連接AE和EF

∵△ACD是等邊三角形，E是CD中點

∴AE⊥BD（三線合一）

又∵OF⊥AB

∴F是AB中點

即，EF是△ABE斜邊中線

∴AF=EF=BF

即，E點在以AB為直徑的圓上運動．

所以，如圖3，當E、O、F在同一直線時，OE長度最小

此時，AE=EF，AE⊥EF

∵⊙O的半徑是2，即OA=2，OF=1

∴AF=（勾股定理）

∴OE=EF-OF=AF-OF=-1

所以，③不正確

綜上所述：①②正確，③不正確．

故答案是：①②．【點睛】考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理．13、（﹣2，2）【解析】試題分析：∵直線y=2x+4與y軸交于B點，∴x=0時，得y=4，∴B（0，4）．∵以O(shè)B為邊在y軸右側(cè)作等邊三角形OBC，∴C在線段OB的垂直平分線上，∴C點縱坐標為2．將y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣2．所以C′的坐標為（﹣2，2）．考點：2．一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．坐標與圖形變化-平移．14、1【解析】分析：先由a2﹣a﹣1=0可得a2﹣a=1，再把（a﹣）的第一個括號內(nèi)通分，并把分子分解因式后約分化簡，然后把a2﹣a=1代入即可.詳解：∵a2﹣a﹣1=0，即a2﹣a=1，∴原式===a（a﹣1）=a2﹣a=1，故答案為1點睛：本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是正確掌握分式混合運算的順序：先算乘除，后算加減，有括號的先算括號里，整體代入法是求代數(shù)式的值常用的一種方法.15、58°【解析】

根據(jù)余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角可得答案．【詳解】解：∠α的余角是：90°-32°=58°．故答案為58°．【點睛】本題考查余角，解題關(guān)鍵是掌握互為余角的兩個角的和為90度．16、（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】

本題主要考查位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律．因而本題應分兩種情況討論，一種是當E和C是對應頂點，G和A是對應頂點；另一種是A和E是對應頂點，C和G是對應頂點．【詳解】∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和點F的坐標分別為（3，2），（-1，-1），

∴E（-1，0）、G（0，-1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0），

（1）當E和C是對應頂點，G和A是對應頂點時，位似中心就是EC與AG的交點，

設(shè)AG所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴，解得．

∴此函數(shù)的解析式為y=x-1，與EC的交點坐標是（1，0）；

（2）當A和E是對應頂點，C和G是對應頂點時，位似中心就是AE與CG的交點，

設(shè)AE所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），

，解得，故此一次函數(shù)的解析式為…①，

同理，設(shè)CG所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），

，解得，

故此直線的解析式為…②

聯(lián)立①②得

解得，故AE與CG的交點坐標是（-5，-2）．

故答案為：（1，0）、（-5，-2）．17、9n+1．【解析】

∵第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角形組成，∴正方形和等邊三角形的和=6+6=12=9+1；∵第2個圖由11個正方形和10個等邊三角形組成，∴正方形和等邊三角形的和=11+10=21=9×2+1；∵第1個圖由16個正方形和14個等邊三角形組成，∴正方形和等邊三角形的和=16+14=10=9×1+1，…，∴第n個圖中正方形和等邊三角形的個數(shù)之和=9n+1．故答案為9n+1．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.【解析】分析：首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；本題涉及兩個直角三角形，應利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式，進而可求出答案．詳解：如圖，過點作，垂足為.則.由題意可知，，，，，.可得四邊形為矩形.∴，.在中，，∴.在中，，∴.∴.∴.答：甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.點睛：本題考查解直角三角形的應用--仰角俯角問題，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題，難度一般．19、（1）①證明見解析；②25；（2）為或50+1．【解析】

(1)①在直角三角形ABC中，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長，再由F為AB中點，得到AC=AF=5，確定出三角形ADE為等邊三角形，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，再由AD=AE，利用SAS即可得證；②由全等三角形對應角相等得到∠AEF為直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)分兩種情況考慮：①當點在線段CB上時；②當點在線段CB的延長線上時，分別求出三角形ADE面積即可．【詳解】(1)、①證明：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AB=10，∴∠CAB=60°，AC=AB=5，∵點F是AB的中點，∴AF=AB=5，∴AC=AF，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°，∵∠CAB=∠EAD，即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，∴∠CAD=∠FAE，∴△AEF≌△ADC（SAS）；②∵△AEF≌△ADC，∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，又∵點F是AB的中點，∴AE=BE=y，在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2=25+x2，∴y2﹣x2=25.（2）①當點在線段CB上時，由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，∴AD2=50，△ADE的面積為；②當點在線段CB的延長線上時，由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+100，綜上所述，△ADE的面積為或．【點睛】此題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．20、（1）3，（2）見解析【解析】

（1）易證△ABD≌△CBD，再利用含30°的直角三角形求出AB、BD的長，即可求出面積.(2)作點B關(guān)于AD的對稱點B’,點B關(guān)于CD的對應點B’’，連接B’B’’,與AD、CD交于EF，△AEF即為所求.【詳解】（1）∵AB=BC，AD=CD=3,∠BAD=∠BCD=90°，∴△ABD≌△CBD（HL）∴∠ADB=∠CDB=∠ADC=30°，∴AB=∴S△ABD==∴四邊形ABCD的面積為2S△ABD=（2）作點B關(guān)于AD的對稱點B’,點B關(guān)于CD的對應點B’’，連接B’B’’,與AD、CD交于EF，△BEF的周長為BE+EF+BF=B’E+EF+B’’F=B’B’’為最短.故此時△BEF的周長最小.【點睛】此題主要考查含30°的直角三角形與對稱性的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相應的圖形進行求解.21、（1）乙；3；（2）甲先到達，到達目的地的時間差為小時；（3）速度慢的人提速后的速度為千米/小時.【解析】分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合所給函數(shù)圖象進行判斷即可；（2）由所給函數(shù)圖象中的信息先求出二人所對應的函數(shù)解析式，再由解析式結(jié)合圖中信息求出二人到達C地的時間并進行比較、判斷即可得到本問答案；（3）根據(jù)圖象中的信息結(jié)合（2）中的結(jié)論進行解答即可.詳解：（1）由題意結(jié)合圖象中的信息可知：圖中線段l1是乙的圖象；C地在B地的正北方6-3=3（千米）處.（2）甲先到達.設(shè)甲的函數(shù)解析式為s=kt，則有4=t，∴s=4t.∴當s=6時，t=.設(shè)乙的函數(shù)解析式為s=nt+3，則有4=n+3，即n=1.∴乙的函數(shù)解析式為s=t+3.∴當s=6時，t=3.∴甲、乙到達目的地的時間差為：（小時）.（3）設(shè)提速后乙的速度為v千米/小時，∵相遇處距離A地4千米，而C地距A地6千米，∴相遇后需行2千米.又∵原來相遇后乙行2小時才到達C地，∴乙提速后2千米應用時1.5小時.即，解得：，答：速度慢的人提速后的速度為千米/小時.點睛：本題考查的是由函數(shù)圖象中獲取相關(guān)信息來解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意弄清以下兩點：（1）函數(shù)圖象上點的橫坐標和縱坐標各自所表示是實際意義；（2）圖象中各關(guān)鍵點（起點、終點、交點和轉(zhuǎn)折點）的實際意義.22、（1）證明見解析；（2）若