2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和（原卷版）

第05講錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和

例題分析

【例111.設(shè)Sn為數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和,已知a?=l,2Sn=幾冊.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)歹山筌｝的前n項(xiàng)和7\.

滿分秘籍

(1)如果數(shù)列5力是等差數(shù)列，仍心是等比數(shù)列，求數(shù)歹!]｛斯的前“項(xiàng)和時，常采用錯位相減法.

(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：

①在寫出“S,”與的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“S,一°S,”

的表達(dá)式.

②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比〃是否等于1,如果〃=1,應(yīng)用公式公=〃?.

變式訓(xùn)練

【變式1-1]已知數(shù)列｛冊｝的前n項(xiàng)和為Sn,且%+2a2+3a34-----卜nan=(n-l)Sn+2n.

(1)求的,均，并求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)若垢=an-log2an,求數(shù)列出九｝的前n項(xiàng)和7\.

【變式1-21已知數(shù)列｛a九｝和｛bn｝,即=2,5一工=1,an+1=2bn.

/O-n

(1)求證數(shù)歹臉—1｝是等比數(shù)列；

n

【變式1-3］在①Sn+i=2Sn+2,②須+1-an=2這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答

該問題.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為5^,%=2,且滿足.

⑴求an；

⑵若%=(n+1)-an,求數(shù)列｛bj的前a項(xiàng)和7n.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

【變式1-4】記正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為治,已知點(diǎn)(an,6Sn)(neN*)在函數(shù)f(久)=(久+1)(%+2)的圖象上,

且內(nèi)>1,數(shù)列｛%｝滿足bn+i=3",b2=a3+l.

(1)求數(shù)列｛冊｝，｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)冊=0+三二，求數(shù)列｛4｝的前疝頁和〃.

%+1bn

【變式1-5］設(shè)｛an｝是公比不為1的等比數(shù)列，的=1,為。3,。4的等差中項(xiàng).

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛|(2九-10)an|｝的前n項(xiàng)和7n.

團(tuán)真題專練

1.已知｛冊｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為區(qū).電｝是公比為q的等比數(shù)列.即=b=3g=歷國=q-

S2.

(1)求｛%J和｛%｝的通項(xiàng)公式；

冊，”71為奇數(shù)

(2)設(shè)4=an_lbnn為偶數(shù)，求數(shù)列｛cn｝的前幾項(xiàng)和

1(。建+7)Sn

2.已知數(shù)列｛an｝的前ri項(xiàng)和為％,的=0,且%+i=2Sn+2(neN*).

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足0=log2an+v求數(shù)列｛冊+$八｝的前幾項(xiàng)和

3.已知數(shù)列｛冊｝的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和端=幾2；

⑴求數(shù)列4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若"=(冊+1)-2n,求數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和〃.

4.在①%+。4+。7=15,②$5=20,③。303—9)=0這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并

解答.

已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Sn,a7是。3與的等比中項(xiàng)，.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛2"aj的前刃項(xiàng)和7n.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

5.已知數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公差和公比都是2,若對滿足m+riW5的任

意正整數(shù)n,均有a7n+冊=CJm+n成立.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)令0=3,求數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和

6.已知數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)的和為Sn,Sn=)2+),數(shù)列也J為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且有名+n=9,b2-

63=8.

(1)求數(shù)列&｝,｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足％=a2n-l，設(shè)匕也1｝的前幾項(xiàng)的和為Tn，求7\的值.

7.已知數(shù)列｛冊｝的前兀項(xiàng)和為端,且滿足斯＞0國=葉&，數(shù)列也｝的前71項(xiàng)積7n=2m

4

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛期時｝的前n項(xiàng)和.

8.已知％是公差不為0的等差數(shù)列｛冊｝的前〃項(xiàng)和，a2是刖，4的等比中項(xiàng)，512=78.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

a

(2)已知砥=a2n_1-3"T,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和7n.

9.在①3Sn+l=4%；②的=1,｛%+才與｛冊｝都是等比數(shù)列；③3Sn=4-l,這三個條件中任選一個,

補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.

己知數(shù)列｛冊｝的前〃項(xiàng)和為Sn，且.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若以=(2n+2)an,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和7n.

注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計(jì)分.

10.已知數(shù)列｛時｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛5｝是公比為2的等比數(shù)列，且滿足的+=/+為+

b3,a2+M+b4.將數(shù)列｛an｝與｛0｝的公共項(xiàng)按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列｛%｝.

(1)證明：cn=b2n;

(2)求數(shù)列&4｝的前n項(xiàng)和%.

11.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前"項(xiàng)和為%,且%=1,當(dāng)幾22時，廝二后+底二.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛或｝滿足%=1,且0+i—%=?冊，求數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式.

12.已知等比數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為九，且sn=冊+1-20€N*).

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)在冊與冊+i之間插入兀個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為%的等差數(shù)列，求數(shù)歹可上｝的前n項(xiàng)和

13.已知數(shù)列｛an｝的前?1項(xiàng)和為S“，且%+an=1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b“=an-(21og2^-1),求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和7\.

n

14.在數(shù)列｛a九｝中，的=1,an+1-an=2(nGN*).

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)若，l=nan,求數(shù)列｛b九｝的前n項(xiàng)和S九.

15.已知數(shù)列｛a九｝和等差數(shù)列｛b九｝滿足%=1,a2=2,a3=6,且當(dāng)九22時，log2an=1+&n-log23.

(1)求數(shù)列｛a九｝的通項(xiàng)冊；

(2)求數(shù)列｛九冊｝的前幾項(xiàng)和7n.

16.已知等比數(shù)列｛冊｝的公比q>1,若Ct2+。3+。4=14,且。2，a3+l,(14分別是等差數(shù)列｛%｝第1，3,

5項(xiàng).

(1)求數(shù)歹K為J和｛勾｝的通項(xiàng)公式；

⑵若“=-一急77+F，求數(shù)列｛7｝的前n項(xiàng)和%?

(。兀+1-?n

17.已知數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為治,請從以下三個條件中選擇一個完成解答.

①數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為2的單調(diào)遞減的等比數(shù)列，且8%,9a2,903成等差數(shù)列;

②S"=6-2an；

nrn+1

③%+3a2+32a3+?-?+3-an=2-2.

⑴求數(shù)列5｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)歹U｛等｝的前n項(xiàng)和T”.

18.已知數(shù)列｛冊｝滿足的=1,髭=1+：.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛冊｝的前n項(xiàng)和Sn.

19.設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn，且的=1,2一￡=島

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；