中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必考題型專訓(xùn)：一元二次方程篇（解析版）

專題11一元二次方程

考點(diǎn)一：一元二次方程之相關(guān)概念

知識(shí)回顧

只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式為：o?+法+。=0（。/0）.其中。f是二次項(xiàng)，。是二次項(xiàng)系數(shù)；法是

一次項(xiàng)，〃是一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng).

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解,又叫做一元二次方程的根.

微專題

I（2022■廣東）若X4是方程/-2/a=0的根，則a=.

【分析】把x=l代入方程2x+a=0中,計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：把x=l代入方程x-2x+a=0中，

得1-2+a=0,

解得3=1.

故答案為：L

2.（2022?連云港）若關(guān)于x的一元二次方程族+/7xT=0（〃W0）的一個(gè)根是x=lf則研〃的值是.

【分析】把x=l代入方程腮2+/7x-1=0得到加1=0,然后求得研力的值即可.

【解答】解：把X=1代入方程以1=0得加77-1=0,

解得加77=1.

故答案為：L

3.（2022?資陽(yáng)）若乃是一元二次方程J+2x-3=0的一個(gè)根，則2#+4a的值是.

【分析】將〃代入/+2x-3=0,即可得出一+2己=3,再把/+2a=3整體代入2丁+4區(qū)即可得出答案.

【解答】解：??,》是一元二次方程，+2x-3=0的一個(gè)根，

.,.#+2a-3=0,

9

*.a+2a=3,

：.2a+4a=2（a+2a）=2X3=6,

故答案為：6.

4.（2022?遂寧）已知"為方程f+3x-2022=0的根，那么襟+2精-2025研2022的值為（）

A.-2022B.0C.2022D.4044

【分析】將方程的根代入方程，化簡(jiǎn)得憂+3勿=2022,將代數(shù)式變形,整體代入求值即可.

【解答】解：為方程『+3x-2022=0的根，

9

/.m+3/ZZ-2022=0,

.,.渭+30=2022,

.,.原式=,+3酒-幫-3?-2022研2022

+3?）-（情+3加）-2022研2022

=2022〃-2022-2022研2022

=0.

故選：B.

5.（2022?衢州）將一個(gè)容積為360c酒的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示.利用容積列出圖中x（c4滿足的

一元二次方程：______________________（不必化簡(jiǎn)）.

【分析】根據(jù)題意表示出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬,進(jìn)而表示出長(zhǎng)方體的體積即可.

【解答】解：由題意可得：長(zhǎng)方體的高為：15c〃,寬為：（20-2,X）-r2（C777）,

則根據(jù)題意,列出關(guān)于X的方程為：15x（10-X）=360.

故答案為：15X10-x）=360.

考點(diǎn)二：一元二次方程之解一元二次方程

1,直翻-元二次方程：

適用形式：X2-P或（％+〃）2=P或（or+Z?）2=P（p均大于等于0）

=

①f二2時(shí)，方程的解為：%!=Jp9X2~4P-

②(x+a)2=〃時(shí)，方程的解為：x1=y[p-a,x2=-y[p-a.

③（辦+為2=。時(shí),方程的解為：占=匹d，巧「mt

aa

2.配方法解一元二次方程：

運(yùn)用公式：a2+2ab+b2=（a±/>）2.

具體步驟：①化簡(jiǎn)一一將方程化為一般形式并把二次項(xiàng)系數(shù)化為L(zhǎng)

②移項(xiàng)一一把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊.

③配方一一兩邊均加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

④開方一一整理式子，利用完全平方式開方降次得到兩個(gè)一元一次方程.

⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根.

即：

27

ax+Zzx+c=O

2bc?

XH--XH--=0

aa

若廬-4ac20,則即可求得兩根.

3.公式法解一元二次方程：

（1）根的判別式：由配方法可知，廬-4℃即為一元二次方程根的判別式.用A表示.

①A=廬-4ac>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

②A=信-4ac=0o方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

③A=廬-4acV0o方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

（2）求根公式：

當(dāng)A=廬一4。。之0時(shí),則一元二次方程可以用x=—，廿—4ac來(lái)求出它的兩個(gè)根,這就是

2a

一元二次方程的求根公式.

①A=廬—4?c>0時(shí),一元二次方程的兩根為xx-""J4竺,出="7b24ac.

2a2a

②A=廬—4ac=0時(shí),一元二次方程的兩根為Xl=x2=--.

2a

③A=后一4acV0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

4.因式分解法求一元二次方程：

利用因式分解的手段將一元二次方程化為AB=0的形式,再利用A=0或3=0來(lái)求解二元一次

方程.

微專題

4—^22?臺(tái)灣）已知」元二次方程式（x-2/=3的兩根為a、6,且a>6,求2a+6之值為何？（）

A.9B.-3C.6+V3D.-6+73

【分析】先利用直接開平方法解方程得到片2+F，￡2-M，然后計(jì)算代數(shù)式2*b的值.

【解答】解：（X-2了=3,

x-2=向或x-2=-

所以3=2+百，X2=2-

即己=2+料，6=2-

所以2升0=4+2?+2-弧=6+如.

故選：C.

7.（2022?聊城）用配方法解一元二次方程3『+6公1=0時(shí)，將它化為（x+a）2=6的形式，則a+6的值為（）

1074

A.—B.一C.2D.一

333

【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答

案.

【解答】解：：3X2+6X-1=0,

3x?+6x=l,

x+2x=—,

3

貝！Jx+2x+l=—+l，即（x+l）2=±

33

a=l,b=—,

3

a+b=—.

3

故選：B.

8.（2022?雅安）若關(guān)于x的一元二次方程￥+6X+C=0配方后得到方程（x+3）?=2G則c的值為（）

A.-3B.0C.3D.9

【分析】把常數(shù)項(xiàng)C移項(xiàng)后，在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)6的一半的平方得（戶3）2=-K9,可得2c

=-機(jī)9,解方程即可得c的值.

【解答】解：/+6x+c=0,

x+6JT=-c,

9

X+6JV+9=-c+9,

（X+3）2=-c+9.

：（x+3）z=2c,

2c=-c+9,解得c=3,

故選：C.

9.（2022?甘肅）用配方法解方程￥-2x=2時(shí)，配方后正確的是（）

A.（x+l）2=3B.（X+1）2=6C.（x-1）2=3D.（x-1）2=6

【分析】方程左右兩邊都加上1,左邊化為完全平方式,右邊合并即可得到結(jié)果.

【解答】解：￥-2X=2,

x-2x+l=2+l,即（x-1）2=3.

故選：C.

10.（2022?荊州）一元二次方程/-4x+3=0配方為（x-2尸=左則"的值是.

【分析】根據(jù)配方法可以將題目中方程變形,然后即可得到k的值.

【解答】解：：￥-4X+3=0,

/.x-4x=-3,

x-4x+4=-3+4,

(x-2)2=1,

:一元二次方程￥-4x+3=0配方為（x-2）2=左

k=L

故答案為：1.

11.（2022?東營(yíng)）一元二次方程x+4x-8=0的解是（）

A.^=2+2V3,^=2-2A/3B.^=2+272,^=2-272

C.Xi—-2+2V2,X2—-2-2V2D.Xi—-2+2V3,x2--2-2^/3

【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟求解即可.

【解答】解：Va=l,Z>=4,c=-8,

A=42-4XlX（-8）=48>0,

2

則-b±7b-4ac=-4±4V3=_2±2^

2a2

...豆=-2+2?,而=-2-2v

故選：D.

12.（2022?臨沂）方程￥-2^-24=0的根是（）

A.為=6,匹=4B.為=6,尼=-4

C.Xi=-6,至=4D.xi=-6,x2=-4

【分析】利用十字相乘法因式分解即可.

【解答】解：/-2x-24=0f

（x-6）（x+4）=0,

x-6=0或x+4=0,

解得西=6,X2=-4,

故選：B.

13.（2022?包頭）若科茲是方程『-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則苞?］的值為（）

人.3或一9B.-3或9仁3或一6D.-3或6

【分析】先用因式分解法解出方程,然后分情況討論,然后計(jì)算.

【解答】解：7-2x-3=0,

（x-3）（x+1）=0,

x=3或x=-1,

①為=3,/2=T時(shí)，xi,x7=3，

A1A2

②X1=-1,而=3時(shí)，x1?x-9,

A1A2

故選：A.

14.（2022?天津）方程￥+4X+3=0的兩個(gè)根為（）

A.X\1,X23B.XI~~~1,X23

C.%=1,題=-3D.Xi=-1,x2=-3

【分析】根據(jù)解一元二次方程-因式分解法,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解:丁+4鼾3=0,

（e3）（x+1）=0,

x+3=0或x+l=0,

=

X1=-3,X2~1,

故選：D.

15.（2022?梧州）一元二次方程（x-2）（x+7）=0的根是.

【分析】利用解一元二次方程-因式分解法,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：5-2）（科7）=0,

x-2=0或x+7=0,

歷=2,X2=-7,

故答案為：荀=2,質(zhì)=-7.

16.（2022?云南）方程2，+l=3x的解為.

【分析】方程利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：2『+1=3X,

-3x+l=0,

（x-1）（2x-1）=0,

解得：羽=1,而=2.

2

故答案為：^1=1,x2=—.

2

17.（2022?淮安）若關(guān)于x的一元二次方程/一2x-A=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則左的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根據(jù)根的判別式列出不等式求出A的范圍即可求出答案.

【解答】解：??,一元二次方程/-2x-k=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

；.△=(-2)2-4X1X(-A)=4+4A<0,

：.k<-1,

故選：A.

18.(2022?攀枝花)若關(guān)于x的方程￥-x-/=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

1J、11

A.—B.—C.02--D.ni>-—

4444

【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=1+4〃>0,解不等式即可.

【解答】解：：關(guān)于x的方程"x-m=0有實(shí)數(shù)根，

.*.△=(-1)2-4(-77;)=1+4刃20,

解得信-X,

4

故選：C.

19.(2022?內(nèi)蒙古)對(duì)于實(shí)數(shù)a"定義運(yùn)算"?"為姿6=片-助,例如302=22-3X2=-2,則關(guān)于x的方程

(4-3)?x=4-1的根的情況，下列說(shuō)法正確的是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

【分析】根據(jù)運(yùn)算的定義將方程(A-3)?x=4-1轉(zhuǎn)化為一般式，由根的判別式△=(A-1)2+4>0,

即可得出該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【解答】解：：(A-3)?x=hl,

：.x-(A-3)x=A-1,

'.x-(A-3)x-A+l=0,

A=[-(^r-3)]-4XlX(-A+l)=(k-1)2+4>0,

；?關(guān)于x的方程(4-3)?x=N-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

20.(2022?巴中)對(duì)于實(shí)數(shù)a,6定義新運(yùn)算：a※6=26?一人,若關(guān)于矛的方程lXx="有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，則孑的取值范圍()

A.k>--B.k<--C.">-1且“。0D.左N-L且"WO

4444

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列方程,然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不

等式求解即可.

【解答】解：根定義新運(yùn)算,得"x=k,

即￥-*-k=0,

???關(guān)于x的方程lXx="有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

；.△=(-I)?-4X(-4)>0,

解得：k>」，

4

故選：A.

21.(2022?安順)定義新運(yùn)算a*b：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b滿足a*6=(a+6)(a-6)-1,其中等式右邊是通常的

加法、減法、乘法運(yùn)算，例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若/#=2x(4為實(shí)數(shù))是關(guān)于x的方程,

則它的根的情況是()

A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【分析】已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn),計(jì)算出根的判別式的值,判斷即可.

【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：(x+A)(x-A)-l=2x,

整理得：x-2x-1-/=0,

：A=4-4(-1-N)=4如+8>0,

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

22.(2022?西寧)關(guān)于x的一元二次方程2f+x-A=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則4的取值范圍是()

A.k<--B.反」C.k>--D.--

8888

【分析】利用△的符號(hào)求出4的范圍.

【解答】解：???關(guān)于X的一元二次方程2￥+x-4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

A<0,

AI2-4X2X(-A)<0,

.*.l+8A<0,

：.k<-

8

故選A.

23.(2022?西藏)已知關(guān)于x的一元二次方程(〃-l)f+2x-3=0有實(shí)數(shù)根，則0的取值范圍是()

2222

A.卬》一B.m<—C.勿>—且病中D.必》一且0W1

3333

【分析】利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件得到關(guān)于"的不等式組,解不等式組即可得出結(jié)論.

【解答】解：???關(guān)于X的一元二次方程a-l）￥+2x-3=0有實(shí)數(shù)根，

?1A=22-4（m-l）X（-3）>0

m-17t0

解得：心2且得i.

3

故選：D.

24.（2022?大連）若關(guān)于x的一元二次方程￥+6x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（）

A.36B.9C.6D.-9

【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到A=62-4c=0,然后解一次方程即可.

【解答】解：?關(guān)于x的一元二次方程』+6x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=62-4c=0,

解得c=9,

故選：B.

25.（2022?營(yíng)口）關(guān)于x的一元二次方程/+4X-〃=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為（）

A.0<4B.m>-4C.0W4D.加2-4

【分析】根據(jù)根的判別式和已知條件得出A=42-4X1X（-4》0,再求出0的范圍即可.

【解答】解：二?關(guān)于x的一元二次方程『+4x-加=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

；.△=4?-4義IX（-4=16+40》0,

解得：卬》-4,

故選：D.

26.（2022?東營(yíng)）關(guān)于x的一元二次方程（A-l）/-2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍

是?

【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義和根的判別式的意義得到k-17^0且A=（-2）2-4X（A-l）>0,

然后求出兩不等式的公共部分即可.

【解答】解：根據(jù)題意得A-1/0且A=（-2）2-4X（A-1）>0,

解得k<2且21,

所以次的取值范圍是k<2且AWL

故答案為：A<2且21.

27.（2022?上海）己知/-2?矛+勿=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是.

【分析】由根的判別式△>（）,即可得出關(guān)于"的一元一次不等式組，解之即可得出力的取值范圍.

【解答】解：???關(guān)于X的方程￥-2a矛+勿=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

；.△=（-2百/-4以>0,

解得：a?<3.

故答案為：m<3.

28.（2022?岳陽(yáng)）已知關(guān)于x的一元二次方程x+2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是.

【分析】根據(jù)判別式的意義得到A=22-4X1義卬>0,然后解不等式求出m的取值即可.

【解答】解：根據(jù)題意得△=2?-4XlXR>0,

解得m<\,

所以實(shí)數(shù)力的取值范圍是?<1.

故答案為：

考點(diǎn)三：一元二次方程之根與系數(shù)的關(guān)系：

知識(shí)回顧

；根與系數(shù)的基本關(guān)聚

若西，是一元二次方程af+6x+c=0的兩個(gè)根,則這兩個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系為:

bc

Xy+%2-......9西.%2=一?

aa

同時(shí)存在：+bxx+c=O,+Z?%2+c=O.

2.常考推廣公式：

①X；+君=（'+巧）2-2/巧,

②國(guó)門+城巧二%1%2（%2+西）,

③J_+L2+'='1+X2.

占X2西九2西九2西九2

④巧|西二/I城二=（、1+巧）22的巧.

尤1尤2xlx2西冗2百冗2所巧

xx2

⑤（西+PX2+P）=為巧+P（l+X2）+P-

⑥（四—超>=（四2

+X2）-4X1X2.

微專題

29.（2022?益陽(yáng)）若x=-1是方程x+x+m=0的一個(gè)根,則此方程的另一個(gè)根是（）

A.-1B.0C.1D.2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【解答】解：設(shè)￥+x+〃=0另一個(gè)根是a,

-1+a=-1,

a=0,

故選：B.

30.（2022?青海）已知關(guān)于x的方程?+加廿3=0的一個(gè)根為x=l,則實(shí)數(shù)"的值為（）

A.4B.-4C.3D.-3

【分析】根據(jù)方程根的定義,將x=l代入方程,解出〃的值即可.

【解答】解：關(guān)于x的方程￥+滓3=0的一個(gè)根為x=l,

所以1+加3=0

解得m=-4.

故選：B.

31.（2022?貴港）若x=-2是一元二次方程￥+2X+R=0的一個(gè)根,則方程的另一個(gè)根及m的值分別是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【分析】設(shè)方程的另一根為a,由根與系數(shù)的關(guān)系可得到a的方程,可求得m的值,即可求得方程的另一

根.

【解答】解：設(shè)方程的另一根為a,

-2是一元二次方程￥+2叱〃=0的一個(gè)根，

.*.4-4+勿=0,

解得卬=0,

則2=0,

解得a=0.

故選：B.

32.（2022?呼和浩特）已知xi,X?是方程x-x-2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式4-20224+/的值是

（）

A.4045B.4044C.2022D.1

【分析】把x=x1代入方程表示出X：一2022=%,代入原式利用完全平方公式化簡(jiǎn),再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)

系求出所求即可.

【解答】解：把X=X1代入方程得：X：-X]_2022=0,即X：-2022=為，

歷是方程『-x-2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

*e?X2~-1,-2022,

則原式=xi（x「-2022）+/

2,2

=X1+/2

=（西+急）-2%質(zhì)

=1+4044

=4045.

故選：A.

33.（2022?黔東南州）已知關(guān)于x的一元二次方程x-2,x-a=0的兩根分別記為m,x2,若m=-1,則a-

的值為（）

A.7B.-7C.6D.-6

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出&a的值，代入代數(shù)式求值即可.

【解答】解：二?關(guān)于x的一元二次方程x-2x-a=G的兩根分別記為苞,茲，

??為+而=2,X\*X2~-a,

"尸-1,

-

??^￥2~3,X2~~~3=a,

.??女=3,

?,?原式=3-（-1）2-3?

=3-1-9

=-7.

故選：B.

34.（2022?宜賓）己知勿、〃是一元二次方程x?+2x-5=0的兩個(gè)根，則橫+0加2刃的值為（）

A.0B.-10C.3D.10

【分析】由于m、n是一元二次方程/+2x-5=0的兩個(gè)根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得研〃=-2,mn=-

5,而勿是方程的一個(gè)根,可得m+2,m-5=0,即/n+2m=5,那么m+mn^^m=in+2,n^-mn,再把，+2通、mn的值

整體代入計(jì)算即可.

【解答】解：,:m、〃是一元二次方程f+2x-5=0的兩個(gè)根，

??mn^~~5,

是x+2x-5=0的一個(gè)根，

in+2m-5=0,

??+2zz?^5,

22

m+mn^2m=m+2n^-/nn=5-5=0.

故選：A.

35.（2022?樂(lè)山）關(guān)于x的一元二次方程3f-2x+〃=0有兩根，其中一根為x=l,則這兩根之積為（）

.12八，1

A.—B.一C.1D.—

333

【分析】直接把X=1代入一元二次方程即可求出0的值,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得.

【解答】解：???方程的其中一個(gè)根是1,

.,.3-2+/z?=0,解得m=-1,

??,兩根的積為四，

3

???兩根的積為-2，

3

故選：D.

36.（2022?巴中）a、B是關(guān)于x的方程『-x+A-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a2-2a-B=4,則A的值

為.

【分析】a2-2a-6=a2-a-（a+B）=4,然后根據(jù)方程的解的定義以及一元二次方程根與系數(shù)的

關(guān)系,得到關(guān)于A的一元一次方程,即可解得答案.

【解答】解：:a、B是方程x-x+k-1=0的根，

a2-a+k-1=0,a+B=1,

a2-2a-6=a2-a-（a+B）=-k+1-1=-k=4,

k=-4,

故答案是：-4.

3

37.（2022?日照）關(guān)于x的一元二次方程2丁+4加x+勿=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根由,&且x^x^=—，則m

16

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到Xl+X2=-2@為花=旦再由/+/=旦變形得到（為+而）2-2為苞=

216

即可得到4渦-m=工,然后解此方程即可.

1616

【解答】解：根據(jù)題意得為+質(zhì)=-2m,為匹二必，

2

X\2+,x23

216

{x-i+Xi）2-2mx2=3

16

-m—3

16

3

??勿1

8

A=16/9-8勿〉0,

ni>—或勿<0,

2

"=旦不合題意,

8

故答案為：-—.

8

38.（2022?內(nèi)江）已知眉、氏是關(guān)于x的方程2x+4-1=0的兩實(shí)數(shù)根，且&+衛(wèi)=x^x2-1,貝|4的

為x2

值為.

9

【分析】根據(jù)為、/2是關(guān)于x的方程x-2x+k-1=0的兩實(shí)數(shù)根，可得X1+X2=2,xix2=k-1,Xi-

2

2眉+次-1=0,把衛(wèi)+衛(wèi)=/+2恁-1變形再整體代入可得2-2（k-」=4,工解出k的值,并檢驗(yàn)即

X]x2k-l

可得k=2.

【解答】解：???西、次是關(guān)于x的方程『-2廣4-1=0的兩實(shí)數(shù)根,

2

J.Xi+x2=2ixi*x2=k-1,Xi-2荀+4-1=0,

.9.x^=2xi-k+1,

二衛(wèi)+紅=xj+2x2_],

X1x2

2

（Xi+x9）-2XIx9

:.------------------t=2（m+涇）-k,

xlx2

解得k=2或k=5,

當(dāng)k=2時(shí),關(guān)于x的方程為x-2x+l=Q,A20,符合題意；

當(dāng)k=3時(shí),關(guān)于x的方程為/-2x+4=0,△<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)解,不符合題意;

k=2,

故答案為：2.

39.（2022?綏化）設(shè)xi與也為一元二次方程工￥+3廿2=。的兩根，則（羽-茲）2的值為

2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：為+而=-6,XI/2=4,

（歷-.）2=（藥+質(zhì)）2-4-而

=（-6）2-4X4

=36-16

=20,

故答案為：20.

2211

40.（2022?鄂州）若實(shí)數(shù)a、6分別滿足--4a+3=0,4-4加3=0,且a手b,則一+—的值為________.

ab

【分析】由實(shí)數(shù)a、b分別滿足a-4〃+3=0,6?-4^3=0,且a豐b,知a、b可看作方程￥-4x+3=0的

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,據(jù)此可得a+6=4,ab=3,將其代入到原式=史也即可得出答案.

ab

【解答】解：???實(shí)數(shù)以6分另IJ滿足/一4〃+3=0,百一4/3=0,且

???/6可看作方程f-4x+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

貝！JKZ?=4,ab=3,

則原式=包也=9，

ab3

故答案為：A.

3

41.（2022?湖北）若一元二次方程X?-4矛+3=0的兩個(gè)根是天,則為?天的值是.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接可得答案.

【解答】解：：苞,茲是一元二次方程/-4^3=0的兩個(gè)根，

??Xi?茲=3,

故答案為：3.

考點(diǎn)四：一元二次方程之實(shí)際應(yīng)用：

ZS

知識(shí)回顧

kf!歷程解實(shí)際應(yīng)用期的步驟：

①審題一一仔細(xì)審題，找出題目中的等量關(guān)系.

②設(shè)未知數(shù)一一根據(jù)問(wèn)題與等量關(guān)系直接或間接設(shè)未知數(shù).

③列方程：根據(jù)等量關(guān)系與未知數(shù)列出一元二次方程.

④解方程一一按照解方程的步驟解一元二次方程.

⑤答一一檢驗(yàn)方程的解是否滿足實(shí)際情況,然后作答.

2.一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的基本類型：

傳播輪數(shù)

①傳播問(wèn)題：計(jì)算公式：原病例數(shù)又（1+傳播數(shù)）=總病例數(shù).

②握手（比賽）問(wèn)題：計(jì)算公式：?jiǎn)窝h(huán)：必曰=總數(shù);雙循環(huán)：〃（〃+1）=總數(shù).（〃表示參與

數(shù)量）

③數(shù)字問(wèn)題：一個(gè)十位數(shù)可表示為：10X十位上的數(shù)字十個(gè)位上的數(shù)字;一個(gè)百位數(shù)可表示為：

100義百位上的數(shù)字+10X十位上的數(shù)字十個(gè)位上的數(shù)字.以此類推.

增長(zhǎng)輪數(shù)

④平均增長(zhǎng)率（下降率）問(wèn)題：計(jì)算公式：原數(shù)X（1+增長(zhǎng)率）=總數(shù)，

下降輪數(shù)

原數(shù)義（1—下降率）=總數(shù).

⑤商品銷售問(wèn)題：基本等量關(guān)系：

總利潤(rùn)=單利潤(rùn)X數(shù)量

現(xiàn)單利潤(rùn)=原單利潤(rùn)+漲價(jià)部分（一降價(jià)部分）

漲價(jià)部分降價(jià)部分

現(xiàn)數(shù)量=原數(shù)量一---------------x變化基數(shù)（原數(shù)量】________x變化基數(shù)）

漲價(jià)基礎(chǔ)降價(jià)基礎(chǔ)

⑥圖形面積問(wèn)題：

利用勾股定理建立一元二次方程.

利用面積公式建立二元一次方程.

微專題

42.（2022?寧夏）受國(guó)際油價(jià)影響，今年我國(guó)汽油價(jià)格總體呈上升趨勢(shì).某地92號(hào)汽油價(jià)格三月底是6.2

元/升,五月底是8.9元/升.設(shè)該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列出方程,

正確的是（）

A.6.2（l+x）2=8.9B.8.9（l+^）2=6.2

C.6.2（1+/）=8.9D.6.2（l+x）+6.2（1+黯=8.9

【分析】利用該地92號(hào)汽油五月底的價(jià)格=該地92號(hào)汽油三月底的價(jià)格義（1+該地92號(hào)汽油價(jià)格這

兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率）2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,此題得解.

【解答】解：依題意得6.2（1+x）2=8.9,

故選：A.

43.(2022?河池)某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬(wàn)個(gè),三月份的口罩產(chǎn)量是50萬(wàn)個(gè)，若設(shè)該廠家一月

份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為x.則所列方程為()

A.30(1+X)2=50B.30(l-x)2=50

C.30(1+/)=50D.30(1-/)=50

【分析】若設(shè)該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為x,某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是

30萬(wàn)個(gè),則二月份的口罩產(chǎn)量是30(l+x)萬(wàn)個(gè),三月份的口罩產(chǎn)量是30(l+x)2萬(wàn)個(gè),根據(jù)三月份的口罩產(chǎn)

量是50萬(wàn)個(gè)，列出方程即可.

【解答】解：設(shè)該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為X,

由題意得,30(1+X)2=50.

故選：A.

44.(2022?哈爾濱)某種商品原來(lái)每件售價(jià)為150元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后,該種商品每件售價(jià)為96元，設(shè)

平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意，所列方程正確的是()

A.150(1-x?)=96B.150(1-x)=96

C.150(1-x>=96D.150(1-2x)=96

【分析】可先表示出第一次降價(jià)后的價(jià)格,那么第一次降價(jià)后的價(jià)格義(1-降低的百分率)=96,把相應(yīng)

數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為150X(l-x),兩次連續(xù)降價(jià)后售價(jià)在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)

上降低x,為150X(1-^)X(1-x),

則列出的方程是150(1-4=96.

故選：C.

45.(2022?新疆)臨近春節(jié)的三個(gè)月，某干果店迎來(lái)了銷售旺季，第一個(gè)月的銷售額為8萬(wàn)元,第三個(gè)月的銷

售額為11.52萬(wàn)元,設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長(zhǎng)率為x,則根據(jù)題意,可列方程為()

A.8(l+2x)=ll.52B.2X8(l+x)=11.52

C.8(1+^)2=11.52D.8(1+*2)=11.52

【分析】設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長(zhǎng)率為工先求出第二個(gè)月的銷售額，再求第三個(gè)月的銷售額，列

出方程即可.

【解答】解：設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長(zhǎng)率為X,

第一個(gè)月的銷售額為8萬(wàn)元，

第二個(gè)月的銷售額為8(1+x)萬(wàn)元，

第三個(gè)月的銷售額為8(1+x)2萬(wàn)元，

.,.8(1+X)2=11.52,

故選：C.

46.(2022?泰安)我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載"買椽多少"問(wèn)題：”六貫二百一十錢，遣人去買幾株

椽.每株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文.如

果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢,試問(wèn)6210文能買多

少株椽?設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是()

A.3(x-l)x=6210B.3(^-1)=6210

C.(3x-l)x=6210D.3x=6210

【分析】設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則一株椽的價(jià)錢為3(x-1)文，利用總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量,即可得出關(guān)于

x的一元二次方程,此題得解.

【解答】解：???這批椽的數(shù)量為x株,每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，少拿一株椽后,剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一

株椽的價(jià)錢，

...一株椽的價(jià)錢為3(x-1)文.

依題意得：3(x-l)x=6210.

故選：A.

47.(2022?重慶)小區(qū)新增了一家快遞店,第一天攬件200件,第三天攬件242件,設(shè)該快遞店攬件日平均增

長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意,下面所列方程正確的是()

A.200(1+X)2=242