《滿分線性代數(shù)（第二版）》全套教學(xué)課件

目錄第一章矩陣及其運(yùn)算第二章行列式第三章矩陣的秩與線性方程組第四章向量組的線性相關(guān)性第五章相似矩陣與二次型全套可編輯PPT課件第一章矩陣及其運(yùn)算1.1矩陣的概念1.2矩陣的運(yùn)算初步1.3矩陣乘法運(yùn)算的特點(diǎn)1.4矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)律1.5線性方程組和線性變換的矩陣表示1.6易錯(cuò)公式討論全套可編輯PPT課件第一章矩陣及其運(yùn)算1.7矩陣的轉(zhuǎn)置1.8矩陣的逆1.9矩陣逆運(yùn)算的規(guī)律1.10分塊矩陣1.11初等變換1.12初等矩陣1.13典型例題分析全套可編輯PPT課件

1.1矩陣的概念

1.矩陣的定義行n列矩陣,簡(jiǎn)稱m×n矩陣。全套可編輯PPT課件

例如:

一般用大寫(xiě)英文字母A、B、C、D、E等來(lái)表示一個(gè)矩陣,習(xí)慣用希臘字母α、β、γ等來(lái)表示只有一行或只有一列的矩陣。矩陣的兩端需要用一對(duì)圓括號(hào)或者方括號(hào)把數(shù)表括起來(lái)(本書(shū)統(tǒng)一用圓括號(hào))。

2.關(guān)于矩陣的名詞

(1)m×n矩陣:由m×n個(gè)數(shù)排成m行n列的矩形數(shù)表稱為m×n矩陣,如上例中的A就是一個(gè)2×3的矩陣。

(2)n階矩陣(n階方陣):行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣,如上例中的B就是一個(gè)二階方陣。

(3)零矩陣:所有元素都是0的矩陣,習(xí)慣用大寫(xiě)字母O來(lái)表示。

(4)列矩陣(列向量):只有一列的矩陣,如上列中的α就是一個(gè)三維列向量。

(5)行矩陣(行向量):只有一行的矩陣。

(6)主對(duì)角線:方陣的左上角到右下角的直線,如圖1.1(a)所示。

(7)副(次)對(duì)角線:方陣的右上角到左下角的直線,如圖1.1(b)所示。

圖1.1主對(duì)角線和副對(duì)角線示意圖

3.特殊矩陣

(1)上(下)三角矩陣:主對(duì)角線以下(上)元素全是0的方陣,如上例中的C就是上三角矩陣。

(2)三角矩陣:上三角矩陣或下三角矩陣。

(3)對(duì)角矩陣:主對(duì)角線以外的元素全是0的矩陣,如上例中的D。

(4)單位矩陣:主對(duì)角線元素都是1的對(duì)角矩陣,一般用E或I來(lái)表示。

(5)同型矩陣:兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等。

(6)矩陣相等:兩個(gè)矩陣同型,且對(duì)應(yīng)元素相等。

1.2矩陣的運(yùn)算初步

1.矩陣的加法運(yùn)算設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,則A±B=(aij±bij)m×n。其中,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。

2.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算設(shè)A=(aij)m×n,k為常數(shù),則kA=(kaij)m×n。其中,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。

3.矩陣的線性運(yùn)算

矩陣的加法運(yùn)算和矩陣的數(shù)乘運(yùn)算稱為矩陣的線性運(yùn)算。

4.加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算舉例

5.矩陣的乘法運(yùn)算(左行×右列)

設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,則A與B的乘積是一個(gè)m×n矩陣C=(cij)m×n。

其中,cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

矩陣乘法可以歸納為:左行×右列,如圖1.2所示。

圖1.2矩陣乘法示意圖

6.矩陣乘法舉例

1.3矩陣乘法運(yùn)算的特點(diǎn)

1.矩陣乘法運(yùn)算的特點(diǎn)(1)AB可乘條件(相鄰下標(biāo)相等):矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù),如圖1.3所示。(2)AB乘積形狀(左行×右列):AB積的行數(shù)為A的行數(shù),AB積的列數(shù)為B的列數(shù),如圖1.3所示。(3)乘積矩陣元素(左行×右列):AB積的第i行第j列元素cij等于A的第i行和B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和,如圖1.2所示。

圖1.3矩陣乘法運(yùn)算特點(diǎn)示意圖

2.矩陣乘法運(yùn)算舉例

分析圖1.4,發(fā)現(xiàn)左邊矩陣的每一行有2個(gè)元素,而右邊矩陣的每一列有3個(gè)元素,所以它們不能相乘。分析圖1.5,發(fā)現(xiàn)左右兩個(gè)矩陣相鄰下標(biāo)都是4,所以它們可以相乘,乘積的行數(shù)和列數(shù)分別為“左行”和“右列”。

圖1.4不能相乘矩陣舉例

圖1.5矩陣乘法舉例

設(shè)β=(3,2,1),那么αβ與βα都可以進(jìn)行乘法運(yùn)

算,但運(yùn)算結(jié)果卻大相徑庭,αβ為一個(gè)三階方陣,如圖1.6所示,而βα卻為一個(gè)數(shù)(1行1列的矩陣),如圖1.7所示。

圖1.6列向量乘行向量舉例

圖1.7行向量乘列向量舉例

1.4矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)律

1.矩陣乘法運(yùn)算不滿足交換律一般情況下,AB≠BA,如圖1.6和圖1.7所示。

2.矩陣乘法運(yùn)算不滿足消去律一般情況下,AB=AC/?B=C。例如,雖然有

還要注意以下兩種情況:

3.矩陣乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律和分配律

設(shè)A、B、C

為矩陣,k為一個(gè)數(shù),那么有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的):

(1)(AB)C=A(BC)。

(2)A(B+C)=AB+AC。

(3)k(AB)=(kA)B=A(kB)。

4.單位矩陣E的運(yùn)算規(guī)律與數(shù)域中1的運(yùn)算規(guī)律類(lèi)似

對(duì)任意矩陣A,總有AE=A,EA=A,其中E為能夠和A做乘法的單位矩陣。

通過(guò)以上的討論和分析,可以把矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)律總結(jié)為:“空間位置不能變”“時(shí)間次序可以變”。

1.5線性方程組和線性變換的矩陣表示

1.線性方程組的矩陣表示

線性方程組的矩陣表示如下:

2.線性變換的矩陣表示

線性變換的矩陣表示如下:

1.6易錯(cuò)公式討論

由于矩陣乘法運(yùn)算不滿足交換律,因此以下公式在矩陣運(yùn)算中不再成立,請(qǐng)同學(xué)們特別注意。(1)(A±B)2≠A2±2AB+B2。(2)A3±B3≠(A±B)(A2?AB+B2)。(3)A2-B2≠(A+B)(A-B)。(4)(A+B)n≠C0nAnB0+C1nAn-1B1+…+Cnn-1A1Bn-1+CnnA0Bn。

但是,當(dāng)矩陣A與B可交換,即有AB=BA時(shí),以上公式就成立了,例如:

(1)(A±E)2=A2±2A+E。

(2)A3±E=(A±E(A2?A+E)。

(3)A2-E=(A+E)(A-E)。

(4)(A+E)n

=C0n

An+C1nAn-1+…+Cn-1n

A1+CnnE。

1.7矩陣的轉(zhuǎn)置

1.矩陣轉(zhuǎn)置的定義把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的一個(gè)新矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT。若A為方陣,那么矩陣A的轉(zhuǎn)置也可以理解為:把矩陣A以主對(duì)角線為軸轉(zhuǎn)動(dòng)180°得到的結(jié)果。

2.矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算的規(guī)律

設(shè)A和B為矩陣,k為數(shù),那么有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的):

(1)(AT)T=A。

(2)(A+B)T=AT+BT。

(3)(kA)T=kAT。

(4)(AB)T=BTAT。

3.對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣

若n階方陣A滿足AT=A,則稱矩陣A為對(duì)稱矩陣。若n階方陣A滿足AT=-A,則稱矩陣A為反對(duì)稱矩陣。

例如,矩陣為對(duì)稱矩陣,矩陣

為反對(duì)稱矩陣。

1.8矩陣的逆

1.矩陣逆的定義對(duì)于n階矩陣A,如果有一個(gè)n階矩陣B,使AB=BA=E,則稱矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣。

A的逆矩陣記作A-1,有AA-1=A-1A=E。在后面的學(xué)習(xí)中,我們可以證明:對(duì)于n階矩陣A和B,只要有AB=E,即可得到A與B互逆。

2.矩陣的可逆性

有的方陣是可逆的,有的方陣是不可逆的,所有方陣可以分為可逆矩陣和不可逆矩陣。

例如,所以知道矩陣和矩陣

都是可逆矩陣,且它們互逆。

現(xiàn)在分析矩陣等式可以發(fā)現(xiàn),無(wú)論a、b、c、d取何值,該等式都不能成立,這就說(shuō)明矩陣

是一個(gè)不可逆矩陣。

3.矩陣逆的唯一性

如果矩陣A可逆,那么它的逆矩陣一定是唯一的。

設(shè)矩陣B和C都是矩陣A的逆矩陣,則有AB=BA=E和AC=CA=E,那么B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,即證明了矩陣逆的唯一性。

1.9矩陣逆運(yùn)算的規(guī)律

設(shè)A和B為方陣,k為數(shù),那么有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的):(1)(A-1)-1=A。(2)(kA)-1=k-1A-1。(3)(AB)-1=B-1A-1。(4)(AT)-1=(A-1)T。

要證明矩陣A的逆矩陣是B,只需要驗(yàn)證AB=E即可。顯然有:

(1)A-1A=E。

(2)(kA)(k-1A-1)=kk-1AA-1=E。

(3)(AB)(B-1A-1)=E。

(4)AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E。

1.10分塊矩陣

1.分塊矩陣的概念將矩陣用若干條橫線和豎線分成若干個(gè)小矩陣,每一個(gè)小矩陣稱為子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。一個(gè)矩陣的分塊方式可以有很多種,圖1.8給出了一個(gè)3×4矩陣的四種不同形式的分塊情況。

圖1.8分塊矩陣示意圖

2.分塊矩陣的運(yùn)算

對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊處理,有如下運(yùn)算公式(假設(shè)所有運(yùn)算都是可行的):

3.分塊矩陣的應(yīng)用

應(yīng)用舉例1:若有

可以把矩陣B分成左右兩個(gè)方陣,即為(C,D),則有

以上分塊運(yùn)算結(jié)果與A直接左乘B的結(jié)果是一致的。

應(yīng)用舉例2:若有可以把矩

陣B按列分成3塊,即(b1,b2,b3),則有

以上分塊運(yùn)算結(jié)果與A

直接左乘B的結(jié)果是一致的。

1.11初等變換

1.定義初等變換包括初等行變換和初等列變換,初等行(列)變換的三種具體變換如下:(1)交換第i、j兩行(列)的位置,記作ri?rj(ci?cj)。(2)以非零數(shù)k乘第i行(列),記作kri(kci)。(3)把第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,記作ri+krj(ci+kcj)。

2.相關(guān)名詞

等價(jià)具有傳遞性:若A與B等價(jià),且B與C等價(jià),則A與C等價(jià)。

1.12初等矩陣

1.定義由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣(初等方陣)。三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣,例如:

2.定理

對(duì)A施行一次初等行變換,相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的初等矩陣。對(duì)A施行一次初等列變換,相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣。

例如:把矩陣A的第一行乘3變成了矩陣B,那么矩陣A和矩陣B有以下等式關(guān)系:

類(lèi)似地,把矩陣A的第一行乘-3加到第二行中變成了矩陣C,那么矩陣A和矩陣C有以下等式關(guān)系:

若把矩陣A的第二列和第三列對(duì)調(diào)變成了矩陣D,那么矩陣A和矩陣D有以下等式關(guān)系:

3.用初等變換求矩陣的逆

可以用初等行變換來(lái)求矩陣的逆矩陣。具體方法是:把n階矩陣A和n階單位矩陣E放到同一個(gè)矩陣中,即(A,E),然后對(duì)其進(jìn)行初等行變換:

當(dāng)把矩陣A變成單位矩陣E時(shí),矩陣B就是A-1。

以上求逆矩陣的方法,可以用初等矩陣定理和分塊矩陣思路來(lái)給出證明。

設(shè)矩陣(A,E)經(jīng)過(guò)l次初等行變換變?yōu)?E,B),有Pl…P2P1(A,E)=(E,B),令P=Pl…P2P1,則有P(A,E)=(E,B),即(PA,P)=(E,B),所以有PA=E,P=B,故B=A-1。

1.13典型例題分析

【例1.1】已知矩陣且有P-1AP=Λ,求A11。

【思路】因?yàn)閷?duì)角矩陣的高次冪容易求得,故把求A11轉(zhuǎn)化為求Λ11。

【解】因?yàn)镻-1AP=Λ,所以A=PΛP-1,故

而

則

【評(píng)注】在計(jì)算矩陣高次冪An類(lèi)型題目時(shí),分別有以下6種情況:

(1)若矩陣A為對(duì)角矩陣或分塊對(duì)角矩陣,則可以直接利用公式計(jì)算An

。

(2)若矩陣A中零元素較多,且元素分布有一定的規(guī)律性,則可以根據(jù)矩陣A

的低次冪分析出n次冪的規(guī)律,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明。

(3)若矩陣A的秩為1,可以把矩陣A拆成一個(gè)列向量α與行向量β的乘積,然后利用以下公式計(jì)算:

其中,tr(A)稱為矩陣A的跡,它等于矩陣A的主對(duì)角線元素之和。

【秘籍】由于矩陣乘法不滿足交換律,于是“改變矩陣運(yùn)算時(shí)間順序”就是矩陣運(yùn)算的一大技巧。

(4)若把矩陣A拆分成A=λΕ+B,而其中矩陣B的高次冪Bn

容易求得,則可以利用以下“二項(xiàng)式”公式進(jìn)行計(jì)算:

【秘籍】當(dāng)方陣滿足AB=BA時(shí),(A±B)n和An±Bn分別與數(shù)域中的公式(x±y)n和xn

±yn

是一致的,例如:

(5)當(dāng)矩陣A可以相似對(duì)角化,或有關(guān)系式A=P-1BP,且矩陣B

的高次冪Bn

容易求得時(shí),可以利用以下公式計(jì)算:

(6)當(dāng)矩陣P為初等矩陣時(shí),PkA就是對(duì)矩陣A進(jìn)行k次與P對(duì)應(yīng)的初等行變換的結(jié)果,而B(niǎo)Pk就是對(duì)矩陣B進(jìn)行k次與P對(duì)應(yīng)的初等列變換的結(jié)果。

＋

【例1.5】設(shè)A、B及A+B都為n階可逆矩陣。證明A(A+B)-1B=B(A+B)-1A。

【思路】因?yàn)?A+B)-1的括號(hào)無(wú)法脫去,所以想讓括號(hào)內(nèi)外的矩陣“見(jiàn)面”,就要把逆運(yùn)算提到整個(gè)算式之外。

【例1.6】分析以下命題,正確的命題是。

命題1:若AB=AC,且A≠O,則B=C。

命題2:若AB=AC,且B≠C,則A=O。

命題3:若AB=AC,且A為可逆矩陣,則B=C。

命題4:若AB=O,則A=O或B=O。

命題5:A為m×n階實(shí)矩陣,若ATA=O,則A=O。

【思路】突破“數(shù)域乘法運(yùn)算規(guī)律”的慣性思維。

【評(píng)注】

(1)若A可逆,則存在矩陣A-1,且A-1A=AA-1=E。

(2)矩陣AT左乘A實(shí)質(zhì)上是矩陣A的列向量組進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算,ATA主對(duì)角線上的元素即為A的所有列向量長(zhǎng)度的平方。

【秘籍】

(1)要說(shuō)明一個(gè)命題正確,需要加以證明;但要說(shuō)明一個(gè)命題錯(cuò)誤,只需找到一個(gè)反例即可。

(2)初學(xué)者要打破數(shù)域中運(yùn)算規(guī)律的慣性思維,比如乘法交換律、乘法消去律。

【評(píng)注】滿足Am=O的矩陣A稱為冪零矩陣,例如對(duì)角線元素都是0的三角矩陣就是冪零矩陣,若α、β為n維正交列向量,則A=αβT也為冪零矩陣。例如:

【思路】想辦法把括號(hào)內(nèi)的E-B

變成矩陣乘積的形式,才能把括號(hào)“脫掉”。

【思路】矩陣P1和P2都是初等矩陣,根據(jù)初等矩陣定理解題。

【解】選項(xiàng)(A)和(B)中的矩陣B是對(duì)矩陣A進(jìn)行初等列變換的結(jié)果,而選項(xiàng)(D)的行變換次序顛倒了。選項(xiàng)(C)正確。

【例1.15】設(shè)A為三階矩陣,將矩陣A的第一行加到第三行得到矩陣B,再將B的第三列的-1倍加到第一列得到C,

設(shè)則A、C、P三個(gè)矩陣的關(guān)系等式為()。

【思路】矩陣P為初等矩陣,且PT和P-1都是初等矩陣,然后根據(jù)初等矩陣定理解題。

【評(píng)注】本題考查了以下知識(shí)點(diǎn):

(1)已知矩陣A、B滿足PA=B,其中P為初等矩陣,則矩陣B為矩陣A進(jìn)行一次初等行變換的結(jié)果,而行變換的種類(lèi)由初等矩陣P的種類(lèi)決定。若初等矩陣P是單位矩陣E的第i行和第j行交換得到的,那么矩陣B就為矩陣A的第i行和第j行交換的結(jié)果。

(2)已知矩陣A、B滿足AP=B,其中P為初等矩陣,則矩陣B為矩陣A進(jìn)行一次初等列變換的結(jié)果,而列變換的種類(lèi)由初等矩陣P的種類(lèi)決定。若初等矩陣P是單位矩陣E第i列的k倍加到第j列上得到的,那么矩陣B就為矩陣A第i列的k倍加到第j列上的結(jié)果。

(3)初等矩陣的逆矩陣仍然是初等矩陣,如:

【秘籍】初等變換及初等矩陣的知識(shí)點(diǎn)在各類(lèi)考試中頻繁出現(xiàn),同學(xué)們一定要熟練掌握。第二章行列式2.1二階和三階行列式2.2n

階行列式2.3簡(jiǎn)單行列式的計(jì)算2.4行列式的性質(zhì)2.5行列式按行(列)展開(kāi)2.6矩陣的行列式公式2.7伴隨矩陣第二章行列式2.8克萊姆法則2.9特殊行列式的計(jì)算2.10對(duì)角(副對(duì)角)矩陣相關(guān)公式2.11分塊對(duì)角(副對(duì)角)矩陣相關(guān)公式2.12矩陣運(yùn)算規(guī)律2.13矩陣八類(lèi)運(yùn)算公式歸納2.14典型例題分析

2.1二階和三階行列式

1.二階行列式

用符號(hào)表示算式a11a22-a12a21,稱為二階行列式。例如:

2.三階行列式

用符號(hào)表示算式

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32,

稱為三階行列式。圖2.1給出了一個(gè)計(jì)算三階行列式的對(duì)角線法則,也稱為沙路法。

圖2.1用沙路法求三階行列式

例如:

3.行列式與矩陣的區(qū)別

(1)本質(zhì)不同:行列式的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值,而矩陣代表的是一個(gè)數(shù)表。

(2)符號(hào)不同:行列式兩邊是一對(duì)豎杠,矩陣是一對(duì)圓括號(hào)(或方括號(hào))。

(3)形狀不同:行列式的行數(shù)與列數(shù)一定相等,即行列式一定是“正方形”;而矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以不同。

(4)數(shù)乘運(yùn)算不同:數(shù)k乘行列式D,結(jié)果為數(shù)k乘到行列式D的某一行(列)中,而數(shù)k乘矩陣A,結(jié)果為數(shù)k乘到矩陣A的每一個(gè)元素上。例如:

(5)“拆分”法則不同:把行列式“拆分”成兩個(gè)(或兩個(gè)以上)行列式,只能“拆分”其中的一行(列),而矩陣的“拆分”法則卻不同。例如:

2.2n階行列式

1.排列及排列的逆序數(shù)排列:由1,2,…,n組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n階排列。通常用p1p2…pn

來(lái)表示。逆序數(shù):一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫作這個(gè)排列的逆序數(shù)。通常用τ(p1p2…pn)來(lái)表示排列p1p2…pn

的逆序數(shù)。

例如:由1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字可以組成5!種不同的排列,比如54132就是其中一個(gè)排列。計(jì)算排列逆序數(shù)有不同的方法,圖2.2給出一個(gè)用“向左看”法求逆序數(shù)的示意圖:

即分析排列中的每一個(gè)數(shù)字左邊比自己大的數(shù)的個(gè)數(shù),然后求其和,即為這個(gè)排列的逆序數(shù)。圖2.2“向左看”求逆序數(shù)法

2.n階行列式

由n2個(gè)數(shù)排成n行n列,兩邊用一對(duì)豎線括起來(lái),表示一個(gè)算式,記為D,即

式中:τ為排列p1p2…pn

的逆序數(shù);∑表示對(duì)1,2,…,n的所有排列p1p2…pn

取和。

n階行列式有以下特點(diǎn):

(1)共有n!項(xiàng)。

(2)每一項(xiàng)是“不同行、不同列”的n個(gè)元素的積(或描述成:“每行每列都有”)。

(3)每一項(xiàng)的正負(fù)由元素所在行和列的下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定。

例如,四階行列式共有4!=24項(xiàng),每一項(xiàng)都是來(lái)自“不同行、不同列”的4個(gè)元素的積,如圖2.3(a)中圓圈所圈出來(lái)的4個(gè)元素。首先,按第一、第二、第三、第四行的次序?qū)懗鲞@4個(gè)元素4、7、12、14,如圖2.3(b)所示;其次,分析這4個(gè)元素的列號(hào)構(gòu)成的排列4312的逆序數(shù)為5,所以這項(xiàng)的值為

圖2.3分析四階行列式的一項(xiàng)

2.3簡(jiǎn)單行列式的計(jì)算

1.對(duì)角行列式

對(duì)角行列式的計(jì)算式如下:

例如:

2.三角行列式

三角行列式的計(jì)算式如下:

例如:

3.次(副)對(duì)角行列式或三角行列式

次(副)對(duì)角行列式或三角行列式的計(jì)算式如下:

例如:

2.4行列式的性質(zhì)

1.轉(zhuǎn)置相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。例如:

2.換行(列)變號(hào)

互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào)。

例如:

這個(gè)性質(zhì)與矩陣的第一種初等變換相對(duì)應(yīng)。

3.乘數(shù)乘行(列)

用數(shù)k乘行列式,等于用數(shù)k乘行列式的某一行(列)的所有元素。

例如:

這個(gè)性質(zhì)與矩陣的第二種初等變換相對(duì)應(yīng)。

4.倍加相等

將某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式值不變。

例如:

這個(gè)性質(zhì)與矩陣的第三種初等變換相對(duì)應(yīng)。

5.拆分拆行(列)

一個(gè)行列式可以拆分為若干個(gè)行列式之和。圖2.4給出了一個(gè)三階行列式按第二行拆分的具體實(shí)例。需要注意的是,在拆分過(guò)程中除某一行以外,行列式的其他行都沒(méi)有變化。圖2.4行列式的拆分

6.零性質(zhì)

(1)當(dāng)行列式有一行(列)全為零時(shí),這個(gè)行列式的值為零。

(2)當(dāng)行列式有兩行(列)完全相等時(shí),這個(gè)行列式的值為零。

(3)當(dāng)行列式有兩行(列)對(duì)應(yīng)成比例時(shí),這個(gè)行列式的值為零。

圖2.5給出為零的三個(gè)具體行列式。

圖2.5行列式的零性質(zhì)舉例

2.5行列式按行(列)展開(kāi)

1.余子式和代數(shù)余子式

在n階行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列劃去后,留下來(lái)的n-1階行列式叫作元素aij的余子式,記作Mij。把Aij=(-1)i+jMij叫作元素aij的代數(shù)余子式。圖2.6給出了一個(gè)具體的余子式和代數(shù)余子式。圖2.6余子式和代數(shù)余子式

2.行列式展開(kāi)定理

n

階行列式D等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即

或

3.行列式展開(kāi)定理推論

n階行列式D的任一行(列)的各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即

或

綜合定理和推論有:

或

行列式的展開(kāi)定理與推論可以用以下具體示例來(lái)說(shuō)明:

另外,若是第三行元素乘第二行對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式,則有

2.6矩陣的行列式公式

1.分塊三角行列式的公式如果一個(gè)方陣能夠分成分塊上(下)三角矩陣,那么它的行列式等于其主對(duì)角線上的子矩陣的行列式之乘積,例如或

圖2.7給出了一個(gè)具體示例。圖2.7分塊三角行列式的計(jì)算

2.矩陣積的行列式公式

可以根據(jù)分塊三角行列式公式來(lái)證明矩陣積的行列式公式:

根據(jù)以上公式可知,雖然在一般情況下,AB≠BA,

但總有:|AB|=|BA|=|A||B|。

3.矩陣數(shù)乘的行列式公式

根據(jù)矩陣數(shù)乘定義及行列式的乘數(shù)乘行(列)性質(zhì),可以得到矩陣數(shù)乘的行列式公式為

2.7伴隨矩陣

1.定義

n階方陣A=(aij)n×n的伴隨矩陣為圖2.8給出了一個(gè)三階伴隨矩陣A*的構(gòu)造示意圖。圖2.8伴隨矩陣構(gòu)造示意圖

2.伴隨矩陣的“母公式”

伴隨矩陣的“母公式”為

圖2.9給出了伴隨矩陣“母公式”的證明示意圖。根據(jù)矩陣乘法規(guī)則及行列式按行展開(kāi)定理及推論,可知矩陣A

的第i行乘伴隨矩陣A*的i列對(duì)應(yīng)元素積的和即為矩陣A

的行

列式|A

|(i=1,2,3);矩陣A的第i行乘伴隨矩陣A*的j列對(duì)應(yīng)元素積的和即為0(i≠j)。

圖2.9伴隨矩陣“母公式”證明示意圖

3.矩陣可逆的判定定理

4.再談逆矩陣的定義

根據(jù)矩陣積的行列式公式及矩陣可逆的判斷定理可知:若n階矩陣A和B滿足AB=E,則有|AB|=|E|,|A||B|=|E|=1,于是有|A|≠0,且|B|≠0,則A可逆,B可逆,對(duì)AB=E等式兩端左乘A-1,再右乘A,則有BA=E,于是A與B互逆。

2.8克萊姆法則

1.克萊姆法則若n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組

的系數(shù)行列式

則該方程組有唯一解:

其中Dj(j=1,2,…,n)是把D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式,如圖2.10所示。

圖2.10行列式Dj的構(gòu)造示意圖

2.克萊姆法則相關(guān)定理

針對(duì)n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組,其解的情況有以下4個(gè)定理。

(1)Ax=b有唯一解的充分必要條件是|A|≠0。

(2)Ax=b無(wú)解或有無(wú)窮多組解的充分必要條件是|A|=0。

(3)Ax=0只有零解的充分必要條件是|A|≠0。

(4)Ax=0有非零解的充分必要條

程組Ax=0所有未知數(shù)都為零的解稱為零解。方程組Ax=0的所有未知數(shù)不全為零的解稱為非零解。

2.9特殊行列式的計(jì)算

1.“一杠一星”行列式圖2.11給出了兩個(gè)具體的“一杠一星”行列式。圖2.11“一杠一星”行列式舉例

2.“兩杠一星”行列式

圖2.12給出了一個(gè)具體的“兩杠一星”行列式,τ1為5、4、3、2、1這五個(gè)數(shù)的列標(biāo)排列54321的逆序數(shù),τ2為6、5、4、3、2這五個(gè)數(shù)的列標(biāo)排列43215的逆序數(shù)。圖2.12“兩杠一星”行列式舉例

3.“箭頭”行列式

圖2.13給出了一個(gè)具體的“箭頭”行列式,計(jì)算“箭頭”行列式的方法就是把它化成三角行列式。圖2.13“箭頭”行列式舉例

4.“弓形”行列式

圖2.14給出了一個(gè)具體的“弓形”行列式,其計(jì)算方法與“箭頭”行列式類(lèi)似。圖2.14“弓形”行列式舉例

5.“同行(列)同數(shù)”行列式

以下是一個(gè)具體的五階“同列同數(shù)”行列式,其第1列都有元素a1,第2列都有元素a2……于是用第1行乘(-1)加到其他所有行中,可以把行列式化成“箭頭”行列式,再進(jìn)一步化成三角行列式。

6.“X形”行列式

圖2.15是一個(gè)六階“X形”行列式,可以證明,該類(lèi)行列式可以通過(guò)偶數(shù)次行、列交換化為分塊對(duì)角行列式。圖2.15“X形”行列式舉例

7.“ab”矩陣行列式

把主對(duì)角線上元素全是a,其他位置元素全是b的矩陣稱為“ab”矩陣。

下面來(lái)計(jì)算一個(gè)五階“ab”矩陣的行列式。

8.范德蒙行列式

范德蒙行列式是一個(gè)非常重要的行列式。圖2.16給出了范德蒙行列式的元素特點(diǎn)及計(jì)算結(jié)果規(guī)律。圖2.16范德蒙行列式舉例

n階范德蒙行列式的計(jì)算結(jié)果用連乘符號(hào)表示為

2.10對(duì)角(副對(duì)角)矩陣相關(guān)公式

1.對(duì)角矩陣的公式針對(duì)對(duì)角矩陣,有以下4個(gè)公式。(1)對(duì)角矩陣的乘積公式:

(2)對(duì)角矩陣的冪公式:

(3)對(duì)角矩陣的逆公式:

從以上3個(gè)公式可以看出:兩個(gè)對(duì)角矩陣的乘積依然是對(duì)角矩陣,對(duì)角矩陣的冪依然是對(duì)角矩陣,對(duì)角矩陣的逆矩陣還是對(duì)角矩陣。

(4)對(duì)角矩陣的行列式公式:

2.副對(duì)角矩陣的公式

(1)副對(duì)角矩陣的逆公式:

(2)副對(duì)角矩陣的行列式公式:

2.11分塊對(duì)角(副對(duì)角)矩陣相關(guān)公式

1.分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣類(lèi)似,有以下公式。

(1)分塊對(duì)角矩陣的冪公式:

(2)分塊對(duì)角矩陣的逆公式:

(3)分塊對(duì)角矩陣的行列式公式:

2.分塊副對(duì)角矩陣

(1)分塊副對(duì)角矩陣的逆公式:

(2)分塊副對(duì)角矩陣的行列式公式:

2.12矩陣運(yùn)算規(guī)律

1.矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律滿足“空間位置不能變,時(shí)間次序可以變”。如以下運(yùn)算(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的):矩陣運(yùn)算規(guī)律(1)AB≠BA。(2)A(B+C)=AB+AC。(3)(AB)C=A(BC)。(4)(AB)4=ABABABAB=A(BABABA)B=A(BA)3B。

2.矩陣乘法運(yùn)算與“上標(biāo)運(yùn)算”相結(jié)合

把轉(zhuǎn)置運(yùn)算、伴隨運(yùn)算、逆運(yùn)算及冪運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的“上標(biāo)運(yùn)算”。矩陣乘法運(yùn)算與轉(zhuǎn)置、伴隨及逆運(yùn)算相結(jié)合,其運(yùn)算規(guī)律類(lèi)似,可以歸納為:脫括號(hào)、“戴上帽子”變位置,即

利用矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律可以把AB的k次冪轉(zhuǎn)換為BA的k-1次冪:

3.矩陣“上標(biāo)運(yùn)算”特點(diǎn)

任意兩個(gè)“上標(biāo)運(yùn)算”可以調(diào)換先后運(yùn)算次序,設(shè)α、β分別代表兩個(gè)不同的“上標(biāo)運(yùn)算”,則有

2.13矩陣八類(lèi)運(yùn)算公式歸納

表2.1把矩陣分為八類(lèi)運(yùn)算,表中符號(hào)“√”代表縱橫兩種運(yùn)算間有運(yùn)算公式。例如(A+B)-1、(A+B)*和|A+B|就沒(méi)有相應(yīng)的運(yùn)算公式。

1.加法運(yùn)算公式

設(shè)A、B、C為同型矩陣,則有

2.數(shù)乘運(yùn)算公式

設(shè)A、B為同型矩陣,k為數(shù),則有

3.乘法運(yùn)算公式

設(shè)A、B、C為矩陣,k為數(shù),則有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的)

4.冪運(yùn)算公式

5.轉(zhuǎn)置運(yùn)算公式

設(shè)A、B為矩陣,k為數(shù),則有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的)

6.逆運(yùn)算公式

設(shè)A、B為可逆矩陣,則有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的)

7.伴隨運(yùn)算公式

8.矩陣的行列式運(yùn)算公式

設(shè)A為n階方陣,k為數(shù),則有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的)

2.14典型例題分析

【例2.1】n階行列式

【思路】發(fā)現(xiàn)行列式只有n個(gè)非零元素,于是考慮用行列式定義計(jì)算。

【解】根據(jù)n階行列式定義可知,n階行列式由n!項(xiàng)組成,其中每一項(xiàng)都是n個(gè)元素的乘積,而該行列式只有n個(gè)非零元素,且這n個(gè)元素剛好滿足“不同行不同列”的條件,其中元素1,2,…,n

-1,n的行標(biāo)為自然排列,其列標(biāo)排列為23…n1,該排列的逆序數(shù)為n-1,則行列式值為:(-1)n-1n!。

【評(píng)注】“一杠一星”行列式共有四種不同的形狀,如圖2.17所示。所謂“一杠”,是指與主(副)對(duì)角線平行且相鄰的一條直線;所謂“一星”,是指離該直線距離最遠(yuǎn)的一個(gè)元素。該類(lèi)行列式元素的特點(diǎn)是在“一杠”和“一星”處的元素不為零,其余元素都為零。n階“一杠一星”行列式的值為行列式中所有非零元素的乘積,其符號(hào)為(-1)τ。若“一杠”與主對(duì)角線平行,如圖2.17的(a)和(b),則τ=n-1;若“一杠”與副對(duì)角線平行,如圖2.17的(c)和

【秘籍】給特殊行列式起一個(gè)通俗形象的名字,非常有利于同學(xué)們記憶、交流和歸納總結(jié)。圖2.17“一杠一星”行列式示意

【例2.2】

n階行列式

(行列式中空白處為零,后文與此相同)

【思路】該行列式中的零仍然較多,于是聯(lián)想到定義法。

【解】根據(jù)行列式定義,可以分析出,在n階行列式的n!項(xiàng)中,只有兩項(xiàng)非零,一項(xiàng)是an

,另一項(xiàng)是bn

,an符號(hào)為正,bn

的符號(hào)為(-1)τ,其中τ為排列23…n1的逆序數(shù),于是本題答案為an

+(-1)n-1bn

。

【評(píng)注】該類(lèi)行列式稱為“兩杠一星”行列式,如圖2.18所示。它的計(jì)算結(jié)果只有兩項(xiàng),其中一項(xiàng)是對(duì)角線(或副對(duì)角線)元素的乘積,另一項(xiàng)是對(duì)角線元素之外n個(gè)元素的乘積,其正負(fù)要根據(jù)這些元素的位置確定。圖2.18“兩杠一星”行列式示意

【例2.3】已知

【思路】根據(jù)行列式的“倍加不變”性質(zhì),利用主對(duì)角線元素a2,a3,…,an把第一列的所有元素b都消為0,從而把原行列式化簡(jiǎn)為上三角行列式。

【解】

【評(píng)注】該類(lèi)行列式稱為“爪形”行列式。其求解方法是利用主(副)對(duì)角線元素消去非零列(行)的n-1個(gè)元素,最后化簡(jiǎn)為三角行列式。圖2.19給出了“爪形”行列式示意圖。圖2.19“爪形”行列式示意

【例2.4】計(jì)算n階行列式

【思路】根據(jù)行列式的“倍加不變”性質(zhì),利用主對(duì)角線元素把與主對(duì)角線平行位置的元素都消為0,從而把原行列式化簡(jiǎn)為上三角行列式。

【解】

【例2.5】

【思路】行列式的每一列之和都為3(n-1)+4,故把所有行都加到第1行中,即可把公因式3(n-1)+4提到行列式符號(hào)之外,再利用元素全為1的第一行對(duì)其他行進(jìn)行化簡(jiǎn)。

【解】

【評(píng)注】該類(lèi)行列式稱為“ab”行列式。它的特點(diǎn)是:主對(duì)角線元素全是a,其他元素全是b。

【秘籍】若|A|為“ab”行列式,則|A|=[a+(n-1)b](a-b)n-1。

【例2.6】

【解】

【評(píng)注】該行列式稱為“類(lèi)ab”行列式,解題過(guò)程的最后一步用到了行列式定義的知識(shí)點(diǎn),同學(xué)們要熟練掌握。

【例2.10】

【例2.12】計(jì)算n階行列式:

【解】在原行列式基礎(chǔ)上加一行(1,x1,x2,…,xn),加一列(1,0,0,…,0)T,根據(jù)行列式第一列展開(kāi)定理有

【例2.13】設(shè)A為n階矩陣,且A3=O,則()。

(A)E-A不可逆,E+A不可逆,A不可逆

(B)E-A不可逆,E+A可逆,A不可逆

(C)E-A可逆,E+A可逆,A可逆

(D)E-A可逆,E+A可逆,A不可逆

【解】因?yàn)锳3=O,兩邊取行列式有|A|3=|O|,于是|A|=0,所以A不可逆。

則矩陣E-A和E+A

都可逆。故(D)選項(xiàng)正確。

【評(píng)注】該題考查了以下知識(shí)點(diǎn):

(1)伴隨矩陣母公式AA*=A*A=|A|E。

(2)|AB|=|A||B|。

(3)|AT|=|A|。

(4)|kAn|=kn|An|。

(5)AAT的主對(duì)角線元素分別為矩陣A的行向量長(zhǎng)度的平方。

【例2.15】計(jì)算n階行列式

其中ai≠0,i=1,2,…,n。

【解】

【例2.16】已知齊次線性方程組

【解】方程組的系數(shù)矩陣A為“ab”矩陣,計(jì)算得到|A|=(3+λ)(λ-1)3。

因?yàn)辇R次線性方程組Ax=0有非零解,根據(jù)克萊姆法則相關(guān)定理知|A|=(3+λ)(λ-1)3=0,則λ=-3或λ=1。

【評(píng)注】該題考查以下知識(shí)點(diǎn):

(1)Anx=0有非零解的充分必要條件是|An|=0。

(2)“ab”矩陣行列式計(jì)算公式見(jiàn)例2.5評(píng)注及秘籍。

【例2.17】設(shè)矩陣A、B滿足A*BA=2BA-4E,其中

求B。

【秘籍】在化簡(jiǎn)矩陣方程時(shí),有一個(gè)技巧是“從左看,從右看,相同矩陣是關(guān)鍵”,下面給出3個(gè)例子。

(1)若矩陣A可逆,且AXA=XA+2A,求X。

從右向左看,如圖2.20所示,看見(jiàn)了3個(gè)A,所以對(duì)等式兩端右乘A-1,則有AX=X+2E,再進(jìn)一步求解X。圖2.20從右向左觀察矩陣等式

(2)若矩陣A可逆,且A*XA=A-1+2A-1X,求X。

從左向右看,如圖2.21所示,可以看到兩個(gè)A-1和一個(gè)A*,所以對(duì)等式兩端左乘A,則有|A|XA=E+2X,再進(jìn)一步求解X。圖2.21從左向右觀察矩陣等式

(3)若矩陣A可逆,且AXA-1=AX+3E,求X。

從左向右看,可以看到兩個(gè)A,所以對(duì)等式兩端左乘A-1,則有XA-1=X+3A-1,此時(shí),再?gòu)挠蚁蜃罂?又可以看到兩個(gè)A-1,故對(duì)矩陣等式兩端再右乘A,則有X=XA+3E,再進(jìn)一步求X。

【例2.18】設(shè)A、B是n階方陣,已知|A|=2,|E+AB|=3,求|E+BA|。

【秘籍】建立已知矩陣和未知矩陣之間的等式關(guān)系是解決本類(lèi)題目的關(guān)鍵,以下再給出三個(gè)例子。

(1)設(shè)A、B為三階矩陣,且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2,求|A+B-1|。

可以構(gòu)造矩陣等式:A(A1+B)B-1=B-1+A,然后等式兩端取行列式即可得解。

(2)已知A、B、A+B都是可逆矩陣,證明A-1+B-1可逆。

可以構(gòu)造矩陣等式:A(A-1+B-1)B=A+B,然后等式兩端取行列式即可得證。

(3)已知矩陣A和AB-E都可逆,證明BA-E可逆。

可以構(gòu)造矩陣等式:A(BA-E)=(AB-E)A,然后等式兩端取行列式即可得證。

【例2.22】已知

那么行列式|A|的所有元素的代數(shù)余子式之和為

。

【解】根據(jù)分塊矩陣的行列式公式,有

根據(jù)分塊矩陣的求逆公式,有

根據(jù)伴隨矩陣公式,有

則

【評(píng)注】本題考查了以下公式和伴隨矩陣的概念:

【評(píng)注】

(1)善于用矩陣等式來(lái)描述線性代數(shù)問(wèn)題。

(2)伴隨矩陣A*是由A的代數(shù)余子式構(gòu)成的。

(3)要熟記伴隨矩陣母公式:A*A=AA*=A|E|。第三章矩陣的秩與線性方程組3.1矩陣秩的定義3.2矩陣秩的求法3.3矩陣秩的性質(zhì)3.4利用初等行變換解線性方程組3.5利用初等行變換解非齊次線性方程組舉例3.6線性方程組解的判定3.7典型例題分析

3.1矩陣秩的定義

1.k階子式

m×n矩陣A的任意k行與任意k列交叉處的k2個(gè)元素構(gòu)成的k階行列式稱為矩陣A的k階子式。顯然矩陣A共有CkmCkn個(gè)k階子式。圖3.1給出一個(gè)3×4矩陣A的1個(gè)二階子式。

圖3.1矩陣A的1個(gè)二階子式示意圖

2.矩陣的秩

若矩陣A的某一個(gè)k階子式D不等于零,而A的所有k+1階子式全為零,那么D稱為A的最高階非零子式,數(shù)k稱為矩陣A的秩,記作R(A)。并規(guī)定零矩陣的秩等于0。

3.與秩相關(guān)的幾個(gè)矩陣

(1)行滿秩矩陣:矩陣的秩等于其行數(shù)的矩陣。

(2)列滿秩矩陣:矩陣的秩等于其列數(shù)的矩陣。

(3)滿秩矩陣:若n階矩陣A的行列式|A|≠0,則A的秩等于n,稱其為滿秩矩陣。顯然滿秩矩陣就是可逆矩陣,也稱非奇異矩陣。

(4)降秩矩陣:若n階矩陣A的行列式|A|=0,則A的秩小于n,稱其為降秩矩陣。顯然降秩矩陣就是不可逆矩陣,也稱奇異矩陣。

(5)行階梯矩陣:滿足兩個(gè)條件,

①如果有零行(元素全為0的行),則零行位于非零行的下方;

②每一行第一個(gè)非零元素前面的零的個(gè)數(shù)逐行增加。

任意一個(gè)矩陣A總可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換化為行階梯矩陣。圖3.2給出了3個(gè)行階梯矩陣的示意圖,圖3.3又給出了2個(gè)反例。圖3.2行階梯矩陣示意圖

圖3.3非行階梯矩陣示意圖

(6)行最簡(jiǎn)形矩陣:滿足兩個(gè)條件,①是一個(gè)行階梯矩陣;

②每一行的第一個(gè)非零元素為1,且這個(gè)元素所在列的其他元素都是0。

任意一個(gè)矩陣A總可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣。圖3.4給出了一個(gè)具體的行最簡(jiǎn)形矩陣。

圖3.4行最簡(jiǎn)形矩陣示意圖

(7)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣:把分塊矩陣的形式稱為標(biāo)

準(zhǔn)形,任意秩為r的矩陣A總能夠經(jīng)過(guò)若干次初等變換(行變換

和列變換)化為標(biāo)準(zhǔn)形

3.2矩陣秩的求法

1.初等變換不改變矩陣秩的定理因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩,所以,若矩陣A與矩陣B等價(jià),則有R(A)=R(B),即“等價(jià)則等秩”。

2.求矩陣秩的方法

通過(guò)尋找矩陣的最高階非零子式來(lái)確定矩陣的秩是一個(gè)比較繁瑣的過(guò)程。根據(jù)初等變換不改變矩陣秩的定理,可以通過(guò)初等行變換把矩陣A化為行階梯矩陣B,而矩陣B的非

零行數(shù)就是矩陣B的秩,也就是矩陣A的秩。圖3.5給出了構(gòu)造行階梯矩陣最高階非零子式的示意圖。

圖3.5構(gòu)造行階梯矩陣最高階非零子式示意圖

3.3矩陣秩的性質(zhì)

1.秩是非負(fù)整數(shù)矩陣A的秩就是它最高階非零子式的階數(shù),或者是把它化成行階梯矩陣的非零行數(shù),所以它永遠(yuǎn)不會(huì)是負(fù)數(shù),即R(A)≥0。

2.零矩陣的秩為零規(guī)定零矩陣O的秩為0。所以,若R(A)=0,則A=O。

3.秩不大于矩陣“尺寸”

根據(jù)矩陣秩的定義,顯然矩陣A的秩不大于其“尺寸”,即

4.轉(zhuǎn)置、數(shù)乘秩不變換．

5.初等變換秩不變

矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換(行或列)變?yōu)锽,那么A與B的秩相等。并有以下定理:若P、Q為可逆矩陣,則

6.部分的秩不大于整體的秩

矩陣A和B分別是分塊矩陣(A,B)的一部分,那么有:R(A,B)≥R(A),R(A,B)≥R(B)。

7.和的秩不大于秩的和

矩陣和的秩不會(huì)超過(guò)矩陣秩的和:R(A+B)≤R(A)+R(B)。

8.合并的秩不大于秩的和

把矩陣A和B合并為一個(gè)分塊矩陣(A,B),那么有合并矩陣的秩不會(huì)超過(guò)矩陣秩的和:R(A,B)≤R(A)+R(B)。

9.矩陣越乘秩越小

矩陣乘積的秩不會(huì)大于其中任意一個(gè)矩陣的秩:R(AB)≤R(A);R(AB)≤R(B)。

若A列滿秩,則R(AB)=R(B)。若B行滿秩,則R(AB)=R(A)。

10.關(guān)于AB=O的秩

根據(jù)公式R(AB)≥R(A)+R(B)-n,當(dāng)AB=O時(shí),有R(A)+R(B)≤n。

11.方陣的秩

針對(duì)n階矩陣,有以下結(jié)論:

|A|≠0?A是滿秩矩陣(R(A)=n)?A是可逆矩陣?A是非奇異矩陣。

|A|=0?A是降秩矩陣(R(A)<n)?A是不可逆矩陣?A是奇異矩陣。

12.伴隨矩陣的秩

n階矩陣A的伴隨矩陣A*的秩只有以下三種情況:

13.分塊矩陣的秩

設(shè)A、B、C、D均為n階矩陣,O為n階零矩陣,則

3.4利用初等行變換解線性方程組

1.線性方程組與矩陣在學(xué)習(xí)矩陣乘法運(yùn)算時(shí),知道線性方程組可以抽象成矩陣形式Ax=b。(1)非齊次線性方程組與增廣矩陣。當(dāng)常數(shù)向量非零(b≠0)時(shí),稱方程組Ax=b為非齊次線性方程組,其中,(A,b)稱為增廣矩陣。一個(gè)非齊次線性方程組Ax=b與一個(gè)增廣矩陣(A,b)一一對(duì)應(yīng),我們常常通過(guò)研究增廣矩陣來(lái)分析非齊次線性方程組的解。

(2)齊次線性方程組與系數(shù)矩陣。當(dāng)常數(shù)向量b=0時(shí),稱方程組Ax=0為齊次線性方程組,其中,A稱為系數(shù)矩陣。一個(gè)齊次線性方程組Ax=0與一個(gè)系數(shù)矩陣A一一對(duì)應(yīng),我們常常通過(guò)研究系數(shù)矩陣來(lái)分析齊次線性方程組的解。

2.利用初等行變換解線性方程組

用高斯消元法解非齊次線性方程組的過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換的過(guò)程。

(1)針對(duì)非齊次線性方程組Ax=b,有

方程組Ax=b與方程組Cx=d同解。

(2)針對(duì)齊次線性方程組Ax=0,有

方程組Ax=0與方程組Bx=0同解。

3.5利用初等行變換解非齊次線性方程組舉例

例求非齊次線性方程組

解對(duì)非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,將其化為行最簡(jiǎn)形。

3.6線性方程組解的判定

1.非齊次線性方程組解的判定非齊次線性方程組的解有三種不同的情況:無(wú)解、有唯一解和有無(wú)窮組解。以下分別根據(jù)系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來(lái)研究非齊次線性方程組解的情況。

(1)Am×nx=b

無(wú)解?R

(A)≠R((A,b))。

把增廣矩陣(A,b)經(jīng)過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形時(shí),若R

(A)≠R((A,b)),則必有一行為(0,0,…,0,1),其對(duì)應(yīng)的是一個(gè)矛盾方程:0x1+0x2+…+0xn=1,所以方程組無(wú)解。

(2)Am×nx=b

有唯一解?R

(A)=R((A,b))=n。

增廣矩陣的秩就是把其化為行階梯矩陣的非零行數(shù),即是方程組的約束條件數(shù),而矩陣A的列數(shù)是方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù),于是當(dāng)方程組約束條件數(shù)R((A,b))等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí),方程組就只能有唯一解了。

(3)Am×nx=b有無(wú)窮多解?R(A)=R((A,b))<n。

在沒(méi)有矛盾方程的前提下R(A)=R((A,b)),當(dāng)方程組約束條件數(shù)R((A,b))小于未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí),方程組就有多解了。

(4)若A為方陣,則有克萊姆法則相關(guān)定理:

(5)R(Am×n)=m?Am×nx=b有解。

由于m=R

(Am×n

)≤R((A,b)m×(n+1))≤m,

于是R(A)=R((A,b))=m,則Am×nx=b有解。

2.齊次線性方程組解的判定

(1)齊次線性方程組Ax=0一定有解。

因?yàn)辇R次線性方程組Ax=0一定有零解,即所有未知數(shù)都為零。

(2)Am×nx=0只有零解?R(

A)=n。

當(dāng)方程組約束條件數(shù)R(

A)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí),方程組就只能有零解了。

(3)Am×nx=0有非零解?R(A)<n。

當(dāng)方程組約束條件數(shù)R(

A)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí),方程組就有非零解了。

(4)若m<n,則Am×nx=0一定有非零解。

因?yàn)镽(

Am×n

)≤m<n,所Am×nx=0有非零解。

(5)若A為方陣,則有克萊姆法則相關(guān)定理:

3.7典型例題分析

【例3.1】已知ai(i=1,2,…,n)不全為零,bi(i=1,2,…,n)不全為零。求矩陣題分析

【解】

所以R(A)≤R((b1,b2,…,bn))=1,

又知ai(i=1,2,…,n)不全為零,bi(i=1,2,…,n)不全為零,所以矩陣A不為零矩陣,則R(A)=1。

【例3.3】若A為n階方陣,A*為A的伴隨矩陣,證明:

【證明】(1)若R(A)=n,則A≠0,對(duì)公式AA*

=|A|E兩端取行列式,有|A|

|A*|=|A|

n

E≠0,所以A*≠0,故R(A*)=n。

第四章向量組的線性相關(guān)性4.1向量與向量組的概念4.2向量組間的線性表示4.3線性方程組的五種表示方法4.4用方程組的向量表示形式來(lái)分析線性方程組4.5向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義4.6向量組線性相關(guān)性與齊次線性方程組4.7向量組線性相關(guān)性的形象理解第四章向量組的線性相關(guān)性4.8特殊向量組的線性相關(guān)性4.9向量組的部分與整體定理4.10向量組的延伸與縮短4.11一個(gè)向量與一個(gè)向量組定理4.12向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩4.13向量組的秩與向量的個(gè)數(shù)4.14“三秩相等”定理第四章向量組的線性相關(guān)性4.15向量組的等價(jià)4.16向量組間的線性表示與秩的定理4.17向量組的“緊湊性”與“臃腫性”4.18向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求解4.19向量空間的定義(僅數(shù)學(xué)一要求)4.20向量空間的基與維數(shù)(僅數(shù)學(xué)一要求)4.21n維實(shí)向量空間Rn

(僅數(shù)學(xué)一要求)4.22向量在基下的坐標(biāo)(僅數(shù)學(xué)一要求)第四章向量組的線性相關(guān)性4.23過(guò)渡矩陣(僅數(shù)學(xué)一要求)4.24向量的內(nèi)積4.25向量的長(zhǎng)度4.26向量的夾角4.27正交矩陣4.28解向量與自由變量4.29齊次線性方程組解向量的性質(zhì)第四章向量組的線性相關(guān)性4.30齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解4.31解空間(僅數(shù)學(xué)一要求)4.32非齊次線性方程組解的性質(zhì)4.33非齊次線性方程組的通解4.34典型例題分析

4.1向量與向量組的概念

1.n維向量由n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量。前者為行向量,后者為列向量,ai

稱為n維向量α的第i個(gè)分量。向量就是只有一行或只有一列的矩陣。

2.向量的線性運(yùn)算

向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算。因?yàn)橄蛄烤褪翘厥獾木仃?所以向量運(yùn)算滿足矩陣運(yùn)算規(guī)律。

3.向量組

若干個(gè)同維向量構(gòu)成的一組向量稱為向量組。

4.矩陣與向量組

設(shè)m×n矩陣按行分塊,可以將A

看作是m個(gè)n維行向量構(gòu)成的向量組;按列分塊,可以將A看作是n

個(gè)m

維列向量構(gòu)成的向量組。

例如,3×4的矩陣A既可以看成3個(gè)四維行向量,也可以看成4個(gè)三維列向量,如圖4.1所示。圖4.1矩陣與2個(gè)向量組

5.線性組合與線性表示

設(shè)α1,α2,…,αm,β是n維向量組,

若β=k1α1+k2α2+…+kmαm,則稱β是α1,α2,…,αm的線性組合,也稱β可由α1,α2,…,αm線性表示,其中k1,k2,…,km稱為組合系數(shù)。

例如,若顯然有3α1-2α2=α3,則可以

稱α3是α1和α2的線性組合,也可以稱α3可由α1和α2線性表示。

6.n維基本單位向量組

向量組稱為n維基本單位向

量組。n階單位矩陣E

的列(行)向量組就是一個(gè)n維基本單位向量組。任意n維向量α都可以由基本單位向量組線性表示。

7.零向量

所有分量全為零的向量稱為零向量。零向量可以由任意一個(gè)向量組來(lái)線性表示。例如:0α1+0ε2+0α3=0。

4.2向量組間的線性表示

1.向量組間線性表示的概念設(shè)有兩個(gè)向量組T1:α1,α2,…,αm和T2:β1,β2,…,βn,若向量組T2中的每一個(gè)向量都可由向量組T1線性表示,則稱向量組T2可由向量組T1線性表示。

2.用矩陣等式表述向量組間線性表示

例如:有兩個(gè)向量組α1,α2,α3和β1,β2。已知β1=α1+α2+α3,β2=2α1-α2+7α3,于是可以有矩陣等式:

3.一個(gè)向量組可以由自己線性表示

任意向量組α1,α2,…,αm總能由自己線性表示,如αi=0α1+…+1αi+…+0αm,i=1,2,…,m。

4.3線性方程組的五種表示方法

1.代數(shù)形式線性方程組的代數(shù)表示形式如下:

2.具體矩陣形式

線性方程組的具體矩陣表示形式如下:

3.抽象矩陣形式

線性方程組的抽象矩陣表示形式如下:

其中:

4.分塊矩陣形式

線性方程組的分塊矩陣表示形式如下:

5.向量形式

線性方程組的向量表示形式如下:

例如,非齊次線性方程組可以根據(jù)矩陣乘法運(yùn)算規(guī)則寫(xiě)成具體的矩陣形式:

4.4用方程組的向量表示形式來(lái)分析線性方程組

從線性方程組的向量表示形式出發(fā),可以得出以下結(jié)論:(1)向量β可以由向量組α1,α2,…,αn線性表示?非齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xnαn=β有解?R(

α1,α2,…,αn)=R(α1,α2,…,αn,β)。(2)向量β不能由向量組α1,α2,…,αn線性表示?非齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xnαn=β無(wú)解?R(α1,α2,…,αn)<R(α1,α2,…,αn,β)。

4.5向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義

1.線性相關(guān)對(duì)于向量組α1α2,…,αm,若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使得則稱向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān)。

2.線性無(wú)關(guān)

對(duì)于向量組α1α2,…,αm,僅當(dāng)k1=k2=…=km=0時(shí),才有

則稱向量組α1α2,…,αm

線性無(wú)關(guān)。

例如,當(dāng)有3α1-2α2-α3=0,稱

α1,α2,α3線性相關(guān)。

例如,當(dāng)分析向量等式

x1ε1+x2ε2+x3ε3=0,發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)x1=x2=x3=0時(shí),等式才成立,則稱ε1,ε2,ε3線性無(wú)關(guān)。

4.6向量組線性相關(guān)性與齊次線性方程組

1.線性相關(guān)向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān)?齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xmαm=0有非零解?R(α1,α2,…,αm)<m。

2.線性無(wú)關(guān)

向量組α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān)?齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xmαm

=0只有零解?R(α1,α2,…,αm)=m。

根據(jù)以上結(jié)論,既可以通過(guò)齊次線性方程組Ax=0解的情況來(lái)判斷系數(shù)矩陣A的列向量組的線性相關(guān)性,也可以通過(guò)矩陣A的列向量組的線性相關(guān)性來(lái)分析齊次線性方程組Ax=0解的情況。

4.7向量組線性相關(guān)性的形象理解

1.線性相關(guān)定理向量組α1,α2,…,αm

(m≥2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。該定理可描述為:若向量組線性相關(guān),則向量之間一定存在某種線性表示的關(guān)系。

2.線性無(wú)關(guān)定理

向量組α1,α2,…,αm

(m≥2)線性無(wú)關(guān)的充要條件是其中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示。

該定理可描述為:若向量組線性無(wú)關(guān),則向量之間一定沒(méi)有任何線性表示的關(guān)系。

4.8特殊向量組的線性相關(guān)性

1.基本單位向量組線性無(wú)關(guān)

2.含有零向量的向量組線性相關(guān)

3.只含有一個(gè)向量的向量組

(1)若α≠0,則α線性無(wú)關(guān)。

(2)若α=0,則α線性相關(guān)。

4.含有兩個(gè)向量的向量組

若兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)元素成比例,則線性相關(guān),否則線性無(wú)關(guān)。

5.n個(gè)n維向量組

可以通過(guò)行列式來(lái)分析n個(gè)n維向量組的線性相關(guān)性。

(1)|A|=0?Ax=0有非零解?A的列向量組線性相關(guān)。

(2)|A|≠0?Ax=0只有零解?A的列向量組線性無(wú)關(guān)。

6.m個(gè)n維向量(m>n)

當(dāng)m>n時(shí),m個(gè)n維向量必線性相關(guān)。

4.9向量組的部分與整體定理

1.線性無(wú)關(guān)若向量組T線性無(wú)關(guān),則向量組T的任意部分向量組也線性無(wú)關(guān)。也可以描述為:整體線性無(wú)關(guān)則部分線性無(wú)關(guān)。例如,若α1,α2

,α3線性無(wú)關(guān),則α1,α2線性無(wú)關(guān),α2,α3線性無(wú)關(guān)。

2.線性相關(guān)

若向量組T的一部分向量組線性相關(guān),則向量組T線性相關(guān)。也可以描述為:部分線性相關(guān)則整體線性相關(guān)。

例如,若α1,α2,α3線性相關(guān),則α1,α2,α3,α4線性相關(guān)。

注意以上兩個(gè)命題都是“單向”的。

4.10向量組的延伸與縮短

設(shè)有兩個(gè)向量組:其中向量組T2稱為向量組T1的“延伸組”,向量組T1

稱為向量組T2的“縮短組”。

1.線性相關(guān)

若向量組T2(延伸組)線性相關(guān),則向量組T1(縮短組)線性相關(guān)。也可以描述為:“長(zhǎng)”線性相關(guān),則“短”線性相關(guān)。

2.線性無(wú)關(guān)

若向量組T1(縮短組)線性無(wú)關(guān),則向量組T2(延伸組)線性無(wú)關(guān)。也可以描述為:“短”線性無(wú)關(guān),則“長(zhǎng)”線性無(wú)關(guān)。

4.11一個(gè)向量與一個(gè)向量組定理

1.定理若向量組α1,α2,…,αn

線性無(wú)關(guān),而向量組α1,α2,