2023-2024學(xué)年8上數(shù)學(xué)期末考點（北師大版）專題05 二元一次方程組（考點清單）原卷版

專題05講：二元一次方程組（考點清單）【聚焦考點】題型一：二元一次方程組的概念題型二：解二元一次方程組題型三：解二元一次方程組的應(yīng)用題型四：列二元一次方程組題型五：工程問題和行程問題題型六：方案問題題型七：數(shù)字問題題型八：分配問題題型九：銷售利潤問題題型十：和差倍問題題型十一：古代問題題型十二：幾何問題【題型歸納】題型一：二元一次方程組的概念【典例1】（2023上·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）若是關(guān)于，的方程的一個解，則的值是(

)A． B．5 C． D．8【專訓(xùn)1-1】（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下列關(guān)于方程的解的說法錯誤的是（

）A．是它的解 B．它只有一個解C．以它的解為坐標(biāo)的點組成的圖象是一條直線 D．它有無數(shù)多個解【專訓(xùn)1-2】．（2022上·陜西西安·八年級?？计谀┮阎嵌淮畏匠探M的解，則的算術(shù)平方根為（

）A． B． C．2 D．4題型二：解二元一次方程組【典例2】（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）解下列方程組：(1)；(2)．【專訓(xùn)2-1】（2023上·甘肅蘭州·八年級蘭州十一中?？计谀┙夥匠探M．(1)(2)【專訓(xùn)2-2】（2023上·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）解方程（組）：(1)(2)閱讀材料：善于思考的小明同學(xué)在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．解：把，看成一個整體，設(shè)，，原方程組可化為，解得，∴

∴原方程組的解為請仿照小明同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組題型三：解二元一次方程組的應(yīng)用【典例3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則k的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【專訓(xùn)3-1】（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）已知是二元一次方程組的解，則的立方根為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【專訓(xùn)3-2】．（2022上·重慶·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于y、z的二元一次方程組的解滿足，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A． B． C．0 D．3【典例4】（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何?”題目大意是；甲、乙兩人各帶了若干錢如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢50．間：甲，乙兩人各帶了多少錢?設(shè)甲，乙兩人持錢的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)4-1】（2021上·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，10塊相同的小長方形墻磚拼成一個大長方形，設(shè)小長方形墻磚的長為厘米，寬為厘米，則依題意列二元一次方程組正確的是（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)4-2】（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？计谀秾O子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，共分三卷，在卷下中記載了這樣一個問題：“今有甲、乙二人，持錢各不知數(shù)．甲得乙中半，可滿四十八．乙得甲太半，亦滿四十八．問甲、乙二人持錢各幾何？”譯文大致為：“甲、乙兩人帶著錢，不知道是多少．若甲得到乙錢數(shù)的，則甲的錢數(shù)為48．若乙得到甲錢數(shù)的，則乙的錢數(shù)也為48．問甲、乙各有多少錢？”設(shè)甲持錢x，乙持錢y，則根據(jù)題意可以列出方程組為（

）A． B． C． D．題型五：工程問題和行程問題【典例5】（2023上·河北保定·八年級?？计谀暗吞忌?，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，同時，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離與步行的時間之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段所示．在步行過程中，小明先到達(dá)甲地．有下列結(jié)論：①甲、乙兩地相距；②兩人出發(fā)后相遇；③小麗步行的速度為，小明步行的速度為；④小明到達(dá)甲地時，小麗離乙地還有．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【專訓(xùn)5-1】（2020上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀┈F(xiàn)有一段長為180米的河道整治任務(wù)，由、兩個工程小組先后接力完成，工程小組每天整治12米，工程小組每天整治8米，共用時20天，設(shè)工程小組整治河道天，工程小組整治河道天，依題意可列方程組（

）A． B．C． D．【專訓(xùn)5-2】（2020·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）同型號的甲、乙兩輛車加滿氣體燃料后均可行駛210km．它們各自單獨行駛并返回的最遠(yuǎn)距離是105km．現(xiàn)在它們都從A地出發(fā)，行駛途中停下來從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車再行駛返回A地，而乙車?yán)^續(xù)行駛，到B地后再行駛返回A地．則B地最遠(yuǎn)可距離A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km題型六：方案問題【典例6】（2021上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀╇S著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐步成為人們喜愛的交通工具．某汽車公司計劃正好用190萬元購買，兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），其中型汽車進(jìn)價為20萬元/輛，型汽車進(jìn)價為30萬元/輛，則，型號兩種汽車一共最多購買（

）A．9輛 B．8輛 C．7輛 D．6輛【專訓(xùn)6-1】（2020上·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）小聰去商店購買筆記本和鋼筆，共用了60元錢，已知每本筆記本2元，每支鋼筆5元，若筆記本和鋼筆都需購買，且筆記本的數(shù)量多于鋼筆的數(shù)量，則小聰?shù)馁徺I方案有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【專訓(xùn)6-2】（2023下·云南玉溪·八年級統(tǒng)考期末）某校計劃送370名師生（其中學(xué)生362人、教師8人）到全國中小學(xué)生研學(xué)實踐教育基地之一的澄江化石地世界自然遺產(chǎn)博物館進(jìn)行科普研學(xué)活動．現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲客車每輛可坐35人，乙客車每輛可坐50人，租用一輛甲客車和一輛乙客車共需700元，租用3輛甲客車和2輛乙客車共需1700元．(1)租用甲、乙兩種客車每輛各需多少元？(2)要使每輛客車上至少要有1名教師，所有參與活動的師生都有車坐，則租用客車總數(shù)為8輛，設(shè)租用輛甲客車，租車的總費用為元，則共有幾種不同的租車方案？哪種方案租車的總費用最少？題型七：數(shù)字問題【典例7】（2022下·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考期末）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)之和是，如果把這個兩位數(shù)加上，所得的兩位數(shù)的個位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，則這個兩位數(shù)是（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)7-1】（2021上·陜西西安·八年級?？计谀┯幸粋€兩位數(shù)和一個一位數(shù)若在這個一位數(shù)后面多寫一個0，則它與這個兩位數(shù)的和是139；若用這個兩位數(shù)除以這個一位數(shù)，則商7余3，則這個兩位數(shù)為（

）A．59 B．69 C．79 D．89【專訓(xùn)7-2】（2020上·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）小穎和小亮在做一道關(guān)于整數(shù)減法的作業(yè)題，小亮將被減數(shù)后面多加了一個0，得到的差為750；小穎將減數(shù)后面多加了一個0，得到的差為-420，則這道減法題的正確結(jié)果為（

）A．-30 B．-20 C．20 D．30題型八：分配問題【典例8】（2022下·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）某車間有90名工人，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓15個或螺帽24個，要使一個螺栓配套兩個螺帽，應(yīng)該如何分配工人才能使生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套？若設(shè)生產(chǎn)螺栓x人，生產(chǎn)螺帽y人，則列方程組得（

）A．B． C．D．【專訓(xùn)8-1】23．（2023下·黑龍江大慶·八年級?？计谀┠成痰攴謨纱钨忂M(jìn)A，B型兩種臺燈進(jìn)行銷售，兩次購進(jìn)的數(shù)量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進(jìn)A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進(jìn)價分別上漲，．購進(jìn)的臺數(shù)購進(jìn)所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進(jìn)A，B型兩種臺燈每臺進(jìn)價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進(jìn)的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進(jìn)的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進(jìn)A，B型兩種臺燈的價格再購進(jìn)一次，將再次購進(jìn)的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000元，求有哪幾種購進(jìn)方案？【專訓(xùn)8-2】24．（2023上·四川雅安·八年級統(tǒng)考期末）今年月，某城市受疫情影響，為了人民健康采取了一系列措施，某公司安排大、小貨車共輛，分別從兩地運送噸物資到該城市，支援抗擊疫情，每輛大貨車裝噸物資，每輛小貨車裝噸物資，這輛貨車恰好裝完這批物資，已知這兩種貨車的運費如表：目的地車型地（元/輛）地（元/輛）大貨車小貨車要安排上述裝好物資的輛貨車中的輛從地出發(fā)，其余從地出發(fā)．(1)這輛貨車中，若大貨車輛、小貨車輛，請求出與的值．(2)若從地出發(fā)的大貨車有輛（大貨車不少于輛）這輛貨車的總運費為元，求總運費的最小值．題型九：銷售利潤問題【典例9】（2020上·遼寧遼陽·八年級統(tǒng)考期末）元旦期間，燈塔市遼東商業(yè)城“女裝部”推出“全部服裝八折”，男裝部推出“全部服裝八五折”的優(yōu)惠活動．某顧客在女裝部購買了原價元，在男裝部購買了原價元的服裝各一套，優(yōu)惠前需付元，而她實際付款元，根據(jù)題意列出的方程組是（

）A． B．C． D．【專訓(xùn)9-1】．（2023下·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）紅星超市銷售每臺進(jìn)價分別是160元，120元的Ⅰ、Ⅱ兩種型號的吹風(fēng)機，下表是近兩周的銷售情況．銷售時間銷售型號收入Ⅰ型Ⅱ型第一周臺臺元第二周臺臺元(1)求Ⅰ、Ⅱ兩種型號的吹風(fēng)機的銷售單價．(2)若紅星超市準(zhǔn)備用不多于7500元的資金再購進(jìn)這兩種型號的吹風(fēng)機共50臺，請設(shè)計出能取得最大利潤的購進(jìn)方【專訓(xùn)9-2】（2023下·河南安陽·八年級校考期末）某商店銷售1臺A型和2臺B型電腦的利潤為400元，銷售2臺A型和1臺B型電腦的利潤為350元．(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；(2)該商店計劃一次購進(jìn)兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍．設(shè)購進(jìn)A掀電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．①求y與x的關(guān)系式；②該商店購進(jìn)A型、B型各多少臺，才能使銷售利潤最大？(3)實際進(jìn)貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m元，且限定商店最多購進(jìn)A型電腦70臺．若商店保持兩種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（2）中的條件，設(shè)計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．題型十：和差倍問題【典例10】（2012·浙江溫州·中考真題）楠溪江某景點門票價格：成人票每張70元，兒童票每張35元.小明買20張門票共花了1225元,設(shè)其中有張成人票，張兒童票，根據(jù)題意，下列方程組正確的是【】A．B． C． D．【專訓(xùn)10-1】．．（2020上·廣東深圳·八年級?？计谀┮阎仔Ｔ?016人，乙校原有1028人，寒假期間甲、乙兩校人數(shù)變動的原因只有轉(zhuǎn)出與轉(zhuǎn)入兩種，且轉(zhuǎn)出的人數(shù)比為1：3，轉(zhuǎn)入的人數(shù)比也為1：3.若寒假結(jié)束開學(xué)時甲、乙兩校人數(shù)相同，問：乙校開學(xué)時的人數(shù)與原有的人數(shù)相差多少?（

）A．6 B．9 C．12 D．18【專訓(xùn)10-2】（2022上·重慶綦江·八年級統(tǒng)考期末）新學(xué)期伊始，綦江區(qū)某中學(xué)的學(xué)子們積極響應(yīng)學(xué)校的“書香校園”活動，踴躍捐出自己喜愛的書籍，互相分享，讓閱讀成為一種習(xí)慣．據(jù)調(diào)查，某年級甲班、乙班共60人捐書，丙班有50人捐書，已知乙班人均捐書數(shù)量比甲班人均捐書數(shù)量多5本，而丙班的人均捐書數(shù)量是甲班人均捐書數(shù)量的一半，若該年級甲、乙、丙三班的人均捐書數(shù)量恰好是乙班人均捐書數(shù)量的，且各班人均捐書數(shù)量均為正整數(shù)，則甲、乙、丙三班共捐書本．題型十一：古代問題【典例10】（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個數(shù)學(xué)問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安.今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安.問：幾何日相逢?譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安.現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā).問：多久后甲、乙相逢?設(shè)甲出發(fā)日，乙出發(fā)日后甲、乙相逢，則所列方程組正確的是（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)10-1】．（2023上·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”題目大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短了5尺．設(shè)竿長為x尺，繩索長為y尺，則符合題意的方程組是（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)10-2】（2023上·廣東揭陽·八年級?？计谀毒耪滤阈g(shù)》中記載：“今有共買雞，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、雞價各幾何？”譯文：“今天有幾個人共同買雞，每人出8錢，多余3錢，每人出7錢，還缺4錢．問人數(shù)和雞的價錢各是多少？”設(shè)人數(shù)有x人，雞的價錢是y錢，可列方程組為（

）．A． B． C． D．題型十二：幾何問題【典例12】（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀┯萌鐖D①中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒．現(xiàn)有60張正方形紙板和140張長方形紙板，如果做兩種紙盒若干個，恰好將紙板用完，設(shè)做x個豎式無蓋紙盒，y個橫式無