2025高考數(shù)學專項復習：外接球與內(nèi)切球九大模型（含答案）

空間幾何體的外接球與內(nèi)切球九大模型

模型一墻角模型

【方法總結(jié)】

墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決.外接球的

直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,C,外接球的半徑為R則2R=

2

A/^+^+C.),秒殺公式：R2=a2+)+c2.可求出球的半徑從而解決問題.有以下四種類型：

黃曼?黃堂?美型inm忤曼

【例題選講】

［例］(1)已知三棱錐/-BCD的四個頂點/,B,C,。都在球。的表面上，ACmBCD,BCLCD,且

4c=3,BC=2,CD=B則球。的表面積為()

A.I2nB.7兀C.9兀D.8n

(2)若三棱錐S-48C的三條側(cè)棱兩兩垂直，且&4=2,SB=:SC=4,則該三棱錐的外接球半徑為（）.

A.3B.6C.36D.9

(3)已知S,A,B,C,是球。表面上的點，平面/8C,ABLBC,SA=AB=lf

BC=4i,則球O的表面積等于().:杰

A.4兀B.3兀C.2兀

,且AM1MN,若側(cè)\JfxC

(4)在正三棱錐S—45C中，M,N分別是棱SC,的中點

棱SN=，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是________.

B

第1頁

（5）（2019全國I）已知三棱錐尸一ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC,A/BC是邊長為2的正三

角形，E,尸分別是24,48的中點，ZCEF=90°,則球。的體積為（）.

A.8灰兀B.4&兀C.2灰兀D.瓜K

（6）已知二面角a—/一￡的大小為;，點尸Ga,點尸在夕內(nèi)的正投影為點力,過點/作垂足為點瓦點

ce/,BC=2也,以=23，點。G/，且四邊形滿足/2。。+/。/2=兀.若四面體F4CD的四個頂點都

在同一球面上，則該球的體積為

模型二對棱相等模型

【方法總結(jié)】

對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法（構造長方體）

解決.外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即2A=77或1/（長方體的長、

第2頁

寬、高分別為。、6、c).秒殺公式：甯=口土(三棱錐的三組對棱長分別為x、八z).可求出球的半徑從而

8

解決問題.

【例題選講】

［例］(1)正四面體的各條棱長都為血，則該正面體外接球的體積為.

(2)在三棱錐N—BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,則三棱錐/-BCD外接球的表面積為.

(3)在三棱錐N—BCD中，AB=CD=6,AC=BD=4D=BC=5,則該三棱錐的外接球的體積為.

(4)在正四面體/-3。中，E是棱/D的中點，尸是棱/C上一動點，3P+PE的最小值為V7,則該正四

面體的外接球的體積是()

/7口Ar3&?3

AA.乃B.6〃C.-----7iD.—7i

322

(5)已知三棱錐/-BCD,三組對棱兩兩相等，且48=C0=1,AD=BC=6若三棱錐/-BCL?的外接球

表面積為二.則/C=

2

第3頁

模型三漢堡模型

【方法總結(jié)】

漢堡模型是直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法（多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面

的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點.一般情況下只作出一個面的垂線，然后設出球心用算術方法或代數(shù)方

法即可解決問題.有時也作出兩條垂線，交點即為球心.）解決.以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知

球心。的位置是A/BC的外心5與△48C1的外心。2連線的中點，算出小圓。的半徑NOi=r,OOi=-,

2

【例題選講】

［例］（1）（2013遼寧）已知直三棱柱48C—//Ci的6個頂點都在球。的球面上.若48=3,NC=4,AB1

AC,441=12,則球。的半徑為（）.

3后

B.29c.12

,22

（2）設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a,頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）.

27211232

A.7iciB.-71aC.—7iciD.一na

337

（3）（2009全國I）直三棱柱481cl的各頂點都在同一球面上，若4B=4C=44i=2,ZBAC=120°,則

第4頁

此球的表面積等于(

A.10兀B.20兀D.40兀

(4)已知圓柱的高為2,底面半徑為貼，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球

面上，則這個球的表面積等于()

(5)若一個圓柱的表面積為12萬，則該圓柱的外接球的表面積的最小值為()

A.(1275-12>B.12岳C.(126+3)萬D.16%

模型四垂面模型

【方法總結(jié)】

垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知球心O的位置是ACBD

LLj2

22

的外心Q與的外心。2連線的中點,算出小圓。1的半徑4。尸r,(901=-,R=r+—.

【例題選講】

［例］(1)已知在三棱錐S—A8C中，S/_L平面且//C2=30。，AC=2AB=20SA=1.則該三棱錐

的外接球的體積為()

B.137r

第5頁

第(2)小題圖1第(2)小題圖2

(2)三棱錐P一中，平面HC_L平面/2C,ABLAC,PA=PC=AC=2,AB=4,則三棱錐P—NBC的外

接球的表面積為()

B.4D.”

A.23TCC.647t

43

(3)在三棱錐S—/8C中，側(cè)棱S/J_底面/3C,AB=5,BC=8,ZABC=60°,&4=2^5,則該三棱錐的外接

球的表面積為()

練洛鵑

A.B.C.D.

33327

(4)在三棱錐產(chǎn)一/8C中，已知刃，底面/8C,ZBAC=U0°,PA=AB=AC=2,若

該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為()

A.10品B.18兀C.20兀D.9437t

第(3)小題圖

第(4)小題圖1第(4)小題圖2

第6頁

（5）在三棱錐尸-NBC中，P/J,平面/3C,ZS^C=120°,AC=2,AB=\,設。為8c中點，且直線R）

與平面N8C所成角的余弦值為則該三棱錐外接球的表面積為

5---------

模型五切瓜模型

【方法總結(jié)】

切瓜模型是有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面平面

BCD,如類型I,A/BC與△8CD都是直角三角形，類型n,A/BC是等邊三角形，△5CD是直角三角形，類型

III,A/BC與△8。都是等邊三角形，解決方法是分別過ZUBC與屈。。的外心作該三角形所在平面的垂線，交

點。即為球心.類型IV,A/BC與△BCD都一般三角形，解決方法是過ABCD的外心5作該三角形所在平面的

垂線，用代數(shù)方法即可解決問題.設三棱錐N—8C。的高為/?,外接球的半徑為七球心為。ABCD的外心為

丸2=戶+加2

01,。1到的距離為力。與。1的距離為加，則，解得及.可用秒殺公式：7?2=ri2+r22

火2=泮+（〃一冽）2,

一￡（其中「、廠2為兩個面的外接圓的半徑，/為兩個面的交線的長）

第7頁

【例題選講】

［例］(1)已知在三棱錐尸一N5。中，VP.ABC=^Y，ZAPC=^,ZBPC=^,PA±AC,PBLBC,且平面E4c

，平面尸8C,那么三棱錐尸一48。外接球的體積為.

(2)如圖，已知平面四邊形48CD滿足N2=4D=2,ZA=60°,ZC=90°,將△4BD

沿對角線翻折，使平面48ZU平面CAD,則四面體48CD外接球的體積為

(3)已知三棱錐/一BCD中，A/AD與小臺四是邊長為2的等邊三角形且二面角N—AD—C為直二面角，則

三棱錐N—BCD的外接球的表面積為()

A.項

B.5兀C.6TI

3

(4)已知AA8C是以3c為斜邊的直角三角形，尸為平面48。外一點，且平面P8C1.平面48C,BC=3,

PB=2后,PC=R則三棱錐尸外接球的表面積為

第8頁

（5）已知等腰直角三角形4BC中，AB=AC=2,D,E分別為AB,/C的中點，沿。E將A/BC折成直二面角

（如圖），則四棱錐/一OEC2的外接球的表面積為.

模型六斗笠模型

【方法總結(jié)】

7,2-L2

圓錐、頂點在底面的射影是底面外心的棱錐.秒殺公式：尺=2=r（其中〃為幾何體的高，7?為幾何體的底

2h

面半徑或底面外接圓的圓心）

【例題選講】

［例］（1）一個圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60。，若該圓錐的側(cè)面積為36萬，則該圓錐外接球的表面積為

（2）（2020?全國I）已知/,B,C為球。的球面上的三個點，。。為△/BC的外接圓.若。。i的面積為4兀,

AB=BC=AC=OOi,則球。的表面積為（）

第9頁

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

(3)在三棱錐P-/BC中，P4=PB=PC=2?AC=AB=4,且則

該三棱錐外接球的表面積為.

(4)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為()

B.16兀

好一a，、?

AB

(5)如圖所示，在正四棱錐尸一A8CD中，底面NBC/)是邊長為4的正方形，E,9分別是A8,CD的中點,

cosZPEF=^,若/,B,C,D,P在同一球面上，則此球的體積為?

2------------P

(6)在三棱錐尸-NBC中,PA=PB=PC=C,AB=AC=1,BC=6，則該三

//3

棱錐外接球的體積為(匚-一%;

C.4岳

第10頁

模型七已知球心或球半徑模型

【例題選講】

［例］(1)(2017?全國I)已知三棱錐S—4BC的所有頂點都在球。的球面上，SC是球。的直徑.若平面SC4

上平面SC8,SA=AC,SB=BC,三棱錐S—48c的體積為9,則球。的表面積為________.,

(2)已知三棱錐4—BCD的所有頂點都在球。的球面上，為球。的直徑，若該三棱錐的體積為3，BC=

3,BD=^,ZCBD=9Q",則球。的體積為.

A

(3)(2012全國I)已知三棱錐S-/BC的所有頂點都在球。的球面上，AABC是邊長為1的正三角形，SC為球。

的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為()

(4)(2020?新高考全國I)已知直四棱柱N5CD—/山Ci。的棱長均為2,NBAD=60°.以

Di為球心，貼為半徑的球面與側(cè)面BCC/i的交線長為

第11頁

(5)三棱錐S—A8C的底面各棱長均為3,其外接球半徑為2,則三棱錐S—A8C的體積最大時，點S到平面

48c的距離為()

A.2+3B.2-^3C.3D.2

模型八最值模型

【方法總結(jié)】

最值問題的解法有兩種方法：一種是幾何法，即在運動變化過程中得到最值，從而轉(zhuǎn)化為定值問題求解.另

一種是代數(shù)方法，即建立目標函數(shù)，從而求目標函數(shù)的最值.

【例題選講】

［例］(1)已知三棱錐P—的頂點尸，A,B,C在球。的球面上，A/BC是邊長為他的等邊三角形，如果

球O的表面積為36兀，那么P到平面ABC距離的最大值為.

(2)在四面體48co中，AB=1,BC=CD=5AC=也,當四面體ABCD的體積最大時，其外接球的表面

積為()

A.2兀B.3兀C.6兀D.8兀

(3)已知四棱錐S-ABCD的所有頂點在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心

。在此平面內(nèi)，當四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于16+16^，則球。的

體積等于()

.4/兀?16也n?32也it_64也兀

A.D.C.L).~

3333

第12頁

(4)三棱錐N—5C。內(nèi)接于半徑為近的球。中，AB=CD=4,則三棱錐N—BCD的體積的最大值為()

(5)已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12兀，當正四棱柱的體積最大時，正四棱柱的高為一.

模型九內(nèi)切球模型

【方法總結(jié)】

以三棱錐尸一/8C為例，求其內(nèi)切球的半徑.

方法：等體積法，三棱錐尸一/8C體積等于內(nèi)切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和；

第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；

第二步：設內(nèi)切球的半徑為尸，球心為。，建立等式：Vp_ABC=Vo-ABC~\~Vo-PAB~\~Vo-PAC~^~Vo-PBC^>Vp-ABC

~SZUBC?r+^PAB,r+:r+(S^PBCT=：(S^ABC~\~S^PAB+5ATMC+S^PBC)'r；

So-ABC~\~So-PAB+So-PAC~\~So-PBCS表

秒殺公式(萬能公式)：r=北

S表

【例題選講】

［例I(1)已知一個三棱錐的所有棱長均為仍，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為

(2)(2020?全國III)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

第13頁

(3)阿基米德(公元前287年?公元前212年)是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家和物理學家，他和高斯、牛頓并列被

稱為世界三大數(shù)學家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分

之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論.要求后人在他的墓碑上刻著一個圓

柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊.若表面積為54兀的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,

則該球的體積為()

AINHIMI

64元

A.4兀B.16TIC.36KD.于

(4)已知三棱錐尸一48C的三條側(cè)棱E4,PB,尸C兩兩互相垂直，且衛(wèi)4=必=尸。=2,則三棱錐尸一N8C的

外接球與內(nèi)切球的半徑比為.

(5)正四面體的外接球和內(nèi)切球上各有一個動點尸、Q,若線段長度的最大值為g痛，則這個四面體的

棱長為.

第14頁

空間幾何體的外接球與內(nèi)切球九大模型

模型一墻角模型

【方法總結(jié)】

墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決.外接球的

直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,C,外接球的半徑為R則2R=

2

A/^+^+C.),秒殺公式：R2=a2+)+c2.可求出球的半徑從而解決問題.有以下四種類型：

焚生I煲更M矣型IIII*!外型

【例題選講】

［例］(1)已知三棱錐/-BCD的四個頂點/,B,C,。都在球。的表面上，ACmBCD,BCLCD,且

4c=3,BC=2,CD=B則球。的表面積為()

A.12KB.7兀C.9兀D.8兀

答案A解析由/C_L平面3cD,8CLLCD知三棱錐N-BCD可構造以NC,5C,CD為三條棱的長方體,

設球。的半徑為及，則有所以S球=4成2=12兀，故選A.

(2)若三棱錐S-/8C的三條側(cè)棱兩兩垂直，且&4=2,SB=SC=4,則該三棱錐的外接球半徑為().

A.3B.6C.36D.9

答案A解析（2尺>=,4+16+16=6,R=3,故選A.

(3)已知S,A,B,C,是球。表面上的點，平面NBC,AB±BC,SA=AB=\,

BC=M,則球O的表面積等于().

A.4兀B.3兀C.2兀D.71

答案解析由已知，2R=yjl2+12+(A/2)2=2,S球==4兀.

4

(4)在正三棱錐S—45C中，M,N分別是棱SC,5。的中點，且若側(cè)’

棱SN=，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是.

答案36萬解析,:AMLMN,SB//MN,：.AMLSB-SB,：.SBL平

第1頁

面&4C,SBA.SA,SBVSC,VSB^SA,BCLSA,&4_L平面SBC,?.SAISC,故三棱錐S-4BC的三

棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，；.(2?2=(2/y+(2G)2+(2行/=36,即4爐=36,.?.正三棱錐S-42C外接球的表

面積是36萬.

(5)(2019全國I)已知三棱錐尸一A8c的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC,A/BC是邊長為2的正三

角形，E,尸分別是衛(wèi)4,48的中點，ZCEF=90°,則球。的體積為().

A.8灰兀B.4A/6TTC.2屈氏D.屈n

答案D解析解法一：?.?PN=P3=PC,△/BC為邊長為2的等邊三角形，

.,.尸-48C為正三棱錐，:.PB1AC,又￡,尸分別為PA,48的中點，:.EF//PB,

:.EFLAC,又EFLCE,CE[}AC=C,EF_L平面尸/C,二PB_L平面PNC,A

.?.41尸8=90。，.?.上4=尸3=尸。=拒，，/5-/8。為正方體的一部分，2:=。2+2+2，''8

3

=瓜,即7?=，^,V=—TTR=—KX,故選D.

2338

解法二：設PA=PB=PC=2x,￡,尸分別為尸4/8的中點，；,即〃尸2，且

EF=；PB=x,?.?△48C為邊長為2的等邊三角形，.?.CTM百，又/CEF=90。，*

:.CE=43^,AE=\PA=X,A4EC中，由余弦定理可得cos"/C=士匕直巧

22—

作尸Z)J_4C于Z),,/PA=PC,/.Z)為/C的中點，cos/E4。='2=」-,/|SL^

PA2xg

AB=BC=AC=2,.?.尸4,P5,尸。兩兩垂直，2K=J2+2+2=痛，:.R=—,

???V=g兀R，=:兀x=屈兀，故選D.

338

(6)已知二面角a—/一￡的大小為:，點尸Ga,點尸在夕內(nèi)的正投影為點力,過點/作垂足為點瓦點

ce/,BC=2也,以=23，點。G/，且四邊形滿足/2。。+/。/2=兀.若四面體F4CD的四個頂點都

在同一球面上，則該球的體積為.

答案8yl6n解析VZBCD+ZDAB=TC,：.A,B,C,。四點共圓，直徑為NC,丁以，平面￡,ABLI,

易得必_U,即/P5N為二面角a—/—/的平面角，即?:PA=2芯,：.BA=2,?:BC=2\[2,：.AC

=2收設球的半徑為凡則23一加2—(3)2=屈2—(3)2,：.R=#,廠="(響3=8晶.

模型二對棱相等模型

【方法總結(jié)】

對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)

解決.外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即2尺="了1/(長方體的長

第2頁

寬、高分別為。、6、c).秒殺公式：甯=口土(三棱錐的三組對棱長分別為x、八z).可求出球的半徑從而

8

解決問題.

【例題選講】

［例］(1)正四面體的各條棱長都為血，則該正面體外接球的體積為.

答案—7T解析這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入長方體中，2R=百，A=—，

22

叱43百百

V——71--------71?

382

(2)在三棱錐力一BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,則三棱錐4-BCD外接球的表面積為

7Q

答案解析構造長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為則/+〃=9,

2222222222222

ZJ+C=4,c+a=162(a+Z?+c)=9+4+16=29,2(a+b+C)=9+4+16=29,a+b+ci=—^4R=—

22

Sc=——297T?

2

(3)在三棱錐4—BCD中，AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,則該三棱錐的外接球的體積為.

答案43歷萬解析依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補形成一個長方體

6

次+加=62,

設該長方體的長、寬、高分別為a、b、c,且其外接球的半徑為凡貝|小2+廿=52,得a2+b2+02=43,即(2R)2

￡,2+tZ2=52,

=a2+Z>2+c2=43,易知R='電,即為該三棱錐的外接球的半徑，所以該三棱錐的外接球的表面積為

2

4八343屈〃

—JiR=-------

36

(4)在正四面體/-3。中，E是棱/D的中點，P是棱/C上一動點，3P+PE的最小值為小，則該正四

面體的外接球的體積是()

A［7R久r3An3

A.乃B.671C.-----7iD.—7i

322

答案A解析將側(cè)面A48C和A4CQ展成平面圖形，如圖所示：設正四面體的棱長為。，則5P+尸E的

最小值為5百=_一24z.-6zcosl20°=—V7,:.a=2.在正四面體4-的邊長為2,外接球的半徑

V422

R=^~a=^~,外接球的體積P.

423

(5)已知三棱錐4-5CQ,三組對棱兩兩相等，且45=CQ=1,AD=BC=6若三棱錐4-BCD的外接球

表面積為Q7二7".則/c=

2------------

答案V5解析將四面體/-BCD放置于長方體中，?.?四面體4-3CD的頂點為長方體八個頂點中的四個，.1

第3頁

長方體的外接球就是四面體4-5C7)的外接球，*/AB=CD=1,AD=BC=6，且三組對棱兩兩相等，.?.設

AC=BD=x,得長方體的對角線長為jg[12+(K)2+x2]=J；(4+f),可得外接球的直徑2K=J；(4+d),所

以尺=A/2(4+X),...三棱錐《-Be。的外接球表面積為吻，...4萬1=也，解得尺=逑，即A/2(4+X?)=迪,

422444

解之得》=括，因即/C=3D=6.

模型三漢堡模型

【方法總結(jié)】

漢堡模型是直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面

的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點.一般情況下只作出一個面的垂線，然后設出球心用算術方法或代數(shù)方

法即可解決問題.有時也作出兩條垂線，交點即為球心.)解決.以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知

球心。的位置是A/BC的外心5與△48C1的外心。2連線的中點，算出小圓。的半徑NOi=r,OOi=-,

2

【例題選講】

[例](1)(2013遼寧)已知直三棱柱48C-//Ci的6個頂點都在球。的球面上.若48=3,NC=4,ABL

AC,441=12,則球。的半徑為().

A.B.2V10C.yD.3?

答案C解析如圖所示，由球心作平面45c的垂線，則垂足為2C的中點又(|a\i\

AM=^BC=^,OM=KiA\=6,所以球。的半徑尺=。4=、/02+62=^..

另解過C點作的平行線，過3點作/C的平行線，交點為。，同理過G作出81

的平行線，過Bi作NiG的平行線，交點為。1,連接。A,則N2CD—/i3iCiA恰好成為球的一個內(nèi)接長方體，

故球的半徑r=打+7+地】=12.故選c.

22

(2)設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為°,頂點都在一個球面上，則該球的表面積為().

27211232

A.7iaB.-71aC.—71aD.-net

337

2277

222221

答案B解析ROBOE+BE=—+—=—a2.,S=4^a=—71O.故選B.

43123

(3)(2009全國I)直三棱柱48。一4向Ci的各頂點都在同一球面上，若4B=4C=44i=2,ZBAC=120°,則

第4頁

此球的表面積等于().

A.10兀B.20兀C.3071D.40兀

答案B解析如圖，先由余弦定理求出3c=23，再由正弦定理求出廠

—2,外接球的直徑R=A/P1N=\/5,所以該球的表面積為4兀7?2=20兀.故選B.

(4)已知圓柱的高為2,底面半徑為3,若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球

面上，則這個球的表面積等于()

C32兀

A.4兀D.16兀

B-T.3

答案D解析由題意知圓柱的中心。為這個球的球心，于是，球的半徑=再行

力+(⑨2=2.故這個球的表面積5=4兀/=16兀.故選D.

(5)若一個圓柱的表面積為12萬，則該圓柱的外接球的表面積的最小值為()

A.(1275-12>B.126兀C.(12JJ+3)萬D.16%

答案A解析設圓柱的底面半徑為r,高為刀，則+2萬泌=12/，則力=9-r.設該圓柱的外接球

r

的半徑為R,則A?=r2+(gy=r2+-^-(――r)2=；/+~2~—3=3^5—3,當且僅當(r2=斗，即

時，等號成立.故該圓柱的外接球的表面積的最小值為4萬(3如-3)=(12如-12)萬.

模型四垂面模型

【方法總結(jié)】

垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知球心O的位置是ACBD

的外心Q與的外心。2連線的中點,算出小圓。1的半徑4。尸r,OOi=-,R2=r2+—.

24

【例題選講】

［例］(1)已知在三棱錐S—A8C中，S/_L平面且//C2=30。，AC=2AB=20SA=1.則該三棱錐

的外接球的體積為()

“13.工c,cc\/13r13VH

A.—A/13TIB.13KC.TID.Ti

866

答案D解析VZACB^30°,AC=2AB=2?.?.△/BC是以/C為斜邊的直角三角形，其外接圓半徑

廠=絲=韻，則三棱錐外接球即為以A/BC為底面，以￡4為高的三棱柱的外接球，，三棱錐外接球的半徑7?滿

2

,故三棱錐外接球的體積/=￡穴3=11恒；j.故選D.

36

第5頁

第(1)小題圖第(2)小題圖1第(2)小題圖2

(2)三棱錐P一中，平面HC_L平面/2C,ABLAC,PA=PC=AC=2,AB=4,則三棱錐P—NBC的外

接球的表面積為()

B.4

A.23TCC.64兀D

43

12

答案D解析如圖1,設。為三棱錐外接球的球心，。1為正AHC的中心，則OOQAB=2.2AOI=^