函數(shù)定義題-2024年高考新數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解答題（含答案）

招展.,定義您(斛各段J

［題目［1］(2024?安徽蚌埠?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))對(duì)于無(wú)窮數(shù)列而5?2,…,廝,…，我們稱/?=￡，/=ao+a通

n=0n.

+*/+…+，犬+…(規(guī)定0!=1)為無(wú)窮數(shù)列｛an｝的指數(shù)型母函數(shù).無(wú)窮數(shù)列1,1,…，1,???的指數(shù)型母

2!n\

函數(shù)記為e(e)=￡」7/九=1+力+今H---+…，它具有性質(zhì)e(6)e(g)=e(6+y).

M"!2!n!

(1)證明：e(—x)=)；

e(幻

⑵記。3)='篇/=1—差+■+…+(—烹+….證明：心)=3學(xué)過(guò)(其中i為虛數(shù)

k=0(2切！，?%\ZK)1/

單位)；

(3)以函數(shù)——為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列｛3｝,——-=匯生，"=B0+B1X+需/+…+牛/

e(a;)-1e(x)-1n\2!n!

+???.其中—稱為伯努利數(shù).證明：目=—且瑪八+1=0依=1,2,3/-).

［題目|2)(2024上?金國(guó)?南三校聯(lián)考竟妻)設(shè)有兩個(gè)集合4B,如果對(duì)任意ae4,存在唯一的beB,滿足

/(a)=6,那么稱/是一個(gè)的函數(shù).設(shè)/(a)是的函數(shù)，g(6)是B-C的函數(shù)，那么g(/(a))是A

一。的函數(shù)，稱為g和/的復(fù)合，記為9。了.如果兩個(gè)的函數(shù)/,g對(duì)任意aCA,都有/(a)=g(a),則稱/

=5

(1)對(duì)/(為)=e”,分別求一個(gè)g(c),無(wú)(C),使得(g。f)(/)—x—(/。八)(劣)對(duì)全體力＞1恒成立；

(2)設(shè)集合ABC和A-C的函數(shù)a以及石小。的函數(shù)0.

⑴對(duì)E={(a,b)\aEA,bEB,a(a)=0(b)},構(gòu)造E—4的函數(shù)p以及ET_B的函數(shù)q,滿足a。。=6°q；

(阪)對(duì)E={(a,b)IaGA,bGB,a(a)=0(6)},構(gòu)造E—A的函數(shù)p以及E—B的函數(shù)q,滿足a。p=0。q,并

且說(shuō)明如果存在其它的集合E'滿足存在的函數(shù)“以及E'B的函數(shù)，，滿足。。"=6。，，則存在唯

一的E的函數(shù)”滿足p。沙=p',qo^=q'.

???

〔題目⑸(2024下?湖北?南一湖北省漢川市第一高線中學(xué)校篡考開(kāi)學(xué)考和定義在。上的函數(shù)/(二)，如果滿

足:對(duì)任意④G。，存在常數(shù)M>0,I/O)|《“恒成立,則稱/(，)是O上的有界函數(shù)，其中M稱為f{x)的上

界.

(1)若/(2)=4"+a-2X+1在(-0),0］上是以2為上界的有界函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)已知/(2)=1+(—Hi為正整數(shù),是否存在整數(shù)k,使得對(duì)VnGN*,不等式mW卜于(n)<m+2恒成

立？若存在，求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

［題目|4）（2024±?安微?南一校聯(lián)考期末）對(duì)于函數(shù)/（力）（ze。），。為函數(shù)定義域，若存在正常數(shù)T,使得對(duì)

任意的劣e。，都有/Q+T）W/Q）成立，我們稱函數(shù)/Q）為“T同比不增函數(shù)”.

（1）若函數(shù)/（⑼=fee+sin,是“專同比不增函數(shù)”，求％的取值范圍；

（2）是否存在正常數(shù)T,使得函數(shù)/Q）=—2—上一1|+|,+1］為“T同比不增函數(shù)”，若存在，求T的取值范

圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

［題目|5)(2024±?江蘇常州?高一統(tǒng)考期末)中心對(duì)稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個(gè)定點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)，我

們學(xué)過(guò)的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).類比奇函數(shù)的代數(shù)定義,我們可

以定義中心對(duì)稱函數(shù):設(shè)函數(shù)y=/Q)的定義域?yàn)?。，若?duì)Vee。,都有/(2m—c)+/(c)=2九，則稱函數(shù)

/(2)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中(m,n)為函數(shù)/(,)的對(duì)稱中心.比如，函數(shù)夕=?+1就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)

稱中心為(0,1).

(1)判斷/(,)=孑斗是否為中心對(duì)稱函數(shù)(不用寫理由)，若是，請(qǐng)寫對(duì)稱中心；

(2)若定義在［兀,2兀］上的函數(shù)/(力)=sin(26+p)為中心對(duì)稱函數(shù)，求0的值；

(3)判斷函數(shù)g(力是否為中心對(duì)稱函數(shù)，若是，求出其對(duì)稱中心;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

［題目|6）（2024±?山添濟(jì)寧?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（力）=ln（e"—l）—ln（e，+l）.

（1）求函數(shù)/（約的定義域；

（2）試判斷/（①）的單調(diào)性,并說(shuō)明理由；

（3）定義:若函數(shù)F（⑼在區(qū)間［小,汨上的值域?yàn)镽n,汨，則稱區(qū)間［m,n］是函數(shù)FQ）的“完美區(qū)間”.若函

數(shù)g（c）=/（0+Infe存在“完美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

???

［題目］7）（2024?云南北明?統(tǒng)考模擬很凋）我們把劭+Q任+電力+……+^n=0（其中0,nGN*）稱為一

元九次多項(xiàng)式方程.代數(shù)基本定理:任何復(fù)系數(shù)一元九（九GN*）次多項(xiàng)式方程（即劭，Q1，電，…，Q"為實(shí)數(shù)）

在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元"⑺6N*）次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有打

個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.那么我們由代數(shù)基本定理可知:任何復(fù)系數(shù)一元九（九6"*）次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集

2n

內(nèi)一定可以分解因式,轉(zhuǎn)化為n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積.即QO+Q便+a2x+....+anx=an（x—生產(chǎn)（6—g）

n

心…（力一。加產(chǎn)，其中k,mEN*,自+自+...+fcm=n,生，的，....，為方程。（）+。任+Q2/+....-\-anx=0

n

的根.進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即a。，的，Q?，…，Q九為實(shí)數(shù)），方程劭+。1/+電/+...-\-anx=0

的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式Q0+Q1/+&/+...+時(shí)/九必可分解因式.例如:觀察可知，力=1是方程1=。的

一個(gè)根，則（X—1）一定是多項(xiàng)式力3—1的一個(gè)因式，即/-1二（力—I）（Q/2+6/+C）,由待定系數(shù)法可知，Q=

b=c=l.

（1）解方程：2劣+1=0；

（2）設(shè)/（力）=Qo+Qi力+。2力2+。363,其中a0,電，電，/?+，且劭+。1+電+。3=1?

23

（i）分解因式：x—（劭+的/+a2rr+a3x）；

（n）記點(diǎn)P（xo,yo）是g=f⑸的圖象與直線y=x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn).求證：當(dāng)ai+2a2+3a3<

1時(shí)，XQ=1.

???

1題目⑻（2024±?江蘇蘇州?商一?？计谀┮阎瘮?shù)/（為和g（c）的定義域分別為。1和。2,若對(duì)任意ge

恰好存在九個(gè)不同的實(shí)數(shù)電，電，…，xnE使得g（瑞）=/（g）（其中i=l,2,■■■,n,neN）,則稱g（2）

為〃，）的，重覆蓋函數(shù)”.

⑴判斷。3）=也一[0,4]）是否為/（土）=a;+2Q2[0,1]）的“rz重覆蓋函數(shù)”，如果是,求出外的值;如

果不是，說(shuō)明理由.

（2）若g（c）=卜"+（2。3）劣+1,劣'''1為/（/）=]og]WlL的"重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[log2a:,x>l22%1

???

［題目|9)(2024±?廣添?南一統(tǒng)才期末)定義：函數(shù)八乃若存在正常數(shù)T,使得/Q+T)=/(為+M，M為

常數(shù),對(duì)任意R恒成;則稱函數(shù)/(2)為"T代M階函數(shù)”.

(1)判斷下列函數(shù)是否為“2代M"階函數(shù)”？并說(shuō)明理由.

①力(2)=sin兀,,②力(2)=27

(2)設(shè)函數(shù)F(,)=/(,)+g(,)為“4代初階函數(shù)”，其中/(c)是奇函數(shù)，g(c)是偶函數(shù).若/(2)=1,求

/(2026)的值.

???

[題目〔10〕(2024上?上海?高一上海市洋涇中學(xué)?？计谀?對(duì)于定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)/(功,若易(多)=

max{/(力)|Q4力<6}(力e[a,b]).

(1)已知/(劣)=(1)、g(力)=x2,xE[0,1]試寫出導(dǎo)㈤、吃(*)的表達(dá)式；

⑵設(shè)a>0且a#l,函數(shù)/(H)=/+(3-<*)<?-1,26S1],如果弓(0；)與〃乃恰好為同一函數(shù),求(1的

取值范圍；

(3)若Q￡x)=min{/(t)|a<t<a:}(a?E[a,b]),存在最小正整數(shù)%,使得導(dǎo)(w)-%(w)—a)對(duì)任意的

xE[a,b]成立，則稱函數(shù)/(,)為[a,b]上的”階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)/(⑼[—1,4],試判斷/Q)是

否為[—1,4]上的階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的鼠如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

[題目|11）（2024上?廣東攀慶,南一統(tǒng)考期和對(duì)于函數(shù)儀工）,若定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足鼠―g）=

一一g），則稱勿3）為“七函數(shù)

（1）己知函數(shù)/Q）=2sin（c+告）,試判斷/Q）是否為“L函數(shù)”,并說(shuō)明理由；

（2）已知函數(shù)g（x）=3。+勺伍eR）為R上的奇函數(shù),函數(shù)h（x）=

3

廠（工）+3『2m[g（0+3*4,工>—1,為其定義域上的”函數(shù)”，求實(shí)數(shù)館的取值范圍.

t—4,x<—1

題目應(yīng)（2024上?北京總義?高一統(tǒng)考期末）對(duì)于定義域?yàn)?的函數(shù)/（2），如果存在區(qū)間［館,汨U］,使得

/（力）在區(qū)間［m,n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)沙=/（劣），xE［m,n］的值域是［nz,汨，則稱區(qū)間［m,n］是函數(shù)/（劣）

的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”.

（1）判斷函數(shù)U=x\xe五）和函數(shù)V=3—在（,>0）是否存在“優(yōu)美區(qū)間”？（直接寫出結(jié)論,不要求證明）

X

（2）如果函數(shù)/（C）=］+a在R上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

???

承鼠.通火鳥(niǎo).借4MU

〔題目|1〕(2024?安棠坤埠?統(tǒng)考模擬51測(cè))對(duì)于無(wú)窮數(shù)列Q。,Qi，。2,…,Qn，…，我們稱/(力)—X-7^—Qo+Q便

n=0n.

+*/+…+，犬+…(規(guī)定0!=1)為無(wú)窮數(shù)列M的指數(shù)型母函數(shù).無(wú)窮數(shù)列1,1,…，1,…的指數(shù)型母

2!n\

函數(shù)記為e(C)=￡」7劣九=1+力+今H---^3+…，它具有性質(zhì)e(6)e(g)=e(c+y).

M"!2!n!

(1)證明：e(—a?)=)；

e(幻

⑵記—差+乎+…+(—烹+….證明“(/)=3學(xué)應(yīng)(其中i為虛數(shù)

k=o(2k)!4.(2k)!2

單位)；

產(chǎn)、RRR

(3)以函數(shù)——為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列{3},——=￡生，"=B0+B1X+需/+…+牛/

e(x)-1e(x)-1M"!2!n!

+???.其中—稱為伯努利數(shù).證明：目=—且島底1=0依=1,2,3/-).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由e(/)e(g)=e(i+g),通過(guò)賦值即可證得；

(2)根據(jù)i的周期性，經(jīng)過(guò)多次推理，由求和可以證得；

⑶構(gòu)造g(力)=：---，可以推出g(—/)一g(力)=/，然后再可證得.

e(x)—1

【詳解】(1)令力=0,則e(O)=1.

由e(x)e(y)=e(x+g),令g=—x,則e(a7)e(—re)=e(0)=1.

因?yàn)閑(/)W0,故e(—T)=J

eQ)

(法產(chǎn)?(一法產(chǎn)^一九2/知

(2)證明：因?yàn)?/p>

(4n)!(4n)!(4n)!(4n)!(4n)!

陵產(chǎn)+1+(—說(shuō)產(chǎn)+1=/1+—/I=0

(4n+l)!+(4n+l)!―(4n+l)!+(4n+l)!-'

(仙尸+2+(—m產(chǎn)+2=_”+2+_切"+2=_2產(chǎn)2

(4n+2)!+(4n+2)!―(4n+2)!+(4n+2)!―(4n+2)!

(24…+(一訖產(chǎn)L+法4"+3

(4n+3)!(4n+3)!(4n+3)!(4n+3)!

kk

0089f—1\8f—1\

e(2T)+e{—ix)=Z=2^4^/=22^"^/=2c㈤,

n=0(4n+2)!段(2k)!自(2k)!

所以c&)=e(仙)[e(一仙)

⑶證明：令g(6)=：，則有

e(幻—1

g(一⑼-g(x)=-：--(:=-4--+z?1

e(一力)—1e(rc)—1Le(——1e(/)—1n」

[e(x)—1]+[e(—x)—1]e(a;)+e(-a?)—2

—T?----------------------------------------—7;?------------------------------------------=T

[e(—T)—1][e(rp)—1]2—e(a?)—e(—x)

D、0°、D

因此a;=g{-x)-gQ)=萬(wàn)安(一①-一匯泰/

n=0n=0n*

00TDBzk+l

_ny^/c+i/+i=2fc+l

,￡o(2fc+l)!(2fc+l)!

故B=—J且f0，即場(chǎng)/=0(%=1,2,3,…).

/k=i(2/c+1J!

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：主要考查了復(fù)數(shù)i的周期性，考查推理論證能力，對(duì)學(xué)生思維要求比較高，綜合性很強(qiáng).

〔題目〔2〕(2024上?全國(guó)?南三校聯(lián)考競(jìng)料設(shè)有兩個(gè)集合4B,如果對(duì)任意ae4存在唯一的bGB,滿足

/(a)=6,那么稱/是一個(gè)的函數(shù).設(shè)/(a)是的函數(shù)，g(6)是B-C的函數(shù)，那么g(/(a))是A

一。的函數(shù)，稱為g和/的復(fù)合，記為9。了.如果兩個(gè)的函數(shù)/,g對(duì)任意aCA,都有/(a)=g(a),則稱/

=5

(1)對(duì)/(為)=e”,分別求一個(gè)g(c),無(wú)(C),使得(g。f)(/)—x—(/。八)(劣)對(duì)全體力＞1恒成立；

(2)設(shè)集合ABC和A-C的函數(shù)a以及石小。的函數(shù)0.

⑴對(duì)E={(a,b)IaEA,bGB,a(a)=0(b)},構(gòu)造E—A的函數(shù)p以及石的函數(shù)q,滿足=0°q；

(阪)對(duì)E={(a,b)IaGA,bGB,a(a)=0(6)},構(gòu)造E—A的函數(shù)p以及E—B的函數(shù)q,滿足a。p=0。q,并

且說(shuō)明如果存在其它的集合E'滿足存在的函數(shù)“以及E'B的函數(shù)，，滿足。。"=6。，，則存在唯

一的E'TE的函數(shù)力滿足p。力=p',q。必=q'.

【答案】⑴g(6)=，案」,h{x)—Vina;

⑵⑴p(Q,b)—a,q(Q,b)=b;(前)p(Q,b)—a,q(a,b)=b,說(shuō)明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題干條件求解；

(2)⑴利用常函數(shù)求解；(優(yōu))結(jié)合⑴再證明唯一性即可.

【詳解】⑴因?yàn)?g。/)(力)=tine"=4^=/,而(/°九)(力)==elna:=x,

(9°/)(力)=力=(/。九)(力)對(duì)全體力＞1恒成立；

故g(力)=〃ln劣仇(力)=Vina;對(duì)所有力＞1成立.

(2)(i)考慮p(Q,b)=a以及q(a,b)=b兩個(gè)函數(shù),

對(duì)任意(a,fe)eE,因?yàn)閍(a)=8(b),

所以a。。=a(p(a,b))=a(a)=/3(b)=0(q(a,b))=0。q.

(w)我們可以繼續(xù)使用⑴的構(gòu)造，

任意取e'GE',因?yàn)閍°p—。q',所以a(p'(e'))=6(q'(e')),

所以以e')€Aq'(e')GB,則(”(e'),q'(e'))GE,

因此存在力(e')=(d(e'),q'(e'))滿足條件;

如果“符合題意，目pp。小=p',q。W=d,???

則p("(e，))=p，(d),q("(d))=，?),

由p,q定義得到“(e')=(p'(e),q'(e));

所以存在唯一的E'-E的函數(shù)族滿足題意.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分利用題目定義的新函數(shù)證明唯一性是關(guān)鍵.

〔題目⑶(2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高it中學(xué)校聯(lián)考升學(xué)考試)定義在。上的函數(shù)/(工)，如果滿

足:對(duì)任意cCD,存在常數(shù)M>0,|/(,)|恒成立，則稱/(①)是。上的有界函數(shù)，其中“稱為/(2)的上

界.

(1)若/(2)=4"+a-2X+1在(-0),0］上是以2為上界的有界函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)已知/(re)=1+(-~WI為正整數(shù),是否存在整數(shù)k,使得對(duì)VnGN*,不等式m&kf(n)<m+2恒成

立？若存在，求出A:的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)—4WaW0

⑵存在，k=2

1

［分析］(1)利用上界的定義，換元令t=2"轉(zhuǎn)化函數(shù)式得一土一&<a<-t+十，再結(jié)合9=-1+與y=T

~t

―年的單調(diào)性計(jì)算即可;

⑵假設(shè)存在k滿足題意，分離參數(shù)得—————WkW-M+2,然后分類討論n為奇數(shù)或偶數(shù)，結(jié)合1

i+5i+Hr

+(—/的取值范圍計(jì)算即可.

【詳解】(1)令±=2工，，€(―8,0］,則te(0,1］,

由題意可得，|/(2)|W2在(―oo,0］上恒成立，

則片+就+1|&2在te(0,1］上恒成立，

-24%~+at+142,即-1—~<a<-1H——,

易知沙=一3+；在(0,1］上單調(diào)遞減，則y^n—0,

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在(0,1］上單調(diào)遞增，則ymax=—4,

綜上：-4&a<0.

⑵假設(shè)存在k滿足題意，&k,［1+(―壬)］+2,nGN*

當(dāng)九為正偶數(shù)時(shí)，(］)［&恒+2,即m7n+2

1+(1)

設(shè)v=1+=2”N*),易知1+(打e(1舟,

貝—出—<山，鱉包《上^<館+2,

51+(-,“51+(好

/.m<A;<-p(m+2);

O???

?

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，k?[1—]&?TI+2,即-m-------Wk7&-----m---+---2-

;,1),

7n

則m<———<2m,m+2<+2<2(m+2),

i-(ir一歹

2m4k&M+2;

m+22m

若A:存在，則2mWkwW~(m+2)且｛,(m+2)>2"i,即

0O

m>0

19

nz=1,即2&k&,

5

：,k=2.

〔題目|4）（2024±?安徵?高一校底考期末）對(duì)于函數(shù)/（工）（2GO）,O為函數(shù)定義域，若存在正常數(shù)T,使得對(duì)

任意的劣C。，都有/Q+T）W/Q）成立，我們稱函數(shù)/Q）為“T同比不增函數(shù)”.

（1）若函數(shù)/（⑼=fee+sine是“年同比不增函數(shù)”，求％的取值范圍；

（2）是否存在正常數(shù)T,使得函數(shù)/（⑼,—除一1|+|,+1]為“T同比不增函數(shù)”，若存在，求T的取值范

圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案]⑴（-8,一

（2）存在，且T>4

【分析】（1）由/Q+T）4/3）恒成立，分離常數(shù)k,結(jié)合三角函數(shù)的最值來(lái)求得k的取值范圍.

（2）結(jié)合/（力）的圖象以及圖象變換的知識(shí)求得T的取值范圍.

【詳解】⑴因?yàn)楹瘮?shù)/（力）—kx-Vsin/是“5同比不增函數(shù)”，則/（力+&f⑸恒成立,

所以k[x+B+sin(/+&for+sin/恒成立，所以k-^-Wsinx-COST

即％W2方sin(x-與）〉一1,所以看〈一生②.

號(hào)），由于皿X—

兀\47U

所以k的取值范圍是—oo,—

⑵存在，理由如下:

_x_2,x一1

y(x)——X-1一i|+0+1]=<—1V力V1,畫(huà)出/（為）的圖象如下圖所示,

—X+2,

???

/Q+T）的圖象是由/（⑼的圖象向左平移T個(gè)單位所得，

由圖可知，當(dāng)T>4時(shí)，對(duì)任意的都有/3+7）4/（0成立，

所以存在正常數(shù)T,使得函數(shù)/3）=-2—上一1|+舊+1|為“T同比不增函數(shù)”，且T>4.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用題中的定義，招1問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立

問(wèn)題，本題第（2）問(wèn)利用數(shù)形結(jié)合思想求解比較直觀簡(jiǎn)單.

【題目|5）（2024上?江蘇常州-高一統(tǒng)考期和中心對(duì)稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個(gè)定點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)，我

們學(xué)過(guò)的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).類比奇函數(shù)的代數(shù)定義,我們可

以定義中心對(duì)稱函數(shù):設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镺,若對(duì)VcC都有于（2m—,）+f⑺=2n,則稱函數(shù)

于⑸為中心對(duì)稱函數(shù)，其中（m.n）為函數(shù)/（⑼的對(duì)稱中心.比如，函數(shù)?/=工+1就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)

X

稱中心為（0.1）.

（1）判斷/（c）=事:是否為中心對(duì)稱函數(shù)（不用寫理由），若是，請(qǐng)寫對(duì)稱中心；

（2）若定義在［兀,2兀］上的函數(shù)/（①）=sin（2，+p）為中心對(duì)稱函數(shù)，求？的值；

（3）判斷函數(shù)9（2）=/^是否為中心對(duì)稱函數(shù)，若是，求出其對(duì)稱中心;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）/（2）='斗是中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心為（1,2）

（2）0=fc7r,fc6Z

（3）gQ）二萬(wàn)多不是中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心為（-1,-1）.

【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得/（2-x）+/（，）=4,即可得結(jié)論；

（2）若定義在,［兀，2兀］上的函數(shù)/（①）=sin（2;r+p）為中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)必為萼，由/（①）

+/（3?！猉）—2cos2/sinp可知，sinp=0,即可得出cp的值；

⑶根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得g（—2—力）+gQ）=—2，即可得結(jié)論.

【詳解】（1）根據(jù)題意，/0）=2t+1的定義域?yàn)閧礎(chǔ)rw1},

X—1

J（T）=—?+3=2-1------,若對(duì)VTG{x\xW1},

x—1x—1

都有“2—力）+/（力）=2+3+2+^^="

2—x—1x—1

所以/0）=令}［中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心為（1,2）;

（2）若定義在［兀,2兀］上的函數(shù)/（力）=sin（2c+0）為中心對(duì)稱函數(shù)，???

明顯定義域僅關(guān)于點(diǎn)（卷二，0）對(duì)稱，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)必為2二,

則/(力)+/(3兀一力)=sin(2,+0)+sin[2(3兀一力)+(p\=sin(26+0)+sin(—2力+口)

=sin(2力+0)—sin(2力—(p)~sin2a;cos^+cos2/sinp—sin2/cosp+cos2csinp

=2cos26sinp,

因?yàn)橛?x)=sin(2/+p)為中心對(duì)稱函數(shù),

則于（x）+/（3兀—x）為定值,則sing=0,即/（力）+/（3?！猑）=0,

所以/（力）=sin（2/+0）關(guān)于點(diǎn)（?！?（））對(duì)稱.

（3）函數(shù)gQ）的圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為點(diǎn)（一1,一1）

解方程3"+i—1=0得力=—1,所以函數(shù)g（力）的定義域?yàn)椋èDco,—1）U（―l,+oo）

明顯定義域僅關(guān)于點(diǎn)（一1,0）對(duì)稱

所以若函數(shù)g（x）=3/］的圖象是中心對(duì)稱圖形，則其對(duì)稱中心橫坐標(biāo)必為一1

設(shè)其對(duì)稱中心為點(diǎn)（一1,九），則由題意可知有\(zhòng)/xED,g（—2—rc）+g（c）=2幾

令rr=_2,可得2n=g（0）+g（—2）=l—3=—2,所以n=—1

所以若函數(shù)gQ）為中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心必定為點(diǎn)（一1,一1）

下面論證函數(shù)g（rc）=—監(jiān)的圖象關(guān)于點(diǎn)（一1,—1）成中心對(duì)稱圖形：

3-1

即只需證明\/以€。,。（一2一％）+gQ）=-2

2,22,22X3"+1,2

g（—2—x）+g（x）=-----1=--------1=-----------—H

八'八'3-13-14___13-11-3+3^+-1

3，+1'

2x3計(jì)1,22-2X3計(jì)1?。3x+1-l?省世

1-3x+131+1-13'+1—13計(jì)1_1

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：

a+b

(1)若/(c+a)+/(—a;+b)=c,則函數(shù)/(2)關(guān)于,y）中心對(duì)稱;

2

⑵若/（力+Q）=/（—力+b）,則函數(shù)/（力）關(guān)于力二對(duì)稱.

（題目|6）（2024上?山東濟(jì)寧?南一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)八乃=ln（e-1）—ln（e0+l）.

（1）求函數(shù)/（,）的定義域；

（2）試判斷了（切的單調(diào)性,并說(shuō)明理由；

（3）定義:若函數(shù)F⑶在區(qū)間［m,n］上的值域?yàn)椋蹖O汨，則稱區(qū)間［m.n］是函數(shù)F⑶的“完美區(qū)間”.若函

數(shù)gO）=/（c）+lnb存在“完美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】⑴（0,+8）

（2）單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析

（3）（3+2V2,+c?）

【分析】（1）由函數(shù)解析式直接求定義域；

（2）法一:利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定；???

法二：定義法證明單調(diào)性;

⑶由題意可知方程g(c)=c在(0,+oo)上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即b=、?+1)在(0,+8)上至少

e^-l

存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以y=b與y=e(e十)在(0,+oo)上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn).再利用基本不

e'-l

等式求出函數(shù)y="+1)的值域即可.

ex-l

【詳解】⑴要使函數(shù)/(力)的表達(dá)式有意義，須使e*—1>0,解得力>0,

所以函數(shù)/(力)的定義域是(0,+8).

(2)/(x)=ln(ex-l)-ln(ex+l)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

理由如下：法一,:

因?yàn)橛冖?—ln(e*+l)=ln-1^=ln(l—，

又沙=6.+1在(0,+8)上為增函數(shù)，y=---在(0,+8)上為減函數(shù)，

e'+l

y=l-------在(0,+co)上為增函數(shù)，y=ln(l-------)在(0,+8)上為增函數(shù),

故/(力)=山?—1)—hi(X+l)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

法二：

因?yàn)閒(x)=ln(e“一1)—ln?+l)=

對(duì)任意比i,力(0,+oo),且Xx<力2,可知e°>eX1>1,則

61_]In守=ln(e：T)(e：+D

/(◎)-/,=】n晶

e2+1(e*+l)(e2-1)

又(e窗一1)(十+1)-(eI1+l)(el2-l)=2(人一潸<0,

(e'Td+l)(e^—lMeG+l)

可知0<<1,所以hr<0,

(e^+l)(e^-l)(eI1+l)(eX2-l)

即/(/)</(?2).故/Q)=ln(e"—1)—皿6+1)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

⑶由(2)可知g(rc)=/(c)+lnb在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

設(shè)區(qū)間［m,n］是函數(shù)g(x)=f(±)+ln6的"完美區(qū)間”.則g(m)=m,g(n)=n.

可知方程gQ)=/在(0,+oo)上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

即6=ee+1)在(o,+oo)上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

ex-l

所以y=b與y="e+1)在(0,+QQ)上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn).

ex-l

令力=6’-1,貝［力>0,

所以6=(t+1)1+2)=/+予+2=±+菅+3>3+2日

當(dāng)且僅當(dāng)力時(shí)，取等號(hào).

又g=1+~~+3在(0,A/2)上單調(diào)遞減，在,+8)上單調(diào)遞增，???

且當(dāng)±一0時(shí)，,一+8；當(dāng)t一+8時(shí)，V—+00.

所以6＞3+22.故實(shí)數(shù)b的取值范圍為（3+2V2,+oo）.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第三問(wèn)由題意，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程g（，）=，在（0,+00）上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

即b=e"?+l）在（0,+oo）上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以夕=b與9=e"+l）在（0；+oo）上至少存

e—ex—l

在兩個(gè)不同的交點(diǎn).接下來(lái)利用換元法求出函數(shù)g=二?+1）的值域即可.

e'-l

題目Q（2024?云南北明?統(tǒng)考模擬謖測(cè)）我們把劭+Q便+電/+……+Q九/=0（其中o,neN）稱為一

元n次多項(xiàng)式方程.代數(shù)基本定理:任何復(fù)系數(shù)一元n（nGN*）次多項(xiàng)式方程（即劭，電，電，…，冊(cè)為實(shí)數(shù)）

在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元n（ziGN*）次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n

個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.那么我們由代數(shù)基本定理可知:任何復(fù)系數(shù)一元n（neN*）次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集

2n

內(nèi)一定可以分解因式,轉(zhuǎn)化為n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積.即劭+Q巡+a2x+.-\-anx=an（x—的）①（力—的）

n

自…（力一0加盧，其中fc,mEN*,島+e+...+km=n,電，....，。M為方程a（）+a便+電/+...-\-anx=0

n

的根.進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即a。，電，電,…,冊(cè)為實(shí)數(shù)），方程Qo+Q巡+電/+...-\-anx=0

的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式QO+QR+電/+...+Q/11必可分解因式.例如:觀察可知，/=1是方程1=0的

3

一個(gè)根，則（6—1）一定是多項(xiàng)式為3—1的一個(gè)因式，即T—1=（劣―1）（。/2+6/+。），由待定系數(shù)法可知，a—

b=c=l.

⑴解方程：力3—2/+l=o；

（2）設(shè)/（/）=劭+&力+Q2/+Q3d,其中Q（p的，。2,^十，且劭+。1+。2+。3=1-

23

（i）分解因式：x—力+a2x-\-a3x）；

（優(yōu)）記點(diǎn)P（g,go）是g=/（劣）的圖象與直線沙=力在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn).求證:當(dāng)期+202+3。3&

1時(shí)，XQ—1.

1

【答案】（1）0=1,X2=,工3=二#

2

⑵⑴—（X—1）[a^x+（a2+a3）T—a0];（u）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）觀察得到x—\是方程/3—26+1=0的一^根，從而設(shè)劣3—2力+1=（力-1）（ax2+bx+c），對(duì)照系

教得至a=1,b=1,c=—1,得到（%—1）（/+/-1）=0,求出方程的根；

（2）⑴4=1是方程力一（。（）+。便+。2力2+。3力3）=0的一個(gè)根，設(shè)力一（。0+。便+—

（x—1）（。/+》/+°）,對(duì)照系數(shù)得到a=—03,b=（Q0+QI）—1,c=a0,從而得到答案；

23

（n）令于（x）—N=0,故力°是方程（劭+。1力+a2T+a3^）—力=0的最小正實(shí)根，由⑴知：

（Qo+a巡+Q2/+Q3d）—X—{x—1）[。3劣2+（。2+口3）￡—a。],設(shè)gQ）=劭/斗（（^+劭）力—00,根據(jù)g（力）的開(kāi)口

方向，結(jié)合g（0）=—劭＜0,則g（力）一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為力,結(jié)合Qi+2a2+3的41得至Ug⑴&

0,故力＞1,得到x0=1.

【詳解】（1）觀察可知：N=1是方程23—26+1=0的一?個(gè)根；

所以3?—2X+1=（a;—1）（aa?-\-bx+c）=aa;3+（fe—a）x2+（c—b）x—c,???

由待定系數(shù)法可知，（c—b=-2,解得a=l,b=l,c=—1;

l-c=l

所以(rc—1)(a;2+a?-1)=0,即力=1或/+%—1=0,

則方程的根為g=l,g=g=T[2?

23

(2)(i)由。0+。1+電+。3=1可知，/=1是方程力一(&)+。通+a2x-\-a3x)=0的一個(gè)根；

2332

所以/一(QO+QR+a2x+a3x)=(re—1)(a^+bx+c)=CZT+(5—a)T+(c—b)x—c,

即一a3d—電力2—(Qi-1)力—Qo=ax3+(b—Q)力2+(c—b)x—c,

對(duì)照系數(shù)得a=—Q3,一電二b—a,一(如一1)—c—b,—a0=—c,

故a=—03,b——(電+的)—(劭+電)—1,c=a。；

所以力一(QO+QR+。2/2+。3/3)—{x—1)[—。342—(。2+。3)力+劭]

2

——(x—1)[a3x+(a2+a3)x—a0].

⑻令/(力)一力二0,即(Qo+Qi/+。2/+&3令)一c=0,

點(diǎn)P(g,%)是y=f(x)的圖象與直線。=力在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)，

等價(jià)于g是方程(。()+。便+Q2/+Q3/)—力=0的最小正實(shí)根；

由⑴知：力=1是方程力一(QO+QI?+。262+03/3)=0的一個(gè)正實(shí)根，

3

且(Qo+QiN+a2^+a3x)—x=(x—1)—a0],

2

設(shè)g(力)=a3x+(a2+a3)T—a0,由劭，a”為，五十可知gQ)為開(kāi)口向上的二次函數(shù)；

又因?yàn)間(0)=—QoVO,則gQ)一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為t;

又。()+。1+電+。3=1,可得Qo=1—(電+電+。3)，

所以g(l)=Q3+(電+。3)一的=3a3+2a2+ai—1;

當(dāng)。1+2。2+3。3&1時(shí)，g⑴<0,

由二次函數(shù)單調(diào)性可知力》1,即力=1是方程N(yùn)—(Qo+Q便+電力n+。363)=0的最小正實(shí)根.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:三次函數(shù)是近兩年高考?？伎键c(diǎn)，需要對(duì)三次函數(shù)理解到位，求解三次函數(shù)的零點(diǎn)，常常需

要先觀察函數(shù)，直接法得到其中一個(gè)零點(diǎn)，將三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究

三次函數(shù)的性質(zhì).

[題目|8](2024±?江蘇蘇州?高一?？计谀?已知函數(shù)/(工)和g(x)的定義域分別為2和。2,若對(duì)任意3C

恰好存在幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)g,x2,■■■,xnE2,使得9(刈)=/(g)(其中i=1,2,■■■,n,n