2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中核心考點(diǎn)專題04多邊形含解析新人教版

PAGEPAGE1專題04多邊形重點(diǎn)突破學(xué)問點(diǎn)一多邊形相關(guān)學(xué)問

多邊形概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形內(nèi)角：多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。外角：多邊形的邊與它鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做外角。

對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。

【對(duì)角線條數(shù)】一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的對(duì)角線的條數(shù)為（n－3）條，其全部的對(duì)角線條數(shù)為（重點(diǎn)）凸多邊形

概念：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，假如多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形。

正多邊形概念：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個(gè)條件缺一不行，除了三角形以外，因?yàn)槿羧切蔚娜齼?nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）

學(xué)問點(diǎn)二多邊形的內(nèi)角和外角

（重點(diǎn)）n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°（與多邊形的形態(tài)和邊數(shù)無關(guān)）。考查題型考查題型一多邊形的基礎(chǔ)典例1．（2024·哈爾濱市期末）下列圖中不是凸多邊形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依據(jù)凸多邊形的概念，假如多邊形的邊都在任何一條邊所在的直線的同旁，該多邊形即是凸多邊形．否則即是凹多邊形，故A不是凸多邊形；B是凸多邊形；C是凸多邊形；D是凸多邊形.故選A.變式1-1．（2024·揭陽市期末）下列說法中，正確的是（

）A．直線有兩個(gè)端點(diǎn) B．射線有兩個(gè)端點(diǎn) C．有六邊相等的多邊形叫做正六邊形 D．有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角【答案】D【詳解】A.∵直線沒有端點(diǎn)，向兩方無限延長(zhǎng)，故不正確；B.∵射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一方無限延長(zhǎng)，故不正確；C.∵有六邊相等且六個(gè)角也相等的多邊形叫做正六邊形，故不正確；D.∵有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故正確；故選D.變式1-2．（2024·重慶市期末）關(guān)于正多邊形的概念，下列說法正確的是（）A．各邊相等的多邊形是正多邊形B．各角相等的多邊形是正多邊形C．各邊相等或各角相等的多邊形是正多邊形D．各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形【答案】D【提示】依據(jù)正多邊形的定義判定即可．【詳解】解：A．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)不合題意；B．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)不合題意；C．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)不合題意；D．各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形，正確，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【名師點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形的定義、熟記各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形是解決問題的關(guān)鍵．考查題型二多邊形截角后的邊數(shù)問題典例2．（2024·焦作市期末）將一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后，它不行能是（）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【答案】A【解析】試題解析：當(dāng)截線為經(jīng)過四邊形對(duì)角2個(gè)頂點(diǎn)的直線時(shí)，剩余圖形為三角形；當(dāng)截線為經(jīng)過四邊形一組對(duì)邊的直線時(shí)，剩余圖形是四邊形；當(dāng)截線為只經(jīng)過四邊形一組鄰邊的一條直線時(shí)，剩余圖形是五邊形；∴剩余圖形不行能是六邊形，故選A.變式2-1．（2024·黃石市期末）一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后內(nèi)角個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．3、4、5【答案】D【解析】如圖可知，一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后變成三角形或四邊形或五邊形，故內(nèi)角個(gè)數(shù)是為3、4或5.故選D.變式2-2．（2024·海淀區(qū)期末）把一張形態(tài)是多邊形的紙片剪去其中某一個(gè)角，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來的形態(tài)不行能是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【提示】一個(gè)n邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形態(tài)可能是n邊形或（n+1）邊形或（n-1）邊形，由此即可解答.【詳解】當(dāng)剪去一個(gè)角后，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來的形態(tài)可能是四邊形或三角形或五邊形，不行能是六邊形．故選D．【名師點(diǎn)撥】剪去一個(gè)角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，則少了一條邊；經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條．考查題型三多邊形的對(duì)角線條數(shù)問題典例3．（2024·陽江市期中）一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)最多能引出三條對(duì)角線，這個(gè)多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【解析】試題提示：對(duì)于n邊形，經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)能引出(n-3)條對(duì)角線，故本題選擇D．變式3-1．（2024·松北區(qū)期末）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°，那么這個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】提示:先依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)，再依據(jù)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系求解.詳解:設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，則（n-2）?180°=540°，解得n=5，∴這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)==5．故選：A.名師點(diǎn)撥:本題考查依據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式及多邊形的對(duì)角線的條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，解答時(shí)要會(huì)依據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理.變式3-2．（2024·重慶市期中）若一個(gè)多邊形的對(duì)角線共有14條，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．6 B．7 C．10 D．14【答案】B【提示】依據(jù)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)公式列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，則＝14，整理得，n2﹣3n﹣28＝0，解得：n＝7，n＝﹣4（舍去）．故選：B．【名師點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是駕馭多邊形對(duì)角線條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，并據(jù)此列出方程．考查題型四多邊形的內(nèi)角和問題典例4．（2024·紅橋區(qū)期中）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于900o，則這個(gè)多邊形是（）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【答案】C【解析】試題提示：多邊形的內(nèi)角和公式為（n－2）×180°，依據(jù)題意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7．變式4-1．（2024·深圳市期若一個(gè)多邊形每一個(gè)內(nèi)角都是135o，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】試題提示：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則=135，解得：n=8變式4-2．（2024·宿遷市期末）如圖所示，的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】提示：依據(jù)三角形外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和計(jì)算即可.詳解：∵∠A+∠1+∠D+∠E=360°,∠1=∠B+∠2,∠2=∠C+∠F,∴=360°.故選B.名師點(diǎn)撥：本題考查了多邊形內(nèi)角和公式和三角形外角的性質(zhì)，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，四邊形的內(nèi)角和等于360°.考查題型五多（少）算一個(gè)角的內(nèi)角和問題典例5．（2024·麗水市期中）當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和會(huì)()A．增加 B．增加 C．增加 D．增加【答案】B【提示】依據(jù)n邊形的內(nèi)角和為180°（n－2），可得（n＋1）邊形的內(nèi)角和為180°（n－1），然后作差即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵n邊形的內(nèi)角和為180°（n－2）∴（n＋1）邊形的內(nèi)角和為180°（n＋1－2）=180°（n－1）而180°（n－1）－180°（n－2）=180°∴當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和會(huì)增加故選B．【名師點(diǎn)撥】此題考查的是多邊形的內(nèi)角和，駕馭多邊形的內(nèi)角和公式是解決此題的關(guān)鍵．變式5-1．（2024·遵義市期末）小明在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，漏掉了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得1000°，則這個(gè)多邊形是(

)A．六邊形B．七邊形C．八邊形D．十邊形【答案】C【提示】依據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得1000度．則內(nèi)角和是（n-2）?180°與1000°的差肯定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）?180°1000°，多邊形的邊數(shù)n肯定是最小的整數(shù)值即可，【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n．依題意有（n-2）?180°1000°，解得：n7，則多邊形的邊數(shù)n=8；故選C.【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．變式5-2．（2024·長(zhǎng)春市期末）馬小虎在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于馬虎少算了2個(gè)內(nèi)角，其和等于，則該多邊形的邊數(shù)是()A．7 B．8 C．7或8 D．無法確定【答案】C【提示】n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，即為180°的（n-2）倍，多邊形的內(nèi)角肯定大于0度，小于180度，因而多邊形中，除去2個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和與180度的商加上2，以后所得的數(shù)值，比這個(gè)數(shù)值大1或2的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】設(shè)少加的2個(gè)內(nèi)角和為x度，邊數(shù)為n．則（n-2）×180=830+x，即（n-2）×180=4×180+110+x，因此x=70，n=7或x=250，n=8．故該多邊形的邊數(shù)是7或8．故選C．【名師點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確理解多邊形內(nèi)角的大小的特點(diǎn)，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．考查題型六多邊形截角后的內(nèi)角和問題典例6．（2024·徐州市期中）如圖，在三角形紙片ABC中，∠B=∠C=35°，過邊BC上的一點(diǎn)，沿與BC垂直的方向?qū)⑺糸_，分成三角形和四邊形兩部分，則在四邊形中，最大的內(nèi)角的度數(shù)為（）A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【解析】提示：依據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠A，依據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得答案．詳解：由三角形的內(nèi)角和，得∠A=180°-35°-35°=110°，由四邊形的內(nèi)角和，得360°-90°-110°-35°=125°，故選D．名師點(diǎn)撥：本題考查了多邊形的內(nèi)角，利用多邊形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．變式6-1．（2024·荊門市期中）一個(gè)四邊形，截一刀后得到新多邊形的內(nèi)角和將（）A．增加180° B．削減180° C．不變 D．以上三種狀況都有可能【答案】D【解析】試題提示：依據(jù)一個(gè)四邊形截一刀后得到的多邊形的邊數(shù)即可得出結(jié)果．解：∵一個(gè)四邊形截一刀后得到的多邊形可能是三角形，可能是四邊形，也可能是五邊形，∴內(nèi)角和可能削減180°，可能不變，可能增加180°．故選D．變式6-2．（2024·煙臺(tái)市期末）如圖，已知矩形一條直線將該矩形分割成兩個(gè)多邊形（含三角形），若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為和則不行能是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，一條直線將該矩形ABCD分割成兩個(gè)多邊（含三角形）的狀況有以上三種，①當(dāng)直線不經(jīng)過任何一個(gè)原來矩形的頂點(diǎn)，此時(shí)矩形分割為一個(gè)五邊形和三角形，∴M+N=540°+180°=720°；②當(dāng)直線經(jīng)過一個(gè)原來矩形的頂點(diǎn)，此時(shí)矩形分割為一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，∴M+N=360°+180°=540°；③當(dāng)直線經(jīng)過兩個(gè)原來矩形的對(duì)角線頂點(diǎn)，此時(shí)矩形分割為兩個(gè)三角形，∴M+N=180°+180°=360°．故選D．考查題型七正多邊形外角和問題典例7．（2024·陽泉市期末）已知正多邊形的一個(gè)外角為36°，則該正多邊形的邊數(shù)為().A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【提示】利用多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個(gè)外角都是36°，即可求出答案．【詳解】解：360°÷36°＝10，所以這個(gè)正多邊形是正十邊形．故選：B．【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了多邊形的外角和定理．是須要識(shí)記的內(nèi)容．變式7-1．（2024·丹東市期中）正十邊形的外角和為（）A．180° B．360° C．720° D．1440°【答案】B【提示】依據(jù)多邊的外角和定理進(jìn)行選擇．【詳解】解：因?yàn)殡S意多邊形的外角和都等于360°，所以正十邊形的外角和等于360°，．故選B．【名師點(diǎn)撥】本題考查了多邊形外角和定理，關(guān)鍵是熟記：多邊形的外角和等于360度．變式7-2．（2024·河池市期中）如圖，某人從點(diǎn)A動(dòng)身，前進(jìn)8m后向右轉(zhuǎn)60°，再前進(jìn)8m后又向右轉(zhuǎn)60°，依據(jù)這樣的方式始終走下去，當(dāng)他第一次回到動(dòng)身點(diǎn)A時(shí)，共走了（）A．24m B．32m C．40m D．48m【答案】D【提示】從A點(diǎn)動(dòng)身，前進(jìn)8m后向右轉(zhuǎn)60°，再前進(jìn)8m后又向右轉(zhuǎn)60°，…，這樣始終走下去，他第一次回到動(dòng)身點(diǎn)A時(shí)，所走路徑為正多邊形，依據(jù)正多邊形的外角和為360°，推斷多邊形的邊數(shù)，再求路程．【詳解】解：依題意可知，某人所走路徑為正多邊形，設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，則60n＝360，解得n＝6，故他第一次回到動(dòng)身點(diǎn)A時(shí)，共走了：8×6＝48（m）．故選：D．【名師點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的外角和，正多邊形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是依據(jù)每一個(gè)外角推斷多邊形的邊數(shù)．考查題型八多邊形內(nèi)角和與外角和綜合典例8．（2024·湖州市期中）若正多邊形的一個(gè)外角是，則該正多邊形的內(nèi)角和為（）A． B． C． D．【答案】C【提示】依據(jù)正多邊形的外角度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出多邊形的內(nèi)角和.【詳解】由題意，正多邊形的邊數(shù)為，其內(nèi)角和為．故選C.【名師點(diǎn)撥】考查多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，嫻熟駕馭公式是解題的關(guān)鍵.變式8-1．（2024·河池市期末）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于（）A．108° B．90° C．72° D．60°【答案】C【提示】首先設(shè)此多邊形為n邊形，依據(jù)題意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多邊形的外角和等于360°，即可求得答案．【詳解】解：設(shè)此多邊形為n邊形，依據(jù)題意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于：=72°．故選C．【名師點(diǎn)撥】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的學(xué)問．留意駕馭多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）?180°，外角和等于360°．變式8-2．（2024·九江市期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【提示】解答本題的關(guān)鍵是記住多邊形內(nèi)角和公式為（n-2）×180°，任何多邊形的外角和是360度．外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)．【詳解】多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）?180°，外角和是固定的360°，從而可依據(jù)內(nèi)角和比他的外角和的3倍少180°列方程求解．設(shè)所求n邊形邊數(shù)為n，則（n-2）?180°=360°×3-180°，解得n=7，故選C．【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，解答本題的關(guān)鍵是記住多邊形內(nèi)角和公式為（n-2）×180°.考查題型九平面鑲嵌典例9．（2024·泉州市期末）下列多邊形中，不能夠單獨(dú)鋪滿地面的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】C【提示】由鑲嵌的條件知，在一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角和為360°．【詳解】∵正三角形的內(nèi)角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6個(gè)正三角形可以鋪滿地面一個(gè)點(diǎn)，∴正三角形可以鋪滿地面；∵正方形的內(nèi)角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4個(gè)正方形可以鋪滿地面一個(gè)點(diǎn)，∴正方形可以鋪滿地面；∵正五邊形的內(nèi)角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五邊形不能鋪滿地面；∵正六邊形的內(nèi)角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3個(gè)正六邊形可以鋪滿地面一個(gè)點(diǎn)，∴正六邊形可以鋪滿地面．故選C．【名師點(diǎn)撥】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．變式9-1．（2024·臨清市期末）能夠鋪滿地面的正多邊形組合是（）A．正三角形和正五邊形 B．正方形和正六邊形C．正方形和正五邊形 D．正五邊形和正十邊形【答案】D【提示】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是要看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360°．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．【詳解】解：A、正五邊形和正三邊形內(nèi)角分別為108°、60°，由于60m+108n=360，得m=6-n，明顯n取任何正整數(shù)時(shí)，m不能得正整數(shù)，故不能鋪滿，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、正方形、正六邊形內(nèi)角分別為90°、120°，不能構(gòu)成360°的周角，故不能鋪滿，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、正方形、正五邊形內(nèi)角分別為90°、108°，當(dāng)90n+108m=360，明顯n取任何正整數(shù)時(shí)，m不能得正整數(shù)