2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.4向量的數(shù)量積素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)五向量的數(shù)量積(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為135°,則a·(-b)等于 ()A.12 B.-12 C.12QUOTE D.-12QUOTE【解析】選C.因?yàn)閍·(-b)=-a·b=-|a||b|cos135°=-4×6×QUOTE=12QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,則·= ()A.20 B.-20 C.20QUOTE D.-20QUOTE【解析】選B.·=||||cos120°=5×8×QUOTE=-20.2.已知△ABC中,=a,=b,若a·b<0,則△ABC是 ()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.隨意三角形【解析】選A.由a·b<0易知向量a與b的夾角為鈍角.2.(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知非零向量a,b滿意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)夾角為θ,因?yàn)?a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以a與b的夾角為QUOTE.3.已知平面對(duì)量a,b滿意a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,則向量a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閍·(a+b)=a2+a·b=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=-QUOTE,又因?yàn)?lt;a,b>∈[0,π],所以<a,b>=QUOTE.4.已知|a|=|b|=1,a與b的夾角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c與dA.-6 B.6 C.3 D.-3【解析】選B.因?yàn)閏·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b5.如圖所示,△ABC是頂角為120°的等腰三角形,且AB=1,則·等于 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)椤鰽BC是頂角為120°的等腰三角形,且AB=1,所以BC=QUOTE,所以·=1×QUOTE×cos150°=-QUOTE.6.(多選題)已知a,b,c為非零向量,下列說法不正確的是()A.若|a·b|=|a||b|,則a∥bB.若a·c=b·c,則a=bC.若|a|=|b|,則|a·c|=|b·c|D.(a·b)|c|=|a|(b·c)【解析】選BCD.|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b|,所以cosθ=±1,即θ=0°或180°,此時(shí)a∥b;A正確;選項(xiàng)B中,設(shè)a與c的夾角為θ1,b與c的夾角為θ2,因?yàn)閍·c=b·c,所以|a||c|cosθ1=|b||c|cosθ2,即|a|cosθ1=|b|cosθ2,B不肯定正確;C項(xiàng)中,a與c的夾角和b與c的夾角不相等時(shí),結(jié)論不成立;D項(xiàng)中,a與b的夾角,b與c的夾角不肯定相等,所以不肯定成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ,下列命題中真命題是 ()A.若a·b=0,則a=0或b=0B.若λa=0,則λ=0或a=0C.若a2=b2,則a=b或a=-bD.若a·b=a·c,則b=c【解析】選B.A中,若a·b=0,則a=0或b=0或a⊥b,故A錯(cuò);C中,若a2=b2,則|a|=|b|,C錯(cuò);D中,若a·b=a·c,則可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有選項(xiàng)B正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.(2024·天津高考)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=2QUOTE,AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則·=________.

【解析】如圖,過點(diǎn)B作AE的平行線交AD于F,因?yàn)锳D∥BC,所以四邊形AEBF為平行四邊形,因?yàn)锳E=BE,故四邊形AEBF為菱形.因?yàn)椤螧AD=30°,AB=2QUOTE,所以AF=2,即=QUOTE.因?yàn)?=-=-QUOTE,所以·=(-)·=QUOTE·--QUOTE=QUOTE×2QUOTE×5×QUOTE-12-10=-1.答案:-18.已知e1、e2是夾角為QUOTE的兩個(gè)單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,則a·b=______;若a·b=0,則實(shí)數(shù)k的值為______.

【解析】當(dāng)k=1時(shí)a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=QUOTE-e1e2-2QUOTE=-QUOTE.由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0.整理,得k-2+(1-2k)cosQUOTE=0,解得k=QUOTE.答案:-QUOTEQUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知:如圖,兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面對(duì)量和,它們的夾角為QUOTE,點(diǎn)C是以O(shè)為圓心的劣弧QUOTE的中點(diǎn).求:(1)|+|的值.(2)·的值.【解析】(1)因?yàn)楹偷拈L(zhǎng)度為1,夾角為QUOTE,所以·=||||cosQUOTE=-QUOTE,所以|+|===1.(2)因?yàn)辄c(diǎn)C是以O(shè)為圓心的劣弧QUOTE的中點(diǎn),所以∠AOC=∠BOC=QUOTE,所以·=·=QUOTE,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=QUOTE-QUOTE-QUOTE+1=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知|a|=10,|b|=12,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)(3a)·QUOTE;(3)(3b-2a)·(4a+【解析】(1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.(2)(3a)·QUOTE=QUOTE(a·b)=QUOTE×(-60)=-36.(3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×(-60)+3×12210.已知|a|=2|b|=2,e是與b方向相同的單位向量,且向量a在向量b方向上的投影向量為-e.(1)求a與b的夾角θ;(2)求(a-2b)·b;(3)當(dāng)λ為何值時(shí),向量λa+b與向量a-3b相互垂直?【解析】(1)由題意知|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影向量為|a|cosθe=-e,所以cosθ=-QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.(2)易知a·b=|a|·|b|cosθ=-1,則(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因?yàn)棣薬+b與a-3b相互垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=QUOTE.(35分鐘70分) 一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.在△ABC中,若=·+·+·,則△ABC是 ()A.等邊三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.直角三角形【解析】選D.因?yàn)?·+·+·,所以-·=·+·,所以·(-)=·(-),所以·=,所以·(+)=0,所以·=0,所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.2.在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿意=2,則·(+)等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.因?yàn)锳M=1,且=2,所以||=QUOTE.如圖·(+)=·(2)=·==QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,C=90°,CB=3,點(diǎn)M滿意=2,則·=______.

【解析】因?yàn)?+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE,又C=90°,·=0,所以·=·=QUOTE=3.答案:33.若|a+b|=|a-b|=2|a|,則向量a-b與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,由|a-b|=2|a|可得3a2=b2,所以|b|=QUOTE|a|,設(shè)向量a-b與b的夾角為θ,則cosθ==-QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.4.(多選題)已知向量a,b的夾角為120°,|a|=|b|=1,c與a+b同向,則|a-c|的值可以為 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選AD.因?yàn)閨a|=|b|=1,c與a+b同向,所以a與c的夾角為60°.又,故|a-c|min=QUOTE.由選項(xiàng)可知|a-c|的值可以為1或QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)5.(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-QUOTEb,則cos<a,c>=________.

【解析】因?yàn)閏2=(2a-QUOTEb)2=4a2+5b2-4QUOTEa·b=9,所以|c|=3,因?yàn)閍·c=a·(2a-QUOTEb)=2a2-QUOTEa·b=2,所以cos<a,c>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)向量a,b滿意|a+b|=QUOTE,|a-b|=QUOTE,則a·b=________.

【解析】因?yàn)閨a+b|=QUOTE,所以(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.因?yàn)閨a-b|=QUOTE,所以(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.由①②可得a·b=1.答案:16.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b與λa-b垂直,則λ等于________【解析】因?yàn)?3a+2b)⊥(λa-b),所以(λa-b)·(3a+2b)=0,所以3λa2+(2λ-3)a·b-2b又因?yàn)閨a|=2,|b|=1,a⊥b,所以12λ+(2λ-3)×2×1×cos90°-2=0,所以12λ-2=0,所以λ=QUOTE.答案:QUOTE7.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是邊BC上一點(diǎn),=2,則·=________.

【解析】因?yàn)?2,所以=QUOTE,=-,故·=(+)·=·(-)=·(-)=QUOTE·+QUOTE-QUOTE=QUOTE||||cos120°+QUOTE||2-QUOTE||2=QUOTE×2×1×QUOTE+QUOTE×1-QUOTE×22=-QUOTE.答案:-QUOTE8.已知向量a、b滿意:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,則a與b的夾角為________;|2a-b|=________【解析】由于a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,則a·b=3.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.因?yàn)閨2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28,所以|2a-b|=2QUOTE.答案:QUOTE2QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知非零向量a,b,滿意a⊥b,且a+2b與a-2b的夾角為120°,則QUOTE=______.

【解析】(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,因?yàn)閍⊥b,所以所以所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知e1與e2是兩個(gè)相互垂直的單位向量,k為何值時(shí),向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角?【解析】因?yàn)閑1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=kQUOTE+kQUOTE+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.但當(dāng)k=1時(shí),e1+ke2=ke1+e2,它們的夾角為0°,不符合題意,舍去.綜上可知,k∈(0,1)∪(1,+∞)時(shí),向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角.10.已知平面上三個(gè)向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角為120°.(1)求證:(a-b)⊥c;(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閨a|=|b|=|c|=1且a,b,c之間的夾角均為120°,