高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)歸類分析 函數(shù)圖象的交點(diǎn)（真題為例）

函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題典型例題：例1.（年全國課標(biāo)卷文5分）當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍是【】（A）(0，eq\f(\r(2),2))（B）(eq\f(\r(2),2)，1)（C）(1，eq\r(2))（D）(eq\r(2)，2)【答案】B?！究键c(diǎn)】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。【解析】設(shè),作圖?！弋?dāng)時(shí)，,∴在時(shí),的圖象在的圖象上方。根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，?！鄦握{(diào)遞減?！嘤蓵r(shí)，得，解得。∴要使時(shí)，，必須?！郺的取值范圍是(eq\f(\r(2),2)，1)。故選B。例2.（年山東省理5分）設(shè)函數(shù)，若的圖像與圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x1，y1）,B(x2，y2),則下列判斷正確的是【】A.當(dāng)a<0時(shí)，x1＋x2<0，y1＋y2>0B.當(dāng)a<0時(shí)，x1＋x2>0，y1＋y2<0C.當(dāng)a>0時(shí)，x1＋x2<0，y1＋y2<0D.當(dāng)a>0時(shí)，x1＋x2>0，y1＋y2>0【答案】B。【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】令，則。設(shè)，。令，則要使的圖像與圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)必須：，整理得。取值討論：可取來研究。當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，此時(shí)。故選B。例3.（年天津市理5分）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是▲.【答案】。【考點(diǎn)】函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，利用函數(shù)圖像確定兩函數(shù)的交點(diǎn)?！痉治觥亢瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上函數(shù)。作出函數(shù)的圖象，要使函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線必須在藍(lán)色或黃色區(qū)域內(nèi)，如圖，此時(shí)當(dāng)直線經(jīng)過黃色區(qū)域時(shí)，滿足，當(dāng)經(jīng)過藍(lán)色區(qū)域時(shí)，滿足，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是。例4.（年福建省理4分）對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－ab，a≤b，,b2－ab，a＞b.))設(shè)，且關(guān)于x的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是▲．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),16)，0))?！究键c(diǎn)】新定義，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。【解析】根據(jù)新運(yùn)算符號得到函數(shù)為，化簡得：。如圖，作出函數(shù)和的圖象，如果有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如圖，（1）當(dāng)直線過拋物線的頂點(diǎn)或時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)直線中時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)直線中時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)。設(shè)三個(gè)交點(diǎn)分別為：x1，x2，x3，且依次是從小到大的順序排列，所以x1即為方程2x2－x＝eq\f(1,4)小于0的解，解得x1＝eq\f(1－\r(3),4)，此時(shí)x2＝x3＝eq\f(1,2)，所以x1·x2·x3＝eq\f(1－\r(3),4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1－\r(3),16)。與函數(shù)f(x)有2個(gè)交點(diǎn)的最低位置是當(dāng)y＝m與x軸重合時(shí)，此時(shí)x1·x2·x3＝0。所以當(dāng)