高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)歸類分析 基本不等式的應(yīng)用（真題為例）

高頻考點(diǎn)分析基本不等式的應(yīng)用典型例題：例1.（年天津市理5分）設(shè)，，若直線與圓相切，則的取值范圍是【】（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】D?！究键c(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，重要不等式，一元二次不等式的解法【分析】∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離為，∴。又∵，∴，即?！?。設(shè)，則，解得。故選D。例2.（年浙江省文5分）若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則的最小值是【】A.B.C.5D.6【答案】C?！究键c(diǎn)】基本不等式或配方法的應(yīng)用?！窘馕觥俊選+3y=5xy，∴，。∴。（或由基本不等式得）∴5，即的最小值是5。故選C。例3.（年湖北省理5分）設(shè)是正數(shù)，且，則【】A.B.C.D.【答案】C?！究键c(diǎn)】柯西不等式不等式的應(yīng)用，待定系數(shù)法的應(yīng)用?！窘馕觥坑煽挛鞑坏仁街藭r(shí)恰好滿足取等條件。令，則。代入到中得，再將代入得?！?，∴。∴。故選C。例4.（年福建省理5分）下列不等式一定成立的是【】A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＞lgx(x＞0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈)C．x2＋1≥2|x|(x∈)D.eq\f(1,x2＋1)＞1(x∈)【答案】C。【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用。【解析】對(duì)于A，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＝lgx，所以A不一定成立；對(duì)于B，當(dāng)sinx>0時(shí)，不等式才成立，所以B不一定成立；對(duì)于C，命題顯然正確；對(duì)于D，∵x2＋1≥1，∴0<eq\f(1,x2＋1)≤1，所以D不成立.故選C。例5.（年陜西省文5分）小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為和（），其全程的平均時(shí)速為，則【】A.B.=C.<<D.=【答案】A?！究键c(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用?！窘馕觥吭O(shè)從甲地到乙地的路程為，則。又∵，∴?！?。故選A。例6.（年福建省理7分）已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝m，求證：a＋2b＋3c≥9.【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)閒(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}。又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1。（Ⅱ）由(1)知eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝1，又a，b，c∈R，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。所以a＋2b＋3c【考點(diǎn)】帶絕對(duì)值的函數(shù)，不等式的證明?！窘馕觥浚á瘢┯蓷l件可得f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0，故有|x|≤m的解集為[-1，1]，故m=1。（Ⅱ）由（Ⅰ）得eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝1，從而，展開后可得，利用基本不等式證明它大于或等于9。例7.（年湖北省文5分）設(shè)∈R，則“”是“”的【】A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要的條件【答案】A。【考點(diǎn)】充分、必要條件的判定，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，，而（當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立），∴。當(dāng)取,顯然有,但。∴由不可以推得。綜上，是的充分不必要條件。故選A。例8.（年四川省理4分）記為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題：①當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；②對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；③當(dāng)時(shí)，；④對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有▲_。（寫出所有真命題的編號(hào)）【答案】①③④。【考點(diǎn)】真命題的判定，對(duì)高斯函數(shù)的理解，數(shù)列的性質(zhì)，特殊值法的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥繉?duì)于①，若，根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)，x2=[]=3,同理x3=。故①正確。對(duì)于②，可以采用特殊值列舉法：當(dāng)a=3時(shí)，x1=3,x2=2,x3=1,x4=2……x2k=1,x2k+1=1,……此時(shí)數(shù)列從第二項(xiàng)開始為2，1，2，1……，不成立。故②錯(cuò)誤。對(duì)于③，由的定義知，，而為正整數(shù)，故，且是整數(shù)。∵對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)、，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，∴不論是偶數(shù)還是奇數(shù)，有。∵和都是整數(shù)，∴。又當(dāng)時(shí)，，∵，∴成立?！喈?dāng)時(shí)，。故③正確。對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，∴，即?！?，即，解得。由③，∴?！?。故④正確。綜上所述，真命題有①③④。例9.（年遼寧省理12分）設(shè)，曲線與直線在(0，0)點(diǎn)相切。(Ⅰ)求的值。(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，。【答案】解：（I）∵過(guò)（0，0），∴=0?！?－1?！咔€與直線在（0，0）點(diǎn)相切，∴?！?0。（II）證明：由（I）知。由均值不等式，當(dāng)＞0時(shí)，，∴。令。則。令。則當(dāng)時(shí)，。∴在（0，2）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)?！哂郑嘣冢?，2）內(nèi)，?！嘣冢?，2）內(nèi)，。∴在（0，2）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)?！哂?，∴在（0，2）內(nèi)，?！喈?dāng)時(shí)，?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性與最值中的運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程?！窘馕觥浚↖）由過(guò)（0，0），