人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《特殊的平行四邊形（第7課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

特殊的平行四邊形（第7課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)，加深學(xué)生對(duì)特殊的平行四邊形相關(guān)性質(zhì)和判定的理解，進(jìn)而使學(xué)生對(duì)幾何圖形形成整體認(rèn)識(shí)，提升邏輯推理能力．2．能夠熟練應(yīng)用特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．教學(xué)重點(diǎn)根據(jù)不同的題目類(lèi)型，選取合適的特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．教學(xué)難點(diǎn)特殊的平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧1．矩形的性質(zhì)：（1）角：矩形的四個(gè)角都是直角．（2）對(duì)角線(xiàn)：矩形的對(duì)角線(xiàn)相等．（3）對(duì)稱(chēng)性：矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸，所以一般情況下矩形有兩條對(duì)稱(chēng)軸．2．矩形的判定：（1）定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）對(duì)角線(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形．（3）角：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．3．菱形的性質(zhì)：（1）邊：菱形的四條邊都相等．（2）對(duì)角線(xiàn)：菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角．（3）對(duì)稱(chēng)性：菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸，所以一般情況下菱形有兩條對(duì)稱(chēng)軸．4．菱形的判定：（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．（2）對(duì)角線(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形．（3）邊：四條邊相等的四邊形是菱形．5．正方形的性質(zhì)：（1）邊：四條邊相等．（2）角：四個(gè)角都是直角．（3）對(duì)角線(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)相等，且互相垂直平分．（4）對(duì)稱(chēng)性：正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線(xiàn)以及兩條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)．6．正方形的判定：（1）定義法：有一組鄰邊相等，且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形．（2）邊：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．（3）角：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．（4）對(duì)角線(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形；對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形．7．平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系：新知探究類(lèi)型一、矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【問(wèn)題】1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足為點(diǎn)E．求證：AE＝CE．【師生活動(dòng)】讓學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，教師提醒學(xué)生通過(guò)作輔助線(xiàn)解決問(wèn)題．【答案】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F．∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°．∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°．∴∠BCF＝∠D．在△BCF和△CDE中，∴△BCF≌△CDE（AAS）．∴BF＝CE．∵CE⊥AD，BF⊥CE，∴∠AEF＝90°，∠BFE＝90°．又∵∠A＝90°，∴四邊形AEFB是矩形．∴AE＝BF．∴AE＝CE．【歸納】幾何證明有時(shí)需要綜合應(yīng)用矩形的判定和性質(zhì)，“已知四邊形的邊角關(guān)系，證明四邊形是矩形”是判定；反之，“已知一個(gè)四邊形是矩形，證明線(xiàn)段或角的關(guān)系”是性質(zhì)．解題時(shí)要看清條件，弄清是應(yīng)用矩形的判定還是性質(zhì)．【問(wèn)題】2．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是矩形．【答案】證明：∵E是OA的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，∴OE＝AO，OG＝CO．∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO．∴OE＝OG．同理可得，OF＝OH．∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵OE＝AO，OG＝OC，∴EG＝OE＋OG＝AC．同理可證，F(xiàn)H＝BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∴EG＝FH．∴四邊形EFGH是矩形．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題1，2，讓學(xué)生能綜合運(yùn)用矩形的性質(zhì)及判定解決問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)一步明確圖形之間的關(guān)系．類(lèi)型二、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【問(wèn)題】3．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝2AB，將AB兩端延長(zhǎng)，并截取AE＝AB＝BF，CE交AD于點(diǎn)G，DF交BC于點(diǎn)H．試判斷CG與DH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【師生活動(dòng)】首先讓學(xué)生獨(dú)立完成，然后教師展示結(jié)果并講解．【答案】解：CG與DH互相垂直．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝DC．∴∠EAG＝∠CDG．∵AB＝AE，∴AE＝DC．在△AEG和△DCG中，∴△AEG≌△DCG（AAS）．∴AG＝DG＝AD．同理可得，BH＝CH＝BC．又∵AD＝BC，∴DG＝CH．又∵DG∥CH，∴四邊形CDGH是平行四邊形．又∵BC＝2AB＝2CD，∴CD＝CH．∴平行四邊形CDGH是菱形．∴CG與DH互相垂直．【歸納】解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要先利用菱形的判定證明四邊形是菱形，再通過(guò)菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解或證明，要注意兩者的聯(lián)系和區(qū)別．【問(wèn)題】4．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)為線(xiàn)段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，四邊形AECF是菱形．（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并加以證明；（2）若菱形AECF的周長(zhǎng)為20，BD＝18，試求四邊形ABCD的面積．【答案】解：（1）四邊形ABCD為菱形．理由如下：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O．∵四邊形AECF是菱形，∴AC⊥EF，AO＝OC，EO＝OF．又∵點(diǎn)E，F(xiàn)為線(xiàn)段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴BE＝FD．∴BO＝OD．∵AO＝OC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形．（2）∵四邊形AECF為菱形，且周長(zhǎng)為20，∴AE＝5．∵BD＝18，∴EF＝6，OE＝EF＝×6＝3．由勾股定理，得，∴AC＝2AO＝2×4＝8．∴S四邊形ABCD＝BD·AC＝×18×8＝72．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題3，4，讓學(xué)生掌握菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用．類(lèi)型三、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【問(wèn)題】5．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，DE平分∠ADC，EF∥CD交AD邊于點(diǎn)F，連接BD，交EF于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形FECD是正方形；（2）若FG＝2，DC＝3，求的值．【師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題，學(xué)生分小組交流，并派代表回答，教師板書(shū)．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°．又∵EF∥CD，∴四邊形FECD為矩形．∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝45°．∴∠CDE＝∠DEC＝45°．∴CD＝CE．∴四邊形FECD是正方形．（2）解：在正方形FECD中，∠EFD＝90°，F(xiàn)D＝DC＝CE＝3，∴在Rt△DFG中，．∴．【歸納】判定一個(gè)四邊形為正方形的常用方法：（1）根據(jù)定義，先判定其為平行四邊形，再證明它有一組鄰邊相等，且有一個(gè)角是直角；（2）先判定它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直；（3）先判定它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等．【問(wèn)題】6．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，分別延長(zhǎng)OA，OC到點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE＝CF，順次連接B，F(xiàn)，D，E各點(diǎn)．（1）求證：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC＝50°，∠EBA＝20°，求證：四邊形BFDE是正方形．【師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立作答，教師巡查并及時(shí)糾錯(cuò)．【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∴∠BAC＝∠BCA．∴∠BAE＝∠BCF．在△BAE與△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）．（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD．又∵AE＝CF，∴OE＝OF．∴四邊形BFDE是平行四邊形．由（1），得△BAE≌△BCF，則∠EBA＝∠FBC＝20°．∵∠ABC＝50°，∴∠EBF＝∠EBA＋∠ABC＋∠FBC＝20°＋50°＋20°＝90°．∴四邊形BFDE是矩形．又∵A